Ecuaciones fraccionarias con denominadores monomios.

.                

Procedimiento:

1) Resolver operaciones indicadas en los numeradores o en los denominadores, o en ambos.

2) Suprimir los denominadores para convertir la ecuación fraccionaria en en una ecuación equivalente entera.

3) Para suprimir los denominadores se encuentra el m.c.m. de éstos, luego se divide el m.c.m. entre cada uno de los denominadores y el cociente se multiplica por su numerador  respectivo.

4) Se despeja la variable, transponiendo los términos semejantes: las variables al lado izquierdo de la ecuación y los valores conocidos al lado derecho; para luego reducir los términos semejantes hasta encontrar la solución.

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Ejemplo A) Resolver la ecuación  3x - 2x/5 = x/10 -7/4

>> Encontrando el m.c.m. de los denominadores: 1, 5, 10 y 4, que es 20

>> Suprimiendo denominadores:

20 ÷ 1= 20  --> 20(3x) = 60x

20 ÷ 5 =  4  --> 4(-2x) = -8x

20 ÷ 10  = 2  --> 2(x) = 2x

20 ÷ 4 = 5  --> 5(-7) = -35

>> La ecuación quedaría así:  60x-8x = 2x-35  (Ecuación Entera)

>> Transponiendo términos semejantes y reduciéndolos:

60x-8x=2x-35 --> 60x-8x-2x =-35

50x = -35

x = -35/50

x = -7/10   Solución.

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Ejemplo B) Resolver la ecuación  2x-1/3 - x+13/24 = 3x + 5(x+1)/8

>> Resolviendo operaciones:   5(x+1) = 5x+5

>> La ecuación fraccionaria quedaría así: 2x-1/3 - x+13/24 = 3x +5x+5/8

>>Encontrando el m.c.m. de los denominadores: 3, 24, 1 y 8, que es 24 -->

>>Suprimiendo denominadores:

24 ÷ 3 = 8 --> 8(2x-1) = 16x-8

24 ÷ 24 = 1 --> 1-(x+13) = - x-13

24 ÷ 1 = 24 --> 24(3x) = 72x

24 ÷ 8 = 3 --> 3(5x+5) = 15x+15

>>La ecuación quedaría así: 16x-8-x-13 = 72x+15x+15

>> Transponiendo términos semejantes y reduciéndolos:

16x-8-x-13 = 72x+15x+15 --> 16x-x-72x-15x = 15+8+13 -->

-72x = 36  

x = 36/-72

x = - 1/2  Solución.

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 Ejemplo C)  Resolver    1/5(x-2) - (2x-3) = 2/3(4x+1)- 1/6(2x+7)

>> Resolviendo operaciones:

x-2/5 -(2x-3) = 8x+2/3 - 2x+7/6

>>Encontrando el m.c.m. de los denominadores  5, 1, 3 y 6 que es  30 -->

>> Suprimiendo denominadores:

30 ÷ 5 = 6   --> 6(x-2) = 6x-12

30 ÷ 1 = 30 --> - 30(2x-3) = -60x+90

30 ÷ 3 = 10 --> 10(8x+2) = 80x+20

30 ÷ 6 = 5  --> -5(2x+7) = -10x-35

>> La ecuación quedaría así:  6x-12-60x+90 = 80x+20-10x-35

>> Transponiendo términos semejantes y reduciéndolos:

6x-12-60x+90 = 80x+20-10x-35 -->  6x-60x-80x+10x = 20-35+12-90

-124x = -93

x = -93/-124

x = 3/4   Solución.

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Ejercicio 141. 

1) Resolver   x/6 + 5 = 1/3 -x

>> El m.c.m. de 6, 1 y 3 es =6

>> Suprimiendo denominadores:

6 ÷ 6 = 1  --> 1(x) =  x

6 ÷ 1 = 6  --> 6(5) = 30

6 ÷ 3 = 2  --> 2(1) = 2

6 ÷ 1 = 6  --> 6(-x) = -6x

>> La ecuación quedaría así:  x +30 =2 -6x

>> Transponiendo términos semejantes y reduciéndolos:

x+6x = 2-30

7x = -28

x = -28/7

x = -4   Solución.

