Término General de un Binomio a la n,

La fórmula del término general de un binomio elevado a la "n", nos permite hallar directamente cualquier término del desarrollo de un binomio elevado a una potencia "n"; sin necesidad de encontrar los términos anteriores.

Partiendo de la fórmula


se establece la fórmula para el término general, que es:



De acuerdo a las leyes vistas en el desarrollo de un Binomio de Newton, se hallará el término que ocupa el lugar de "r" en el desarrollo de (a+b)ⁿ.

1) El numerador del coeficiente del término "r" es n(n-1)(n-2) ... hasta que haya r-1 factores.
2) El denominador es una factorial (1)(2)(3) ... que tiene r-1 factores.
3) El exponente de "a" es el exponente del binomio "n" menos (r-1)
4) El exponente de "b" es r-1.

Veamos unos ejemplos:

a) Hallar el 5º término del desarrollo de (3a+b)⁷

r = 5 -> lo preceden 4 términos o sea que r-1=5-1= 4, y como el número de término del binomio es 7.

> Entonces nuestro numerador sería: n(n-1)(n-2)(n-2) = (7)(7-1)(7-2)(7-3)= (7)(6)(5)(4)

> Nuestro denominador sería la factorial de r-1 = 4:   4! = (1)(2)(3)(4)

> El exponente de a:   

> El exponente de b:   

Con esto ya podemos formar nuestra fórmula y simplificarla:





   que es la Solución.
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b) Hallar el 6º término del desarrollo de (x²-2y)¹⁰

Si:  r = 6   -> r-1 = 6-1 = 5   y   n = 10

-->





   Solución.
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Ejercicio 212.
Hallar el

2) El 4º término de (a-4b)⁷

n = 7  ;  r = 4 --> r-1 = 3






  Solución.
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3) El 5º término de (1+x)¹¹

n = 11  ; r = 5 ->  r-1 = 5-1 = 4





   Solución.
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6) El 6º término de (2a - b/2)⁸

n = 8  ;   r = 6 ->  r-1 = 6-1 = 5





   Solución.
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9) El 10º término de (a²+b)¹⁵

n = 15  ;  r = 10 -> r-1 = 10-1 = 9




   Solución.
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Binomio de Newton. Potenciación.

El Binomio de Newton es una fórmula que sirve para calcular una potencia cualquiera de un binomio, cuyo exponente sea entero y positivo.

Se utilizan para este cálculo, los coeficientes de los términos del binomio; semejante a una sucesión de números combinatorios.
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Ver definiciones de apoyo sobre este tema en:
https://ejerciciosalgebrabaldor.blogspot.com/p/apoyos-la-tematica-de-algebra.html
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Para el desarrollo del binomio se deben cumplir las siguientes leyes:
Partiendo de (a+b)ⁿ

1) Cada desarrollo tiene un término más que el exponente del binomio.
2) El exponente de "a" en el primer término del desarrollo es igual al exponente del binomio, y en cada término posterior al primero disminuye 1.
3) El exponente de "b" en el segundo término del desarrollo es 1, y en cada término posterior a éste, aumenta en 1.
4) El coeficiente del primer término del desarrollo es 1 y el coeficiente del segundo término es igual al exponente de "a" en el primer primer término del desarrollo.
5) El coeficiente de cualquier término se obtiene multiplicando el coeficiente del término anterior por el exponente de "a" en dicho término anterior y dividiendo este producto por el exponente de "b" en ese mismo término aumentado en 1.
6) El último término del desarrollo es "b" elevado al exponente del binomio.
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Ejemplos:

a) Desarrollar (x+y)⁴

> Aplicando la ley del binomio:

1er. término: x⁴  (x elevada al exponente del binomio)
2º. término:  4x³y  (coeficiente igual al exponente del binomio; "x" elevada a 4-1=3 y "y " elevada a la 1.)
3er. término: 6x²y² (coeficiente igual a (4)(3)=12 /2 = 6; "x" a la 3-1=2 y "y" elevada 1 más 1= 2)
4º término:  4xy³  (coeficiente igual a (6)(2)=12 / 3= 4;  "x" a la 2-1=1 y "y" elevada a 2+1=3)
5º término: y⁴ (coeficiente igual a (4)(1)=4 / 4 = 1;  "x" elevada a la 1-1= 0 y  x⁰ es igual a 1; y "y" elevada a 3+1=4)

→ (x+y)⁴ = x⁴ + 4x³y +6x²y² +4xy³ +y⁴  Solución.
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b) Desarrollar  (a-2x)⁵

