Raíces de polinomios con exponentes negativos o fraccionarios.

El procedimiento para resolver este tipo de raíces es el mismo que se usa para resolver la raíz cuadrada de polinomios enteros. (Ver Ejercicio 214),

Ejemplo.

Hallar la raíz cuadrada de x⁻⁴ +13x⁻² +6x⁻³ +4 +12x⁻¹
=  x⁻⁴ +6x⁻³ +13x⁻² +12x⁻¹ +4   (ordenado)
.                                                      .

√ a -2a ³/⁴ +a ¹/² +4a ¹/⁴ -4 +4a ⁻¹/²  | a ¹/² -a ¹/⁴ +2a ⁻¹/⁴ .  Solución.

. -a                                                   | √a = a¹/² ⇒ (a¹/²(a¹/²) = a

.     -2a ³/⁴ +a ¹/²                               | (-2a ³/⁴) ÷ 2(a¹/²) = (-2a ³/⁴) ÷ (2a¹/²) = -a¹/⁴

.     -2a ³/⁴ +a ¹/²                               | (2a¹/²-a¹/⁴)(-a¹/⁴) = -2a³/⁴ +a¹/²

.              0           4a ¹/⁴ -4 +4a ⁻¹/²   | 2(a ¹/² -a ¹/⁴ ) = 2a ¹/² -2a ¹/⁴ ⇒(4a ¹/⁴) ÷ (2a ¹/² ) = 2a ⁻¹/⁴

.                          -4a ¹/⁴ +4 -4a ⁻¹/²   | (2a ¹/² -2a ¹/⁴ +2a ⁻¹/⁴)(2a ⁻¹/⁴) = 4a ¹/⁴-4+4a ⁻¹/²

.                                     0                 |

_____________________________________

Ejercicio 229.

Hallar la raíz cuadrada de:

1)  x⁻⁴ +13x⁻² +6x⁻³ +4 +12x⁻¹

=  x⁻⁴ +6x⁻³ +13x⁻² +12x⁻¹ +4   (ordenado)
.                                              .

√ x⁻⁴ +6x⁻³ +13x⁻² +12x⁻¹ +4 | x⁻² +3x⁻¹ +2   Solución.

. -x⁻⁴                                        | √x⁻⁴ = x⁻²   ⇒ (x⁻²)(x⁻²) = x⁻⁴

.          6x⁻³ +13x⁻²                   | (6x⁻³) ÷ 2(x⁻²) = (6x⁻³) ÷ (2x⁻²) = 3x⁻¹

.         -6x⁻³ -   9x⁻²                  | (2x⁻² +3x⁻¹)(3x⁻¹) = 6x⁻³ +9x⁻²

.                      4x⁻² +12x⁻¹ +4  | 2(x⁻² +3x⁻¹) = 2x⁻² +6x⁻¹ ⇒ (4x⁻²) ÷ (2x⁻²) = 2

.                     -4x⁻² - 12x⁻¹ - 4  | (2x⁻² +6x⁻¹ +2)(2) = 4x⁻² +12x⁻¹ +4

.                                 0             |

________________________________________

2)  m + 11 +6m⁻¹/² +6m¹/²+m⁻¹

=  m +6m¹/² + 11 +6m⁻¹/² +m⁻¹  (ordenado)

.                                                 

√ m +6m¹/² + 11 +6m⁻¹/² +m⁻¹ |  m¹/² +3 +m⁻¹/².  Solución.

. -m                   .                       |  √m = m¹/² ⇒ (m¹/²)(m¹/²) = m

.         6m¹/² + 11                       | 6m¹/² ÷ 2(m¹/²) = 6m¹/² ÷ 2m¹/² = 3

.       - 6m¹/²  -  9                        | (2m¹/² +3)(3) = 6m¹/² +9                

.                       2 +6m⁻¹/² +m⁻¹  |  2(m¹/² +3) = 2m¹/² +6 ⇒ 2 ÷ 2m¹/² = m⁻¹/²

.                      -2 - 6m⁻¹/² -m⁻¹   |  (2m¹/² +6 +m⁻¹/²)(m⁻¹/²) = 2 +6m⁻¹/² +m⁻¹

.                                   0             |

__________________________________________

3) 9a ⁴/³ +25a ²/³ -6a -8a¹/³ +16

= 9a ⁴/³ -6a +25a ²/³  -8a¹/³ +16 (ordenado).

.                                                 

√ 9a ⁴/³ -6a +25a ²/³  -8a¹/³ +16 | 3a²/³ -a¹/³ +4 .  Solución.