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2) Resolver   3x/5 - 2x/3 + 1/5 = 0

>> El m.c.m. de  5 y 3 es =  15

>> Suprimiendo denominadores:

15 ÷ 5 = 3 --> 3(3x) = 9x

15 ÷ 3 = 5 --> 5(-2x) = -10x

15 ÷ 5 = 3 --> 3(1) = 3

>> La ecuación  quedaría así:  9x-10x+3 = 0

>> Despejando la ecuación:

9x-10x+3 = 0

-x = -3

x = 3   Solución.

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3)  Resolver   1/2x + 1/4 -1/10x = 1/5

>> El m.c.m  de  2x, 4, 10x y 5 es = 20x

>> Suprimiendo denominadores:

20x ÷ 2x = 10 --> 10(1) = 10

20x ÷ 4 = 5x --> 5x(1) = 5x

20x ÷ 10x = 2 --> 2(-1) = -2

20x ÷ 5 = 4x --> 4x(1) = 4x 

>> La ecuación quedaría así:  10+5x-2 = 4x

>> Despejando la ecuación:

10+5x-2 = 4x

5x-4x = -8

x = -8  Solución.

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4) Resolver    x/2 +2 - x/12 = x/6 - 5/4

>> El m.c.m. de 2, 1, 12, 6 y 4 es =  12

>> Suprimiendo denominadores:

12 ÷ 2 = 6 --> 6(x) = 6x

12 ÷ 1 = 12 --> 12(2) = 24

12 ÷ 12 = 1 --> 1(-x) = -x

12 ÷ 6 = 2 --> 2(x) = 2x

12 ÷ 4 = 3 --> 3(-5) = -15

>>La ecuación quedaría así:  6x+24-x = 2x-15

>> Despejando la ecuación:

6x+24-x = 2x-15

6x-x-2x = -15-24

3x = -39

x = -39/3

x = -13  Solución.

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5)   Resolver   3x/4 - 1/5 + 2x = 5/4 - 3x/20

>> El m.c.m. de  4, 5, 1 y 20 es = 20

>> Suprimiendo denominadores:

20 ÷ 4 = 5 --> 5(3x) = 15x

20 ÷ 5 = 4 --> 4(-1) = -4

20 ÷ 1 = 10 --> 20(2x) = 40x

20 ÷ 4 = 5 --> 5(5) = 25

20 ÷ 20 = 1 --> 1(-3x) = -3x

>> La ecuación quedaría así:  15x-4+40x = 25-3x  

>> Despejando la ecuación:

15x-4+40x = 25-3x

15x+40x+3x = 25+4

58x = 29

x = 29/58

x = 1/2  Solución.

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18)  Resolver  4x+1/3 = 1/3(4x-1) -(13+2x)/6 -1/2(x-3)

>> Efectuando operaciones indicadas:

4x+1/3 = 4x-1/3  - (13+2x)/6  - (x-3)/2

>> El m.c.m. de 3, 6 y 2 es  = 6

>>suprimiendo denominadores:

6 ÷ 3 = 2 --> 2(4x+1) = 8x+2

6 ÷ 3 = 2 --> 2(4x-1) = 8x-2

6 ÷ 6 = 1 --> - 1(13+2x) = -13-2x

6 ÷ 2 = 3 --> - 3(x-3) = -3x+9

>> La ecuación quedaría así:  8x+2 = 8x-2 -13-2x -3x+9

>> Despejando la ecuación:

8x+2 = 8x-2 -13-2x-3x+9

8x-8x+2x+3x = -2-13+9-2

5x= -8

x = - 8/5  Solución.

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Simplificación de fracciones complejas.

.                             

Fracción Compleja es aquella en la cual el numerador o el denominador, o ambos, son fracciones algebraicas con expresiones mixtas, es una división indicada.

Ejemplo:

a/x - x/a

. 1 + a/x

La raya de la fracción indica que hay que dividir lo que esta como numerador entre lo que esta debajo como de nominador.

