Propiedades de las raíces de la ecuación de 2o. grado.

Suma de raíces = -(b)/a    ;   Producto de raíces = c/a

Cuando  la ecuación general de 2° grado es  ax²+bx+c = 0:

1) Suma de las raíces:  es igual al coeficiente del segundo término con el signo cambiado partido por el coeficiente del primer término  -b/a.

2) El producto de las raíces: es igual al tercer término de la ecuación con su propio signo partido por el coeficiente del primer término  c/a.

Cuando la ecuación es de la forma x²+bx+c = 0:

Podemos decir que: toda ecuación de 2° grado en que el coeficiente del primer término es 1; 

1) La suma de sus raíces es igual al coeficiente del segundo término con el signo cambiado.

2) El producto de las raíces es igual al tercer término con su propio signo.

Ahora bien, la ecuación general de 2° grado (ax²+bx+c = 0)  puede cambiarse a la forma x²+bx+c = 0; dividiendo todos sus términos entre el coeficiente del primer término. Y proceder a encontrar la suma y el producto como si fuera de la forma x²+bx+c = 0.

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Ejemplos:

a) Hallar si 2 y -5 son raíces de la ecuación x²+3x-10 = 0

> Aplicando las propiedades:

x₁+x₂ = 2+(-5) = 2-5 = -3 –> cambiando signo es = 3

x₁x₂ = (2)(-5) = -10

–>  2 y -5 si son raíces de la ecuación  x²+3x-10 = 0

b) Hallar si -3 y –½ son raíces de la ecuación 2x²+7x+3 = 0

> Convirtiendo la ecuación dada a la forma x²+bx+c = 0,

Dividiéndola entre el coeficiente de x², que es 2:

x²+7/2x+3/2 = 0

> Aplicando las propiedades de la suma y del producto:

x₁+x₂= -3+(-½) =-3 – ½ = -7/2, Cambiando signo es = 7/2

x₁x₂ = (-3)(-½) = 3/2   

–> -3  y  –½  si son raíces de la ecuación convertida.

c) Hallar si 1  y  -2/3 son raíces de 3x²+x-2 = 0

> Convirtiendo la ecuación dada a la forma x²+bx+c = 0

Dividiéndola entre el coeficiente de x², que es 3:

x²+1/3x – 2/3 = 0

> Aplicando las propiedades de la suma y el producto:

x₁+x₂= 1+(-2/3) = 1 – 2/3 = 1/3,  cambiando signo es = -1/3  (Atención)

x₁x₂ = (1)(-2/3) = – 2/3  

Respuesta: 1  y  -2/3 no son raíces de la ecuación dada, porque -1/3

.                    no es igual a (+1/3) de la ecuación convertida)

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Ejercicio 277.

Determinar por las propiedades de las raíces, si

1) 2 y -3 son raíces de la ecuación x²+x-6 = 0

> Aplicando las propiedades:

2+(-3) = 2-3 = -1, cambiando signo = 1

(2)(-3) = -6

Solución: sí, son las raíces de la ecuación.

__________________________________________________ 

2) 1 y 5 son raíces de x²-4x-5 = 0

> Aplicando las propiedades:

1+5 = 6, cambiando signo = -6

(1)(5) = 5

Solución:  no son las raíces de la ecuación.

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3) 1 y -1/2 son raíces de 2x²-x-1 = 0

> Convirtiendo la ecuación a la forma x²+bx+c = 0

2x²-x-1 ÷ 2 =

x²-1/2x-1/2 = 0

x²-1/2x-1/2 = 0

> Aplicando las propiedades:

1+(-1/2) = 1 -1/2 = ½ , cambiando signo = – ½

(1)(-1/2) = – ½

Solución: Sí, son las raíces de la ecuación convertida.

_________________________________________________ 

4) -3 y 1/3 son raíces de 3x²+8x-3 = 0

> Convirtiendo la ecuación a la forma x²+bx+c = 0

3x²+8x-3 = 0 ÷ 3 =

x²+8/3x-3/3 = 0

x²+8/3x-1 = 0

> Aplicando las propiedades:

-3+1/3 = -8/3 , cambiando signo = 8/3

(-3)(1/3) = – 1

Solución: sí, son las raíces de la ecuación convertida.

_________________________________________

Carácter de las raíces de la ecuación de 2o. grado.

Carácter  -->  b²-4ac  -->  Discriminante

La ecuación de 2° grado tiene solamente dos raíces:

 x₁=[-b+((b)^2-4ac)]/2a        y      x₂=[-b-√((b)^2-4ac)]/2a  

El carácter de estas raíces depende del valor del binomio  b²-4ac, el cual se llama Discriminante de la ecuación de 2° grado.

