Ejercicios del Álgebra de Baldor

sábado, 12 de septiembre de 2020

Racionalizar una fracción cuando el denominador contiene tres radicales de 2º grado.

Cuando al racionalizar el denominador de una fracción que contiene tres variables en su denominador; es necesario realizar dos series de operaciones para llegar a la solución final. Debido a que al simplificar se llega a una expresión mínima en la que el denominador de la fracción aún contiene radicales en su denominador; por lo que es necesario multiplicar la fracción por el conjugado del nuevo denominador que aparece en la solución parcial.

Procedimiento:

1) Multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.

2) Efectuar operaciones y simplificar hasta llegar a una solución parcial.

3) Multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado del denominador de la solución parcial; ya que está aún contiene algún radical.

4) Efectuar operaciones y simplificar, para llegar a la solución final. ( Esta solución no deberá contener radicales en su denominador.

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Ejemplo:

Racionalizar el denominador de $\frac{ \sqrt{2} - \sqrt{5} }{ \sqrt{2} + \sqrt{5} - \sqrt{6} }$

> Multiplicando la fracción por el conjugado del denominador.
Conjugado: $\sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{6}$
⇒
$\frac{ \sqrt{2} - \sqrt{5} }{ \sqrt{2} + \sqrt{5} - \sqrt{6} } \bullet \frac{ \sqrt{2} +\sqrt{5}+ \sqrt{6}}{ \sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{6} }=$

$= \frac{ \sqrt{2}^2 + \sqrt{10} + \sqrt{12}- \sqrt{10} - \sqrt{5}^2 - \sqrt{30} }{ \sqrt{2}^2 + \sqrt{10} + \sqrt{12}+ \sqrt{10} + \sqrt{5}^2 + \sqrt{30} - \sqrt{12} - \sqrt{30} - \sqrt{6}^2}$

$= \frac{2+ \sqrt{12}-5- \sqrt{30} }{2+2 \sqrt{10}+5-6 } = \frac{-3+2 \sqrt{3}- \sqrt{30} }{1+2 \sqrt{10} }$ Solución Parcial.

Esta solución ya no se puede simplificar más, pero como aún tiene un radical en el denominador, se procede a eliminar el radical, multiplicando la nueva fracción por el conjugado del nuevo denominador.

$= \frac{2 \sqrt{3}- \sqrt{30}-3 }{1+2 \sqrt{10} } \bullet \frac{1-2 \sqrt{10}}{1-2 \sqrt{10}}$

$= \frac{2 \sqrt{3}-4 \sqrt{30}- \sqrt{30}+2 \sqrt{300}-3+6 \sqrt{10}}{1-2 \sqrt{10}+2 \sqrt{10}-2^2 \sqrt{10^2}}$

$= \frac{2 \sqrt{3}-5 \sqrt{30}+2 \sqrt{300}-3+6 \sqrt{10}}{1-4(10)}= \frac{2 \sqrt{3}-5 \sqrt{30}+2 \sqrt{10^2(3)}-3+6 \sqrt{10}}{1-40}$

$=\frac{2 \sqrt{3}-5 \sqrt{30}+2(10) \sqrt{(3)}-3+6\sqrt{10}}{-39}=\frac{22 \sqrt{3}-5 \sqrt{30}-3+6\sqrt{10}}{-39}$

$=\frac{-22 \sqrt{3}+5 \sqrt{30}+3-6\sqrt{10}}{39}= \frac{3-22 \sqrt{3}-6 \sqrt{10}+5 \sqrt{30} }{39}$

$=\frac{3-6 \sqrt{10} +5 \sqrt{30}-22 \sqrt{3}}{39}$ Solución.
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Ejercicio 249.
Racionalizar el denominador de:

1) $\frac{ \sqrt{3}}{ \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5} }$

$=\frac{ \sqrt{3}}{ \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5} } \bullet \frac{ \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5} }{ \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5} }$

$= \frac{( \sqrt{3} )(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})}{ \sqrt{2}^2+ \sqrt{6}+ \sqrt{10}+ \sqrt{6}+ \sqrt{3^2}+ \sqrt{15}- \sqrt{10}- \sqrt{15}- \sqrt{5^2} }$

$=\frac{(\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})}{2+2\sqrt{6}+3-5}=\frac{(\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})}{2\sqrt{6}}$

$=\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})}{2\sqrt{2}}$ Solución parcial.

