Potencias de cantidades negativas.

.  -3⁴ = 81     ó  -3³ = -27
Reglas:

1) Toda potencia “par” de una cantidad negativa es positiva.
Ejemplo:

2) Toda potencia “impar” de una cantidad negativa es negativa.
Ejemplo:
______________________________________________________

Ejemplos:

a) Hallar el valor numérico de x³ -3x² +2x -4, siendo x = -2.
> Sustituyendo el valor de x:
(-2)³ -3(-2)² +2(-2) -4
= -8 -3(4) -4 -4
= -8 -12 -4 -4
= -28 Solución.

b) Valor numérico de a/4 – 3a²b/6 + 5ab²/3 – b³^.. Para a=-2, b=-3
> Sustituyendo el valor de a y el de b:
(-2)/4 -3(-2)²(-3)/6 +5(-2)(-3)²/3 -(-3)³
= 16/4 – 3(4)(-3)/6 - 10(9)/3 -(-27)
= 4 + 36/6 – 90/3 +27
= 4 + 6 -30 +27
= 7 Solución.
________________________________________

Ejercicio 60 del Libro.
Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones,
siendo a= -1 , b= 2 , c= - 1/2

1) a² -2ab +b²
> Sustituyendo el valor de a y b:
(-1)² - 2(-1)(2) +(2)²
= 1 +4 +4
= 9   Solución.

2) 3a³ – 4a²b + 3ab² – b³
>Sustituyendo el valor de a y b:
3(-1)³ – 4(-1)²(2) + 3(-1)(2)² – (2)³
= 3(-1) – 4(1)(2) + 3(-1)(4) – (8)
= -3 -8 -12 -8
= -31 Solución.

4) a – 8ac + 16a³c² – 20a²c³ + 40ac – c
> Sustituyendo el valor de a y c:
(-1) – 8(-1)(-1/2) + 16(-1)³(-1/2)² – 20(-1)²(-1/2)³ + 40(-1)(-1/2) - (-1/2)
= -1 – 8(1)(-1/2) + 16(-1)(1/4) – 20(1)(-1/8) + 40(-1)(1/16) - (-1/32)
= -1 + 4 – 4 + 5/2 – 5/2 + 1/32
= -31/32 Solución.

>Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones, cuando
a= 2, b= 1/3, x= -2, y= -1, m= 3, n= 1/2

12) - (x-y) + (x² +y²)(x-y-m) + 3b(x+y+n)
> Sustituyendo el valor de x, y, m, n:
= - [(-2)-(-1)] + [(-2)² + (-1)² ][(-2)-(-1)-(3)] + [3(1/3)][(-2-1+1/2]
= - (-2+1) + (4+1)(-4) + [(1)(-2-1+1/2)]
= - (-1) +(5)(-4) + 1(-5/2)
= 1 - 20 – 5/2
= -21½ Solución.

15) x²(x-y+m) – (x-y)(x²+y²-n) + (x+y)²(m²-2n)
> Sustituyendo el valor de x, y, m, n:
(-2)²(-2-(-1)+3) - [-2-(-1)][(-2)²+(-1)²-(1/2)] + [-2-1]²[(3)²-2(1/2]
= 4(-2+1+3) - (-2+1)(4+1-1/2) + (-3)² (9-1)
= 4(2) - (-1)(9/2) + (9)(8)
= 8 +9/2 +72
= 84½ Solución.

Ecuaciones incompletas de la forma ax^2+c = 0

.       5x² -9 = 46 --> 5x² -55 = 0 

Procedimiento:

1) Resolver operaciones indicadas.

2) Cuando son fraccionarias, quitar denominadores.

3) Simplificar a la forma ax²+c = 0.

4) Encontrar las raíces x₁ , x₂.

_____________________________________

Ejemplos:

a) Resolver x²+1 = 7x²/9 +3

> Quitando denominadores:

El m.c.m. de 1 y 9  es 9

Aplicando el m.c.m.:

9x²+9 = 7x² +27

> Transponiendo y reduciendo términos:

9x²-7x²+9-27 = 0

2x²-18 = 0

> Simplificando para encontrar las raíces:

x² = 18/2

x = ±√9

x = ±3

-->

x₁ = 3

x₂ = -3

Las dos raíces son reales y racionales y al multiplicarlas

por sí mismas dan el mismo resultado, que es 9.

b) x²+5 = 7

> Trasponiendo términos y simplificando:

x²+5-7 =0

x²-2 = 0

> Simplificando para encontrar las raíces:

x = ±√2

-->

x₁ = √2

x₂ = -√2

Las dos raíces son reales e irracionales.