> Aplicando la ley del binomio:

(a-2x)⁵ = a⁵ - 5a⁴(2x) + 10a³(2x)² - 10a²(2x)³ + 5a(2x)⁴ - (2x)⁵

> Simplificando:

(a-2x)⁵ = a⁵ -10a⁴x + 40a³x² - 80a²x³ + 80ax⁴ -32x⁵  Solución.
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c) Desarrollar (2x² +3y⁴)⁵

> Aplicando la ley del binomio:

= (2x²)⁵ + 5(2x²)⁴(3y⁴) + 10(2x²)³(3y⁴)² + 10(2x²)²(3y⁴)³ + 5(2x²)(3y⁴)⁴ + (3y₄)⁵

> Simplificando:

= 32x¹⁰ +5(16x⁸)(3y⁴) + 10(8x⁶)(9y⁸) + 10(4x⁴)(27y¹²) + 5(2x²)(81y¹⁶) + 243y²⁰

= 32x¹⁰ +240x⁸y⁴ + 720x⁶y⁸ + 1080x⁴y¹² + 810x²y¹⁶ + 243y²⁰  Solución.
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d) Desarrollar (a⁵-b³/2)⁶

= (a⁵)⁶ - 6(a⁵)⁵(b³/2) + 15(a⁵)⁴(b³/2)² - 20(a⁵)³(b³/2)³ + 15(a⁵)²(b³/2)⁴ - 6(a⁵)(b³/2)⁵ + (b³/2)⁶

= a³⁰ - 6(a²⁵)(b³/2) +15(a²⁰)(b⁶/4) -20(a¹⁵)(b⁹/8) + 15(a¹⁰)(b¹²/16) -6(a⁵)(b¹⁵/32) + b¹⁸/64

= a³⁰ - 3a²⁵b³ +15/4 a³⁰b⁶ - 5/2 a¹⁵b⁹ + 15/16 a¹⁰b¹² - 3/16 a⁵b¹⁵ + 1/64 b¹⁸  Solución.
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Ejercicio 210.
Desarrollar:

4) (2x+5y)⁴

= (2x)⁴ + 4(2x)³(5y) + 6(2x)²(5y)² + 4(2x)(5y)³ + (5y)⁴

= 16x⁴ + 4(8x³)(5y) + 6(4x²)(25y²) + 4(2x)(125y³) + 625y⁴

= 16x⁴ + 160x³y + 600x²y² + 1000xy³ + 625y⁴  Solución.
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5) (a-3)⁶

= a⁶ - 6(a)⁵(3) + 15(a)⁴(3)² - 20(a)³(3)³ + 15(a)²(3)⁴ - 6(a)(3)⁵ + (3)⁶

= a⁶ - 18a⁵ + 135a⁴ - 540a³ + 1215a² - 1458a +729  Solución.
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7) (x²+2y³)⁵

= (x²)⁵ + 5(x²)⁴(2y³) + 10(x²)³(2y³)² +10(x²)²(2y³)³ + 5(x²)(2y³)⁴ + (2y³)⁵

= x¹⁰ + 5(x⁸)(2y³) +10(x⁶)(4y⁶) + 10(x⁴)(8y⁹) + 5(x²)(16y¹²) + 32y¹⁵

= x¹⁰ + 10x⁸y³ +40x⁶y⁶ + 80x⁴y⁹ + 80x²y¹² + 32y¹⁵  Solución.
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11) (2x-y/2)⁶

= (2x)⁶ - 6(2x)⁵(y/2) + 15(2x)⁴(y/2)² - 20(2x)³(y/2)³ + 15(2x)²(y/2)⁴ - 6(2x)(y/2)⁵ + (y/2)⁶

= 64x⁶ - 6(32x⁵)(y/2) + 15(16x⁴)(y²/4) - 20(8x³)(y³/8) + 15(4x²)(y⁴/16) - 6(2x)(y⁵/32) + 1/64y⁶

= 64x⁶ - 96x⁵y + 60x⁴y² - 20x³y³ + 15/4x²y⁴ - 3/8xy⁵ + 1/64y⁶   Solución.
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17) (x³-1)⁸

= (x³)⁸ - 8(x³)⁷(1) + 28(x³)⁶(1)² - 56(x³)⁵(1)³ + 70(x³)⁴(1)⁴ - 56(x³)³(1)⁵ +28 (x³)²(1)⁶ - 8(x³)(1)⁷ + (1)⁸

