Variaciones del trinomio de segundo grado.

Para representar un trinomio de segundo grado en un plano cartesiano, se deben considerar varios aspectos:

1) Sobre el valor de sus raíces.

Cuando el discriminante b²-4ac es positivo, las raíces del trinomio son reales y desiguales.

Cuando el discriminante b²-4ac es cero, las raíces del trinomio son iguales.

Cuando el discriminante b²-4ac es negativo, las raíces del trinomio son imaginarias.

2) Sobre el valor mínimo y máximo del trinomio. 

Cuando "a" es positiva y se aplica en (-b/2a), el trinomio tendrá un valor mínimo.

Cuando "a" es negativa y se aplica en (-b/2a), el trinomio tendrá un valor máximo.

Ese valor mínimo y máximo se utilizan en la fórmula 4ac-b²/4a, para encontrar las coordenadas del vértice la parábola.

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 Ejemplo a) Sea el trinomio y = x²-2x+3 

Como "a" es positivo, determinamos el valor mínimo del trinomio:

Si -b/2a = -(-2)/2(1) = 2/2 = 1 

-> el mínimo (1) vale 4ac-b²/4a = 4(1)(3)-(-2)²(4(1) = 12-4/4 = 8/4 = 2

Encontrando otros valores para x e y:

Si x=-2 ⇒ y = (-2)²-2(-2)+3 ⇒ y = 4+4+3 ⇒ y = 11    (-2,11)

Si x=-1 ⇒ y = (-1)²-2(-1)+3 ⇒ y = 1+2+3 ⇒ y = 6      (-1, 6)

Si x= 0 ⇒ y = (0)²-2(0)+3    ⇒ y = 0+0+3 ⇒ y =  3     (0, 3)

Si x= 1 ⇒ y = (1)²-2(1)+3    ⇒ y = 1-2+3 ⇒ y = 2       (1, 2)

Si x= 2 ⇒ y = (2)²-2(2)+3    ⇒ y = 4-4+3 ⇒ y =  3      (2, 3)

Si x= 3 ⇒ y = (3)²-2(3)+3    ⇒ y = 9-6+3 ⇒ y = 6       (3, 6)

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Ejemplo b)  Sea el trinomio y = -x²+4x-1, 

Como a = -1, negativo, determinamos el valor máximo del trinomio:

Si -b/2a = -(4)/2(-1) = -(4)/-2 = -4/-2 = 2

y el máximo (2) vale 4ac-b² /4a = 4(-1)(-1) -(4)²  /4(-1) = 4-16 /-4 = -12 /-4 = 3

Encontrando otros valores para x e y:

Si x = -1 ⇒ y = -(-1)²+4(-1)-1 ⇒ y = -1-4-1   ⇒ y = -6    (-1,-6) 

Si x = 0  ⇒ y = -(0)²+4(0)-1    ⇒ y = 0+0-1    ⇒ y = -1    (0,-1) 

Si x = 1  ⇒ y = -(1)²+4(1)-1    ⇒ y = -1+4-1    ⇒ y = 2    (1, 2) 

Si x = 2  ⇒ y = -(2)²+4(2)-1    ⇒ y = -4+8-1     ⇒ y = 3    (2, 3) 

Si x = 3  ⇒ y = -(3)²+4(3)-1    ⇒ y = -9+12-1    ⇒ y = 2    (3, 2) 

Si x = 4  ⇒ y = -(4)²+4(4)-1    ⇒ y = -16+16-1 ⇒ y = -1    (4,-1) 

Si x = 5  ⇒ y = -(5)²+4(5)-1    ⇒ y = -25+20-1 ⇒ y = -6    (5,-6) 

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Ejemplo c) Representar gráficamente las variaciones de x²-6x+5.

Por ser el discriminante del trinomio  b²-4ac = (-6)²-4(1)(5) = 36-20 = 16 positivo, las raíces son reales y desiguales.   

-b/2a = -(-6)/2(1) = 6/2 = 3   

-> 4ac-b² / 4a = 4(1)(5)-(-6)² / 4(1) = 20-36 /4 = -16/4 = -4  Valor mínimo.