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Simplificación de Fracciones Complejas.

Regla:

1) Se efectúan las operaciones indicadas en el numerador y en el denominador de la fracción compleja.

2) Se divide el resultado que se obtenga en el numerador entre el resultado que se obtenga en el denominador.
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Ejemplo A)  Simplificar    a/x -x/a  ÷  1 + a/x

>> Resolviendo el numerador de a/x - x/a = a²-x²/ax

>>Resolviendo el denominador de  1 + a/x  = x+a/x

>> La fracción compleja quedaría así:

a²-x²/ax  ÷  a+x/x

>> Dividiendo la nueva fracción seria:

a²-x²/ax  *  x/a+x  = (a+x)(a-x)/ax  *  x/a+x

>> Simplificando términos comunes del numerador con el denominador, y luego multiplicando:

(a-x)/a  * 1/1 =  a-x/a * 1 = a-x/a  Solución.

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Ejemplo B)  Simplificar    x-1 - 12/x-2  ÷  x+6 + 16/x-2

>> Resolviendo el numerador de   x-1 - 12/x-2  = (x-1)(x-2)-12/x-2

= x²-3x+2-12/x-2  =  x²-3x-10/x-2

>> resolviendo el denominador de   x+6 +16/x-2  = (x+6)(x-2)+16 /x-2

= x²+4x-12+16/x-2  = x²+4x+4/x-2

>> La fracción compleja quedaría así:

x²-3x-10/x-2  ÷  x²+4x+4/x-2

>> Dividiendo la nueva fracción seria:

x²-3x-10/x-2  *  x-2/x²+4x+4 = (x-5)(x+2)/x-2  * x-2/(x+2)(x+2)

>> Simplificando términos comunes del numerador con el denominador, y luego multiplicando.

(x-5)/1  * 1/(x+2) = x-5 * 1/x+2 =

= x-5/x+2  <--- Solución.

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Ejercicio 137del libro

1) Simplificar   a - a/b  entre  b - 1/b

>> Resolviendo el numerador y el denominador de

a -a/b ÷  b -1/b = ab-a/b  ÷  b(b)-1/b = ab-a/b  ÷  b²-1/b

>> Convirtiendo a multiplicación y factorado términos:

ab-a/b * b/b²-1 = a(b-1)/b  * b/(b+1)(b-1)

>> Reduciendo términos y multiplicando

a/1 * 1/(b+1) = a/1 * 1/b+1 =

= a/b+1  Solución.

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2)  Simplificar   x² -1/x   entre  1- 1/x

>> Resolviendo el numerador y el denominador:

x(x²)-1/x ÷ x(1)-1/x = x³-1/x ÷ x-1/x

>> Convirtiendo a multiplicación:

= x³-1/x * x/x-1

>> Reduciendo términos y multiplicando:

x³-1/1 * 1/x-1 =  x³-1/1 * 1/x-1 = (x³-1)/x-1

>> Simplificando

= (x-1)(x²+x+1)/x-1 = x²+x+1   Solución.

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3) Simplificar    a/b -b/a  entre 1 +b/a

>> Resolviendo el numerador y el denominador:

a(a)/b - b(b)/a ÷ a(1) +b/a = a²-b²/ab ÷ a+b/a

>> Convirtiendo a multiplicación:

a²-b²/ab * a/a+b 

>>Simplificando y multiplicando:

= (a-b)(a+b)/ab * a/a+b

(a-b)/b * 1/1 = a-b/b * 1 =

= a-b/b <-- Solución.

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4) Simplificar  1/m +1/n entre 1/m -1/n

>> Resolviendo el numerador y el denominador:

1(n)+1(m)/mn ÷ 1(n) -1(m)/mn = n+m/mn ÷ n-m/mn

>> Convirtiendo a multiplicación:

= n+m/mn * mn/n-m

>> Simplificando y multiplicando:

n+m/1 * 1/n-m = n+m/n-m  o = m+n/n-m  Solución.