= x²⁴ - 8x²¹ + 28x¹⁸ - 56x¹⁵ + 70x¹² - 56x⁹ + 28x⁶ - 8x³ + 1  Solución.
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20) (¹/₂ x² + ²/³ y²)⁵

= (¹/₂ x²)⁵ + 5(¹/₂ x²)⁴(²/³ y²) +10 (¹/₂ x²)³(²/³ y²)² + 10(¹/₂ x²)²(²/³ y²)³ + 5(¹/₂ x²)(²/³ y²)⁴ + (²/³ y²)⁵

= ¹/₃₂ x¹⁰ + 5(¹/₁₆ x⁸)(²/³ y²) + 10(¹/⁸ x⁶)(⁴/₉ y⁴) + 10(¹/⁴ x⁴)(⁸/₂₇ y⁶) + 5(¹/₂ x²)(¹⁶/⁸₁ y⁸) + ³²/₂₄₃y¹⁰

= ¹/₃₂ x¹⁰ + ⁵/₂₄ x⁸y²) + ⁵/₉ x⁶y⁴) + ²⁰/₂₇ x⁴y⁶) + ⁴⁰/₈₁ x²y⁸) + ³²/₂₄₃ y¹⁰   Solución.
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Cubo de un polinomio. Potenciación.

Regla: 

El cubo de un polinomio es igual a la suma de los cubos de cada uno de sus términos, más (+) el triplo del cuadrado de cada uno por cada uno de los demás, más (+) el séxtuplo de las combinaciones ternarias que pueden formarse con sus términos.

(a+b+c)³ 
= (a³ + (b)³ + (c)³ + 3(a)²(b) + 3(a)²(c) + 3(b)²(a) +3(b)²(c) + 3(c)²(a)  + 3(c)²(b) + 6(a)(b)(c) 
[3 cubos ( )³, 6 triplos de combinaciones binarias 3()²(), un séxtuplo de combinación ternaria 6()()()] = 10

(a+b+c+d)³ 
= (a)³ + (b)³ + (c)³ + (d)³ + 3(a)²(b) + 3(a)²(c) + 3(a)²(d) + 3(b)²(a) + 3(b)²(c) + 3(b²)(d) + 3(c)²(a) + 3(c)(a) +3(c)(b) + 3(c)(d) + 3(d)(a) + 3(d)(b) + 3(d)(c)+ 6(a)(b)(c) +6(a)(b)(d) +6(b)(c)(d)
[4 cubos ( )³, 12 triplos de combinaciones binarias 3()²(), 4 séxtuplos de combinaciones ternarias, 6()()()] = 20
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Ejemplos:

a) Elevar al cubo x² -2x +1

(x² -2x +1)³

= (x²)³ + (-2x)³ + (1)³ + 3(x²)²(-2x) + 3(x²)²(1) + 3(-2x)²(x²) + 3(-2x)²(1) + 3(1)²(x²) + 3(1)²(-2x) + 6(x²)(-2x)(1)

= x⁶ -8x³ +1 + (-6x⁵) + (3x⁴) + (12x⁴) + (12x²) + (3x²) + (-6x) + (-12x³)

= x⁶ -8x³ +1 - 6x⁵ + 3x⁴ + 12x⁴ + 12x² + 3x² - 6x -12x³

= x⁶ - 6x⁵ + 15x⁴ - 20x³ + 15x²  - 6x  +1  Solución.
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b) Elevar al cubo  x³ - x² +2x -3

(x³ - x² +2x -3)³

= (x³)³ + (-x²)³ + (2x)³ + (-3)³ + 3(x³)²(- x²) + 3(x³)²(2x) + 3(x³)²(-3) + 3(- x²)²(x³) + 3(- x²)²(2x) + 3(- x²)²(-3) + 3(2x)²(x³) + 3(2x)²(-x²) + 3(2x)²(-3) + 3(-3)²(x³) + 3(-3)²(-x²) + 3(-3)²(2x) + 6(x³)(-x²)(2x) + 6(x³)(-x²)(-3) + 6(x³)(2x)(-3) + 6(-x²)(2x)(-3)

= x⁹ - x⁶ + 8x³ -27 + (-3x⁸) + (6x⁷) + (-9x⁶) + (3x⁷) + (6x⁵) + (-9x⁴) + (12x⁵) + (-12x₄) + (-36x²) + (27x³) + (-27x²) + (54x) + (-12x⁶) + (18x⁵) + (-36x⁴) + (36x³)

