Toda ecuación de primer grado con tres variables representa un plano tridimensional.
Su expresión es Ax +By +Cz = D.
Los segmentos (---) 0A, 0B, 0C son las trazas (líneas trazadas) del plano sobre los ejes.
Los puntos A, B, y C, donde el plano intersecta a los ejes X, Y y Z, tienen dos coordenadas nulas o con valor cero.
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Ejemplos.
a) Representa la ecuación 4x +3y +2z = 12
Hallando las trazas del plano sobre los ejes:
Plano 0X:
y = 0, z = 0 ⇒ 4x +3(0) +2(0) = 12 ⇒ 4x = 12 ⇒ x = 3
El punto es (3, 0, 0)
Plano 0Y:
x = 0, z = 0 ⇒ 4(0) +3y +2(0) = 12 ⇒ 3y = 12 ⇒ y = 4
El punto es (0, 4, 0)
Plano 0Z:
x = 0, y = 0 ⇒ 4(0) +3(0) +2z = 12 ⇒ 2z = 12 ⇒ z = 6
El punto es (0, 0, 6)
Graficando los puntos y uniéndolos para encontrar el plano que representa a la ecuación:
La gráfica sería:
b) Representar gráficamente 4x +5y +8z = 20
Hallando las trazas del plano sobre los ejes:
Plano 0X:
y = 0, z = 0 ⇒ 4x +3(0) +2(0) = 20 ⇒ 4x = 20 ⇒ x = 5
El punto es (5, 0, 0)
Plano 0Y:
x = 0, z = 0 ⇒ 4(0) +5y +2(0) = 20 ⇒ 5y = 20 ⇒ y = 4
El punto es (0, 4, 0)
Plano 0Z:
x = 0, y = 0 ⇒ 4(0) +3(0) +8z = 20 ⇒ 8z = 20 ⇒ z = 2.5
El punto es (0, 0, 2.5)
y su gráfica:
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Ejercicio 190.
Representar gráficamente las ecuaciones:
1) 3x +6y +2z = 6
Plano 0X:
y = 0, z = 0 ⇒ 3x +6(0) +2(0) = 6 ⇒ 3x = 6 ⇒ x = 2
El punto es (2, 0, 0)
Plano 0Y:
x = 0, z = 0 ⇒ 3(0) +6y +2(0) = 6 ⇒ 6y = 6 ⇒ y = 1
El punto es (0, 1, 0)
Plano 0Z:
x = 0, y = 0 ⇒ 3(0) +6(0) +2z = 6 ⇒ 2z = 6 ⇒ z = 3
El punto es (0, 0, 3)
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2) 2x +y +4z = 4
Plano 0X:
y = 0, z = 0 ⇒ 2x +1(0) +4(0) = 4 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2
El punto es (2, 0, 0)
Plano 0Y:
x = 0, z = 0 ⇒ 2(0) +y +4(0) = 4 ⇒ y = 4
El punto es (0, 4, 0)
Plano 0Z:
x = 0, y = 0 ⇒ 2(0) +1(0) +4z = 4 ⇒ 4z = 4 ⇒ z = 1
El punto es (0, 0, 1)
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3) 4z +6y +3z = 12
Plano 0X:
y = 0, z = 0 ⇒ 4x +6(0) +3(0) = 12 ⇒ 4x = 12 ⇒ x = 3
El punto es (3, 0, 0)
Plano 0Y:
x = 0, z = 0 ⇒ 4(0) +6y +3(0) = 12 ⇒ 6y = 12 ⇒ y = 2
El punto es (0, 2, 0)
Plano 0Z:
x = 0, y = 0 ⇒ 4(0) +6(0) +3z = 12 ⇒ 3z = 12 ⇒ z = 4
El punto es (0, 0, 4)
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4) 15x +6y +5z = 30
