Ecuaciones completas de 2º grado, resueltas por la Fórmula Particular.

x² -3x +2 = 0   --> x = -m/2 ±√(m²/4 -n) --> x = -(-3)/2 ±√(-3)² - 2

Fórmula Particular: x = -m/2 ±√(m²/4 -n)

___________________________________________

Ejemplo:

Resolver la ecuación 3x²-2x(x-4) = x-12

> Simplificando la ecuación a la forma x²+mx+n
3x²-2x²+8x = x-12

> Transponiendo términos:
3x²-2x²+8x-x+12 = 0

> Reduciendo términos:
x²+7x+12 = 0 <-- donde m=7 y n = 12

> Aplicando la fórmula:
x = -m/2 ±√(m²/4 -n)
x = -7/2 ±√(7²/4 -12)
x = -7/2 ±√(49/4 -12)
x = -7/2 ±√(1/4)
x = -7/2 ± 1/2
x₁ = -7/2+1/2 = -6/2 = -3
x₂ = -7/2-1/2 = -8/2 =-4
_____________________________________________

Ejercicio 267.
Resolver las ecuaciones por la fórmula particular:

1) x²-3x+2 = 0

> Aplicando la fórmula:
x = -m/2 ±√[m²/4 -n]
x = -(-3)/2 ±√[(-3)²/4 -2)
x = 3/2 ±√[9/4 -2]
x = 3/2 ±√(1/4)
x = 3/2 ± 1/2
x₁ = 3/2+1/2 = 4/2 = 2
x₂ = 3/2-1/2 = 2/2 = 1
______________________________________________

3) x²-19x = -88

> Convirtiendo la ecuación:
x²-19x+88 = 0

> Aplicando la fórmula:
x = -m/2 ±√[m²/4 -n]
x = -(-19)/2 ±√[(-19)²/4 -88 ]
x = 19/2 ±√[361/4 -88]
x = 19/2 ±√(9/4)
x = 19/2 ±3/2
x₁ = 19/2+3/2 =22/2 = 11
x₂ = 19/2-3/2 =16/2 = 8
___________________________________________


5) 5x(x-1)-2(2x²-7x) = -8

> Efectuando operaciones:
5x²-5x-4x²+14x = -8

> Reduciendo términos:
x²+9x+8 = 0

> Aplicando la fórmula:
x = -(9)/2 ±√[(9)²/4 -8]
x = -9/2 ±√[81/4 -8]
x = -9/2 ±√(49/4)
x = -9/2 ±7/2
x₁ = -9/2+7/2 = -2/ 2= -1
x₂ = -9/2-7/2 = -16/2 = -8
___________________________________________

9) 2x²-(x-2)(x+5) = 7(x+3)

> Efectuando operaciones:
2x²-(x²+3x-10) = 7x+21
2x²-x²-3x+10 = 7x+21

> Transponiendo y reduciendo términos:
2x²-x²-3x-7x+10-21 = 0
x²-10x-11 = 0

> Aplicando la fórmula:
x = -(-10)/2 ±√[(10)²/4 -(-11)]
x = 5 ±√[100/4 +11]
x =  5±√36
x = 5±6
x₁ = 5+6 = 11
x₂ = 5-6 = -1
___________________________________________

Ecuaciones completas de 2º grado sin denominadores. Fórmula General.

.              7x² -12x +64 = 0

La Fórmula General es utilizada generalmente en Ecuaciones de la forma ax²±bx±c = 0.

x = [-b±√(b²-4ac)] / 2a

__________________________________________

Ejemplos:

E1) Resolver la ecuación 3x²-7x+2 = 0

> Se sustituyen los valores de “a”, “b” y “c” en la fórmula:

x = [-b±√(b²-4ac)] / 2a

x = [-(-7)±√(-7)²-4(3)(2)]/2(3)

= [7 ±√49-24]/6

= [7 ±√25]/6 = (7± 5)/6

--> x₁ = (7+ 5)/6 = 12/6 = 2

--> x₂ = (7- 5)/6 = 2/6 = 1/3

> Para comprobar las raíces encontradas se sustituyen los valores en la ecuación original:

