Suma de una progresión geométrica decreciente infinita-

.       S = a / 1-r

Esta se da cuando el número de términos de la progresión geométrica es infinito.

Cabe mencionar que la suma de este tipo de progresión tiende a un valor límite, pero la suma de los términos, nunca llega a ser igual al límite.  Aunque cuanto mayor sea el número de términos, más se aproxima la suma al valor límite.

Esta fórmula puede utilizarse para hallar el valor de una fracción decimal periódica (0.31515), que se verá en un tema posterior a este.

____________________________________________________

Fórmula:

S = a/1-r  (Para una progresión geométrica infinita)

____________________________________________________

Ejemplos:

a) Hallar la suma de la progresión ÷÷4:2:1….

> Elementos:  a=4  ;  r=2÷4= ½ ;  u=∞  ; n=∞

> Aplicando la fórmula respectiva:

S = a/1-r

S = 4/(1-½)

S = 4/½

S = 8  Solución.  (Límite de la suma)

b) Hallar la suma de la progresión infinita ÷÷5:-³/₂:⁹/₂₀….

> Elementos:  a=5  ;  r=-³/₂÷5=-³/₁₀  ;  u=∞  n=∞

> Aplicando la fórmula respectiva:

S = a/1-r

S = 5/[1-(-³/₁₀)]

S = 5/(1+³/₁₀)

S = 5/(¹³/₁₀)

S = ⁵⁰/₁₃

S = 3 ¹¹/₁₃   Solución. (Límite de la suma)

_________________________________________________

Ejercicio 295.

Hallar la suma de las progresiones infinitas:

1) ÷÷2:½:⅛….

> Elementos:  a=2  ;  r= ½÷2= ¼   u=∞  ;  n=∞

> Aplicando la fórmula para la suma:

S = a/1-r

S = 2/(1-¼)

S = 2/¾

S = ⁸/₃ = 2⅔  Límite de la suma.

_________________________________________________

2) ÷÷½:¹/₆:¹/₁₈….

> Elementos:  a= ½  ;  r=¹/₆÷ ½= ⅓  ;  u=∞  ;  n=∞

> Aplicando la fórmula para la suma:

S = a/1-r

S = ½/(1- ⅓)

S = ½ /⅔

S = ¾   Límite de la suma.

_________________________________________________

3)  ÷÷-5:-2:-⅘….

> Elementos:  a = -5  ;  r=-2÷-5= ⅖  u=∞  ;  n=∞

> Aplicando la fórmula para la suma:

S = a/1-r

S = -5/(1-⅖)

S = -5/⅗

S = -²⁵/₃ = -8⅓   Límite de la suma.

_________________________________________________

Interpolación de medios geométricos.

. ÷÷96:?:?:?:?:3

Interpolar medios geométricos entre dos números es formar una progresión geométrica cuyos extremos sean los números dados.

Procedimiento:

1) Se encuentra la razón por medio de su fórmula.

2) Se calculan los medios geométricos que sean pedidos, multiplicando el primer término por la razón para encontrar el segundo término; luego se multiplica el segundo término por la razón para encontrar el tercer término, y así sucesivamente hasta encontrar los medios que se piden.

3) Se interpolan los medios geométricos encontrados entre los extremos dados, para formar la progresión geométrica.

_____________________________________________

Ejemplo:

a) Interpolar 4 medios geométricos entre 96 y 3:

> Elementos:   a=96  ;  u=3  ;  n=4+2=6  ;  r=?

> Encontrando la razón (r):

r = ⁿ⁻¹√(u/a)

r = ⁶⁻¹√(3/96)

r = ⁵√(¹/₃₂)

r = ½ 

> Calculando los medios geométricos:

96(½) = 48

48(½) = 24

24(½) = 12

12(½) = 6

> Interpolando los medios encontrados:

÷÷96:48:24:12:6:3   Solución.

_________________________________________

Ejercicio 294.

1) Interpolar 3 medios geométricos entre 5 y 3125:

> Elementos:  a=5  ;  u= 3125  ;  n=3+2=5  ;  r=?