Entonces:

Si x = -1 ⇒ y =  x²-6x+5 ⇒ y = (-1)^2-6(-1)+5 -> y = 1+6+5 -> y = 12  (-1, 12)

Si x = 0 ⇒ y =  x²-6x+5 ⇒ y = (0)^2-6(-0)+5 -> y = 0+0+5 -> y = 5  (0, 5)

Si x = 1 ⇒ y =  x²-6x+5 ⇒ y = (1)^2-6(1)+5 -> y = 1-6+5 -> y = 0  (1, 0)  Raíz

Si x = 2 ⇒ y =  x²-6x+5 ⇒ y = (2)^2-6(2)+5 -> y = 4-12+5 -> y = -3  (2, -3) 

Si x = 3 ⇒ y =  x²-6x+5 ⇒ y = (3)^2-6(3)+5 -> y = 9-18+5 -> y = -4  (3, -4)  valor mínimo

Si x = 4 ⇒ y =  x²-6x+5 ⇒ y = (4)^2-6(4)+5 -> y = 16-24+5 -> y = -3  (4, -3)

Si x = 5 ⇒ y =  x²-6x+5 ⇒ y = (5)^2-6(5)+5 -> y = 25-30+5 -> y = 0  (5, 0)   Raíz

Si x = 6 ⇒ y =  x²-6x+5 ⇒ y = (6)^2-6(6)+5 -> y = 36-36+5 -> y = 5  (6, 5)

Si x = 7 ⇒ y =  x²-6x+5 ⇒ y = (7)^2-6(7)+5 -> y = 49-42+5 -> y =   (7, 12)

Gráficamente sería:

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Ejemplo d) Representar gráficamente las variaciones de x²-4x+4

Por ser el discriminante del trinomio  b²-4ac = (-4)²-4(1)(4) = 16-16 = 0, las raíces son iguales.   

-b/2a = -(-4)/2(1) = 4/2 = 2

-> 4ac-b² / 4a = 4(1)(4)-(-4)² / 4(1) = 16-16 /4 = 0/4 = 0  No hay valor mínimo ni máximo

Entonces:

Si x = -1 -> y =  x²-4x+4 -> y = (-1)²-4(-1)+4 -> y = 1+4+4 -> y = 9  (-1, 9)

Si x = 0 -> y =  x²-4x+4 -> y = (0)²-4(0)+4 -> y = 0+0+4 -> y = 4  (0, 4)

Si x = 1 -> y =  x²-4x+4 -> y = (1)²-4(1)+4 -> y = 1-4+4 -> y = 1  (1, 1)

Si x = 2 -> y =  x²-4x+4 -> y = (2)²-4(2)+4 -> y = 4-8+4 -> y = 0  (2, 0)  (raíz₁=2 ; raíz₂=2)

Si x = 3 -> y =  x²-4x+4 -> y = (3)²-4(3)+4 -> y = 9-12+4 -> y = 1  (3, 1)

Si x = 4 -> y =  x²-4x+4 -> y = (4)²-4(4)+4 -> y = 16-16+4 -> y = 4  (4, 4)

Si x = 5 -> y =  x²-4x+4 -> y = (5)²-4(5)+4 -> y = 25-20+4 -> y = 9  (5, 9)

Gráficamente sería:

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Ejemplo e) Representar gráficamente las variaciones de y = x²-2x+3

Por ser el discriminante del trinomio  b²-4ac = (-2)²-4(1)(3) = 4-12 = -8, las raíces son imaginarias.   

Si -b/2a = -(-2)/2(1) = 2/2 = 1

-> 4ac-b² / 4a = 4(1)(3)-(-2)² / 4(1) = 12-4 /4 = 8/4 = 2  Valor mínimo.