$=\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})}{2\sqrt{2}} \bullet \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{2} }$

$= \frac{ \sqrt{2^2}+ \sqrt{6} + \sqrt{10} }{2 \sqrt{2^2}} = \frac{2+\sqrt{6} + \sqrt{10}}{2(2)} =\frac{2+\sqrt{6} + \sqrt{10}}{4}$ Solución.
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2) $\frac{ \sqrt{2}}{\sqrt{2}+ \sqrt{3} + \sqrt{6} }$

$=\frac{ \sqrt{2}}{\sqrt{2}+ \sqrt{3} + \sqrt{6} } \bullet \frac{\sqrt{2}+ \sqrt{3} - \sqrt{6}}{\sqrt{2}+ \sqrt{3} - \sqrt{6}}$

$= \frac{( \sqrt{2})( \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{6}) }{ \sqrt{2^2} + \sqrt{6} - \sqrt{12} + \sqrt{6} + \sqrt{3^2} - \sqrt{18} + \sqrt{12} + \sqrt{18} - \sqrt{6^2} }$

$=\frac{( \sqrt{2})( \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{6}) }{ 2 +2 \sqrt{6}+3 - 6 } = \frac{( \sqrt{2})( \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{6}) }{ -1 +2 \sqrt{6} }$

$= \frac{ \sqrt{2^2} + \sqrt{6} - \sqrt{12} }{2 \sqrt{6}-1 }= \frac{ 2 + \sqrt{6} - \sqrt{2^2(3)} }{2 \sqrt{6}-1 }$

$=\frac{ 2 + \sqrt{6} - 2\sqrt{3} }{2 \sqrt{6}-1 }$ Solución parcial.

$=\frac{ 2 + \sqrt{6} - 2\sqrt{3} }{2 \sqrt{6}-1 } \bullet \frac{2 \sqrt{6}+1}{2 \sqrt{6}+1}$

$= \frac{4 \sqrt{6}+2+2 \sqrt{6^2}+ \sqrt{6}-4 \sqrt{18} -2 \sqrt{3} }{2^2 \sqrt{6^2}-1 } = \frac{5 \sqrt{6}+2+2(6)-4(3) \sqrt{2} -2 \sqrt{3} }{4(6) -1 }$

$=\frac{5 \sqrt{6}+14-12 \sqrt{2} -2 \sqrt{3} }{23 }$ Solución.
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jueves, 3 de septiembre de 2020

Multiplicación de radicales compuestos.

Los radicales compuestos son aquellos que tienen dos o más términos (5√x -2) o (√x +3√y -2√z), y radical simple (√x) o (4√x) los que tienen un solo término.

Para multiplicar radical compuesto por un radical simple o por un radical compuesto; se procede como en la multiplicación de polinomio por monomio o polinomio por polinomio. O sea cada término del primero por cada término del segundo.
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Procedimiento:
1) Se multiplica cada término del primer radical por cada término del segundo radical.
2) Se simplifica el producto hasta llegar a la solución.
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Ejemplos:

a) Multiplicar 3√x -2 por √x

= 3√x(√x) -2(√x)

= 3√x² -2√x (la raíz cuadrada de x² es = x)

= 3x -2√x Solución.

b) Multiplicar 3√2 - 5√3 por 4√2 + √3

= 3√2(4√2) +3√2(√3) - 5√3(4√2) -5√3(√3)

= 12√4 +3√6 -20√6 -5√9

> Simplificando:

= 12(2) -17√6 -5(3)

= 24 -17√6 -15

= 9 -17√6 Solución.