> Encontrando la razón:

r = ⁿ⁻¹√(u/a)

r = ⁵⁻¹√(3125/5)

r = ⁴√625

r = 5

> Calculando los medios geométricos:

5(5) = 25

25(5) = 125

125(5) = 625

> Interpolando los medios geométricos:

÷÷5:25:125:625:3125   Solución.

_____________________________________________

2) Interpolar 4 medios geométricos entre -7 y -224

> Elementos:  a=-7  ;  u=-224  ;  n=4+2=6  ;  r=?

> Encontrando la razón:

r = ⁿ⁻¹√(u/a)

r = ⁶⁻¹√(-224/-7)

r = ⁵√32

r = 2

> Calculando los medios geométricos:

-7(2) = -14

-14(2) = -28

-28(2) = -56

-56(2) = -112

> Interpolando los medios geométricos:

÷÷-7:-14:-28:-56:-112:-224   Solución.

_________________________________________________

4) Interpolar 4 medios geométricos entre 4 ¹/₂ y ¹⁶/₂₇

> Elementos:  a=4¹/₂=⁹/₂  ;  u =¹⁶/₂₇  :  n=4+2=6  ;  r=?

r = ⁿ⁻¹√(u/a)

r = ⁶⁻¹√(¹⁶/₂₇ / ⁹/₂)

r = ⁵√(³²/₂₄₃)

r = ⅔

> Calculando los medios geométricos:

(⁹/₂)(⅔) = 3

3(⅔) = 2

2(⅔) = ⁴/₃

(₄/₃)(⅔) = ⁸/₉

> Interpolando los medios geométricos:

÷÷4½:3:2:1⅓:⁸/₉:¹⁶/₂₇   Solución.

_______________________________________________

Suma de los términos de una Progresión Geométrica.

.Fórmula:  S = ur-a /r-1

Procedimiento:

1) Se realizan las operaciones que sean necesarias para simplificar las cantidades de los términos.

2) Se encuentran los elementos que falten para aplicar la fórmula de la suma.

3) Se aplica la fórmula de la Suma.

____________________________________________

Fórmula:  S = ur-a /r-1

____________________________________________

Ejemplos:

a) Hallar la suma de los 6 primeros términos de 4:2:1….

> Elementos:  a = 4  ;  n = 6  ;  r =2÷4= ½  ;  u = ?

> Encontrando “u”

u = arⁿ⁻¹

u = 4(½)⁶⁻¹

u = 4(½)⁵

u = 4(¹/₃₂)

u =¹/₈

> Aplicando la fórmula para la suma:

S = ur-a /r-1

S = (¹/₈)(½)-4 /½-1

S = (¹/₁₆)-4 /-½

S = (-⁶³/₁₆)/(-½)

S = ⁶³/₈ = 7 ⁷/₈  Solución.

b) Hallar la suma de los 8 primeros términos de 9:-3:1….

> Elementos: a = 9  ;  n = 8  ;  r=-3÷9=-⅓  ;  u = ?

> Encontrando “u”

u = arⁿ⁻¹

u = 9(-⅓)⁸⁻¹

u = 9(-⅓)⁷

u = 9(-¹/₂₁₈₇)

u = -¹/₂₄₃

> Aplicando la fórmula para la suma:

S = ur-a /r-1

S = (-¹/₂₄₃)(-⅓)-9 /-⅓-1

S = (¹/₇₂₉)-9 /(-⁴/₃)

S = (-⁶⁵⁶⁰/₇₂₉)/(-⁴/₃)

S = 6 ¹⁸²/₂₄₃   Solución.

_____________________________________________

Ejercicio 293.

1) Hallar la suma de los 5 primeros términos de 6:3:1½….

> Elementos:  a = 6  ;  n = 5  ;  r=3÷6= ½  ;  u =?

>Encontrando “u”

u = arⁿ⁻¹

u = 6(½)⁵⁻¹

u = 6(½)⁴

u = 6(¹/₁₆) = ⅜

> Aplicando la fórmula para la suma:

S = ur-a /r-1

S = (⅜)(½)-6 / ½ -1

S = (³/₁₆)-6 / ½ -1

S = (-⁹³/₁₆)/(-½)

S = 11 ⁵/₈  Solución.