Entonces:

Si x = -2 ⇒ y =  x²-2x+3 ⇒ y = (-2)²-2(-2)+3 ⇒ y = 4+4+3   ⇒ y = 11   (-2, 11)

Si x = -1 ⇒ y =  x²-2x+3 ⇒ y = (-1)²-2(-1)+3 ⇒ y = 1+2+3   ⇒ y = 6     (-1,  6)

Si x =  0 ⇒ y =  x²-2x+3 ⇒ y = (0)²-2(0)+3    ⇒ y = 0+0+3   ⇒ y = 3     (0,  3)

Si x = 1 ⇒ y =  x²-2x+3 ⇒ y = (1)²-2(1)+3     ⇒ y = 1-2+3   ⇒ y = 2     (1,  2)  Valor mínimo

Si x = 2 ⇒ y =  x²-2x+3 ⇒ y = (2)²-2(2)+3     ⇒ y = 4-4+3   ⇒ y = 3     (2,  3)

Si x = 3 ⇒ y =  x²-2x+3 ⇒ y = (3)²-2(3)+3     ⇒ y = 9-6+3   ⇒ y = 6     (3, 6 )

Si x = 4 ⇒ y =  x²-2x+3 ⇒ y = (4)²-2(4)+3     ⇒ y = 16-8+3 ⇒ y = 11   (4, 11)

Gráficamente sería:

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Ejemplo f) Representar gráficamente las variaciones de y = -x²+2x+8

Por ser el discriminante del trinomio  b²-4ac = (2)²-4(-1)(8) = 4+32 = 36 positivo, las raíces son reales y desiguales.   

Si -b/2a = -(2)/2(-1) = -2/-2 = 1

-> 4ac-b² / 4a = 4(-1)(8)-(2)² / 4(-1) = -32-4 /-4 = -36/-4 = 9 Valor máximo.

Entonces:

Si x = -2 ⇒ y =  -x²+2x+8 ⇒ y = -(-2)²+2(-2)+8 ⇒ y = -4-4+8  ⇒ y = 0   (-2, 0)

Si x = -1 ⇒ y =  -x²+2x+8 ⇒ y = -(-1)²+2(-1)+8 ⇒ y = -1-2+8  ⇒ y = 5   (-1, 5)

Si x = 0 ⇒ y =  -x²+2x+8 ⇒ y = -(0)²+2(0)+8 ⇒ y = 0+0+8  ⇒ y = 8   (0, 8)

Si x = 1 ⇒ y =  -x²+2x+8 ⇒ y = -(1)²+2(1)+8 ⇒ y = -1+2+8  ⇒ y = 9   (1, 9)  Valor máximo.

Si x = 2 ⇒ y =  -x²+2x+8 ⇒ y = -(2)²+2(2)+8 ⇒ y = -4+4+8  ⇒ y = 8   (2, 8)

Si x = 3 ⇒ y =  -x²+2x+8 ⇒ y = -(3)²+2(3)+8 ⇒ y = -9+6+8  ⇒ y = 5  (3, 5)

Si x = 4 ⇒ y =  -x²+2x+8 ⇒ y = -(4)²+2(4)+8 ⇒ y = -16+8+8  ⇒ y = 0   (4, 0)

Gráficamente sería:

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Ejercicio 281.

Representar los siguientes trinomios y estudias sus variaciones.

1) x²-3x+2

Por ser el discriminante del trinomio b²-4ac = (-3)²-4(1)(2) = 9-8 = 1 positivo, las raíces son reales y desiguales.  

Si -b/2a = -(-3)/2(1) = -9/2 

-> 4ac-b² / 4a = 4(1)(2)-(-3)² / 4(1) = 8-9 /4 = -1/4 = -1/4  ⇽Valor mínimo.

Entonces:

Si x = -2 ⇒ y =(-2)² -3(-2) +2  ⇒ y = 4+6+2 ⇒ y = 12    (-2, 12)

Si x = -1 ⇒ y =(-1)² -3(-1) +2  ⇒ y = 1+3+2 ⇒ y = 6    (-1, 6)

Si x = 0 ⇒ y =(0)² -3(0) +2  ⇒ y = 0+0+2 ⇒ y = 2    (0, 2)

Si x = 1 ⇒ y =(1)² -3(1) +2  ⇒ y = 1-3+2 ⇒ y = 0    (1, 0)

Si x = 1.5 ⇒ y =(1.5)² -3(1.5) +2  ⇒ y = 2.25-4.5+2 ⇒ y = -0.25    (1.5, -0.25) V. mínimo.