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5) Simplificar  x +x/2 entre x -x/4

>> Resolviendo el numerador y el denominador:

2(x)+x/2 ÷ 4(x)-x/4 = 2x+x/2 ÷ 4x-x/4 = 3x/2 ÷ 3x/4

>> Convirtiendo a multiplicación:

= 3x/2 * 4/3x

>> Simplificando y multiplicando:

1/2 * 4/1 = 4/2 = 2  <-- Solución.

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División de fracciones algebraicas.

.          

Regla:

Cambiar la segunda fracción (divisor) por su inverso (ejemplo: 3x/6 su inverso es --> 6/3x) y proceder a multiplicar las dos fracciones, aplicando las reglas para la multiplicación de fracciones algebraicas.

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Ejemplo A) Simplificar   4a²/3b²  entre 2ax/9b³

>> Cambiando la segunda fracción por su inversa

2ax/9b³ --> inversa --> 9b³/2ax

>> Multiplicando las fracciones

4a²/3b² * 9b³/2ax = (4)(9)(a²)(b³) / (3)(2)(a)(b²)(x) = 36a²b³/6ab²x

>> Simplificando la fracción resultante

36a²b³/x = 6ab/x  <--  Solución.

Nota:

Para simplificar fracciones se dividen los elementos comunes así:

36/6 =6  ;  a²/a = a  ;  b³/b² = b ;

en este caso la "x" como no tiene ningún común en el numerador; solo se copia donde esta.

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Ejemplo B) Simplificar x²+4x/8 entre  x²-16/4

>> Cambiando la división a multiplicación:

x²-16/4  inverso --> 4/x²-16

>> Factorizando:

x²+4x/8  *  4/x²-16 = x(x+4)/8 * 4/(x-4)(x+4)

>> Simplificando y luego multiplicando:

x/8 * /4(x-4)

=  x/2 * 1/x-4 = x/2x-8  <-- Solución.

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Ejercicio 134

1)  Simplificar  x²/3y²  entre  2x/y³

>> Cambiando la división a multiplicación:

x²/3y² ÷ 2x/y³ = x²/3y² * y³/2x

>> Multiplicando y simplificando:

= x²y³/6xy²)

= xy/6  <--  Solución.

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2) Simplificar   3a²b/5x²  entre  a²b³

>> Cambiando división a multiplicación:

3a²b/5x² ÷ a²b³/1 = 3a²b/5x² * 1/a²b³

>> Multiplicando y simplificando:

= 3a²b/5a²b³x²

= 3/5b²x²   <--  Solución.

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3) Simplificar  5m²/7n³ entre 10m⁴/14an⁴

>> Cambiando la división a multiplicación:

5m²/7n³  ÷  10m⁴/14an⁴ = 5m²/7n³ * 14an⁴/10m⁴

>> Multiplicando:

5m²/7n³ * 14an⁴/10m⁴ = 70am²n⁴/70n³m⁴

>> Simplificando:

= an/m^2  <--  Solución.

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4) Simplificar  6a²x³  entre  a²x/5

>> Cambiando la división en multiplicación:

6a²x³  ÷  a²x/5 =  6a²x³ * 5/a²x

>> Multiplicando:

6a²x³/1 * 5/a²x = 30a²x³/a²x

Simplificando:

= 30x²/1 = 30x²  <--  Solución.

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5) Simplificar  15m²/19ax³  entre  20y²/38a³x⁴

>> Cambiando la división en multiplicación:

15m²/19ax³  ÷  20y²/38a³x⁴ = 15m²/19ax³ * 38a³x⁴/20y²

>> Multiplicando:

= 570a³m²x⁴/380ax³y²

>> Simplificando:

= 3a²m²x/2y²  <--  Solución.

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6) Simplificar  11x²y³/7m²  entre  22y⁴

>> Cambiando la división en multiplicación:

11x²y³/7m²  ÷  22y⁴/1 = 11x²y³/7m² * 1/22y⁴

>> Multiplicando

11x²y³/7m² * 1/22y⁴ = 11x²y³/154m²y⁴

>> Simplificando:

= x²/14m²y  <--  Solución.

