Reducción de fracciones al mínimo común denominador.

.              ,   , 

Reducir fracciones al mínimo común denominador es convertirlas en fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador y que este sea el menor posible.

Procedimiento:

1.  Se simplifican las fracciones dadas, si es posible.

2.  Se halla el m.c.m. de los denominadores, que sera el denominador común.

3.  Se divide el denominador común encontrado entre cada denominador y el cociente se multiplica por el numerador respectivo.

4.  Se efectúan las operaciones indicadas para encontrar la Solución.

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Ejemplos:

 A)  Reducir  2/a , 3/2a² ,  5/4x²

>Simplificando las fracciones (En este caso no es necesario)

> Hallando el mínimo común denominador de las fracciones:  a, 2a², 4x², que es 4a²x², 

porque:

4a²x² dividido entre  a  =  4ax² ,  multiplicado por (2)  =  8ax²

4a²x² dividido entre  2a²  =  2x², multiplicado por  (3)  =  6x²

4a²x² dividido entre  4x²  =  a²,  multiplicado por  (5)  =  5a²

--> La Solución es  8ax² /4a²x²  ,  6x² /4a²x²  ,  5a² /4a²x²

Nota:  Para encontrar el mínimo común múltiplo de los coeficientes (1 , 2 y 4),

puedes utilizarse la tabla del m.c.m.

(También puedes hacerlo de otra manera efectiva que conozcas)

|1|2|4|2

|1|1|2|2   |--> el m.c.m. es =  (2)(2)  =  4

|1|1|1|     |  Las letras "a"  y la "x" se agregan con su mayor exponente : "a²"  y  "x²"

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B)  Reducir   1/3x²  ,   x-1/6x  ,  2x-3/9x³

> Hallando el mínimo común denominador de  3x²  ,  6x  ,  9x³ , que es  18x³ ,
porque

18x³ dividido entre  3x²  =  6x  multiplicado por  1  =  6x

18x³ dividido entre  6x  =  3x²  multiplicado por x-1 =  3x³-3x²

18x³ dividido entre  9x³  = 2  multiplicado por 2x-3  =  4x-6

-->  La solución es :   6x /18x³  ,  3x³x² /18x³  ,  4x-6 /18x³

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C)  Reducir   a-b /ab  ,  2a /ab+b²  ,  3b /a²+ab

Simplificando los denominadores

ab  =  ab             ;          ab+b² =  b(a+b)     ;     a²+ab = a(a+b)

Hallando el mínimo común denominador de ab  ,  b(a+b)  ,  a(a+b) que es   ab(a+b) 
porque:

ab(a+b)  dividido entre  ab =  (a+b) y multiplicado por  (a-b) = a²-b²

ab(a+b)  dividido entre  b(a+b)  =  "a"  y multiplicado por 2a = 2a²

ab(a+b)  dividido entre  a(a+b)  =  "b"  y multiplicado por 3b  =  3b²

-->  La Solución es   a²-b² /ab(a+b)  ,  2a² /ab(a+b)  ,  3b² /ab(a+b)

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D)  Reducir   x+3 /x²-1  ,  2x /x²+3+2  ,  x+4 /x²+x-2

Simplificando los denominadores por factorización:

x²-1  =  (x+1)(x-1)        ;       x²+3+2 = (x+2)(x+1)       ;      x²+x-2 = (x+2)(x-1)

Hallando el mínimo común denominador de

(x+1)(x-1)  ,  (x+2)(x+1)  ,  (x+2)(x-1) que es  (x+1)(x-1)(x+2),
porque

(x+1)(x-1)(x+2) divido entre   (x+1)(x-1) = (x+2) por (x+3) = x²+5x+6

(x+1)(x-1)(x+2) divido entre  (x+2)(x+1) = (x-1) por (2x) = 2x²-2x

(x+1)(x-1)(x+2) divido entre (x+2)(x-1) = (x+1) por (x+4) = x²+5x+4

-->  La Solución es  

x²+5x+6 /(x+1)(x-1)(x+2)   ,  2x²-2x /(x+1)(x-1)(x+2)  ,  x²+5x+4 /(x+1)(x-1)(x+2)

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Ejercicio 125

1) Reducir a/b  ,  1/ab

Hallando el mínimo común denominador de "b"   y  "ab" , que es ab  -->

ab ÷ b  =  a, -->  a(a) /ab  =  a² /ab

ab ÷  ab  =  1,  -->  1(1) /ab  = 1 /ab

--> La Solución es   a²/ab  ,  1/ab

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2) Reducir    x/2a    ,   4/3a²x

Hallando el mínimo común denominador de   2a   , 3a²x,  que es 6a²x   -->

6a²x ÷ 2a  =   3ax , --> 3ax(x) /6a²x  =  3ax²/6a²x

6a²x ÷ 3a²x  =  2,  --> 2(4) /6a²x  = 8/6a²x

-->  La Solución es   3ax²/6a²x    ,    8/6a²x

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3) Reducir     1/2x²    ,    3/4x   ,   5/8x³

Hallando el mínimo común denominador de   2x²  ,  4x  ,  8x³3 ,  que es  8x³  -->