Si x = 2 ⇒ y =(2)² -3(2) +2  ⇒ y = 4-6+2 ⇒ y = 0    (2, 0)

Si x = 3 ⇒ y =(3)² -3(3) +2  ⇒ y = 9-9+2 ⇒ y = 2    (3, 2)

Si x = 4 ⇒ y =(4)² -3(4) +2  ⇒ y = 16-12+2 ⇒ y = 6    (4, 6)

Si x = 5 ⇒ y =(5)² -3(5) +2  ⇒ y = 25-15+2 ⇒ y = 12    (5, 12)

Gráficamente sería:

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2) x²+3x+2

Por ser el discriminante del trinomio b²-4ac = (3)²-4(1)(2) = 9-8 = 1 positivo, las raíces son reales y desiguales.  

Si -b/2a = -(3)/2(1) = -3/2 

-> 4ac-b² / 4a = 4(1)(2)-(3)² / 4(1) = 8-9 /4 = -1/4 = -1/4  ⇽Valor mínimo.

Entonces:

Si x =  -4 ⇒ y =(-4)² +3(-4) +2  ⇒ y = 16-12+2 ⇒ y = 6    (-4, 6)

Si x =  -3 ⇒ y =(-3)² +3(-3) +2  ⇒ y = 9-9+2 ⇒ y = 2    (-3, 2)

Si x =  -2 ⇒ y =(-2)² +3(-2) +2  ⇒ y = 4-6+2 ⇒ y = 0    (-2, 0)

Si x =  -1 ⇒ y =(-1)² +3(-1) +2  ⇒ y = 1-3+2 ⇒ y = 0    (-1, 0)

Si x =   0 ⇒ y =(0)² +3(0) +2  ⇒ y = 0+0+2 ⇒ y = 2    (0, 2)

Si x =   1 ⇒ y =(1)² +3(1) +2  ⇒ y = 1+3+2 ⇒ y = 6    (1, 6)

Si x =-0.25 ⇒ y =(-0.25)² +3(-0.25) +2  ⇒ y = 0.25 -0.75+2 ⇒ y = 1.5    (-0.25, 1.5)

Si x =   2 ⇒ y =(2)² +3(2) +2  ⇒ y = 4+6+2 ⇒ y = 14    (2, 14)

Si x =   3 ⇒ y =(3)² +3(3) +2  ⇒ y = 9+9+2 ⇒ y = 20    (3, 20)

La gráfica es:

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3)  x²+3x-10

Por ser el discriminante del trinomio b²-4ac = (3)²-4(1)(-10) = 9+40 = 49  positivo, las raíces son reales y desiguales.  

Si -b/2a = -(3)/2(1) = -3/2 

-> 4ac-b² / 4a = 4(1)(-10)-(3)² / 4(1) = -40-9 /4 = -49/4  ó -12.25  ⇽Valor mínimo.

Entonces:

Si x = -5 ⇒ y =(-5)² +3(-5) -10  ⇒ y = 25-15-10 ⇒ y = 0    (-5, 0)

Si x = -4 ⇒ y =(-4)² +3(-4) -10  ⇒ y = 16-12-10 ⇒ y = -6    (-4, -6)

Si x = -3 ⇒ y =(-3)² +3(-3) -10  ⇒ y = 9-9-10 ⇒ y = -10    (-3, -10)

Si x = -2 ⇒ y =(-2)² +3(-2) -10  ⇒ y = 4-6-10 ⇒ y = -12    (-2, -12)

Si x = -1 ⇒ y =(-1)² +3(-1) -10  ⇒ y = 1-3-10 ⇒ y = -12    (-1, -12)

Si x = 0 ⇒ y =(0)² +3(0) -10  ⇒ y = 0+0-10 ⇒ y = -10    (0, -10)

Si x = 1 ⇒ y =(1)² +3(1) -10  ⇒ y = 1+3-10 ⇒ y = -6    (1, -6)

Si x = 2 ⇒ y =(2)² +3(2) -10  ⇒ y = 4+6-10 ⇒ y = 0    (2, 0)

Gráficamente sería:

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5) x²-2x+1

Por ser el discriminante del trinomio b²-4ac = (-2)²-4(1)(1) = 4-4 = 0, las raíces son iguales.  

