Resta de fracciones con denominadores compuestos.

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Regla General para Restar Fracciones.

1) Se factorizan los denominadores.

2) Se simplifican las fracciones dadas, si es necesario.

3) Se reducen las fracciones dadas al mínimo común denominador, si es necesario.

4) Se efectúan las operaciones indicadas.

5) Se restan los numeradores factorados y simplificados y se parten por el denominador común.

6) Se reducen los términos semejantes en el numerador.

7) Se simplifica el resultado a su mínima expresión.

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Ejemplo A)  Restar   a/ab-b²  -  1/b

>> Factorizando los denominadores

ab-b² = b(a-b)

b = b

>> Encontrando el m.c.m.  de   b(a-b)   y  b es = b(a-b) -->

b(a-b) ÷ b(a-b) = 1  -->  1(a) = a

b(a-b) ÷ b = a-b  --> (a-b)1 =  a-b

>> La resta quedaría así:

(a) - (a-b) /b(a-b) =  a-a+b/b(a-b)

>>  Reduciendo términos semejantes y simplificando =

b/b(a-b) = 1/a-b   <--  , que es la solución.

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Ejemplo B)  Restar  2/x+x²  -  1/x-x²  -  1-3x/x-x³

>> Factorizando denominadores

x+x² = x(1+x)

x-x² = x(1-x)

x-x³ = x(1-x²) = x(1-x)(1+x)

>> El m.c.m. de los denominadores factorados es x(1-x)(1+x)  -->

x(1-x)(1+x) ÷ x(1+x)= 1-x   --> (1-x)(2) = 2-2x

x(1-x)(1+x) ÷ x(1-x)=  1+x  --> (1+x)(1) = 1+x

x(1-x)(1+x) ÷ x(1-x)(1+x) =  1 --> (1)(1-3x) = 1-3x

>>  La resta quedaría así:

2-2x -(1+x) -(1-3x) /x(1-x)(1+x) = 2 -2x -1 -x -1 +3x /x(1-x)(1+x) =

>> Reduciendo términos semejantes y simplificando es =

0/x(1-x)(1+x) = 0  <--  Es la solución.

Nota: al reducir los términos en el numerador (-2x-x+3x) y (2-1-1) el resultado es cero; y cualquier fracción con numerador (cero) equivale a (cero).

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Ejemplo C)  Restar  4x²-1/2x²-8 - (x+1)²/x²+4x+4 - x+3/x-2

>> Factorizando los denominadores:

2x²-8 = 2(x²-4) = 2(x-2)(x+2)

x²+4x+4 = (x+2)(x+2) = (x+2)²

x-2 = x-2

>> El m.c.m. de los denominadores factorados es = 2(x+2)²(x-2) -->

2(x+2)²(x-2) ÷ 2(x-2)(x+2)= x+2   --> (x+2)(4x²-1)

2(x+2)²(x-2) ÷ (x+2)² = 2(x-2)   --> 2(x-2)(x+1)²

2(x+2)²(x-2) ÷ (x-2) = 2(x+2)²   --> 2(x+2)²(x+3)

>> La resta quedaría así:

(x+2)(4x²-1) - 2(x-2)(x+1)² - 2(x+2)²(x+3) / 2(x+2)²(x-2) =

>> Simplificando por factorización:

4x³+8x²-x-2 - 2(x-2)(x²+2x+1) - 2(x²+4x+4)(x+3) / 2(x+2)²(x-2) =

4x³+8x²-x-2 - (2x³-6x-4) -(2x³+14x²+32x+24) / 2(x+2)²(x-2) =

4x³+8x²-x-2 -2x³+6x+4 - 2x³-14x²-32x-24 / 2(x+2)²(x-2) =

>> Reduciendo términos semejantes es =

-6x² -27x -22 / 2(x+2)²(x-1)

>> Cambiando los signos a (-6x² -27x-22)  y a (x-1) es =

6x² +27x +22 / 2(x+2)²(1-x) , que es la Solución.

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Ejercicio 129 del libro.

1) De 1/x-4  restar 1/x-3

>>No es necesario simplificar ni factorar la fracción.

