Máximo Común Divisor de polinomios por factorización.

  de      y   

Regla General.

Se descomponen cada  uno de los polinomios dados en sus factores primos.  El M.C.D.  es el producto de los factores comunes con su menor  exponente.

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Ejemplo a)  Hallar el m.c.d. de 4a²+4ab    y    2a⁴-2a²b²

1°)  Se factorizan las expresiones dadas:

--> 4a² + 4ab  = 4a(a+b)                       (Se aplicó Caso I  de Factorización)

--> 2a⁴  -2a²b² = 2a²(a² - b²)  = 2a²(a+b)(a-b)         (Se aplicó Caso I y IV de Factorización) 

2°) Se buscan los factores comunes de las expresiones encontradas:

Factor común de 4a   y   2a²  es   2a

Factor común de (a+b)   y   (a+b)(a-b)   es  (a+b)

por lo tanto, el m.c.d. de 4a(a+b)   y   2a²(a+b)(a-b)  es  =  2a(a+b) ,  que  es la Solución.

NOTA :
Al factorizar es necesario aplicar las reglas para la Descomposición de Factores  o Factorización, según el Caso que le corresponda.

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Ejemplo b)  Hallar el m.c.d. de x² - 4  ,  x² -x -6  ,  x² +4x +4

1°) Se factorizan las expresiones dadas:

--> x² -4 = (x -2)(x +2)        Se aplicó el Caso IV de Factorización

--> x² -x -6 = (x -3)(x +2)      Se aplicó el Caso  III de Factorización.

--> x²+4x +4 = (x +2)(x +2)     Se aplicó el Caso III de Factorización. 

Se buscan los factores comunes de las expresiones encontradas:

Factor común de las 3 expresiones factorizadas es =  (x +2)

por lo tanto, el m.c.d. de x² -4,    x² -x -6   y   x² +4x +4 es =  x +2   Solución.

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Ejercicio 112.

1) Hallar el m.c.d. de   2a² +2ab   ,   4a² -4ab

Factorizando las expresiones dadas:

--> 2a² +2ab = 2a(a +b)             Se aplicó el Caso I de Factorización.

--> 4a²  -4ab = 2a(2a -2b)         Se aplicó el Caso I  de Factorización.

Buscando los factores comunes de las expresiones encontradas:

Factor común de   2a(a +b)    y    4a(a -b)      es  = 2a

por lo tanto el m.c.d. de    2a² +2ab     y     4a² -4ab  es = 2a      <--   Solución.

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2) Hallar el m.c.d. de   6x³y -6x²y  ,   9x³y² +18x²y²  

Factorizando las expresiones dadas:

--> 6x³y -6x²y =  3x²y(2x -2)                        

--> 9x³y² +18x²y² = 3x²y²(3x +6)        ( Para ambas expresiones se aplicó el Caso I)

Buscando los factores comunes de las expresiones encontradas:

Factor común de  3x²y(2x -2)     y     3x²y²(3x +6)  es =  3x^2y

por lo tanto el m.c.d.  de     6x³y -6x²y    y     9x³y² +18x²y² es =  3x²y    <--   Solución.

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3) Hallar el m.c.d. de   12a²b³     y     4a³b²-8a²b³

Faxctorizando las expresiones dadas:

--> 12a²b³   =  4a²b²(3b)

--> 4a³b² -8a²b³ =  4a²b²(a-2b)            (Para ambas expresiones se aplicó el Caso I)

Factor común de   4a²b²(3b)    y     4a²b²(a-2b)  es  =   4a²b²

Por lo tanto el m.c.d. de    12a²b³     y     4a³b² -8a²b³   es  =  4a²b²       <--  Solución.

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4) Hallar el m.c.d. de    ab +b     y    a² +a

Factorizando las expresiones dadas:

--> ab +b =  b(a +1)

--> a² +a  = a(a +1)       (Para ambas expresiones se aplicó el Caso I)

Factor común de    b(a +1)    y    a(a +1)  es    =  (a +1)

Por lo tanto el m.c.d.  de    ab +b     y    a² +a   es   =   a +1      <--  Solución.

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5) Hallar el m.c.d. de    x² -x    y   x³ -x²

Factorizando las expresiones dadas:

-->  x² -x  =  x(x -1)

-->  x³ -x²  =  x²(x -1)         (Para ambas expresiones se aplicó el Caso I)

Factor común de   x(x -1)    y    x²(x -1)  es  =  x(x -1)

Por lo tanto el m.c.d. de    x(x -1)    y   x²(x -1)  es   =  x(x -1)    <--  Solución. 

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6) Hallar el m.c.d. de    30ax² -15x³   ,     10axy² -20x²y²

Factorizando las expresiones dadas:

-->  30ax² -15x³  =  15x²(2a -x) = (3)(5)(x)(x)(2a -x)

-->  10axy² -20x²y²  = 10xy²(a -2x) = (2)(5)(x)(y^2)(a -2x)  Se aplicó el Caso I

Factor común de     (3)(5)(x)(x)(2a -x)       y       (2)(5)(x)(y^2)(a -2x)   es  =  5x

Por lo tanto el m.c.d. de   30ax² -15x³  y    10axy² -20x²y² es =  5x   <-- Solución.

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7) Hallar el m.c.d. de    18a²x³y⁴      ,    6a²x²y⁴ -18a²xy⁴

Factorizando las expresiones dadas:

-->  18a²x³y⁴ =  6a²xy⁴(3x²)

-->  6a²x²y⁴ -18a²xy⁴ =  6a²xy⁴(x -3)    Se aplicó el Caso I para ambas expresiones.

Factor común para   6a²xy⁴(3x²)      y     6a²xy⁴(x -3)  es  =  6a²xy⁴

Por lo tanto el m.c.d. de  18a²x³y⁴   y   6a²x²y⁴ -18a²xy⁴  es =  6a²xy⁴ <-- Solución.

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8) Hallar el m.c.d. de    5a² -15a     ,     a³ -3a²

Factorizando las expresiones dadas:

-->  5a² -15a   =  5a(a -3)

-->  a³ -3a²  =  a²(a -3)      Se aplicó el Caso I, para ambas expresiones.

Factor común de   5a(a -3)      y      a²(a -3)  es  =   a(a-3)

Por  lo tanto el m.c.d. de 5a² -15a  y  a³ -3a²  es = a(a -3) <--  Solución.

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