. -9a ⁴/³                   .                  | √9a ⁴/³ = 3a ²/³ ⇒ (3a ²/³)(3a ²/³) = 9a ⁴/³

.           -6a +25a ²/³                   | -6a ÷ 2(3a²/³) = -6a ÷ 6a²/³ = -a¹/³

.            6a  -    a ²/³                   | (6a²/³ -a¹/³)(-a¹/³) = -6a +a²/³

.                   24a ²/³-  8a¹/³ +16 | 2(3a²/³ -a¹/³) = 6a²/³ -2a¹/³ ⇒ 24a ²/³ ÷ 6a²/³ = 4

.                 - 24a ²/³ +8a¹/³ - 16 | (6a²/³ -2a¹/³ +4)(4) = 24a²/³ -8a¹/³ +16 

.                                       0       |

___________________________________________

4) a² +4a ⁷/⁴ -2a ³/² -12a ⁵/⁴ + 9a

.                                                  

√ a² +4a ⁷/⁴ -2a ³/² -12a ⁵/⁴ + 9a  | a +2a ³/⁴ -3a¹/².  Solución.

. -a²                                             | √a² = a ⇒  (a)(a) =  a² 

.         4a ⁷/⁴ -2a ³/²                       | 4a ⁷/⁴ ÷ 2(a) = 4a ⁷/⁴ ÷ 2a = 2a ³/⁴

.       - 4a ⁷/⁴ -4a ³/²                       | (2a +2a ³/⁴)(2a ³/⁴) = 4a ⁷/⁴ +4a ³/²

.                  - 6a ³/² -12a ⁵/⁴ + 9a  | 2(a +2a ³/⁴) = 2a +4a ³/⁴ ⇒ - 6a ³/² ÷ 2a = -3a ¹/²

.                    6a ³/² +12a ⁵/⁴ - 9a  | (2a +4a ³/⁴ -3a ¹/²)(-3a ¹/²) = -6a ³/² -12a ⁵/⁴ +9a

.                                   0              |

___________________________________________

5) mn⁻²/³ -4m¹/²n⁻¹/³ +6 -4m⁻¹/²n¹/³ +m⁻¹n²/³

.                                                                     

√ mn⁻²/³ -4m¹/²n⁻¹/³ +6 - 4m⁻¹/²n¹/³ +m⁻¹n²/³  | m¹/²n⁻¹/³ -2 +m⁻¹/²n¹/³.  Solución.

. -mn⁻²/³                                                          | √mn⁻²/³ = m¹/²n⁻¹/³ ⇒ 

.             -4m¹/²n⁻¹/³ +6                                   |  (m¹/²n⁻¹/³)(m¹/²n⁻¹/³) = mn⁻²/³

.              4m¹/²n⁻¹/³ - 4                                    | -4m¹/²n⁻¹/³ ÷ 2(m¹/²n⁻¹/³) = -2

.                                 2 - 4m⁻¹/²n¹/³ +m⁻¹n²/³  | (2m¹/²n⁻¹/³ -2)(-2) = -4m¹/²n⁻¹/³ +4

.                                -2 +4m⁻¹/²n¹/³ -m⁻¹n²/³   | 2(m¹/²n⁻¹/³ -2) = 2m¹/²n⁻¹/³ -4 ⇒ 

.                                                    0                | 2 ÷ 2m¹/²n⁻¹/³  = m⁻¹/²n¹/³

.                                                                      | [2(m¹/²n⁻¹/³ -2)+m⁻¹/²n¹/³](m⁻¹/²n¹/³)=

.                                                                      | (2m¹/²n⁻¹/³ -4+m⁻¹/²n¹/³)(m⁻¹/²n¹/³)=

.                                                                      | 2 -4m⁻¹/²n¹/³ +m⁻¹n²/³

___________________________________________

6) a⁴/⁵ -8a³/⁵ +10a²/⁵ +24a¹/⁵ +9

.                                                  

√ a⁴/⁵ -8a³/⁵ +10a²/⁵ +24a¹/⁵ +9  | a²/⁵ -4a¹/⁵ -3  Solución.

. -a⁴/⁵                                          | √a⁴/⁵ = a²/⁵ ⇒ (a²/⁵)(a²/⁵) = a⁴/⁵

.        -8a³/⁵ +10a²/⁵                     | -8a³/⁵ ÷ 2(a²/⁵) = -8a³/⁵ ÷ 2a²/⁵ = -4a¹/⁵

.         8a³/⁵  -16a²/⁵                     | (2a²/⁵ --4a¹/⁵)(-4a¹/⁵)= -8a³/⁵ +16a²/⁵  

.                   -  6a²/⁵ +24a¹/⁵ +9   | -6a²/⁵ ÷ 2(a²/⁵ -4a¹/⁵) = -6a²/⁵ ÷ 2a²/⁵  ⇒ -3

.                      6a²/⁵ -24a¹/⁵  - 9   | [2(a²/⁵ -4a¹/⁵)-3](-3) = (2a²/⁵ -8a¹/⁵-3)(-3) =

.                                  0              |  -6a²/⁵ +24a¹/⁵+9

___________________________________________

Hallar la raíz cúbica de:

7) a⁻³ -6a⁻⁵/² +21a⁻² -44a⁻³/²+63a⁻¹ -54a⁻¹/²+27

.                                                                            

∛ a⁻³ -6a⁻⁵/² +21a⁻² -44a⁻³/² +63a⁻¹ -54a⁻¹/² +27 | a⁻¹ -2a⁻¹/² +3   Solución.