Si -b/2a = -(-2)/2(1) = -2/2 = -1 

-> 4ac-b² / 4a = 4(1)(1)-(-2)² / 4(1) = 4-4 /4 = 0/4  = 0  ⇽No hay valor mínimo ni máximo

Entonces:

Si x = -2 ⇒ y =(-2)² -2(-2) +1  ⇒ y = 4+4+1 ⇒ y = 9    (-2, 9)

Si x = -1 ⇒ y =(-1)² -2(-1) +1  ⇒ y = 1+2+1 ⇒ y = 4    (-1, 4)

Si x =  0 ⇒ y =(0)² -2(-0) +1  ⇒ y = 0+0+1 ⇒ y = 1    (0, 1)

Si x =  1 ⇒ y =(1)² -2(1) +1  ⇒ y = 1-2+1 ⇒ y = 0    (1, 0)     (raíz₁=1 ; raíz₂=1)

Si x =  2 ⇒ y =(2)² -2(2) +1  ⇒ y = 4-4+1 ⇒ y = 1    (2, 1)

Si x =  3 ⇒ y =(3)² -2(3) +1  ⇒ y = 9-6+1 ⇒ y = 4    (3, 4)

La gráfica es:

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7) -x²-4x+5

Por ser el discriminante del trinomio b²-4ac = (-4)²-4(-1)(5) = 16+20 = 36 positivo, las raíces son reales y desiguales.  

Si -b/2a = -(-4)/2(-1) = 4/-2 = -2

-> 4ac-b² / 4a = 4(-1)(5)-(-4)² / 4(-1) = -20-16 /-4 = -36/-4  = 9  ⇽Valor máximo. ("a" es negativa)

Entonces:

Si x = -5 ⇒ y = -(-5)² -4(-5)+5  ⇒ y = -25+20+5 ⇒ y = 0    (-5, 10)

Si x = -4 ⇒ y = -(-4)² -4(-4)+5  ⇒ y = -16+16+5 ⇒ y = 5    (-4, 5)

Si x = -3 ⇒ y = -(-3)² -4(-3)+5  ⇒ y = -9+12+5 ⇒ y = 8    (-3, 8)

Si x = -2 ⇒ y = -(-2)² -4(-2)+5  ⇒ y = -4+8+5 ⇒ y = 9    (-2, 9)   Valor máximo.

Si x = -1 ⇒ y = -(-1)² -4(-1)+5  ⇒ y = -1+4+5 ⇒ y = 8    (-1, 8 )

Si x = 0 ⇒ y = -(0)² -4(0)+5  ⇒ y = 0+0+5 ⇒ y = 5     (0, 5)

Si x = 1 ⇒ y = -(1)² -4(1)+5  ⇒ y = -1-4+5 ⇒ y = 0     (1, 0)

La gráfica es:

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10) -x²+2x+15

Por ser el discriminante del trinomio b²-4ac = (2)²-4(-1)(15) = 4+60 = 64 positivo, las raíces son reales y desiguales.  

Si -b/2a = -(2)/2(-1) = -2/-2 = 1

-> 4ac-b² / 4a = 4(-1)(15)-(2)² / 4(-1) = -60-4 /-4 = -64/-4  = 16  ⇽Valor máximo. ("a" es negativa)

Entonces:

Si x = -3 ⇒ y = -(-3)² +2(-3)+15  ⇒ y = -9-6+15 ⇒ y = 0    (-3, 0)

Si x = -2 ⇒ y = -(-2)² +2(-2)+15  ⇒ y = -4-4+15 ⇒ y = 7    (-2, 7)

Si x = -1 ⇒ y = -(-1)² +2(-1)+15  ⇒ y = -1-2+15 ⇒ y = 12    (-1, 12)

Si x =  0 ⇒ y = -(0)² +2(0)+15  ⇒ y = 0+0+15 ⇒ y = 15    (0, 15)

Si x =  1 ⇒ y = -(1)² +2(1)+15  ⇒ y = -1+2+15 ⇒ y =16    (1, 16)  Valor máximo.

