Productos Notables. Teoremas.

Productos Notables.

Son ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, o también escribiendo todos sus pasos hasta llegar al resultado.

Reglas.

1. Cuadrado de la suma de dos cantidades.

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al primer término al cuadrado más el duplo del producto del primero por el segundo término más el cuadrado del segundo término.

(a+b)² = a² + 2ab + b²

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2) Cuadrado de la diferencia de dos cantidades.

El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al primer término al cuadrado menos el duplo del producto del primero por el segundo término más el cuadrado del segundo término.

(a-b)² = a²  - 2ab + b²

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3) Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades.

El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término.

(a+b)(a-b) = a² - b²

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4) Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades cuando los factores tienen 3 elementos.

El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de las dos variables asociadas (a+b) menos el cuadrado de la variable no asociada (c).

(a+b+c)(a+b-c) = (a+b)^2 - c^2

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5) El cubo de la suma de dos cantidades.

El cubo de la suma de dos cantidades es igual al primer término al cubo más el triplo del producto del primer término al cuadrado por el segundo término más el triplo del producto del primer término por el cuadrado del segundo término más el cubo del segundo término.

(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

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6) El cubo de la diferencia de dos cantidades.

El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al primer término al cubo menos el triplo del producto del primer término al cuadrado por el segundo término más el triplo del producto del primer término por el cuadrado del segundo término menos el cubo del segundo término.

(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

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7) Producto de dos binomios de la forma (x±a)(x±b)

El producto de dos binomios de la forma (x±a)(x±b) es igual al producto de los primeros términos de los binomios; más/menos la suma algebraica de los segundos términos de los binomios por el primer término de los binomios; más/menos el producto de los segundos términos de los binomios.

(x±a) (x±b) = (x)^2+(a+b)x+(a)(b) = x^2+(a+b)x+ab

Nota: Se dice mas/menos, porque en la suma de los 2º términos y el producto de los 2º términos, se deben tomar en cuenta los signos de los términos.

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Ejemplos y ejercicios de estos productos notables los encontrarás en esta misma página.  Puedes buscarlos por tema o por número de ejercicio.

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Cociente Mixto.

      

Cociente Mixto.

Se originan cuando el dividendo no es divisible exactamente por el divisor y nos da un residuo. Estos cocientes constan de entero y una fracción.

La división debe detenerse cuando el primer término del residuo es de grado inferior al primer término del divisor con relación a una letra, o sea, cuando el exponente de una letra en el residuo es menor que el exponente de la misma letra en el divisor; entonces agregamos al cociente la fracción resultante cuyo numerador será el residuo y el denominador el divisor.

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Ejemplos:

a) Dividir x²-x-6  entre  x+3

         x-4 + 6/x+3  <--  Solución.

x+3  |x² - x- 6

        -x²-3x   

            -4x - 6

             4x+12 

                     6  <-- Residuo

b) Dividir 6m⁴-4m³n²-3m²n⁴+4mn⁶-n⁸  entre  2m²-n⁴

              3m² -2mn²  + 2mn⁶-n⁸ /2m²-n⁴ <--  Solución.

2m²-n⁴  |6m⁴-4m³n²-3m²n⁴+4mn⁶ -n⁸

              -6m⁴           +3m²n⁴ 

                      -4m³n²            +4mn⁶

                       4m³n²            - 2mn⁶

                                              +2mn⁶ -n⁸  <-- Residuo

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Ejercicio 59.

 3) Dividir 9x³+6x²+7  entre  3x²

        3x +2 + 7/3x²  <-- Solución.

3x²  |9x³+6x²+7

        -9x³

                6x²

               -6x²   .

                      7  Residuo

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5) Dividir x²+7x+10  entre  x+6

         x +1  + 4/x+6   <--   Solución.

x+6  |x²+7x+10

        -x² -6x 

                 x+10

                -x – 6

                       4   Residuo

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13) Dividir  8a³-6a²b+5ab²-9b³  entre  2a-3b

            4a² +3ab +7b²  + 12b³/2a-3b  <--  Solución. 

2a-3b  |8a³ -  6a²b +5ab² -9b³

           -8a³+12a²b   

                      6a²b +5ab²

                     -6a²b +9ab²   

                               14ab² -  9b³

                              -14ab²+21b³  

                                           12b³  Residuo

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División de dos monomios con exponentes literales.

         

Ejercicio 50 del libro.

1) a^^m+3 entre a^^m+2 

-->a^^{m+3 /} a^^m+2

= a^(^m+3)-(m+2)

= a^(^{m+3-m-2)   Se suprimió el parentesis del sustraendo.}

= a^(^{m-m+3-2)   Ordenando los esponentes y reduciéndolos.}

= a^1

= a

En este caso como la literal base y el coeficiente (1) de los monomios es igual, solo se copia la literal base "a" en el cociente.  Luego se restan los exponentes literales y numéricos;  y el resultado se coloca después de la literal base "a".

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5) –4a^(^x-2)b^(ⁿ⁾ entre –5a^(³⁾b^(²⁾

--> -4a^(^x-2)b^(ⁿ⁾ / -5a^(³⁾b^(²⁾ 

= 4/5a^(^x-2)–(3)b^(^{n) –(2)}

=  4/5a^(^x-2-3)b^(^n-2)

= 4/5a^(^x-5)b^(^{n-2)   Solución.}

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Debes tomar en cuenta:

Que al dividir dos monomios, los exponentes se restan aplicando la ley de signos.