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Multiplicación de expresiones mixtas.

.                    

Regla:

Se reducen las expresiones mixtas a fracciones y luego se multiplican estas fracciones, aplicando las reglas para la multiplicación.

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Ejemplo. 

Multiplicar  a+3 - 5/a-1 por  a-2 + 5/a+4

>> Reduciendo las expresiones mixtas a fracciones:

1) (a+3) - 5/a-1 = [(a+3)(a-1)-5]/ a-1 = [a²+2a-3-5]/a-1 = a²+2a-8/a-1

2) a-2 +5/a+4 = [(a+4)(a-2)+5]/a+4 = [a²+2a-8+5]/a+4 = a²+2a-3/a+4

>> Se factorizan las fracciones resultantes (1) y (2)

a²+2a-8/a-1  *  a²+2a-3/a+4 = (a+4)(a-2)/a-1 * (a+3)(a-1)/a+4

(al simplificar se elimina el (a+4) de la 1° fracción con el (a+4) de la 2° ;

y el (a-2) de la primera con el (a-2) de la 2°)

>> Se simplifican las fracciones factorizadas

a-2/1 * a+3/1 

= (a-2) (a+3)

=  a²+a-6 , que es la Solución.

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Ejercicio 133 del Libro.

1) Multiplicar  a + a/b   por   a - a/ b+1

Reduciendo las expresiones a fracciones:

1) a + a/b = ab+a /b

2) a - a/b+1 = a(b+1)-a /b+1

Simplificando el producto de las fracciones resultantes:

(ab+a /b) [a(b+1)-a /b+1] 

la "b"  y (b+1) del numerador de la fracción con

la "b" y (b+1) del denominador de la fracción;

la "a" y la "-a" del numerador por tener el mismo coeficiente y distinto signo.

y queda así:

(a/1)(a/1) 

a²/1 =   a²  Solución.

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2) Multiplicar  (x - 2/x+1)(x + 1/x+2)

>> Reduciendo las expresiones a fracciones :

1) x - 2/x+1 = [x(x+1)-2]/x+1 = x²+x-2 /x+1

2) x + 1/x+2 = [x(x+2)+1]/x+2 = x²+2x+1 /x+2

>> Factorizando los numeradores de las fracciones:

(x²+x-2/x+1)(x²+2x+1 /x+2) = (x+2)(x-1)/(x+1) * (x+1)(x+1)/(x+2)

>> Simplificando las fracciones resultantes:

= (x-1) /1) = (x+1)/(1)

= (x-1)(x+1)

= x²-1  <--  Solución.

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3) Mulltiplicar  (1 -  x/ a+x)(1 + x/a)

Reduciendo las expresiones a fracciones:

[1(a+x) - x ]/a+x * [a(1) + x]/a

= (a+x-x)/a+x) * (a +x)/a

Simplificando las fracciones:

= (a/1)(1/a)

a/a = 1 <--  Solución.

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4) Multiplicar (a+ ab/a-b)(1- b²/a²)

Reduciendo las expresiones a fracciones:

[a(a-b)+ab]/a-b * [1(a²-b²)]/a²

= a² -ab +ab /a-b * (a-b)(a+b) /(a²)

Simplificando las fracciones:

1/1 * a+b/1

a+b/1 = a+b  <--  Solución.

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Multiplicación de fracciones algebraicas.

.                   

Regla general para Multiplicar Fracciones.

1) Se descomponen en factores, cuanto sea posible, los términos de las fracciones que se van a multiplicar.

2) Se simplifica, suprimiendo los factores comunes en los numeradores y denominadores. (Dicho de otra manera, dividiendo cada uno de los factores comunes del numerador entre sus comunes del denominador)

3) Se multiplican entre si las expresiones que queden en los numeradores y los denominadores después de simplificar.

4) El producto que resulte de los numeradores se parte entre el producto que resulte de los denominadores.