8x³ ÷ 2x²  =  4x,  -->  4x(1) /8x³  = 4x /8x³

8x³ ÷ 4x  =  2x²,  -->  2x²(3) /8x³  =  6x² /8x³

8x³ ÷ 8x³  = 1,   -->  1(5) /8x³  =  5 /8x³

--> La Solución  es   4x/8x³  ,  6x²/8x³  ,  5/8x³

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4) Reducir   3x/ab²   ,   x/a²b   ,   3/a³

Hallando el mínimo común denominador de  ab²  ,  a²b  ,  a³  que es  a³b²  -->

a³b² ÷ ab²  =  a²,  -->   a²(3x) /a³b²  =  3a²x /a³b²

a³b² ÷ a²b  =  ab,  -->  ab(x) /a³b²  =  abx /a³b²

a³b² ÷ a³  =  b²,  -->  b²(3) /a³b²  =  3b² /a³b²

-->  La Solución  es    3a²x/a³b²  ,  abx/a³b²  ,  3b²/a³b²

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5) Reducir   7y/6x²   ,  1/9xy   ,   5x/12y³

Hallando el mínimo común denominador de  6x²  ,  9xy  ,  12y³   que  es  36x²y³  -->

36x²y³ ÷ 6x²  =  6y³,  -->  6y³(7y) /36x²y³  = 42y⁴ /36x²y³

36x²y³ ÷ 9xy  =  4xy²  --> 4xy²(1) /36x²y³  =  4xy² /36x²y³

36x²y³ ÷ 12y³ =  3x²  --> 3x²(5x) /36x²y³  =  15x³ /36x²y³

-->  La Solución es   42y⁴/36x²y³  ,   4xy²/36x²y³  ,  15x³/36x²y³

Para encontrar el mínimo común múltiplo de los coeficientes (6, 9 y 12),

puedes hacer uso de la tabla.  ( Si consideras que la necesitas)

|6|9|12|3

|2|3|  4|2

|1|3|  2|2

|1|3|  1|3  --> el m. c.m. denominador es (3)(2)(3)(2) = 36

|1|1|  1|     -->  Las letras "x"  y  la "y" se copian con su mayor exponente : x²  ,  y³

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10) Reducir 2a-b/3a²   ,   3b-a/4b²  ,   a-3b/2

Hallando el mínimo común denominador de   3a²  ,  4b²  ,  2,  que es   12a²b² -->

12a²b² ÷ 3a²  =  4b²,  -->  4b²(2a-b) /12a²b² = 8ab²-4b³ /12a²b²

12a²b² ÷ 4b²  =  3a²,  -->  3a²(3b-a) /12a²b² = 9a²b-3a³ /12a²b²

12a²b² ÷ 2  =  6a²b²,  -->  6a²b²(a-3b)/12a²b² = 6a³b²-18a²b³ /12a²b²

-->  La Solución es

   8ab²-4b³/12a²b²  ,   9a²b-3a³/12a²b²  ,  6a³b² -18a²b³/12a²b² 

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13) Reducir   x/x²-1   ,   1/x²-x-2

Se simplifican los denominadores , factorándolos.

x² -1  = (x-1)(x+1)  <--  Se aplicó (Caso IV de Factorización)

x² -x -2 = (x-2)(x+1)  <--  Se aplicó (Caso VI de Factorización)

Hallando  el mínimo común denominador de

(x-1)(x+1)   y   (x-2)(x+1)  es  (x-1)(x+1)(x-2) -->

(x-1)(x+1)(x-2)÷(x-1)(x+1) = (x-2), -->  (x-2)(x)/(x-1)(x+1)(x-2) =  x²-2x /(x-1)(x+1)(x-2)

(x-1)(x+1)(x-2)÷(x-2)(x+1)  = (x-1), --> (x-1)(1)/(x-1)(x+1)(x-2)  =  x-1 /(x-1)(x+1)(x-2)

-->  La Solución es    x²-2x/(x-1)(x+1)(x-2)   ,    x-1 /(x-1)(x+1)(x-2)    ó

.                                      x²-2x / (x²-1)(x-2)        ,     x-1 / (x²-1)(x-2)

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29)  Reducir  a+3/a² +a -20    ,   5a/a² -7a +12   ,   a+1/a² +2a-15

Simplificando los denominadores, factorándolos

a² +a -20 = (a+5)(a-4)     (Se aplicó  Caso VI)

a² -7a +12  =  (a-4)(a-3)  (Se aplicó Caso VI)

a² +2a -15  =  (a+5)(a-3)  (Se aplicó Caso VI)

Hallando el mínimo común denominador de

(a+5)(a-4)  ,   (a-4)(a-3)  ,  (a+5)(a-3)  que es  (a-3)(a-4)(a+5)  -->

(a-3)(a-4)(a+5)÷(a+5)(a-4) = (a-3), --> (a-3)(a+3)/(a-3)(a-4)(a+5) = a²-9 /(a-3)(a-4)(a+5)

(a-3)(a-4)(a+5)÷(a-4)(a-3) = (a+5), --> (a+5)5a/(a-3)(a-4)(a+5) = 5a²+25a/(a-3)(a-4)(a+5)

(a-3)(a-4)(a+5)÷(a+5)(a-3) = (a-4), --> (a-4)(a+1)/(a-3)(a-4)(a+5)  = a²-3a-4 /(a-3)(a-4)(a+5)

--> La Solución  es  

a² -9 /(a-3)(a-4)(a+5)   ,    5a²+25a /(a-3)(a-4)(a+5)   ,   a²-3a-4 /(a-3)(a-4)(a+5)

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