Simplificación de fracciones cuando hay que cambiar signo a uno o más factores.

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Nota:

1) Cuando al descomponer una fracción vemos que no se puede simplificar porque el numerador no coincide con el denominador; es entonces cuando procedemos a cambiar el signo a un factor, que puede ser en el numerador o en el denominador, para poder simplificar, pero esto implica que para que no varíe la fracción debemos cambiarle el signo a toda la fracción.

2) Ahora bien si cambiamos  el signo a dos factores, que pueden ser un factor del numerador y a un factor del denominador o los dos factores en el numerador o en el denominador, entonces el signo de toda la fracción no varía.

3) Por lo tanto, si la cantidad de factores que cambiamos signo en una fracción es impar, se debe cambiar el signo a toda la fracción; pero si la cantidad de factores que cambiamos signo en una fracción es par, el signo de toda la fracción no se cambia.

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Ejemplos:

a) Simplificar  2a-2b / 3b-3a

> Descomponiendo el numerador y el denominador de la fracción:

(Aplicando Caso I de factorización)

2a-2b / 3b-3a = 2(a-b) / 3(b-a)

> Como un factor del numerador (a-b) no coincide con un factor del denominador (b-a), entonces se procede a cambiarle signo al factor (b-a) del denominador; y por consiguiente cambiarle signo a toda la fracción:

2(a-b) / 3(b-a) = -2(a-b) / 3(a-b)

> Ahora procedemos a la simplificación:

-2(a-b) / 3(a-b) =

= - 2/3  Solución.

(Se elimina (a-b) del numerador y del denominador en la simplificación).

b) Simplificar ax²-9a / 3x-3y-x²+xy

> Descomponiendo los factores de la fracción:

(Aplicando Caso I y Caso IV de Factorización en el numerador)

(Aplicando Caso II de factorización en el denominador)

ax²-9a / 3x-3y-x²+xy

= a(x²-9) / (3x-3y)-(x²-xy) =

a(x+3)(x-3) / 3(x-y)-x(x-y) =

= a(x+3)(x-3) / (x-y)(3-x)

> Simplificando, pero antes se cambia signo al factor (3-x) del denominador para poder eliminarlo con el factor (x-3) del numerador: y también se cambia el signo a (x-y) del denominador por (y-x) para que sean dos los cambios de signo y así no cambiarle signo a toda la fracción. 

= a(x+3)(x-3) / (y-x)(x-3)

= a(x+3) / y-x  Solución.

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Ejercicio 120.

1) Simplificar 4-4x / 6x-6

> Descomponiendo los factores de la fracción

(Aplicando el caso 1 de Factorización)

4-4x / 6x-6 = 4(1-x) / 6(x-1)

> Cambiando los signos de (x-1) por (1-x)

4(1-x) / 6(x-1) = - 4(1-x) / 6(1-x)

> Simplificando la fracción:

- 4(1-x) / 6(1-x) 

= - 4/6

= - 2/3   Solución.

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3) Simplificar  m²-n² / (n-m)²

> Descomponiendo los factores de la fracción:

(Aplicando el Caso IV de factorización para el numerador)

(Aplicando el Producto Notable, Cuadrado de la diferencia de dos

cantidades, para el denominador)

m²-n² / (n-m)² = (m-n)(m+n) / (n-m)(n-m)

> Cambiando el signo a los dos (par) factores del denominador:

(m-n)(m+n) / (n-m)(n-m) = (m-n)(m+n) / (m-n)(m-n)

> Simplificando la fracción:

(m-n)(m+n) / (m-n)(m-n) =

= m+n / m-n  Solución.

(Esta solución es positiva porque se le cambió signo a dos factores)

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5)  Simplificar  3y-6x / 2mx-my-2nx+ny

> Descomponer los factores de la fracción:

(Aplicando Caso I en el numerador)

(Aplicando Caso II en el denominador)

3y-6x / 2mx-my-2nx+ny = 3(y-2x) / (2mx-2nx)-(my+ny)

= 3(y-2x) / 2x(m-n-)-y(m-n)

= 3(y-2x) / (2x-y)(m-n)

> Cambiando signo a (2x-y)  por (y-2x):

= - 3(y-2x) / (y-2x)(m-n)

> Simplificando la fracción:

= - 3/m-n   Solución.

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