. ___ ___
c) Multiplicar √x+1 +2√x por 3√x+1 -√x
___ ___ ___ ___
= √x+1(3√x+1) -√x+1(√x) +2√x(3√x+1) -2√x(√x)
. ____ ___ ____
= 3(√(x+1)²) -√x²+x +6√x²+x -2√x²

> Simplificando:
. ____
3(x+1) +5√x²+x -2x
. ____
3x +3 +5√x²+x -2x
. ____
x +3 +5√x²+x Solución.
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Ejercicio 241.
Multiplicar:

1) √2 -√3 por √2

= √2(-√3) +√2(√2)
= -√6 +√4
= -√6 +2
= 2 -√6 Solución.
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2) 7√5 +5√3 por 2√3

= 2√3(7√5) + 2√3(5√3)
= 14√15 + 10√9
= 14√15 + 10(3)
= 30 +14√15 Solución.
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4) √2 -√3 por √2 +2√3

= √2(√2) +√2(2√3) -√3(√2) -√3(2√3)
= √4 +2√6 -√6 -2√9
= 2 +√6 - 2(3)
= 2-6 +√6
= -4 +√6
=√6 -4 Solución.
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5) √5 +5√3 por 2√5 +3√3

= √5(2√5) +√5(3√3) +5√3(2√5) +5√3(3√3)
= 2√25 + 3√15 +10√15 + 15√9
= 2(5) + 13√15 +15(3)
= 10 + 13√15 +45
= 55 +13√15 Solución.
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9) √2 + √3 +√5 por √2 -√3

= √2(√2) +√2(√3) +√2(√5) -√3(√2) -√3(√3) -√3(√5)
= √4 +√6 +√10 -√6 -√9 -√15
= 2 +√10 -3 -√15
= -1 +√10 -√15
= √10 -√15 -1 Solución.
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10) √2 -3√3 +√5 por √2 +2√3 -√5

= √2(√2) +√2(2√3) -√2(√5) -3√3(√2) -3√3(2√3) +3√3(√5) +√5(√2) +√5(2√3) -√5(√5)
= √4 +2√6 -√10 -3√6 -6√9 +3√15 +√10 +2√15 -√25
= 2 -√6 -6(3) -√15 -5
= -21 -√6 +5√15
= 5√15 -√6 -21 Solución.
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11) 2√3 -√6 +√5 por √3 +√6 +3√5

= 2√3(√3) +2√3(√6) +2√3(3√5) -√6(√3) -√6(√6) -√6(3√5) +√5(√3) +√5(√6) +√5(3√5)
= 2√9 +2√18 +6√15 -√18 -√36 -3√30 +√15 +√30 +3√25
= 2(3) +√18 +7√15 -6 -2√30 +3(5)
= 6 +√9√2 +7√15 -6 -2√30 +15
= 15 +3√2 +7√15 -2√30 Solución.
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martes, 25 de agosto de 2020

Ordenar radicales en relación decreciente de sus magnitudes.

Para ordenar radicales en orden decreciente, debemos conocer sus magnitudes en relación a sus índices.
Para esto debemos reducir los radicales al mínimo común índice (Ejercicio 235), para que las magnitudes resultantes nos den el orden decreciente de los radicales de distinto índice.
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Ejemplo:

a) Ordenar ∜7 , √3 y ∛5

> Reduciendo los radicales a un mínimo común índice:
El m.c. índice de 4, 2 y 3 es 12
➜
∜7 = ¹²√7³ = ¹²√343
√3 = ¹²√3⁶ = ¹²√729
∛5 = ¹²√5⁴ = ¹²√625

> Ordenando en forma decreciente los radicales originales en relación a las magnitudes;

¹²√729 → √3
¹²√625 → ∛5
¹²√343 → ∜7

→ La solución es √3, ∛5 y ∜7
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Ejercicio 236.
Escribir en orden decreciente las magnitudes:

2) ⁶√15, ∜7

m.c. índice de 6 y 4 es 12
➜
⁶√15 = ¹²√15² = ¹²√225
∜7 = ¹²√7³ = ¹²√343
➜
¹²√343 → ∜7
¹²√225 → ⁶√15

➜ Solución: ∜7 , ⁶√15
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4) √3, ∛5, ⁶√32

m.c. índice de 2, 3 y 6 es 6
➜
√3 = ⁶√3³ = ⁶√27
∛5 = ⁶√5² = ⁶√25
⁶√32 = ⁶√32 = ⁶√32
➜
⁶√32 → ⁶√32
⁶√27 → √3
⁶√25 → ∛5
➜ Solución: ⁶√32, √3, ∛5
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6) ³√2 , ⁶√3 y ⁹√9

m.c. índice de 3, 6, y 9 es 18
➜
³√2 = ¹⁸√2⁶ = ¹⁸√64
⁶√3 = ¹⁸√3³ = ¹⁸√27
⁹√9 = ¹⁸√9² = ¹⁸√81
➜
¹⁸√81 → ⁹√9
¹⁸√64 → ³√2
¹⁸√27 → ⁶√3
➜
Solución: ⁹√9, ³√2, ⁶√3
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miércoles, 19 de agosto de 2020

Término General de un Binomio a la n,

La fórmula del término general de un binomio elevado a la "n", nos permite hallar directamente cualquier término del desarrollo de un binomio elevado a una potencia "n"; sin necesidad de encontrar los términos anteriores.