> Sustituyendo “x” por el valor 2

3x²-7x+2 = 0
3(2)²-7(2)+2 = 0
12-14+2 = 0
0 = 0

> Sustituyendo “x” por el valor 1/3

3(1/3)²-7(1/3)+2 = 0

1/3 -7/3 +2 = 0
0 = 0
__________________________________________

E2) Resolver la ecuación 6x -x² -9 = 0

> Ordenando la ecuación:
-x²+6x-9 = 0

> Cambiando signos:
x²-6x+9 = 0

> Aplicando la fórmula general (tomando en cuenta que “a”, el coeficiente de x², es 1)

x = [-b ±√b²-4ac]/2a

x = [-(-6) ±√(-6)²-4(1)(9]/2(1)

x = [6 ±√36-36]/2

x = (6 ±√0)/2 = 6/2 = 3

En este tipo caso, “x” solo tiene un valor “3”, para las 2 raíces resultantes,
porque 6+0/2 = 6/2 = 3 y 6-0/2 = 6/2 = 3

por lo tanto x₁ = 3   y  x₂ = 3
___________________________________________

Ejercicio 265
Resolver las siguientes ecuaciones por la fórmula general:

1) 3x²-5x+2= 0

> Aplicando la fórmula general:

x=[-(-5)±√(-5)²-4(3)(2)]/2(3)

= [5 ±√25-24]/6

= [5 ±√1]/6  = (5±1)/6
--> x₁ = (5+ 1)/6 = 6/6  = 1
--> x₂ = (5- 1)/6 = 4/6  = 2/3
___________________________________________

2) 4x²+3x-22 = 0

> Aplicando la fórmula general:

x = [-(3) ±√(3)²-4(4)(-22)]/2(4)

x = [-3 ±√9+352]/8

x = [-3 ±√361]/8

x = (-3 ±19)/8

--> x₁ = (-3+ 19)/8 =16/8 = 2
--> x₂ = (-3- 19)/8 = (-22)/8 = -11/4
___________________________________________

3) x²+11x = -24

> Ordenando:
x²+11x+24 = 0

> Aplicando la fórmula general:

x =[-(11)±√(11)²-4(1)(24)]/2(1)

x = [-11±√(121-96)]/2

x = [-11±√25]/2

x = (-11±5)/2

--> x₁ = (-11+ 5)/2 = (-6)/2  = -3
--> x₂ = (-11- 5)/2 = (-16)/2  = -8
___________________________________________

5) 12x-4-9x² = 0

> Ordenando:
-9x²+12x-4 = 0

> Cambiando los signos:
9x²-12x+4 = 0

> Aplicando la fórmula general:

x = [-(-12)±√(-12)²-4(9)(4)]/2(9)

x = [12 ±√(144-144)]/18

x = [12 ±√0/18

x = (12 ±0)/18

--> x₁ = (12+0)/18 =12/18 = 2/3
--> x₂ = (12- 0)/18 =12/18 = 2/3
____________________________________________

División de cantidades complejas.

(5 -3√-1) ÷ (3 +4√-1)
Regla: Se expresa el cociente en forma de fracción y después se racionaliza el denominador de dicha fracción, multiplicando ambos términos de la fracción por la conjugada del denominador.

____________________________________________________

Ejemplo:

Dividir 5 + 2√-1 entre 4 – 3√-1

= 5 + 2√-1 / 4 – 3√-1

= (5 + 2√-1)(4 + 3√-1) / (4 – 3√-1)(4 + 3√-1)

= 14+23i / 4² - (3√-1)²
= 14+23i / 16 – 9(-1)
= 14+23i / 16 + 9
= 14+23i / 25 Solución.

. ↘

> Observación: 14+23i resulta de multiplicar

5 + 2√-1

4 + 3√-1 .