Plano 0X:
y = 0, z = 0 ⇒ 15x +6(0) +5(0) = 30 ⇒ 15x = 30 ⇒ x = 2
El punto es (2, 0, 0)
Plano 0Y:
x = 0, z = 0 ⇒ 15(0) +6y +5(0) = 30 ⇒ 6y = 30 ⇒ y = 5
El punto es (0, 5, 0)
Plano 0Z:
x = 0, y = 0 ⇒ 15(0) +6(0) +5z = 30 ⇒ 5z = 30 ⇒ z = 6
El punto es (0, 0, 6)
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5) 2x +y +3z = 6
Plano 0X:
y = 0, z = 0 ⇒ 2x +1(0) +3(0) = 6 ⇒ 2x = 6 ⇒ x = 3
El punto es (3, 0, 0)
Plano 0Y:
x = 0, z = 0 ⇒ 2(0) +y +3(0) = 6 ⇒ y = 6 ⇒ y = 6
El punto es (0, 6, 0)
Plano 0Z:
x = 0, y = 0 ⇒ 2(0) +1(0) +3z = 6 ⇒ 3z = 6 ⇒ z = 2
El punto es (0, 0, 2)
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6) 15x +10y +6z = 30
Plano 0X:
y = 0, z = 0 ⇒ 15x +10(0) +6(0) = 30 ⇒ 15x = 30 ⇒ x = 2
El punto es (2, 0, 0)
Plano 0Y:
x = 0, z = 0 ⇒ 15(0) +10y +6(0) = 30 ⇒ 10y = 30 ⇒ y = 3
El punto es (0, 3, 0)
Plano 0Z:
x = 0, y = 0 ⇒ 15(0) +10(0) +6z = 30 ⇒ 6z = 30 ⇒ z = 5
El punto es (0, 0, 5)
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7) 14x +10y +5z = 35
Plano 0X:
y = 0, z = 0 ⇒ 14x +10(0) +5(0) = 35 ⇒ 14x = 35 ⇒ x = 2.5
El punto es (2.5, 0, 0)
Plano 0Y:
x = 0, z = 0 ⇒ 14(0) +10y +5(0) = 35 ⇒ 10y = 35 ⇒ y = 3.5
El punto es (0, 3.5, 0)
Plano 0Z:
x = 0, y = 0 ⇒ 14(0) +10(0) +5z = 35 ⇒ 5z = 35 ⇒ z = 7
El punto es (0, 0, 7)
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8) 3x +y +2z = 10
Plano 0X:
y = 0, z = 0 ⇒ 3x +1(0) +2(0) = 10 ⇒ 3x = 10 ⇒ x = 3.3
El punto es (3.3, 0, 0)
Plano 0Y:
x = 0, z = 0 ⇒ 3(0) +y +2(0) = 10 ⇒ y = 10
El punto es (0, 10, 0)
Plano 0Z:
x = 0, y = 0 ⇒ 3(0) +1(0) +2z = 10 ⇒ 2z = 10 ⇒ z = 5
El punto es (0, 0, 5)
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9) 4x +2y +3z = 18
Plano 0X:
y = 0, z = 0 ⇒ 4x +2(0) +3(0) = 18 ⇒ 4x = 18 ⇒ x = 4.5
El punto es (4.5, 0, 0)
Plano 0Y:
x = 0, z = 0 ⇒ 4(0) +2y +3(0) = 18 ⇒ 2y = 18 ⇒ y = 9
El punto es (0, 9, 0)
Plano 0Z:
x = 0, y = 0 ⇒ 4(0) +2(0) +3z = 18 ⇒ 3z = 18 ⇒ z = 6
El punto es (0, 0, 6
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10) 15x+20y +24z = 120
Plano 0X:
y = 0, z = 0 ⇒ 15x +20(0) +24(0) = 120 ⇒ 15x = 120 ⇒ x = 8
El punto es (8, 0, 0)
Plano 0Y:
x = 0, z = 0 ⇒ 15(0) +20y +24(0) = 120 ⇒ 20y = 120 ⇒ y = 6
El punto es (0, 6, 0)
Plano 0Z:
x = 0, y = 0 ⇒ 15(0) +20(0) +24z = 120 ⇒ 24z = 120 ⇒ z = 15
El punto es (0, 0, 5)
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