Ecuaciones completas de 2º grado sin denominadores. Fórmula General.

.              7x² -12x +64 = 0

La Fórmula General es utilizada generalmente en Ecuaciones de la forma ax²±bx±c = 0.

x = [-b±√(b²-4ac)] / 2a

__________________________________________

Ejemplos:

E1) Resolver la ecuación 3x²-7x+2 = 0

> Se sustituyen los valores de “a”, “b” y “c” en la fórmula:

x = [-b±√(b²-4ac)] / 2a

x = [-(-7)±√(-7)²-4(3)(2)]/2(3)

= [7 ±√49-24]/6

= [7 ±√25]/6 = (7± 5)/6

--> x₁ = (7+ 5)/6 = 12/6 = 2

--> x₂ = (7- 5)/6 = 2/6 = 1/3

> Para comprobar las raíces encontradas se sustituyen los valores en la ecuación original:

> Sustituyendo “x” por el valor 2

3x²-7x+2 = 0
3(2)²-7(2)+2 = 0
12-14+2 = 0
0 = 0

> Sustituyendo “x” por el valor 1/3

3(1/3)²-7(1/3)+2 = 0

1/3 -7/3 +2 = 0
0 = 0
__________________________________________

E2) Resolver la ecuación 6x -x² -9 = 0

> Ordenando la ecuación:
-x²+6x-9 = 0

> Cambiando signos:
x²-6x+9 = 0

> Aplicando la fórmula general (tomando en cuenta que “a”, el coeficiente de x², es 1)

x = [-b ±√b²-4ac]/2a

x = [-(-6) ±√(-6)²-4(1)(9]/2(1)

x = [6 ±√36-36]/2

x = (6 ±√0)/2 = 6/2 = 3

En este tipo caso, “x” solo tiene un valor “3”, para las 2 raíces resultantes,
porque 6+0/2 = 6/2 = 3 y 6-0/2 = 6/2 = 3

por lo tanto x₁ = 3   y  x₂ = 3
___________________________________________

Ejercicio 265
Resolver las siguientes ecuaciones por la fórmula general:

1) 3x²-5x+2= 0

> Aplicando la fórmula general:

x=[-(-5)±√(-5)²-4(3)(2)]/2(3)

= [5 ±√25-24]/6

= [5 ±√1]/6  = (5±1)/6
--> x₁ = (5+ 1)/6 = 6/6  = 1
--> x₂ = (5- 1)/6 = 4/6  = 2/3
___________________________________________

2) 4x²+3x-22 = 0

> Aplicando la fórmula general:

x = [-(3) ±√(3)²-4(4)(-22)]/2(4)

x = [-3 ±√9+352]/8

x = [-3 ±√361]/8

x = (-3 ±19)/8

--> x₁ = (-3+ 19)/8 =16/8 = 2
--> x₂ = (-3- 19)/8 = (-22)/8 = -11/4
___________________________________________

3) x²+11x = -24

> Ordenando:
x²+11x+24 = 0

> Aplicando la fórmula general:

x =[-(11)±√(11)²-4(1)(24)]/2(1)

x = [-11±√(121-96)]/2

x = [-11±√25]/2

x = (-11±5)/2

--> x₁ = (-11+ 5)/2 = (-6)/2  = -3
--> x₂ = (-11- 5)/2 = (-16)/2  = -8
___________________________________________

5) 12x-4-9x² = 0

> Ordenando:
-9x²+12x-4 = 0

> Cambiando los signos:
9x²-12x+4 = 0

> Aplicando la fórmula general:

x = [-(-12)±√(-12)²-4(9)(4)]/2(9)

x = [12 ±√(144-144)]/18

x = [12 ±√0/18

x = (12 ±0)/18

--> x₁ = (12+0)/18 =12/18 = 2/3
--> x₂ = (12- 0)/18 =12/18 = 2/3
____________________________________________