____________________________________<-

c) 5x²+12 = 3x²-20

> Transponiendo términos y simplificando:

5x²-3x²+12+20 = 0

2x²+32 = 0

> Simplificando para encontrar las raíces:

x² = - 32/2 = -16

x = ±√-16

x = ±4√-1  +ó

x = ±4í

-->

x₁ = 4√-1  ó 4í

x₂ = -4√-1   ó  -4í

Las dos raíces son imaginarias.

______________________________________

Ejercicio 271.

Resolver las ecuaciones:

1) 3x² = 48

> Transponiendo términos:

3x²-48 = 0

> Simplificando para encontrar las raíces:

x² = 48/3

x² = 16

x = ±√16

x = ±4

-->

x₁ = 4

x₂ = -4

____________________________________

5) (x+5)(x-5) = -7

> Realizando operación:

x²-25 = -7

> Transponiendo términos y simplificando;
x²-25+7 = 0

x²-18 = 0

x = ±√18

x = ±√3²(2)

x = ± 3√2

-->

x₁ = 3√2

x₂ = -3√2

____________________________________

6) (2x+3)(2x-3)-135 = 0

> Realizando operación:

4x²-9-135 = 0

4x²-144 = 0

> Simplificando para encontrar las raíces:

x² = 144/4

x² = 36

x = ±√36

x = ± 6

-->

x₁ = 6

x₂ = -6

____________________________________

10) 5/2x² - 1/6x² =7/12

> Quitando denominadores:

El m.c.m. de 2x²,  6x²,  12  es  12x²

Aplicando el m.c.m. es:

30-2= 7x²

> Ordenando y cambiando signo a la ecuación:

-7x²+28 = 0

7x²-28 = 0

> Simplificando para encontrar las raíces:

x² = 28/7

x² = 4

x = ±√4

x =± 2

-->

x₁ = 2

x₂ =-2

_____________________________________

11) 2x-3/x-3 = x-2/x-1

> Simplificando y ordenando la ecuación:

(2x-3)(x-1) = (x-3)(x-2)

2x²-5x+3 = x²-5x+6

2x²-x²+3-6 = 0

x²-3 = 0

> Simplificando para encontrar las raíces:

x² = 3

x = ±√3

-->

x₁ = √3

x₂ = -√3

_____________________________________

Ecuaciones literales de 2º grado con una incógnita.

.     x² +ax = 20a²  --> x² +ax -20a² = 0 

Estas se resuelven igual que las ecuaciones numéricas, por la fórmula general o por descomposición de factores.

____________________________________

Ejemplos:

a) Resolver, por la fórmula general, la ecuación 3a/x -2x/a = 1

> Quitando denominadores:

El m.c.m. de  x ,  a   es   ax

> Aplicando el m.c.m.  es =

3a²-2x² = ax

> Simplificando la ecuación:

-2x²-ax+3a²

2x²+ax-3a²

> Aplicando la fórmula:

x = [-(a)±√(a)²-4(2)(-3a²)]/2(2)

x = [-a±√a²+24a²]/4

x = [-a±√25a²]/4

x = [-a±5a]/4

Entonces:

x₁ = (-a+5a)/4 = 4a/4 = a

x₂ = (-a-5a)/4 = -6a/4 = -³̷₂a

____________________________________

b) Resolver, por factorización,  2x²-4ax+bx= 2ab

> Transponiendo términos:

2x²-4ax+bx-2ab = 0

> Aplicando Caso II (Factor Común por agrupación de términos)

(2x²-4ax)+(bx-2ab) = 0

2x(x-2a)+b(x-2a) = 0

(x-2a)(2x+b)

> Igualando los factores a cero (0):

x-2a = 0  -->  x₁ = 2a.

2x+b = 0  --> x₂ = - b/2

____________________________________

Ejercicio 270.

Resolver las ecuaciones:

1) x²+2ax-35a²

a)> Aplicando la fórmula general:

x = [-(2a)±√(2a)²-4(1)(-35)]2(1)

x = [-2a±√4a²+140a²]/2

x = [-2a±√144a²]/2

x = [-2a±12a]/2

Entonces:

x₁ = (-2a+12a)/2 = 10a/2 = 5a.

x₂ = (-2a-12a)/2 = -14a/2 = -7a.

b) > Por factorización es: (Caso VI de Factorización)

x²+2ax-35a²

(x+7a)(x-5a) = 0

>Igualando los factores a cero (0):

x+7a = 0  -->  x₁ = -7a.

x -5a = 0 -->  x₂ = 5a.