= x⁹ - x⁶ + 8x³ -27 - 3x⁸ + 6x⁷ - 9x⁶ + 3x⁷ + 6x⁵ - 9x⁴ + 12x⁵ - 12x⁴ - 36x² + 27x³ - 27x² + 54x - 12x⁶ + 18x⁵ - 36x⁴ + 36x³

= x⁹ - 3x⁸ + 9x⁷ - 22x⁶ + 36x⁵ - 57x⁴ + 71x³ - 63x² + 54x - 27  Solución.
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Ejercicio 209.
Elevar al cubo:

1)  x² +x +1

(x² +x +1)³

= (x²)³ + (x)³ + (1)³ + 3(x²)²(x) + 3(x²)²(1) + 3(x)²(x²) + 3(x)²(1) + 3(1)²(x²) + 3(1)²(x) + 6(x²)(x)(1)

= x⁶ +x³ +1 +3x⁵ + 3x⁴ + 3x⁴ + 3x² +3x² +3x + 6x³

= x⁶ +3x⁵ + 6x⁴ +7x³ + 6x² + 3x +1  Solución.
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5)  x³ -2x² -4

(x³ -2x² -4)³

= (x³)³ + (-2x²)³ + (-4)³ + 3(x³)²(-2x²) + 3(x³)²(-4) + 3(-2x²)²(x³) + 3(-2x²)²(-4) + 3(-4)²(x³) + 3(-4)²(-2x²) + 6(x³)(-2x²)(-4)

= x⁹ -8x⁶ -64 +(-6x⁸) +(-12x⁶) +(12x⁷) +(-48x⁴) +(48x³) +(-96x²) +(48x⁵)

= x⁹ -6x⁸ +12x⁷ -20x⁶ +48x⁵ -48x⁴ +48x³ -96x² -64  Solución.
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9)  a³ -a² +a -1

(a³ -a² +a -1)³

= (a³)³ + (-a²)³ + (a)³ + (-1)³ + 3(a³)²(-a²) + 3(a³)²(a) + 3(a³)²(-1) + 3(-a²)²(a³) + 3(-a²)²(a) + 3(-a²)²(-1) + 3(a)²(a³) + 3(a)²(-a²) + 3(a)²(-1) + 3(-1)²(a³) + 3(-1)²(-a²) + 3(-1)²(a) + 6(a³)(-a²)(a) + 6(a³)(-a²)(-1) + 6(a³)(a)(-1) + 6(-a²)(a)(-1)

= a⁹ -a⁶ +a³ -1 + (-3a⁸) + (3a⁷) + (-3a⁶) + (3a⁷) + (3a⁵) + (-3a⁴) + (3a⁵) + (-3a⁴) + (-3a²) + (3a³) + (-3a²) + (3a) + (-6a⁶) + (6a⁵) + (-6a⁴) + (6a³)

= a⁹ -a⁶ +a³ -1 - 3a⁸ + 3a⁷ - 3a⁶ + 3a⁷ + 3a⁵ - 3a⁴ + 3a⁵ - 3a⁴ - 3a² + 3a³ - 3a² + 3a - 6a⁶ + 6a⁵ - 6a⁴ + 6a³

= a⁹ - 3a⁸ + 6a⁷ -10a⁶ + 12a⁵ - 12a⁴ + 10a³ - 6a² + 3a - 1  Solución.
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11)  x³ -4x² +2x -3

(x³ -4x² +2x -3)³

= (x³)³ + (-4x²)³ + (2x)³ + (-3)³ + 3(x³)²(-4x²) + 3(x³)²(2x) + 3(x³)²(-3) + 3(-4x²)²(x³) + 3(-4x²)²(2x) + 3(-4x²)²(-3) + 3(2x)²(x³) + 3(2x)²(-4x²) + 3(2x)²(-3) + 3(-3)²(x³) + 3(-3)²(-4x²) + 3(-3)²(2x) + 6(x³)(-4x²)(2x) + 6(x³)(-4x²)(-3) + 6(x³)(2x)(-3) + 6(-4x²)(2x)(-3)

= x⁹ -64x⁶ + 8x³ -27 + (-12x⁸) + (6x⁷) + (-9x⁶) + (48x⁷) + (96x⁵) + (-144x⁴) + (12x⁵) + (-48x⁴) + (-36x²) + (27x³) + (-108x²) + (54x) +  (-48x⁶) + (72x⁵) + (-36x⁴) + (144x³)