Partiendo de la fórmula
$(a+b)^n = a^n+na^{n-1}+ \frac{n(n-1)}{(1)(2)}a^{n-2}b^2+\frac{n(n-1)(n-2}{(1)(2)(3)}a^{n-3}b^3 + \ldots \frac{r-1}{(r-1)}a^{r-(r-1)}b^{r-1}$

se establece la fórmula para el término general, que es:

$t_{r}=\frac{r-1}{(r-1)}a^{r-(r-1)}b^{r-1}$

De acuerdo a las leyes vistas en el desarrollo de un Binomio de Newton, se hallará el término que ocupa el lugar de "r" en el desarrollo de (a+b)ⁿ.

1) El numerador del coeficiente del término "r" es n(n-1)(n-2) ... hasta que haya r-1 factores.
2) El denominador es una factorial (1)(2)(3) ... que tiene r-1 factores.
3) El exponente de "a" es el exponente del binomio "n" menos (r-1)
4) El exponente de "b" es r-1.

Veamos unos ejemplos:

a) Hallar el 5º término del desarrollo de (3a+b)⁷

r = 5 -> lo preceden 4 términos o sea que r-1=5-1= 4, y como el número de término del binomio es 7.

> Entonces nuestro numerador sería: n(n-1)(n-2)(n-2) = (7)(7-1)(7-2)(7-3)= (7)(6)(5)(4)

> Nuestro denominador sería la factorial de r-1 = 4: 4! = (1)(2)(3)(4)

> El exponente de a: $a^{r-(r-1)}=(3a)^{7-(5-1)}$

> El exponente de b: $b^{(r-1)}=(b)^{(5-1)}$

Con esto ya podemos formar nuestra fórmula y simplificarla:

$t_{5} = \frac{(7)(6)(5)(4)}{(4)!} (3a)^{7-(5-1)}(b)^{5-1}$

$=35(3a)^3b^4= 35(27a^3)b^4$

$=945a^3b^4$ que es la Solución.
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b) Hallar el 6º término del desarrollo de (x²-2y)¹⁰

Si: r = 6 -> r-1 = 6-1 = 5 y n = 10

-->
$t_{6} = \frac{(10)(9)(8)(7)(6)}{(5)!} (x^2)^{10-5}(-2y)^{5}$
$= \frac{30240}{120} (x^2)^{5}(-2y)^{5}$

$=252(x^{10})(-32y^5)$

$= -8064x^{10}y^5$ Solución.
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Ejercicio 212.
Hallar el

2) El 4º término de (a-4b)⁷

n = 7 ; r = 4 --> r-1 = 3

$t_{4} = \frac{(7)(6)(5)}{((1)(2)(3)} a^{7-(4-1)}(-4b)^{4-1}$

$= \frac{210}{6}a^{7-3}(-4b)^3 =35(a^4)(-64b^3)$

$=-2240a^4b^3$ Solución.
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3) El 5º término de (1+x)¹¹

n = 11 ; r = 5 -> r-1 = 5-1 = 4

$t_{5} = \frac{(11)(10)(9)(8)}{((1)(2)(3)(4))!} 1^{11-(5-1)}x^{5-1}$

$= (\frac{7940}{24})(1^{11-(4)})(x^{4})= 330(1^7)(x^4)$

$=330(1)(x^4)= 330x^4$ Solución.
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6) El 6º término de (2a - b/2)⁸

n = 8 ; r = 6 -> r-1 = 6-1 = 5

$t_{6} = \frac{(8)(7)(6)(5)(4)}{(1)(2)(3)(4)(5))} (2a)^{8-(5)}(- \frac{b}{2})^{5}$

$= \frac{6720}{120}(2a)^3(- \frac{b}{2} )^5 = 56(8a^3)(- \frac{b^5}{32} )$

$= -\frac{448}{32}a^3b^5 =-14a^3b^5$ Solución.
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9) El 10º término de (a²+b)¹⁵

n = 15 ; r = 10 -> r-1 = 10-1 = 9

$t_{10} = \frac{(15)(14)(13)(12)(11)(10)(9)(8)(7)}{9!} (a^2)^{15-(9)}b^{9}$

$= \frac{1,816.214,400}{362880}(a^2)^{6}(b^{9}) =5005a^{12}b^9$ Solución.
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viernes, 7 de agosto de 2020

Binomio de Newton. Potenciación.