_____________________________________

2) 10x² = 36a²-37ax

> Transponiendo términos y ordenando:

10x²+37ax-36a² = 0

a) Por la fórmula general :

x = [-(37a)±√(37a)²-4(10)(-36a²)]/2(10)

x = [-37a±√1369a²+1440a²]/20

x = [-37a±√2809a²]/20

x = [-37a±53a]/20

Entonces:

x₁ = (-37a+53a)/20 = 16a/20 = ⅘a

x₂ = (-37a -53a)/20 = - 90a/20 = - ⁹̷₂a

b) Por factorización: (caso VII de Factorización)

(10x)²+37a(10x)-360a² = 0

(10x+45a)(10x-8a) = 0

----  5               2

(2x+9a)(5x-4a) = 0

> Igualando los factores a cero (0):

2x+9a = 0  -->  x₁ = - ⁹̷₂a

5x -4a = 0  -->  x₂ = ⅘a

____________________________________

3) a²x²+abx-2b²

> Aplicando la fórmula general:

x = [-(ab)±√(ab)²-4(a²)(-2b²)]/2(a²)

x = [-ab±√a²b²+8a²b²]/2a²

x = [-ab±√9a²b²]/2a²

x = [-ab±3ab]/2a²

Entonces:

x₁ = (-ab+3ab)/2a² = 2ab/2a² = b/a

x₂ = (-ab-3ab)/2a² = -4ab/2a² = -2b/a

_____________________________________

4) 89bx = 42x²+22b²

> Ordenando y cambiando signo a la ecuación:

-42x²+89bx-22b² = 0

42x²-89bx+22b² = 0

> Aplicando la fórmula general:

x = [-(-89b)±√(-89b)²-4(42)(22b²)]/2(42)

x = [89b±√7921b²-3696b²]/84

x = [89b±√4225b²]/84

x = [89b±65b]/84

Entonces:

x₁ = (89b+65b)/84 = 154b/84 =11b/6

x₂ = (89b-65b)/84 = 24b/84 = 2b/7

____________________________________

Ecuaciones de 2º grado con 1 incógnita, resueltas por factorización.

Procedimiento:

1) Se simplifica la ecuación, para llevarla a la forma x²±bx±c = 0 

     ó a la forma  ax²±bx±c = 0.

2) Se factoriza el primer miembro de la ecuación, aplicando el Caso de Factorización que corresponda.

3) Se igualan a cero (0) cada uno de los factores y se resuelven las ecuaciones simples que resulten.

__________________________________________________

Ejemplo:

Resolver x²+5x-24 = 0,  por descomposición de factores.

> Factorando el trinomio x²+5x-24:

x²+5x-24

(x+8)(x-3) = 0  (Se usó Caso VI de Factorización)

> Igualando a cero (0) los factores:

x+8 = 0  --> x₁ = -8

x -3 = 0  --> x₂ = 3

__________________________________________

Ejercicio 269.

Resolver por descomposición de factores:  (Caso VI de Factorización)

1)  x² -x -6  = 0

> Factorando el trinomio:

x² -x -6

(x-3)(x+2)= 0

> Igualando los factores a cero (0):

x-3 = 0  -->  x₁ = 3

x+2 = 0 -->  x₂ = -2

____________________________________________

2) x²+7x = 18

> Ordenando la ecuación:

x²+7x-18 = 0

> Factorando el trinomio:  (Caso VI de Factorización)

x²+7x-18

= (x+9)(x-2) = 0

> Igualando los factores a cero (0):

x+9 = 0  -->  x₁ = -9

x -2 = 0  -->  x₂ = 2

 ____________________________________________

5) 2x²+7x-4 = 0

> Factorando el trinomio: (Caso VII de factorización)

2x²+7x-4

= (2x)²+7(2x)-8 = 0

= (2x+8)(2x-1) = 0

----  2        1

= (x+4)(2x-1) = 0

> Igualando los factores a cero (0):

x+4 = 0   -->  x₁ = -4

2x-1 = 0 -->  x₂ = ½

 ______________________________________________

6) 6x²= 10-11x

> Ordenando la ecuación:

6x²+11x-10 = 0

> Factorizando el trinomio:  (Caso VII de Factorización)

(6x)²+11(6x)-60 = 0

(6x+15)(6x-4) = 0

---  3         2

(2x+5)(3x-2) = 0

> Igualando los factores a cero (0):

2x+5 = 0  -->  x₁ =  - ⁵̸₂

3x -2 = 0  -->  x₂ = ⅔

 ____________________________________________

11) (x-2)²-(2x+3)² = -80

> Factorizando los binomios:   ( Se usó Caso IV de Factorización y

Cuadrado de la suma de 2 cantidades)

x²-4x+4-(4x²+12x+9) = -80

> Simplificando resultados:

x²-4x+4-4x²-12x-9+80 = 0

-3x²-16x+75 = 0

3x²+16x-75 = 0

> Factorizando el trinomio resultante: (Caso VII de factorización)

(3x)²+16(3x)-225 = 0

(3x+25)(3x-9) = 0

---  1         3

(3x+25)(x-3) = 0

> Igualando los factores a cero (0):

3x+25 = 0  -->  x₁ = - 25/3 = - 8⅓

x-3 = 0  -->  x₂ = 3

 ___________________________________________

12) 6/x² -9/x = - 4/3

> Quitando denominadores:

El m.c.m. de x², x, 3  es  3x²

Aplicando el m.c.m.:

18-27x= -4x²

> Ordenando la ecuación:

4x²-27x+18 = 0

> Factorizando el trinomio:  (Caso VII de factorización)

(4x)²-27(4x)+72

(4x-24)(4x-3) = 0

--- 4         1

(x-6)(4x-3) = 0

> Igualando los factores a cero (0):

x-6 = 0  -->  x₁ = 6

4x-3 = 0  -->  x₂ = ¾

_____________________________________

Ecuaciones completas de 2º grado con denominadores.