Toda potencia elevada a cero "0" es igual a la unidad "1"

Toda potencia elevada a uno "1" es igual a su base.

Cuando una literal base no tiene coeficiente, se sobreentiende que este es uno "1"; y como uno dividido entre uno es igual a uno, en el resultado no se coloca.

División de dos polinomios.

         

Regla:

1) Se ordenan el dividendo y el divisor con relación a una misma letra.

2) Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor y se tendrá el primer término del cociente.

3) El primer término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, para lo cual se le cambia el signo, escribiendo cada término debajo de su semejante. Si algún término de este producto no tiene término semejante en el dividendo se escribe en el lugar que le corresponda de acuerdo a como se hayan ordenado.

4) Se divide el primer término del resto o residuo entre el primer término del divisor y se tendrá el segundo término del cociente.

5) Este segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, cambiando los signos.

6) Se divide el primer término del segundo resto o residuo entre el primero del divisor y se efectúan las operaciones anteriores; y así sucesivamente hasta que el residuo sea cero.

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Ejemplos:

a) Dividir   3x²+2x-8  entre  x+2

> Resolviendo:

          3x-4       .   <--  Solución.

x+2  |3x²+2x-8         ( 3x²÷x= 3x)

         -3x²-6x             [3x(x+2)= 3x²+6x]

               -4x-8          ( -4x÷x= -4)

                4x+8          [-4(x+2)= -4x-8]

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b) Dividir  28x²-30y²-11xy  entre  4x-5y

> Ordenando el dividendo en orden descendente

con relación a la letra “x”:

            7x+6y                  .   <-- Solución.

4x-5y  |28x²-11xy-30y²

           -28x²+35xy  

                     24xy- 30y²

                    -24xy+30y² 

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Ejercicio 54 del libro.

3) Dividir x²-20+x  entre  x+5

> Ordenando el dividendo:

          x-4         .     <-- Solución.

x+5  |x²+ x-20

        -x²-5x  

            -4x-20

             4x+20   

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5)  Dividir  x²+15-8x  entre  3-x

> Ordenando el dividendo y el divisor:

          -x+5        .    ó = 5-x  <--  Solución.

-x+3  |x² -8x+15

          -x²+3x   

               -5x+15

                5x -15  

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17) Dividir  x⁴-9x²+3+x  entre  x+3

> Ordenando el dividendo:

         x³-3x²+1          .  <--  Solución.

x+3  |x⁴      -9x²+x+3

        -x⁴-3x³   

            -3x³-9x²

             3x³+9x²   

                          x+3

                         -x -3

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21) Dividir  3y⁵+5y²-12y+10  entre  y²+2

          3y³-6y+5                   .   <--  Solución.

y²+2  |3y⁵       +5y²-12y +10

          -3y⁵-6y³  

                 -6y³+5y²-12y

                 6y³        +12y 

                         5y²        +10

                        -5y²        - 10

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División de un polinomio entre un monomio.

             

Procedimiento:

1) Dividir cada uno de los términos del polinomio entre el monomio, separando los cocientes parciales por el signo de cada término del polinomio. (Ley Distributiva de la División)
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Ejemplo:

a) Dividir 3a^3 -6a^2b +9ab^2 entre 3a

--> 3a^3/3a  -  6a^2b/3a  +  9ab^2/3a

= a^2  - 2ab  +  3a^0 b^2

= a^2  - 2ab  +  3(1)b^2

= a^2 -2ab +3b^2  Solución.
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Ejercicio 52 del libro.

1) a^2 -ab entre a

a^2/a - ab/a

= a -b

Porque:  a^2 ÷ a = a  y -ab ÷ a = –b

Como se observa los dos términos del polinomio se dividen cada uno entre el término del monomio, así:

> a^2 ÷ a = a^2 ÷ a^1 = a^(2-1) = a^1 = a

aquí es igual a "a"; porque toda base elevada a la "1" es igual a ella misma.

> -ab ÷ a = - a^1(b) ÷ a^1 = - a^(1-1)b = - a^0(b)  = - b

En este caso la "a" se elimina porque toda base elevada a la "0" es igual a "1" y respecto a la "- b" sólo se copia con su signo.
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3) 3a^³-5ab^²- 6a^²b^³ entre –2a  

--> 3a^3 -5ab^2 -6a^2b^3 ÷ -2a =  -3/2 a^² +5/2 b^² +3 ab^^{3  Solución}

Procedimiento:

3a^3 / -2a  = - 3/2 a^2             [3÷-2 =- 3/2  ;    a^3 ÷ a = a^(3-1) =a^2]

-5ab^2 / -2a = 5/2 b^2             [-5÷-2 = 5/2   ;   a÷a = 1 este no se copia ;  b^2 solo se copia]

-6a^2b^3 / -2a = 3 ab^3          [-6÷-2 = 3  ;   a^2÷a = a  ;  b^3 solo se copia]
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   Recuerda:

- Aplicar la ley de signos.

- En la división algebraica se dividen los coeficientes y se restan los exponentes, ya sean literales o numéricos.