= x⁹ - 64x⁶ + 8x³ - 27 - 12x⁸ + 6x⁷ - 9x⁶ + 48x⁷ + 96x⁵ - 144x⁴ + 12x⁵ - 48x⁴ - 36x² + 27x³ - 108x² + 54x - 48x⁶ + 72x⁵ - 36x⁴ + 144x³

= x⁹ - 12x⁸ + 54x⁷ - 121x⁶ + 180x⁵ - 228x⁴ + 179x³ - 144x² + 54x - 27  Solución.
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Nota: En la sección de respuestas del libro el cuarto término dice -112x⁶ , pero lo correcto es -121x⁶.  Si quieres verificarlo revisa nuevamente las operaciones desde donde proviene los valores x⁶.
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Cuadrado de un polinomio. Potenciación.

Regla:

El cuadrado de un polinomio es igual a la suma de los cuadrados de cada uno de sus términos más el duplo de cada combinación binaria que con ellos pueden formarse.

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Sobre las combinaciones se forman así:

Para (a+b+c)²: ... + el duplo del 1º por el 2º términos; + el duplo del 1º por el 3º términos; más el duplo del 2º por el 3º términos.

Para (a+b+c+d)² : ... + el duplo del 1º por el 2º;  + el duplo del 1º por el 3º; + el duplo del 1º por el 4º; + el duplo del 2º por el 3º;  + el duplo del 2º por el 4º; + el duplo del 3º por el 4º.

Para polinomios mayores de 5 términos se combina cada términos con los que le siguen.

Toma en cuenta que en ninguno de los polinomios se combinan los términos con sus anteriores.

En las combinaciones binarias se escriben los términos con su propio signo.

Para saber cuantas combinaciones binarias debe contener el polinomio, se calcula de la siguiente manera:

Por ejemplo: 

(a+b+c)² = (3-1) + (3-2) + (3-3) = 2+1+0 = 3 Combinaciones

(a+b+c+d)² = (4-1)+(4-2)+(4-3)+(4-4) = 3+2+1+0 = 6  Combinaciones

(a+b+c+d+e)² = (5-1)+(5-2)+(5-3)+(5-4)+(5-5)= 4+3+2+1+0= 10 combinaciones

Y así sucesivamente ...

Importante recordar la Ley de los Exponentes para Potencia de una Potencia y producto de potencias.

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Procedimiento:

1) Calcular el número de combinaciones binarias que tendrá el polinomio.
2) Desarrollar la regla de acuerdo al número de términos que tenga el polinomio.
3) Efectuar las operaciones que se formen.
4) Simplificar.
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Ejemplos:

a) Elevar al cuadrado  x² -3x +4

> Cuadrado del trinomio:
= (x² -3x +4)²

> Desarrollando el trinomio con base a la Regla:
= (x²)² + (-3x)² + (4)² + 2(x²)(-3x) + 2(x²)(4) + 2(-3x)(4)

> Efectuando operaciones y simplificando:
= x⁴ + 9x² +16 + (-6x³) + (8x²) + (-24x)

= x⁴ + 9x² +16 - 6x³ + 8x² -24x

= x⁴ - 6x³ + 17x² -24x +16  Solución.
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b) Desarrolar (3x³ -5x² -7)²

> Desarrollando el trinomio:
= (3x³)² + (-5x²)² + (-7)² +  2(3x³)(-5x²) + 2(3x³)(-7) + 2(-5x²)(-7)

> Efectuando operaciones y simplificando:
= 9x⁶ + 25x⁴ +49 + (-30x⁵) + (-42x³) + (70x²)

= 9x⁶ + 25x⁴ +49 - 30x⁵ - 42x³ + 70x²

= 9x⁶ - 30x⁵ + 25x⁴ - 42x³ + 70x² +49  Solución.
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c) Elevar al cuadrado a³ -3a² +4a -1

Cuadrado del polinomio : (a³ -3a² +4a -1)²

> Aplicando la Regla:
= (a³)² + (-3a²)² + (4a)² + (-1)² + 2(a³)(-3a²) + 2(a³)(4a) + 2(a³)(-1) + 2(-3a²)(4a) + 2(-3a²)(-1) + 2(4a)(-1)

> Efectuando operaciones y simplificando:
= a⁶ + 9a⁴ +16a² +1 + (-6a⁵) + (8a⁴) + (-2a³) + (-24a³) + (6a²) + (-8a)

= a⁶ + 9a⁴ +16a² +1 - 6a⁵ + 8a⁴ - 2a³ - 24a³ + 6a² - 8a

= a⁶ - 6a⁵ + 17a⁴ - 26a³ +22a² - 8a +1   Solución.
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Ejercicio 208.
Elevar al cuadrado:

5) 4a⁴ -3a² +5

(4a⁴ -3a² +5)²

= (4a⁴)² + (-3a² )² + (5)² + 2(4a⁴)(-3a² ) + 2(4a⁴)(5) + 2(-3a² )(5)

= 16a⁸ + 9a⁴ + 25 +(-24a⁶) + (40a⁴) + (-30a²)

= 16a⁸ + 9a⁴ + 25 - 24a⁶ + 40a⁴ - 30a²

= 16a⁸ - 24a⁶ + 49a⁴ - 30a² + 25   Solución.
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8)  5x⁴ -7x² +3x

(5x⁴ -7x² +3x)²

= (5x⁴)² + (-7x²)² + (3x)² + 2(5x⁴)(-7x²) + 2(5x⁴)(3x) + 2(-7x²)(3x)

= 25x⁸ + 49x⁴ + 9x² +(-70x⁶) + (30x⁵) + (-42x³)

= 25x⁸ + 49x⁴ + 9x² - 70x⁶ + 30x⁵ - 42x³

= 25x⁸ - 70x⁶ + 30x⁵ + 49x⁴ - 42x³ + 9x²   Solución.
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10) m³ -2m²n +2n⁴

(m³ -2m²n +2n⁴)²

= (m³)² + (-2m²n)² + (2n⁴)² + 2(m³)(-2m²n) + 2(m³)(2n⁴) + 2(-2m²n)(2n⁴)

= m⁶ + 4m⁴n² + 4n⁸ + (-4m⁵n) + (4m³n⁴) + (-8m²n⁵)

= m⁶ + 4m⁴n² + 4n⁸ - 4m⁵n + 4m³n⁴ - 8m²n⁵

= m⁶ - 4m⁵n + 4m⁴n² + 4m³n⁴ - 8m²n⁵ + 4n⁸  Solución.
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14) a/x -1/3 +x/a

(a/x -1/3 +x/a)²

= (a/x)² + (-1/3)² + (x/a)² + 2(a/x)(-1/3) + 2(a/x)(x/a) + 2(-1/3)(x/a)

= a²/x² + 1/9 + x²/a² + (-2a/3x) + (2ax/xa) + (-2x/a)

= a²/x² + 1/9 + x²/a² - 2a/3x + 2ax/xa - -2x/a

= a²/x² + 1/9 + x²/a² - 2a/3x + 2 - 2x/a

= a²/x² - 2a/3x + 2¹/₉ - 2x/a + x²/a²  Solución.
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15) ³/₄ a² -¹/₂ a +⁴/₅

(³/₄ a² -¹/₂ a +⁴/₅)²

= (³/₄ a²)² + (-¹/₂ a)² + (⁴/₅)² + 2(³/₄ a²)(-¹/₂ a) + 2(³/₄ a²)(⁴/₅) + 2(-¹/₂ a)(⁴/₅)

= 9a⁴/16 + a²/4 + ¹⁶/₂₅ +  (-3a³/4) + (6a²/5) + (-4a/5)

= 9a⁴/16 + a²/4 + ¹⁶/₂₅ - 3a³/4 + 6a²/5 - 4a/5

= 9a⁴/16 - 3a³/4 + 29a²/20 - 4a/5 + ¹⁶/₂₅  Solución.
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18) x³ - 3x² - 2x +2

(x³ - 3x² - 2x +2)²

= (x³)² + (- 3x²)² + (- 2x)² + (2)² + 2(x³)(- 3x²) + 2(x³)(- 2x) + 2(x³)(2) + 2(- 3x²)(- 2x) + 2(- 3x²)(2) + 2(- 2x)(2)

= x⁶ + 9x⁴ + 4x² +4 +(-6x⁵) + (-4x⁴) + (4x³) + (12x³) + (-12x²) + (-8x)

= x⁶ + 9x⁴ + 4x² +4  -6x⁵ - 4x⁴ + 4x³ + 12x³ - 12x² - 8x

= x⁶ -6x⁵ + 5x⁴ + 16x³ - 8x² - 8x +4  Solución.
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23) ¹/₂ a³ - ²/₃ a² + ³/₄ a - ¹/₂