1 - 2x+3 /x+5 = x-2 /10 --> x² +13x -90 = 0 --> x₁=5  y  x₂= -18

Procedimiento:

1) resolver operaciones
2) Quitar denominadores (haciendo uso del m.c.m)
3) Transponer términos semejantes
4) Reducir términos semejantes
5) Aplicar la fórmula general.
___________________________________________

Ejemplo:

Resolver 1/3x = 7/5x²-11/60

> Quitando denominadores:
El m.c.m. de 3x, 5x² y 60 es 60x²
Aplicando el m.c.m. :
20x = 84-11x²

> Ordenando la ecuación:
11x²+20x-84 = 0

> Aplicando la fórmula:
x = [-b ±√(b)²-4ac]/2a
x = [-(20) ±√(20)²-4(11)(-84)]/2(11)
x = [-20 ±√400+3696]/22
x = [-20 ±√4096]/2a
x = (-20 ±64)/22
x₁ = (-20+64)/22 = 44/22 = 2
x₂ = (-20-64)/22 = -84/22 = -42/11 = -3 ⁹/₁₁
__________________________________________

Ejercicio 268.
Resolver las siguientes ecuaciones:

1) x²/5 – x/2 = 3/10

> Quitando denominadores:
- El m.c.m. de 5, 2 y 10 es 10

> Aplicando el m.c.m. la ecuación quedaría:
2x²-5x = 3

> Ordenando la ecuación:
2x²-5x-3 = 0

> Aplicando la fórmula general:
x = [-b ±√b²-4ac]/2ª
x = [-(-5 )±√(-5)²-4(2)(-3)]/2(2)
x = [5 ±√25+24]/4
x = [5 ±√49]/4
x = [5 ±7]/4
> Entonces:
x₁ = 5+7 /4 = 12/4 = 3
x₂ = 5-7 /4 = -2/4 = -1/2
___________________________________________

2) 4x – 13/x = 3/2

> Quitando denominadores:
- El m.c.m. de x, 2 es 2x

> Aplicando el m.c.m., quedaría así:
8x²-26 =3x

> Ordenando la ecuación:
8x²-3x-26 = 0

> Aplicando la fórmula:
x = [-(-3) ±√(-3)²-4(8)(-26)]/2(8)
x = [3 ±√9+832]/16
x = [3 ±√841]/16
x = [3 ±29]/16

> Entonces:
x₁ = (3+29)/16 = 32/16 = 2
x₂ = (3-29)/16 = 26/16 = 13/8 = 1⅝
___________________________________________

3) x²/6 – x/2 = 3(x-5)

> Realizando operaciones:
x²/6 – x/2 = 3x-15

> Quitando denominadores:
- El m.c.m. de 6, y 2 es 6

> Aplicando el m.c.m.:
x²-3x = 18x-90

> Reduciendo términos y ordenando la ecuación:
x²-21x+90 = 0

> Aplicando la fórmula:
x = [-(-21) ±√(-21)²-4(1)(90)]/2(1)
x = [21 ±√441-360]/2
x = [21 ±√81]/2
x = [21 ±9]/2
Entonces:
x₁ = (21+9)/2 = 30/2 = 15
x₂ = (21-9)/2 = 12/2 = 6
___________________________________________

4) ¼(x-4)+⅖(x-5) = ⅕(x²-53)

> Quitando denominadores:
- El m.c.m. de 4 y 5 es 20

> Aplicando el m.c.m.:
5(x-4)+8(x-5) = 4(x²-53)

> Realizando operaciones:
5x-20+8x-40 = 4x²-212

> Trasladando términos semejantes:
-4x²+5x+8x = -212+40+20

> Reduciendo términos, ordenando y cambiando signo:
-4x²+13x = -152
-4x²+13x+152 = 0
4x²-13x-152 = 0

> Aplicando la fórmula:
x = [-(-13) ±√(-13)²-4(4)(-152)]/2(4)
x = [13 ±√169+2432]/8
x = [13 ±√2601]/8
x = [13 ±51]/8
Entonces:
x₁ = (13+51)/8 =64/8 = 8
x₂ = (13-51)/8 = - 38/8 = - 19/4 = - 4¾
__________________________________