El Binomio de Newton es una fórmula que sirve para calcular una potencia cualquiera de un binomio, cuyo exponente sea entero y positivo.

Se utilizan para este cálculo, los coeficientes de los términos del binomio; semejante a una sucesión de números combinatorios.
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Ver definiciones de apoyo sobre este tema en:
https://ejerciciosalgebrabaldor.blogspot.com/p/apoyos-la-tematica-de-algebra.html
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Para el desarrollo del binomio se deben cumplir las siguientes leyes:
Partiendo de (a+b)ⁿ

1) Cada desarrollo tiene un término más que el exponente del binomio.
2) El exponente de "a" en el primer término del desarrollo es igual al exponente del binomio, y en cada término posterior al primero disminuye 1.
3) El exponente de "b" en el segundo término del desarrollo es 1, y en cada término posterior a éste, aumenta en 1.
4) El coeficiente del primer término del desarrollo es 1 y el coeficiente del segundo término es igual al exponente de "a" en el primer primer término del desarrollo.
5) El coeficiente de cualquier término se obtiene multiplicando el coeficiente del término anterior por el exponente de "a" en dicho término anterior y dividiendo este producto por el exponente de "b" en ese mismo término aumentado en 1.
6) El último término del desarrollo es "b" elevado al exponente del binomio.
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Ejemplos:

a) Desarrollar (x+y)⁴

> Aplicando la ley del binomio:

1er. término: x⁴ (x elevada al exponente del binomio)
2º. término: 4x³y (coeficiente igual al exponente del binomio; "x" elevada a 4-1=3 y "y " elevada a la 1.)
3er. término: 6x²y² (coeficiente igual a (4)(3)=12 /2 = 6; "x" a la 3-1=2 y "y" elevada 1 más 1= 2)
4º término: 4xy³ (coeficiente igual a (6)(2)=12 / 3= 4; "x" a la 2-1=1 y "y" elevada a 2+1=3)
5º término: y⁴ (coeficiente igual a (4)(1)=4 / 4 = 1; "x" elevada a la 1-1= 0 y x⁰ es igual a 1; y "y" elevada a 3+1=4)

→ (x+y)⁴ = x⁴ + 4x³y +6x²y² +4xy³ +y⁴ Solución.
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b) Desarrollar (a-2x)⁵

> Aplicando la ley del binomio:

(a-2x)⁵ = a⁵ - 5a⁴(2x) + 10a³(2x)² - 10a²(2x)³ + 5a(2x)⁴ - (2x)⁵

> Simplificando:

(a-2x)⁵ = a⁵ -10a⁴x + 40a³x² - 80a²x³ + 80ax⁴ -32x⁵ Solución.
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c) Desarrollar (2x² +3y⁴)⁵

> Aplicando la ley del binomio:

= (2x²)⁵ + 5(2x²)⁴(3y⁴) + 10(2x²)³(3y⁴)² + 10(2x²)²(3y⁴)³ + 5(2x²)(3y⁴)⁴ + (3y₄)⁵

> Simplificando:

= 32x¹⁰ +5(16x⁸)(3y⁴) + 10(8x⁶)(9y⁸) + 10(4x⁴)(27y¹²) + 5(2x²)(81y¹⁶) + 243y²⁰

= 32x¹⁰ +240x⁸y⁴ + 720x⁶y⁸ + 1080x⁴y¹² + 810x²y¹⁶ + 243y²⁰ Solución.
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d) Desarrollar (a⁵-b³/2)⁶

= (a⁵)⁶ - 6(a⁵)⁵(b³/2) + 15(a⁵)⁴(b³/2)² - 20(a⁵)³(b³/2)³ + 15(a⁵)²(b³/2)⁴ - 6(a⁵)(b³/2)⁵ + (b³/2)⁶

