Ejercicios del Álgebra de Baldor: Racionalizar una fracción cuando el denominador contiene tres radicales de 2º grado.

sábado, 12 de septiembre de 2020

Racionalizar una fracción cuando el denominador contiene tres radicales de 2º grado.

Cuando al racionalizar el denominador de una fracción que contiene tres variables en su denominador; es necesario realizar dos series de operaciones para llegar a la solución final. Debido a que al simplificar se llega a una expresión mínima en la que el denominador de la fracción aún contiene radicales en su denominador; por lo que es necesario multiplicar la fracción por el conjugado del nuevo denominador que aparece en la solución parcial.

Procedimiento:

1) Multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.

2) Efectuar operaciones y simplificar hasta llegar a una solución parcial.

3) Multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado del denominador de la solución parcial; ya que está aún contiene algún radical.

4) Efectuar operaciones y simplificar, para llegar a la solución final. ( Esta solución no deberá contener radicales en su denominador.

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Ejemplo:

Racionalizar el denominador de $\frac{ \sqrt{2} - \sqrt{5} }{ \sqrt{2} + \sqrt{5} - \sqrt{6} }$

> Multiplicando la fracción por el conjugado del denominador.
Conjugado: $\sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{6}$
⇒
$\frac{ \sqrt{2} - \sqrt{5} }{ \sqrt{2} + \sqrt{5} - \sqrt{6} } \bullet \frac{ \sqrt{2} +\sqrt{5}+ \sqrt{6}}{ \sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{6} }=$

$= \frac{ \sqrt{2}^2 + \sqrt{10} + \sqrt{12}- \sqrt{10} - \sqrt{5}^2 - \sqrt{30} }{ \sqrt{2}^2 + \sqrt{10} + \sqrt{12}+ \sqrt{10} + \sqrt{5}^2 + \sqrt{30} - \sqrt{12} - \sqrt{30} - \sqrt{6}^2}$

$= \frac{2+ \sqrt{12}-5- \sqrt{30} }{2+2 \sqrt{10}+5-6 } = \frac{-3+2 \sqrt{3}- \sqrt{30} }{1+2 \sqrt{10} }$ Solución Parcial.

Esta solución ya no se puede simplificar más, pero como aún tiene un radical en el denominador, se procede a eliminar el radical, multiplicando la nueva fracción por el conjugado del nuevo denominador.

$= \frac{2 \sqrt{3}- \sqrt{30}-3 }{1+2 \sqrt{10} } \bullet \frac{1-2 \sqrt{10}}{1-2 \sqrt{10}}$

$= \frac{2 \sqrt{3}-4 \sqrt{30}- \sqrt{30}+2 \sqrt{300}-3+6 \sqrt{10}}{1-2 \sqrt{10}+2 \sqrt{10}-2^2 \sqrt{10^2}}$

$= \frac{2 \sqrt{3}-5 \sqrt{30}+2 \sqrt{300}-3+6 \sqrt{10}}{1-4(10)}= \frac{2 \sqrt{3}-5 \sqrt{30}+2 \sqrt{10^2(3)}-3+6 \sqrt{10}}{1-40}$

$=\frac{2 \sqrt{3}-5 \sqrt{30}+2(10) \sqrt{(3)}-3+6\sqrt{10}}{-39}=\frac{22 \sqrt{3}-5 \sqrt{30}-3+6\sqrt{10}}{-39}$

$=\frac{-22 \sqrt{3}+5 \sqrt{30}+3-6\sqrt{10}}{39}= \frac{3-22 \sqrt{3}-6 \sqrt{10}+5 \sqrt{30} }{39}$

$=\frac{3-6 \sqrt{10} +5 \sqrt{30}-22 \sqrt{3}}{39}$ Solución.
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Ejercicio 249.
Racionalizar el denominador de:

1) $\frac{ \sqrt{3}}{ \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5} }$

$=\frac{ \sqrt{3}}{ \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5} } \bullet \frac{ \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5} }{ \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5} }$

$= \frac{( \sqrt{3} )(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})}{ \sqrt{2}^2+ \sqrt{6}+ \sqrt{10}+ \sqrt{6}+ \sqrt{3^2}+ \sqrt{15}- \sqrt{10}- \sqrt{15}- \sqrt{5^2} }$

$=\frac{(\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})}{2+2\sqrt{6}+3-5}=\frac{(\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})}{2\sqrt{6}}$

$=\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})}{2\sqrt{2}}$ Solución parcial.

$=\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})}{2\sqrt{2}} \bullet \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{2} }$

$= \frac{ \sqrt{2^2}+ \sqrt{6} + \sqrt{10} }{2 \sqrt{2^2}} = \frac{2+\sqrt{6} + \sqrt{10}}{2(2)} =\frac{2+\sqrt{6} + \sqrt{10}}{4}$ Solución.
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2) $\frac{ \sqrt{2}}{\sqrt{2}+ \sqrt{3} + \sqrt{6} }$

$=\frac{ \sqrt{2}}{\sqrt{2}+ \sqrt{3} + \sqrt{6} } \bullet \frac{\sqrt{2}+ \sqrt{3} - \sqrt{6}}{\sqrt{2}+ \sqrt{3} - \sqrt{6}}$

$= \frac{( \sqrt{2})( \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{6}) }{ \sqrt{2^2} + \sqrt{6} - \sqrt{12} + \sqrt{6} + \sqrt{3^2} - \sqrt{18} + \sqrt{12} + \sqrt{18} - \sqrt{6^2} }$

$=\frac{( \sqrt{2})( \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{6}) }{ 2 +2 \sqrt{6}+3 - 6 } = \frac{( \sqrt{2})( \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{6}) }{ -1 +2 \sqrt{6} }$

$= \frac{ \sqrt{2^2} + \sqrt{6} - \sqrt{12} }{2 \sqrt{6}-1 }= \frac{ 2 + \sqrt{6} - \sqrt{2^2(3)} }{2 \sqrt{6}-1 }$

$=\frac{ 2 + \sqrt{6} - 2\sqrt{3} }{2 \sqrt{6}-1 }$ Solución parcial.

$=\frac{ 2 + \sqrt{6} - 2\sqrt{3} }{2 \sqrt{6}-1 } \bullet \frac{2 \sqrt{6}+1}{2 \sqrt{6}+1}$

$= \frac{4 \sqrt{6}+2+2 \sqrt{6^2}+ \sqrt{6}-4 \sqrt{18} -2 \sqrt{3} }{2^2 \sqrt{6^2}-1 } = \frac{5 \sqrt{6}+2+2(6)-4(3) \sqrt{2} -2 \sqrt{3} }{4(6) -1 }$

$=\frac{5 \sqrt{6}+14-12 \sqrt{2} -2 \sqrt{3} }{23 }$ Solución.
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