Regla para
factorar una diferencia de cuadrados; cuando uno o ambos cuadrados
son compuestos:
Se extrae la raíz
cuadrada al minuendo y al sustraendo y se forman dos factores: la suma de estas
raíces cuadradas por la diferencia de dichas raíces.
Ejemplo:
(a+b)² - c² = (a +b+c)(a+b -c)
Primero se
extraen la raíces cuadradas y luego se forman los
factores.
Procedimiento
para factorar una diferencia de cuadrados perfectos, cuando uno o
ambos cuadrados son compuestos:
>>
Factorar (a+b)² - c².
a) Raíz cuadrada
de (a+b)² = (a+b)
Raíz cuadrada de c² = c
b) Se forma un factor con la suma de las raíces: (a+b)+c , y otro factor con la
diferencia de dichas raíces: (a+b) - c
o sea
[(a+b) +c][(a+b) - c] = (a+b+c)(a+b-c) y esta es la Solución.
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Ejercicio 94 del Libro.
Descomponer en factores y simplificar, si es necesario:
Descomponer en factores y simplificar, si es necesario:
1) (x+y)² -z²
Raíz cuadrada de
(x+y)² = (x+y) ; raíz cuadrada de z² =
z
Suma de las
raíces : (x+y) +z ; Diferencia de las raíces (x+y) -z
-->
factorando : [(x+y)+z][(x+y)- z] = (x+y+z)(x+y-z) <--
Solución.
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2) 4 -
(a+1)²
Raíz cuadrada de
4 = 2 ; raíz cuadrada de (a+1)² =
(a+1)
Suma de las raíces: 2+(a+1) ; Diferencia de
las raíces 2 -(a+1)
-->
factorando: [2+(a+1)][2 -(a+1)] = (2+a+1)(2-a-1) =
=
(3+a)(1-a) , o bien es = (a+3)(1-a) Solución
Nota:
En los resultados se pueden poner las letras primero y luego los
números, siempre y cuando no quede un negativo de primero.
En este caso se
cambio el primer factor (3+a) por (a+3); pero el segundo factor
no se cambio porque la letra pasaría con su mismo signo negativo.
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3) 9
-(m+n)²
Raíz cuadrada de
9 = 3 ; raíz cuadrada de (m+n)² =
(m+n)
Suma de las raíces: 3 +(m+n) ; Diferencia de las raíces 3 -(m+n)
-->
factorando: [3 +(m+n)][3 -(m+n)] = (3+m+n)(3-m-n)
Solución
Recuerda:
cuando se sacan valores de un paréntesis que va precedido
por el signo menos, se colocan con el signo cambiado: 3 -(m+n)
= (3-m-n)
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4)
(m-n)²-16
Raíz cuadrada de
(m-n)² = (m-n) ; raíz cuadrada de
16 = 4
Suma de las raíces: (m-n) +4 ; diferencia de las raíces (m -n) -4
Factorando:
[(m-n +4)][(m-n -4)] = (m-n+4)(m-n-4) Solución
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5) (x-y)² -4z²
Raíz cuadrada de
(x-y)² = (x-y) ; raíz cuadrada de
4z² = 2z
Suma de las raíces: (x-y) +2z ; diferencia de las raíces: (x-y) -2z
Factorando:
[(x-y) +2z][(x-y) -2z] = (x-y+2z)(x-y-2z) Solución
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6) (a+2b)² -1
Raíz cuadrada de
(a+2b)² = (a+2b) ; raíz cuadrada de 1 = 1
Suma de las raíces: (a+2b )+1 ; diferencia de las raíces (a+2b) -1
Factorando:
[(a+2b) +1][(a+2b) -1] = (a+2b+1)(a+2b-1) Solución
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9) (a+b)² -(c+d)²
Raíz cuadrada de
(a+b)² = (a+b) ; raíz cuadrada de (c+d)² =
(c+d)
Suma de las raíces: (a+b)+(c+d) ; diferencia de las raíces (a+b)-(c+d)
Factorando:
[(a+b)+(c+d)][(a+b) -(c+d)] =
=
(a+b+c+d)(a+b-c-d) Solución
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10) (a-b)² -(c-d)²
Raíz cuadrada de
(a-b)² = (a-b) ; raíz cuadrada de (c-d)²=
(c-d)
Suma de las raíces: (a-b)+(c-d) ; diferencia de las raíces
(a-b) -(c-d)
Factorando:
[(a-b)+(c-d)][(a-b) -(c-d)] =
=
(a-b+c-d)(a-b-c+d) Solución
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11) (x+1)² -
16x²
> Extrayendo
las raíces cuadradas del minuendo y del sustraendo:
Raíz cuadrada de
(x+1)² = (x+1)
Raíz cuadrada de
16x² = 4x
> Formando dos
factores: uno con la suma de las raíces encontradas y otro con la
diferencia:
=
[(x+1)+4x][(x+1)-4x]
> Quitando los
paréntesis y simplificando los factores:
=
(x+1+4x)(x+1-4x)
= (5x+1)(1-3x)
Solución.
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