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Ejemplo A) Multiplicar 2a/3b³  por  3b²/4x  por  x²/2a²

>>multiplicando los numeradores y los denominadores:

2(a)(3)(b²)(x²) / 3(b³)(4)(x)(2)(a²) = 6ab²x²/24a²b³x

>> Suprimiendo los factores comunes en el numerador y el denominador:

6   ∙  a   ∙ b²  ∙ x²  =   1∙1∙1∙ x   (Dividiendo los semejantes del numerador entre el denominador)
24    a²    b³    x        4∙ a∙b.1

x/4ab    que es la Solución.

Nota: Si puedes suprimir los factores a simple vista, excelente; no es necesario que hagas las divisiones por separado.

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Ejemplo B) Multiplicar  3x-3/2x+4  por  x²+4x+4/x²-x

>> Factorando numeradores y denominadores:

3(x-1)/2(x+2)  .   (x+2)(x+2)/x(x-1) =

Suprimiendo factores quedaria asi:

3/2  .  x+2/x

>> Multiplicando la fracción quedaría:

3/2  .  x+2/x = 3x+6/2x  ,  <-- Solución.

En la supresión se eliminó (x-1) de la primera fracción con el (x-1) de la 2ª fracción,

y se eliminó (x+2) de la 1ª fracción con el (x+2) de la 2ª fracción.

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Ejemplo C)  

Multiplicar  a² -1/a²+2a  por  a² -a-6/3a² +7a+4  por  3a+4/a² -4a+3

>> Factorando quedaría así:

(a+1)(a-1)/a(a+2) .  (a-3)(a+2)/(a+1)(3a+4)  .  3a+4/(a-1)(a-3)

>> Suprimiendo factores en las fracciones quedaría así:

1/a  .  1/1  .  1/1

>> Multiplicando las fracciones quedaría así:

1/a  , que es la solución.

> Se suprimió (a+1) de la 1ª fracción con (a+1) de la 2ª ; se suprimió (a-1) de la 1ª fracción con (a-1) de la 3ª ; se suprimió (a+2) de la 1ª fracción con (a+2) de la 2ª ; se suprimió (a-3) de la 2ª fracción con (a-3) de la 3ª ; y se suprimió (3a+4) de la 2ª fracción con (3a+4) de la 3ª.   Quedando en la primera fracción  1/a ; en la 2ª  1/1 y en la 3ª  1/1 .

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Ejercicio 132 del libro.

En estos ejercicios omitiré las algunas explicaciones, que ya mencione en los ejemplos, para hacer los ejercicios mas cortos y prácticos.

1) Multiplicar 2a²/3b  por  6b²/4a

>>Multiplicando es igual a

12a²b²/12ab

>> Simplificando es igual a

ab/1 =  ab  <--  Solución.

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2) Multiplicar  x²y/5  por  10a³/3m²  por  9m/x³

>> Multiplicando es igual a:

90a³mx²y/15m²x³ =

>> Simplificando es igual a

6a³y/mx  <--  Solución.

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3) Multiplicar 5x²/7y³  por 4y²/7m³  por  14m/5x⁴

>> Multiplicando es igual a:

280mx²y²/245m³x⁴y³ =

>> Simplificando es igual a

8/7m²x²y  <--  Solución.

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7) Multiplicar  2x²+x/6  por  8/4x+2

>> Factorando la fracción:

x(2x+1)/6  .  8/2(2x+1)

>> Simplificando factores comunes:

x/6  .  8/2 =

>> Multiplicando las fracciones:

x/6  .  8/2 = 8x/12 = 2x/3  <--  Solución.

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8) Multiplicar  5x+25/14  por  7x+7/10x+50

>> Factorando las fracciones:

5(x+5)/14  .  7(x+1)/10(x+5)

>> Simplificando

5/14  .  7(x+1)/10 = 1/2  .  x +1/2

>> Multiplicando

x+1/4  <--   Solución.

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9) Multiplicar  m+n/mn-n²  por  n²/m²-n²

>> Factorando

m+n/n(m-n)  .  n²/(m+n)(m-n)

>> Multiplicando

n²(m+n)/n(m+n)(m-n)²

>> Simplificando

n/(m-n)² = n/m² -2mn+n²  <--  Solución.

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