En esta discriminante se consideran tres casos:

1) Cuando b²-4ac  es una cantidad positiva; las raíces son reales y desiguales, y si es cuadrado perfecto son racionales.

2) Cuando b²-4ac  es cero (0); las raíces son reales e iguales.

3) Cuando b²-4ac  es una cantidad negativa; las raíces son imaginarias y desiguales.

___________________________________________________ 

Ejemplos:

Determinar el carácter de las raíces de:

a) 3x²-7x+2 = 0

> Desarrollando la discriminante:

b²-4ac = (-7)²-4(3)(2) = 49-24 = 25

-->  Como 25 es positivo; las raíces son reales y desiguales (5, -5).  Y como 25 es cuadrado perfecto; las raíces son racionales (5*5 , ó -5*-5).

b) 3x²-2x-6 = 0

> Desarrollando la discriminante:

b²-4ac = (-2)²-4(3)(-6) = 4+72 = 76

--> Como 76 es positivo; las raíces son reales y desiguales.  Y como 76 no es cuadrado perfecto; las raíces son irracionales.

c) 4x²-12x+9

> Desarrollando la discriminante:

b²-4ac = (-12)²-4(4)(9) = 144-144 = 0

--> Como es cero (0); las raíces son reales e iguales.

d) x²-2x+3

> Desarrollando la discriminante:

b²-4ac = (-2)²-4(1)(3) = 4-12 = -8

--> Como -8 es negativo; las raíces son imaginarias.

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Ejercicio 276.

Determinar el carácter de las siguientes ecuaciones, solamente por la discriminante b²-4ac:

1) 3x²+5x-2 = 0

> Desarrollando la discriminante:

(5)²-4(3)(-2) = 25+24 = 49

--> Las raíces son reales, desiguales y racionales.

___________________________________________________ 

2) 2x²-4x+1 = 0

 > Desarrollando la discriminante:

(-4)²-4(2)(1) = 16-8 = 8

--> Las raíces son reales, desiguales e irracionales.

 __________________________________________________

3) 4x²-4x+1

> Desarrollando la discriminante:

(-4)²-4(4)(1) = 16-16= 0

--> Las raíces son reales e iguales.

 __________________________________________________

4) 3x²-2x+5 = 0

> Desarrollando la discriminante:

(-2)²-4(3)(5) = 4-50 = -46

--> Las raíces son imaginarias.

 __________________________________________________

5) x²-10x+25= 0

> Desarrollando la discriminante:

(-10)²-4(1)(25) = 100-100 = 0

--> Las raíces son reales e iguales.

 __________________________________________________

6) x²-5x+5 = 0

> Desarrollando la discriminante:

(-5)²-4(1)(5) = 25-20 = 5

--> Las raíces son reales, desiguales e irracionales.

______________________________________

Ecuaciones incompletas de 2º grado de la forma ax^2 +bx = 0.

.  ax²±bx=0  --> por fórmula  x=-b±b/2a.

Resueltas por la fórmula  x = -b±b/2a.

Procedimiento:

1) Se hacen las operaciones indicadas, factorización y simplificación necesarias para llegar la ecuación a la forma ax²±bx=0.

2) Se aplica la fórmula.

3) Se encuentran las raíces  x₁ , x₂.

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Ejemplos:

a) Resolver la ecuación 5x² = -3x

> Ordenando la ecuación:

5x²+3x = 0

> Aplicando la fórmula:

x = [-(3)±(3)]/2(5)

x = [-3±3]/10

-->

x₁ = [-3+3]/10 = 0/10 = 0

x₂ = [-3-3]/10 = -6/10 = -⅗

b) 3x-1 = 5x+2/x-2

> Realizado operaciones y simplificando:

(3x-1)(x-2) = 5x+2

3x²-7x+2 = 5x+2

3x²-7x-5x+2-2 = 0

3x²-12x = 0

> Aplicando la fórmula:

x = [-(-12)± (-12)]/2(3)

x = [12±(-12)]/6

-->

x₁ = [12+(-12)]/6 = [12-12]/6 = 0/6 = 0

x₂ = [12-(-12)]/6 = [12+12]/6 = 24/6 = 4

___________________________________________

Ejercicio  272.