= a³⁰ - 6(a²⁵)(b³/2) +15(a²⁰)(b⁶/4) -20(a¹⁵)(b⁹/8) + 15(a¹⁰)(b¹²/16) -6(a⁵)(b¹⁵/32) + b¹⁸/64

= a³⁰ - 3a²⁵b³ +15/4 a³⁰b⁶ - 5/2 a¹⁵b⁹ + 15/16 a¹⁰b¹² - 3/16 a⁵b¹⁵ + 1/64 b¹⁸ Solución.
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Ejercicio 210.
Desarrollar:

4) (2x+5y)⁴

= (2x)⁴ + 4(2x)³(5y) + 6(2x)²(5y)² + 4(2x)(5y)³ + (5y)⁴

= 16x⁴ + 4(8x³)(5y) + 6(4x²)(25y²) + 4(2x)(125y³) + 625y⁴

= 16x⁴ + 160x³y + 600x²y² + 1000xy³ + 625y⁴ Solución.
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5) (a-3)⁶

= a⁶ - 6(a)⁵(3) + 15(a)⁴(3)² - 20(a)³(3)³ + 15(a)²(3)⁴ - 6(a)(3)⁵ + (3)⁶

= a⁶ - 18a⁵ + 135a⁴ - 540a³ + 1215a² - 1458a +729 Solución.
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7) (x²+2y³)⁵

= (x²)⁵ + 5(x²)⁴(2y³) + 10(x²)³(2y³)² +10(x²)²(2y³)³ + 5(x²)(2y³)⁴ + (2y³)⁵

= x¹⁰ + 5(x⁸)(2y³) +10(x⁶)(4y⁶) + 10(x⁴)(8y⁹) + 5(x²)(16y¹²) + 32y¹⁵

= x¹⁰ + 10x⁸y³ +40x⁶y⁶ + 80x⁴y⁹ + 80x²y¹² + 32y¹⁵ Solución.
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11) (2x-y/2)⁶

= (2x)⁶ - 6(2x)⁵(y/2) + 15(2x)⁴(y/2)² - 20(2x)³(y/2)³ + 15(2x)²(y/2)⁴ - 6(2x)(y/2)⁵ + (y/2)⁶

= 64x⁶ - 6(32x⁵)(y/2) + 15(16x⁴)(y²/4) - 20(8x³)(y³/8) + 15(4x²)(y⁴/16) - 6(2x)(y⁵/32) + 1/64y⁶

= 64x⁶ - 96x⁵y + 60x⁴y² - 20x³y³ + 15/4x²y⁴ - 3/8xy⁵ + 1/64y⁶ Solución.
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17) (x³-1)⁸

= (x³)⁸ - 8(x³)⁷(1) + 28(x³)⁶(1)² - 56(x³)⁵(1)³ + 70(x³)⁴(1)⁴ - 56(x³)³(1)⁵ +28 (x³)²(1)⁶ - 8(x³)(1)⁷ + (1)⁸

= x²⁴ - 8x²¹ + 28x¹⁸ - 56x¹⁵ + 70x¹² - 56x⁹ + 28x⁶ - 8x³ + 1 Solución.
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20) (¹/₂ x² + ²/³ y²)⁵

= (¹/₂ x²)⁵ + 5(¹/₂ x²)⁴(²/³ y²) +10 (¹/₂ x²)³(²/³ y²)² + 10(¹/₂ x²)²(²/³ y²)³ + 5(¹/₂ x²)(²/³ y²)⁴ + (²/³ y²)⁵

= ¹/₃₂ x¹⁰ + 5(¹/₁₆ x⁸)(²/³ y²) + 10(¹/⁸ x⁶)(⁴/₉ y⁴) + 10(¹/⁴ x⁴)(⁸/₂₇ y⁶) + 5(¹/₂ x²)(¹⁶/⁸₁ y⁸) + ³²/₂₄₃y¹⁰

= ¹/₃₂ x¹⁰ + ⁵/₂₄ x⁸y²) + ⁵/₉ x⁶y⁴) + ²⁰/₂₇ x⁴y⁶) + ⁴⁰/₈₁ x²y⁸) + ³²/₂₄₃ y¹⁰ Solución.
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