Ecuaciones literales de 2º grado con una incógnita.

.     x² +ax = 20a²  --> x² +ax -20a² = 0 

Estas se resuelven igual que las ecuaciones numéricas, por la fórmula general o por descomposición de factores.

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Ejemplos:

a) Resolver, por la fórmula general, la ecuación 3a/x -2x/a = 1

> Quitando denominadores:

El m.c.m. de  x ,  a   es   ax

> Aplicando el m.c.m.  es =

3a²-2x² = ax

> Simplificando la ecuación:

-2x²-ax+3a²

2x²+ax-3a²

> Aplicando la fórmula:

x = [-(a)±√(a)²-4(2)(-3a²)]/2(2)

x = [-a±√a²+24a²]/4

x = [-a±√25a²]/4

x = [-a±5a]/4

Entonces:

x₁ = (-a+5a)/4 = 4a/4 = a

x₂ = (-a-5a)/4 = -6a/4 = -³̷₂a

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b) Resolver, por factorización,  2x²-4ax+bx= 2ab

> Transponiendo términos:

2x²-4ax+bx-2ab = 0

> Aplicando Caso II (Factor Común por agrupación de términos)

(2x²-4ax)+(bx-2ab) = 0

2x(x-2a)+b(x-2a) = 0

(x-2a)(2x+b)

> Igualando los factores a cero (0):

x-2a = 0  -->  x₁ = 2a.

2x+b = 0  --> x₂ = - b/2

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Ejercicio 270.

Resolver las ecuaciones:

1) x²+2ax-35a²

a)> Aplicando la fórmula general:

x = [-(2a)±√(2a)²-4(1)(-35)]2(1)

x = [-2a±√4a²+140a²]/2

x = [-2a±√144a²]/2

x = [-2a±12a]/2

Entonces:

x₁ = (-2a+12a)/2 = 10a/2 = 5a.

x₂ = (-2a-12a)/2 = -14a/2 = -7a.

b) > Por factorización es: (Caso VI de Factorización)

x²+2ax-35a²

(x+7a)(x-5a) = 0

>Igualando los factores a cero (0):

x+7a = 0  -->  x₁ = -7a.

x -5a = 0 -->  x₂ = 5a.

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2) 10x² = 36a²-37ax

> Transponiendo términos y ordenando:

10x²+37ax-36a² = 0

a) Por la fórmula general :

x = [-(37a)±√(37a)²-4(10)(-36a²)]/2(10)

x = [-37a±√1369a²+1440a²]/20

x = [-37a±√2809a²]/20

x = [-37a±53a]/20

Entonces:

x₁ = (-37a+53a)/20 = 16a/20 = ⅘a

x₂ = (-37a -53a)/20 = - 90a/20 = - ⁹̷₂a

b) Por factorización: (caso VII de Factorización)

(10x)²+37a(10x)-360a² = 0

(10x+45a)(10x-8a) = 0

----  5               2

(2x+9a)(5x-4a) = 0

> Igualando los factores a cero (0):

2x+9a = 0  -->  x₁ = - ⁹̷₂a

5x -4a = 0  -->  x₂ = ⅘a

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3) a²x²+abx-2b²

> Aplicando la fórmula general:

x = [-(ab)±√(ab)²-4(a²)(-2b²)]/2(a²)

x = [-ab±√a²b²+8a²b²]/2a²

x = [-ab±√9a²b²]/2a²

x = [-ab±3ab]/2a²

Entonces:

x₁ = (-ab+3ab)/2a² = 2ab/2a² = b/a

x₂ = (-ab-3ab)/2a² = -4ab/2a² = -2b/a

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4) 89bx = 42x²+22b²

> Ordenando y cambiando signo a la ecuación:

-42x²+89bx-22b² = 0

42x²-89bx+22b² = 0

> Aplicando la fórmula general:

x = [-(-89b)±√(-89b)²-4(42)(22b²)]/2(42)

x = [89b±√7921b²-3696b²]/84

x = [89b±√4225b²]/84

x = [89b±65b]/84

Entonces:

x₁ = (89b+65b)/84 = 154b/84 =11b/6

x₂ = (89b-65b)/84 = 24b/84 = 2b/7

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