Resolver las ecuaciones:

1) x² = 5x

> Ordenando la ecuación:

x²-5x = 0

Aplicando la fórmula:

x = [-(-5)± (-5)]/2(1)

x = [5±(-5)]/2

-->

x₁ = [5+(-5)]/2 = [5-5]/2 = 0/2 = 0

x₂ = [5-(-5)]/2 = [5+5]/2 = 10/2 = 5

__________________________________________

2) 4x² = -32x

> Ordenando la ecuación:

4x²+32x = 0

> Aplicando la fórmula:

x = [-(32)±(32)]/2(4)

x = [-32±32]/8

-->

x₁ = [-32+32]/8 = 0/8 = 0

x₂ = [-32-32]/8 = -64/8 = -8

___________________________________________

3) x²-3x = 3x²-4x

> Ordenando la ecuación:

x²-3x²-3x+4x = 0

-2x²+x = 0

2x²-x = 0

> Aplicando la fórmula:

x = [-(-1)±(-1)]/2(2)

x = [1±(-1)]/4

-->

x₁ = [1+(-1)]/4 = [1-1]/4 = 0/4 = 0

x₂ = [1-(-1)]/4 = [1+1]/4 = 2/4 = ½

___________________________________________

4) 5x²+4 = 2(x+2)

> Realizando operación y ordenando la ecuación:

5x²+4 = 2x+4

5x²-2x+4-4 = 0

5x²-2x = 0

> Aplicando la fórmula:

x = [-(-2)±(-2)]/2(5)

x = [2±(-2)]/10

-->

x₁ = [2+(-2)]/10 = [2-2]/10 = 0/10 = 0

x₂ = [2-(-2)]/10 = [2+2]/10 = 4/10 = ⅖

___________________________________________

5) (x-3)²-(2x+5)² = -16

> Efectuando factorización y simplificación:

x²-6x+9 –(4x²+20x+25) = -16

x²-6x+9-4x²-20x-25+16 = 0

-3x²-26x = 0

3x²+26x = 0

> Aplicando la fórmula:

x = [-(26)±(26)]/2(3)

x = [-26±26]/6

-->

x₁ = [-26+26]/6 = 0/6 = 0

x₂ = [-26-26]/6 = -52/6 = -8⁴̷₆ = -8²̷₃

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Potencias de cantidades negativas.

.  -3⁴ = 81     ó  -3³ = -27
Reglas:

1) Toda potencia “par” de una cantidad negativa es positiva.
Ejemplo:

2) Toda potencia “impar” de una cantidad negativa es negativa.
Ejemplo:
______________________________________________________

Ejemplos:

a) Hallar el valor numérico de x³ -3x² +2x -4, siendo x = -2.
> Sustituyendo el valor de x:
(-2)³ -3(-2)² +2(-2) -4
= -8 -3(4) -4 -4
= -8 -12 -4 -4
= -28 Solución.

b) Valor numérico de a/4 – 3a²b/6 + 5ab²/3 – b³^.. Para a=-2, b=-3
> Sustituyendo el valor de a y el de b:
(-2)/4 -3(-2)²(-3)/6 +5(-2)(-3)²/3 -(-3)³
= 16/4 – 3(4)(-3)/6 - 10(9)/3 -(-27)
= 4 + 36/6 – 90/3 +27
= 4 + 6 -30 +27
= 7 Solución.
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Ejercicio 60 del Libro.
Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones,
siendo a= -1 , b= 2 , c= - 1/2

1) a² -2ab +b²
> Sustituyendo el valor de a y b:
(-1)² - 2(-1)(2) +(2)²
= 1 +4 +4
= 9   Solución.

2) 3a³ – 4a²b + 3ab² – b³
>Sustituyendo el valor de a y b:
3(-1)³ – 4(-1)²(2) + 3(-1)(2)² – (2)³
= 3(-1) – 4(1)(2) + 3(-1)(4) – (8)
= -3 -8 -12 -8
= -31 Solución.

4) a – 8ac + 16a³c² – 20a²c³ + 40ac – c
> Sustituyendo el valor de a y c:
(-1) – 8(-1)(-1/2) + 16(-1)³(-1/2)² – 20(-1)²(-1/2)³ + 40(-1)(-1/2) - (-1/2)
= -1 – 8(1)(-1/2) + 16(-1)(1/4) – 20(1)(-1/8) + 40(-1)(1/16) - (-1/32)
= -1 + 4 – 4 + 5/2 – 5/2 + 1/32
= -31/32 Solución.

>Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones, cuando
a= 2, b= 1/3, x= -2, y= -1, m= 3, n= 1/2

12) - (x-y) + (x² +y²)(x-y-m) + 3b(x+y+n)
> Sustituyendo el valor de x, y, m, n:
= - [(-2)-(-1)] + [(-2)² + (-1)² ][(-2)-(-1)-(3)] + [3(1/3)][(-2-1+1/2]
= - (-2+1) + (4+1)(-4) + [(1)(-2-1+1/2)]
= - (-1) +(5)(-4) + 1(-5/2)
= 1 - 20 – 5/2
= -21½ Solución.

15) x²(x-y+m) – (x-y)(x²+y²-n) + (x+y)²(m²-2n)
> Sustituyendo el valor de x, y, m, n:
(-2)²(-2-(-1)+3) - [-2-(-1)][(-2)²+(-1)²-(1/2)] + [-2-1]²[(3)²-2(1/2]
= 4(-2+1+3) - (-2+1)(4+1-1/2) + (-3)² (9-1)
= 4(2) - (-1)(9/2) + (9)(8)
= 8 +9/2 +72
= 84½ Solución.

Ecuaciones incompletas de la forma ax^2+c = 0

.       5x² -9 = 46 --> 5x² -55 = 0 

Procedimiento:

1) Resolver operaciones indicadas.

2) Cuando son fraccionarias, quitar denominadores.

3) Simplificar a la forma ax²+c = 0.

4) Encontrar las raíces x₁ , x₂.

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Ejemplos:

a) Resolver x²+1 = 7x²/9 +3

> Quitando denominadores:

El m.c.m. de 1 y 9  es 9

Aplicando el m.c.m.:

9x²+9 = 7x² +27

> Transponiendo y reduciendo términos:

9x²-7x²+9-27 = 0

2x²-18 = 0

> Simplificando para encontrar las raíces:

x² = 18/2

x = ±√9

x = ±3

-->

x₁ = 3

x₂ = -3

Las dos raíces son reales y racionales y al multiplicarlas

por sí mismas dan el mismo resultado, que es 9.

b) x²+5 = 7

> Trasponiendo términos y simplificando:

x²+5-7 =0

x²-2 = 0

> Simplificando para encontrar las raíces:

x = ±√2

-->

x₁ = √2

x₂ = -√2

Las dos raíces son reales e irracionales.

____________________________________<-

c) 5x²+12 = 3x²-20

> Transponiendo términos y simplificando:

5x²-3x²+12+20 = 0

2x²+32 = 0

> Simplificando para encontrar las raíces:

x² = - 32/2 = -16

x = ±√-16

x = ±4√-1  +ó

x = ±4í

-->

x₁ = 4√-1  ó 4í

x₂ = -4√-1   ó  -4í

Las dos raíces son imaginarias.

______________________________________

Ejercicio 271.

Resolver las ecuaciones:

1) 3x² = 48

> Transponiendo términos:

3x²-48 = 0

> Simplificando para encontrar las raíces:

x² = 48/3

x² = 16

x = ±√16

x = ±4

-->

x₁ = 4

x₂ = -4

____________________________________

5) (x+5)(x-5) = -7

> Realizando operación:

x²-25 = -7

> Transponiendo términos y simplificando;
x²-25+7 = 0

x²-18 = 0

x = ±√18

x = ±√3²(2)

x = ± 3√2

-->

x₁ = 3√2

x₂ = -3√2

____________________________________

6) (2x+3)(2x-3)-135 = 0

> Realizando operación:

4x²-9-135 = 0

4x²-144 = 0

> Simplificando para encontrar las raíces:

x² = 144/4

x² = 36

x = ±√36

x = ± 6

-->

x₁ = 6

x₂ = -6

____________________________________

10) 5/2x² - 1/6x² =7/12

> Quitando denominadores:

El m.c.m. de 2x²,  6x²,  12  es  12x²

Aplicando el m.c.m. es:

30-2= 7x²

> Ordenando y cambiando signo a la ecuación:

-7x²+28 = 0

7x²-28 = 0

> Simplificando para encontrar las raíces:

x² = 28/7

x² = 4

x = ±√4

x =± 2

-->

x₁ = 2

x₂ =-2

_____________________________________

11) 2x-3/x-3 = x-2/x-1

> Simplificando y ordenando la ecuación:

(2x-3)(x-1) = (x-3)(x-2)

2x²-5x+3 = x²-5x+6

2x²-x²+3-6 = 0

x²-3 = 0

> Simplificando para encontrar las raíces:

x² = 3

x = ±√3

-->

x₁ = √3

x₂ = -√3

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