____________________________________________

2) Hallar la suma de los 6 primeros términos de 4:-8:16….

> Elementos:  a = 4  ;  n = 6  r=-8÷4= -2  ;  u =?

> Encontrando “u”:

u = arⁿ⁻¹

u = 4(-2)⁶⁻¹

u = 4(-2)⁵

u = 4(-32)

u = -128

> Aplicando la fórmula de  suma:

S = ur-a /r-1

S = (-128)(-2)-4 /(-2-1)

S = (256-4)/-3

S = 252/-3

S = -84  Solución.

____________________________________________

3) Hallar los 7 primeros términos de 12:4:1⅓….

> Elementos:  a=12  ;  n=7  ;  r=4÷12= ⅓  ; u=?

> Encontrando “u”:

u = arⁿ⁻¹

u = 12(⅓)⁷⁻¹

u = 12(⅓)⁶

u = (12)(¹/₇₂₉)

u = ⁴/₂₄₃

> Aplicando la fórmula de suma:

S = ur-a /r-1

S = (⁴/₂₄₃)(⅓)-12 /⅓-1

S = ⁴/₇₂₉ -12 /-²/₃

S = (-⁸⁷⁴⁴/₇₂₉)/-²/₃

S = 17 ²⁴¹/₂₄₃  Solución.

_____________________________________________

4) Hallar los 10 primeros términos de ¼:½:1….

> Elementos:  a= ¼ ;  n=10  ;  r=½÷¼=2  ;  u=?

u = arⁿ⁻¹

u = ¼ (2)¹⁰⁻¹

u = ¼ (2)⁹

u = (¼)(512)

u = 128

> Aplicando la fórmula de suma:

S = ur-a /r-1

S = (128)(2)-¼ /2-1

S = 256-¼ /1

S = (¹⁰²³/₄)/1

S = 255 ³/₄  Solución.

_____________________________________________

Primer término y razón de una Progresión Geométrica.

Procedimiento:

1) Se encuentran los elementos para aplicar la fórmula.

2) Se aplica la fórmula respectiva para encontrar el resultado.

______________________________________________

Fórmulas:  

Primer término:   a = u/rⁿ⁻¹

Razón:  r = ⁿ⁻¹√(u/a)

______________________________________________

Ejemplos:

a) El 6° término de una progresión geométrica es ¹/₁₆ y la razón es ½.  Hallar el primer término.

> Elementos:  u = ¹/₁₆  ;  n = 6  ;  r = ½

> Aplicando la fórmula:

a = u/rⁿ⁻¹

a = ¹/₁₆ /(½)⁶⁻¹

a = ¹/₁₆ /(½)⁵

a = (¹/₁₆)/(¹/₃₂)

a = 2  Solución.

b) El 1° término de una progresión geométrica es 3 y el 6° término  -729.  Hallar la razón:

> Elementos:  a = 3  ;  u = -729  ;  n = 6

> Aplicando la fórmula:

r = ⁿ⁻¹√(u/a)

r = ⁶⁻¹√(-729/3)

r = ⁵√(-729/3)

r = ⁵√(-243)

r = -3   Solución.

_____________________________________________

Ejercicio 292.

1) La razón de una progresión geométrica es ½ y el 7° término 1/64.  Hallar el primer término.

> Elementos:  u = 1/64  ;  n = 7  ;  r = ½

> Aplicando la fórmula para “a”:

a = u/rⁿ⁻¹

a = ¹/₆₄ /(½)⁷⁻¹

a = ¹/₆₄ /(½)⁶

a = ¹/₆₄ / ¹/₆₄

a = 1   Solución.

_____________________________________________

3) El 5° término de una progresión geométrica es ¹⁶/₁₂₅ y el 6° término ³²/₆₂₅.  Hallar el 1° término.

> Elementos:  u = ³²/₆₂₅  ;  n = 6  ;  r=(³²/₆₂₅)÷(¹⁶/₁₂₅)=⅖

> Aplicando la fórmula:

a = u/rⁿ⁻¹

a = ³²/₆₂₅ /(⅖)⁶⁻¹

a = ³²/₆₂₅ /(⅖)⁵

a = (³²/₆₂₅)/(³²/₃₁₂₅)

a = 5   Solución.