. -a⁻³                                                                     | ∛a⁻³ ⇒ a⁻¹ ⇒ (a⁻¹)³ = a⁻³

.       -6a⁻⁵/² +21a⁻² -44a⁻³/²                                  | 3(a⁻¹)² = 3a⁻² ⇒ -6a⁻⁵/²  ÷ 3a⁻² = -2a⁻¹/²

.         6a⁻⁵/² -12a⁻² + 8a⁻³/²                                  | (3a⁻²)(-2a⁻¹/²)  = -6a⁻⁵/² 

.                      9a⁻² -36a⁻³/² +63a⁻¹ - 54a⁻¹/² +27 | 3(a⁻¹)(-2a⁻¹/²)² = (3a⁻¹)(4a⁻¹) = 12a⁻²

.                     -9a⁻² +36a⁻³/² -63a⁻¹ +54a⁻¹/² - 27 |          (-2a⁻¹/²)³ = -8a⁻³/²                    . 

.                                               0                           | 3(a⁻¹ -2a⁻¹/²)² = 3(a⁻²-4a⁻³/²+4a⁻¹) =

.                                                                            | 3a⁻²-12a⁻³/²+12a⁻¹ ⇒ 9a⁻²  ÷ 3a⁻² = 3

.                                                                            | 3(a⁻¹ -2a⁻¹/²)²(3) = 9a⁻²-36a⁻³/²+36a⁻¹

.                                                                            | 3(a⁻¹ -2a⁻¹/²)(3)² =  27a⁻¹ -54a⁻¹/²  

.                                                                            |                     (3)³ = 27                          .

.                                                                             

____________________________________________

8)  x² -6x⁴/³+15x²/³-20+15x⁻²/³-6x⁻⁴/³+x⁻²

.                                                                    

∛ x² -6x⁴/³+15x²/³-20+15x⁻²/³-6x⁻⁴/³+x⁻²     | x²/³ -2 +x⁻²/³   Solución.

. -a⁻³                                                             | ∛x² ⇒ x²/³ ⇒ (x²/³)³ = x²

.       -6x⁴/³+15x²/³-20                                   | 3(x²/³)² = 3x⁴/³ ⇒ -6x⁴/³ ÷ 3x⁴/³ = -2

.        6x⁴/³ -12x²/³+ 8                                   | 3(x²/³)²(-2) = -6x⁴/³

.                    3x²/³ -12 +15x⁻²/³ -6x⁻⁴/³+x⁻²  | 3(x²/³)(-2)² = 12x²/³

.                  - 3x²/³+12 - 15x⁻²/³+6x⁻⁴/³- x⁻²  |           (-2)³ = -8                               .

.                                             0                     | 3(x²/³ -2)² = 3x⁴/³ -12x²/³+12 ⇒ 3x²/³ ÷ 3x⁴/³ = x⁻²/³

.                                                                    | 3(x²/³-2)²(x⁻²/³) = 3x²/³ -12+12x⁻²/³

.                                                                    | 3(x²/³-2)(x⁻²/³)² = 3x⁻²/³-6x⁻⁴/³ 

,                                                                    |               (x⁻²/³)³ = x⁻²                                               .

____________________________________________

9) a³/² +3a⁵/⁴ -5a³/⁴ +3a¹/⁴ -1

.                                                   

∛ a³/² +3a⁵/⁴ +0 -5a³/⁴ +3a¹/⁴ -1  | a¹/² +a¹/⁴ -1   Solución.

. -a⁻³                                           | ∛x² ⇒ x²/³ ⇒ (x²/³)³ = x²

.          3a⁵/⁴ +0  -5a³/⁴                 | 3(a¹/²)² = 3a ⇒ 3a⁵/⁴ ÷ 3a = a¹/⁴

.         -3a⁵/⁴ -3a -  a³/⁴                 | 3(a¹/²)²(a¹/⁴) = 3a⁵/⁴

.                  -3a - 6a³/⁴ +3a¹/⁴ - 1 | 3(a¹/²)(a¹/⁴)² = 3a

.                   3a +6a³/⁴ - 3a¹/⁴ +1 |            (a¹/⁴)³ = a³/⁴                   .

.                                  0               |3(a¹/² +a¹/⁴)² = 3(a+2a³/⁴+a¹/²) = (3a+6a³/⁴+3a¹/²) ⇒

.                                                   | -3a ÷ 3a = -1                                                            .

.                                                   | 3(a¹/² +a¹/⁴)²(-1) = -3a -6a³/⁴ -3a¹/²

.                                                   | 3(a¹/² +a¹/⁴)(-1)² =  3a¹/² +3a¹/⁴

.                                                   |                    (-1)³ = -1                    .

_______________________________________________