>> El m.c.m. de x-4   y   x-3 es =  (x-4)(x-3)  -->

(x-4)(x-3) ÷ x-4 = x-3   --> (x-3)1 = x-3

(x-4)(x-3) ÷ x-3 = x-4   --> (x-4)1 = x-4 -->

>> La resta quedaría así :

(x-3) -(x-4) / (x-4)(x-3) = x-3-x+4 / (x-4)(x-3)

>> Reduciendo términos semejantes  es =

x/(x-4)(x-3)  <-- que es la Solución.

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2) De  m-n/m+n  restar  m+n/m-n

>> No es necesario simplificar ni factorar.

>> El m.c.m. de m+n   y    m-n es = (m+n)(m-n) -->

(m+n)(m-n) ÷ m+n = m-n   --> (m-n)(m-n) = m² -2mn+n²

(m+n)(m-n) ÷ m-n = m+n   --> (m+n)(m+n) = m² +2mn +n²

>> La resta quedaría así:

m²-2mn+n² - (m²+2mn+n²)/(m+n)(m-n) =

= m²-2mn+n² -m²-2mn-n²/(m+n)(m-n)

>> Reduciendo términos semejantes es =

-4mn/(m+n)(m-n) = -4mn/m²-n² = 4mn/n²-m² ,  Solución.

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3) De 1-x/1+x  restar  1+x/1-x

>> El m.c.m. de 1+x   y   1-x  es = (1+x)(1-x) -->

(1+x)(1-x) ÷ 1+x = 1-x    --> (1-x)(1-x) = 1-2x+x²

(1+x)(1-x) ÷ 1-x = 1+x   -->  (1+x)(1+x) = 1+2x+x²

>> La resta quedaría así:

1-2x+x² - (1+2x+x²) / (1+x)(1-x) =

1-2x +x² -1 -2x -x² / (1+x)(1-x) =

Reduciendo términos semejantes es =

-4x/(1+x)(1-x) =-4x/1-x² = 4x/x²-1 ,  Solución.

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4) De  a+b/a²+ab   restar   b-a/ab+b²

>> Factorizando denominadores:

a²+ab = a(a+b)

ab+b² = b(a+b)

>> El m.c.m. de  a(a+b)   y   b(a+b) es = ab(a+b) -->

ab(a+b) ÷ a(a+b) = b  -->  b(a+b) = ab+b²

ab(a+b) ÷ b(a+b) = a  -->  a(b-a) = ab-a²

>> La resta quedaría así:

ab+b² - (ab-a²) /ab(a+b) = ab+b²-ab+a² /ab(a+b)

>> Reduciendo términos semejantes es =

a²-b² /ab(a+b) , Solución.

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5) De  m+n/m-n  restar  m²+n²/m²-n²

>> Factorizando denominadores:

m-n = m-n

m²-n² = (m+n)(m-n) = m²-n²

>> El m.c.m. de  m-n   y   m²-n² es =  m²-n²  -->

m²-n² / m-n = m+n   --> (m+n)(m+n) = m²+2mn+n²

m²-n² / m²-n² = 1   --> 1(m²+n²) = m²+n²

>>  La resta quedaría así:

m²+2mn+n² - (m²+n²)/ m²-n²  = m²+2mn+n²-m²-n²/m²-n²

Reduciendo términos semejantes es =

2mn /m²-n² ,  Solución.

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6) Restar  1/x-x²  de  1/x+x²

Factorizando denominadores:

x-x² =  x(1-x)

x+x² = x(1+x)  -->

>> El m.c.m. de   x(1-x)   y   x(1+x) es = x(1-x²)  -->

x(1-x²) / x(1-x) = 1+x  --> (1-x)(1) = 1-x

x(1-x²) / x(1+x) = 1-x  --> (1-x)(1) = 1+x

>> La resta quedaría así :

1-x - (1+x) / x(1-x²)  =  1-x-1-x / x(1-x²)

>> Reduciendo términos semejantes y simplificando es =

-2x / x(1-x²) = 2x / x(x²-1) = 2/x²-1  Solución.

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