_____________________________________________

5) Hallar la razón de ÷÷ ⅓……..:243  de 7 términos.

> Elementos:  a = ⅓  :  u = 243  ;  n = 7

> Aplicando la fórmula:

r = ⁿ⁻¹√(u/a)

r = ⁷⁻¹√(243/⅓)

r = ⁶√729

r = 3  Solución.

____________________________________________

7) Hallar la razón de ÷÷ ⁷²⁹/₂:……….:³/₂  de 6 términos.

> Elementos:  a = ⁷²⁹/₂  ;  u = ³/₂  ;  n = 6

> Aplicando la fórmula:

r = ⁿ⁻¹√(u/a)

r = ⁶⁻¹√(³/₂)/(⁷²⁹/₂)

r = ⁵√(¹/₂₄₃)

r = ⅓  Solución.

____________________________________________

Término enésimo de una Progresión Geométrica.

.     7° término de ÷÷ 3:2:4/3… .

Procedimiento:

1) Se encuentran los elementos para aplicar la fórmula

2) Se aplica la fórmula para encontrar el resultado.

Nota:  Para la Progresión Geométrica usaré como símbolo de la misma: ÷÷  

_____________________________________________

Fórmula: u = arⁿ⁻¹

_____________________________________________

Ejemplos:

a) Hallar el 5° término de ÷÷2:6:18….

> Elementos:  a = 2  ;  n = 5  : r = 6÷2 = 3

> Aplicando la fórmula:

u = arⁿ⁻¹

u = 2(3)⁵⁻¹

u = 2(3)⁴

u = 2(81)

u = 162    Solución.

b) Hallar el 8° término de ÷÷6:4….

> Elementos:  a = 6  ;  n = 8  ;  r = 4÷6 = 2/3

> Aplicando la fórmula:

u = 6(2/3)⁸⁻¹

u = 6(2/3)⁷

u = 6(128/2187)

u = 256/729   Solución.

c) Hallar el 7° término de ÷÷2/3:-1/2:3/8 ….

>  Elementos:  a = 2/3   n = 7  r = -1/2÷2/3 = -3/4

> Aplicando la fórmula:

u = 2/3(-3/4)⁷⁻¹

u = 2/3(-3/4)⁶

u = (2/3)(729/4096)

u = 243/2048    Solución.

__________________________________________

Ejercicio 291.

1) Hallar el 7° término de ÷÷3:6:12 ….

> Elementos:  a = 3  ;  n = 7  ;  r = 6÷3= 2

> Aplicando la fórmula:

u = 3(2)⁷⁻¹

u = 3(2)⁶

u = 3(64)

u = 192  Solución.

__________________________________________

3) Hallar el 9° término de ÷÷8:4:2 ….

> Elementos:  a = 8  ;  n = 9  ;  r =4÷8= ½

> Aplicando la fórmula:

u = 8(½)⁹⁻¹

u = 8(½)⁸

u = 8(1/256)

u = 1/32   Solución.

____________________________________________

6) Hallar el 6° término de ÷÷½:⅕ ….

> Elementos:  a = ½  ;  n = 6  ;  r = ⅕÷½= ⅖

> Aplicando la fórmula:

u = ½(⅖)⁶⁻¹

u = ½(⅖)⁵

u = ½(32/3125)

u = 16/3125   Solución.

____________________________________________

8) Hallar el 6° término de  ÷÷-3:6:-12….

> Elementos:  a = -3  ;  n = 6   ;  r=6÷-3= -2

> Aplicando la fórmula:

u = -3(-2)⁶⁻¹

u = -3(-2)⁵

u = -3(-32)

u = 96   Solución.

____________________________________________

11) Hallar el 8° término de ÷÷16:-4:1….

> Elementos:  a = 16  ;  n = 8  ;  r=-4÷16= -¼

> Aplicando la fórmula:

u = 16(-¼)⁸⁻¹

u = 16(-¼)⁷

u = 16(-1/16384)

u = -1/1024  Solución.

____________________________________________