(¹/₂ a³ - ²/₃ a² + ³/₄ a - ¹/₂)²

= (¹/₂ a³)² + (- ²/₃ a²)² + (³/₄ a)² + (- ¹/₂)² + 2(¹/₂ a³)(- ²/₃ a²) + 2(¹/₂ a³)(³/₄ a) + 2(¹/₂ a³)(- ¹/₂) + 2(- ²/₃ a²) (³/₄ a) + 2(- ²/₃ a²)(- ¹/₂) + 2(³/₄ a)(- ¹/₂)

= ¹/₄ a⁶ + ⁴/₉ a⁴ + ⁹/₁₆a² + ¹/₄ + (-²/₃ a⁵) + (³/₄ a⁴) + (-¹/₂ a³) + (-1 a³) + (²/₃ a²) + (-³/₄ a)

= ¹/₄ a⁶ + ⁴/₉ a⁴ + ⁹/₁₆a² + ¹/₄ - ²/₃ a⁵ + ³/₄ a⁴ - ¹/₂ a³ -1a³ + ²/₃ a² - ³/₄ a

= ¹/₄ a⁶ - ²/₃ a⁵ + ⁴³/₃₆ a⁴ - ³/₂ a³ + ⁵⁹/₄₈ a² - ³/₄ a + ¹/₄   Solución.
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24) x⁵ - x⁴ + x³ - x² + x - 2

(x⁵ -x⁴ +x³ -x² +x -2)²

= (x⁵)² + (-x⁴)² + (x³)² + (-x²)² + (x)² + (-2)² + 2(x⁵)(-x⁴) + 2(x⁵)(x³) + 2(x⁵)(-x²) + 2(x⁵)(x) + 2(x⁵)(-2) + 2(-x⁴)(x³) + 2(-x⁴)(-x²) + 2(-x⁴)(x) + 2(-x⁴)(-2) + 2(x³)(-x²) + 2(x³)(x) + 2(x³)(-2) + 2(-x²)(x) + 2(-x²)(-2) + 2(x)(-2)

= x¹⁰ +x⁸ +x⁶ + x⁴ + x² + 4 + (-2x⁹) + (2x⁸) + (-2x⁷) + (2x⁶) + (-4x⁵) + (-2x⁷) + (+2x⁶) + (-2x⁵) + (4x⁴) + (-2x⁵) + (2x⁴) + (-2x³) + (-2x³) + (4x²) + (-4x)

= x¹⁰ +x⁸ +x⁶ + x⁴ + x² + 4 - 2x⁹ + 2x⁸ - 2x⁷ + 2x⁶ - 4x⁵ - 2x⁷ + 2x⁶ -2x⁵ + 4x⁴ - 2x⁵ + 2x⁴ - 4x³ - 2x³ + 4x² -4x

= x¹⁰ -2x⁹ +3x⁸ -4x⁷ +5x⁶ -8x⁵ +7x⁴ -6x³ +5x² -4x +4

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Cubo de un Binomio. Potenciación.

En estos casos se trabaja como se hizo en el producto notable "Cubo de un Binomio"; la diferencia es que aquí los valores de los binomios son potencias y fracciones. Por lo que se recomienda tomar en cuenta la Ley de los Exponentes.

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Procedimiento:
1) Aplicar el producto notable Cubo de un Binomio.
2) Sustituir valores en el producto notable.
3) Efectuar las operaciones indicadas.
4) Simplificar para llegar a la solución.
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Regla:
(a+b)³ = (a)³ + 3(a)²(b) + 3(a)(b)² + (b)³
(a-b)³ = (a)³ - 3(a)²(b) + 3(a)(b)² - (b)³
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Ejemplos:

a) Desarrollar (4a³+5a²b²)³

> Aplicando la regla para (a+b)³ = (a)³ +3(a)²(b) +3(a)(b)² +(b)³

= (4a³)³ +3(4a³)²(5a²b²) +3(4a³)(5a²b²)² +(5a²b²)³

> Resolviendo las operaciones indicadas y simplificando:

= 64a⁹ +3(16a⁶)(5a²b²) +3(4a³)(25a⁴b⁴) +125a⁶b⁶

= 64a⁹ +240a⁸b² +300a⁷b⁴ +125a⁶b⁶  Solución.
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b) Desarrollar (3/5 x - 5/6 y²)³

> Aplicando la Regla para (a-b)³

= (3/5x)³ - 3(3/5x)²(5/6y²) + 3(3/5x)(5/6y²)² - (5/6y²)³

> Resolviendo las operaciones y simplificando:

= 27/125x³ - 3(9/25x²)(5/6y²) + 3(3/5x)(25/36y⁴) - 125/216y⁶

= 27/125x³ - 9/10x²y² + 5/4xy⁴ - 125/216y⁶  Solución.
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c) Desarrollar (2x³/5y - 10y⁴/3)³

> Aplicando la Regla para (a-b)³

= (2x³/5y)³ -3(2x³/5y)²(10y⁴/3) + 3(2x³/5y)(10y⁴/3)² - (10y⁴/3)³

> Resolviendo las operaciones y simplificando:

= 8x⁹/25y³ - 3(4x⁶/25y²)(10y⁴/3) +3(2x³/5y)(100y⁸/9) - 1000y¹²/27

= 8x⁹/25y³ - 120x⁶y⁴/75y² + 600x³y⁸/45y - 1000y¹²/27

= 8x⁹/25y³ - 8/5x⁶y² + 40/3x³y⁷ - 1000/27y¹²  Solución.
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Ejercicio 207.
Desarrollar:

1) (2a+3b)³

= (2a)³ + 3(2a)²(3b) + 3(2a)(3b)² + (3b)³

= 8a³ + 3(4a²)(3b) + 3(2a)(9b²) + 27b³

= 8a³ + 36a²b + 54ab² +27b³  Solución.
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3) (5x²+6y³)³

= (5x²)³ + 3(5x²)²(6y³) + 3(5x²)(6y³)² + (6y³)³

= 125x⁶ + 3(25x⁴)(6y³) + 3(5x²)(36y⁶) + 216y⁹

= 125x⁶ + 450x⁴y³ + 540x²y⁶ + 216y⁹   Solución.
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5) (7a⁴-5a²b³)³

= (7a⁴)³ - 3(7a⁴)²(5a²b³) + 3(7a⁴)(5a²b³)² - (5a²b³)³

= 343a¹² - 3(49a⁸)(5a²b³) + 3(7a⁴)(25a⁴b⁶) - 125a⁶b⁹

= 343a¹² - 735a¹⁰b³ + 525a⁸b⁶ - 125a⁶b⁹  Solución.
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8) (3a²b-5a³b²)³

= (3a²b)³ - 3(3a²b)²(5a³b²) + 3(3a²b)(5a³b²)² - (5a³b²)³

= 27a⁶b³ - 3(9a⁴b²)(5a³b²) +3(3a²b)(25a⁶b⁴) - 125a⁹b⁶

= 27a⁶b³ - 135a⁷b⁴ + 225a⁸b⁵ - 125a⁹b⁶   Solución.
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9) (1/2 a +2/3 b²)³

= (1/2a)³ + 3(1/2a)²(2/3b²) + 3(1/2a)(2/3b²)² + (2/3b²)³

= 1/8a³ + 3(1/4a²)(2/3b²) + 3(1/2a)(4/9b⁴) + 8/27b⁶

= 1/8a³ + 1/2a²b² + 2/3ab⁴ + 8/27b⁶   Solución.
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10)  (3/4a² - 4/5b²)³

= (3/4a²)³ - 3(3/4a²)²(4/5b²) + 3(3/4a²)(4/5b²)² - (4/5b²)³

= 27/64a⁶ - 3(9/16a⁴)(4/5b²) + 3(3/4a²)(16/25b⁴) - 64/125b⁶

= 27/64a⁶ - 27/20a⁴b² + 36/25a²b⁴ - 64/125b⁶
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16)  (3a/2b + 4b²/5)³

= (3a/2b)³ + 3(3a/2b)²(4b²/5) + 3(3a/2b)(4b²/5)² + (4b²/5)³

= 27a³/8b³ + 3(9a²/4b²)(4b²/5) + 3(3a/2b)(16b⁴/25) + 64b⁶/125

= 27a³/8b³ + 27a²b²/5b² + 72ab⁴/25b + 64b⁶/125

= 27a³/8b³ + 27a²/5 + 72ab³/25 + 64b⁶/125  Solución.
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18)  (1/6 m³ - 6n²/m²)³

= (1/6 m³)³ - 3(1/6 m³)²(6n²/m²) + 3(1/6 m³)(6n²/m²)² - (6n²/m²)³

= 1/216 m⁹ - 3(1/36 m⁶)(6n²/m²) + 3(1/6 m³)(36n⁴/m⁴) - 216n⁶/m⁶

= 1/216 m⁹ - 1m⁶n²/2m² + 18m³n⁴/m⁴ - 216n⁶/m⁶

= 1/216 m⁹ - 1/2 m⁴n² + 18n⁴/m - 216n⁶/m⁶  Solución.
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