Si x =  2 ⇒ y = -(2)² +2(2)+15  ⇒ y = -4+4+15 ⇒ y = 15    (2, 15)

Si x =  3 ⇒ y = -(3)² +2(3)+15  ⇒ y = -9+6+15 ⇒ y = 12    (3, 12)

Si x =  4 ⇒ y = -(4)² +2(4)+15  ⇒ y = -16+8+15 ⇒ y = 7    (4, 7)

Si x =  5 ⇒ y = -(5)² +2(5)+15  ⇒ y = -25+10+15 ⇒ y = 0    (5, 0)

La gráfica es:

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11) 2x²-x-15

Por ser el discriminante del trinomio b²-4ac = (-1)²-4(2)(-15) = 1+120 = 121 positivo, las raíces son reales y desiguales.  

Si -b/2a = -(-1)/2(2) = 1/4 

-> 4ac-b² / 4a  = 4(2)(-15)-(-1)² / 4(2) = -120-1 /8 = -121/8  = -15.12  ⇽Valor mínimo. 

Entonces:

Si x = -2.5 ⇒ y = 2(-2.5)² -1(-2.5)-15 ⇒ y = 12.5+2.5-15 ⇒ y = 0    (-2, -0)

Si x = -2 ⇒ y = 2(-2)² -1(-2)-15 ⇒ y = 8+2-15 ⇒ y = -5    (-2, -5)

Si x = -1 ⇒ y = 2(-1)² -1(-1)-15 ⇒ y = 2+1-15 ⇒ y = -12    (-1, -12)

Si x =  0 ⇒ y = 2(0)² -1(0)-15 ⇒ y = 0+0-15 ⇒ y = -15    (0, -15)

Si x = 0.25 ⇒  y = 2(0.25)² -1(0.25)-15 ⇒  y = 0.12-0.25-15 ⇒ y = -15.12 Valor mínimo

Si x = 0.5 ⇒  y = 2(0.5)² -1(0.5)-15 ⇒  y = 0.5-0.5-15 ⇒ y = -15

Si x =  1 ⇒ y = 2(1)² -1(1)-15 ⇒ y = 2-1-15 ⇒ y = -14    (1, -14)

Si x =  2 ⇒ y = 2(2)² -1(2)-15 ⇒ y = 8-2-15 ⇒ y = -9    (2, -9)

Si x =  3 ⇒ y = 2(3)² -1(3)-15 ⇒ y = 18-3-15 ⇒ y = 0    (3, 0)

La gráfica es:

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12)  -3x²+7x+20

Por ser el discriminante del trinomio b²-4ac = (7)²-4(-3)(20) = 49+240 = 289  positivo, las raíces son reales y desiguales.  

Si -b/2a = -(7)/2(-3) = -7/-6 = 7/6

-> 4ac-b² /4a = 4(-3)(20)-(7)² / 4(-3) = -240-49 /-12 = -289/-12 = 20.08  ⇽Valor máximo. ("a" es negativa)

Entonces:

Si x = -1 ⇒ y = -3(-1)² +7(-1)+20  ⇒ y = -3-7+20 ⇒ y = 10    (-1, 10)

Si x = -1.6666 ⇒ y = -3(-1.6666)² +7(-1.6666)+20  ⇒ y = -8.33-11.67+20 ⇒ y = 0    (-1.67,0)

Si x =  1 ⇒ y = -3(1)² +7(1)+20  ⇒ y = -3+7+20 ⇒ y = 24    (1, 24)   

Si x =  1.16 ⇒ y = -3(1.16)² +7(1.16)+20  ⇒ y = -4.04+8.12+20 ⇒ y = 24    (1.16, 24.08) P. máximo

Si x =  1.33 ⇒ y = -3(1.33)² +7(1.33)+20  ⇒ y = -5.31+9.31+20 ⇒ y = 24    (1.33, 24)

Si x =  3.33 ⇒ y = -3(3.33)² +7(3.33)+20  ⇒ y = -33.27+23.31+20 ⇒ y = 10    (3.33, 10)

Si x =  4 ⇒ y = -3(4)² +7(4)+20  ⇒ y = -48+28+20 ⇒ y = 0     (4,0)

La gráfica es:

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