20 + 8√-1

. +15√-1 + 6(-1)

20 +23√-1 -6

= 20-6 +23√-1

= 14 +23√-1
= 14 +23i

______________________________________________

Ejercicio 263

Dividir:

1) (1 +√-1) ÷ (1 - √-1)

= (1 +√-1)(1 + √-1) / (1 - √-1)(1 + √-1)

= 2√-1 / (1)² - (√-1)²

= 2√-1 / 1 - (-1)

= 2√-1 / 1+1

= 2√-1/2

= √-1 = i Solución.

4) (8 -5i) ÷ (7 +6i)

= 8 -5i / 7 +6i

= (8 -5i)(7 -6i) = (7 +6i )(7 -6i )

= 26 -83i / (7)² – (6i )²

= 26 -83i / 49 – (36)(-1)

= 26 -83i / 49 +36

= 26 -83i / 85 Solución.

6) (√2 +2√-5) ÷ (4√2 -√-5)
= √2 +2√-5 / 4√2 -√-5
= (√2 +2√-5)(4√2 +√-5) / (4√2 -√-5)(4√2 +√-5)
= -2 +9√10i / (4√2)² - (√-5)²
= -2 +9√10i / (4)²(√2)² - (-5)
= -2 +9√10i / 16(2) +5
= -2 +9√10i / 32+5
= -2 +9√10i / 37 Solución.
__________________________________________________

Producto de cantidades complejas conjugadas.

(3 +2√-1)(3 -2√-1)
Teorema: El producto de dos cantidades complejas conjugadas es una cantidad real.

________________________________________________________

Producto Notable: El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual a la diferencia de sus cuadrados. (a+b)(a-b) = a² – b²

_________________________________________________________

Ejemplos:

a) Efectuar (8 - 3√-1)(8 + 3√-1)
= 8² - ( 3√-1)²

= 64 – 9(-1)

= 64 +9

= 73 Solución.

b) Efectuar (√3 + 5√-1)(√3 – 5√-1)
= (√3)² – (5√-1)²

= 3 – 25(-1)

= 3 +25

= 28 Solución.

__________________________________________________

Ejercicio 262

Multiplicar:

1) 1-i por 1+i

= (1-i)(1+i)
= (1)² -(i)²

= 1 -(-1)

= 1 +1 = 2 Solución.

3) √2 – 5i por √2 + 5i
= (√2)² – (5i)²

= 2 – 25(-1)

= 2 +25 = 27 Solución.

6) -9 - √-5 por -9 + √-5
= (-9 - √-5)(-9 + √-5)
= (-9 - √5i)(-9 + √5i)
= (9)² - (√5i)²
= 81 - (√5)²(i)²

= 81 – 5(-1)

= 81 +5 = 86 Solución.

__________________________________________________

Multiplicación de cantidades complejas.

(4 +7√-1)(-3 -2√-1)

La multiplicación de cantidades complejas se efectúa como cualquier expresión compuesta. Solo hay que tener presente las potencias de cantidades imaginarias que dice que (√-1)² = -1

__________________________________________________

Ejemplo:

Multiplicar 3 +5√-1 por 4 – 3√-1

3 +5√-1

4 – 3√-1 .

12 +20√-1

. - 9√-1 -15(√-1)²

12 +11√-1 -15(-1)

> Simplificando:

= 12 +11√-1 +15

= 27 +11√-1

= 27 +11i Solución.

____________________________________________________

Ejercicio 261

Multiplicar:

1) 3 - 4√-1 por 5 – 3√-1
3 - 4√-1

5 – 3√-1 .

15 – 20√-1

. - 9√-1 +12(√-1)²

15 – 29√-1 +12(-1)

>

= 15-12 – 29√-1
= 3 -29i Solución.

4) 8 - √-9 por 11 + √-25
= (8 - √-9)(11 + √-25)
= (8 - √3²√-1)(11 + √5²√-1)
= (8 -3√-1)(11 +5√-1)
= 8 – 3√-1
. 11 +5√-1 .
88 -33√-1
. 40√-1 - 15(√-1)²
88 +7 √-1 - 15(-1)
= 88 +15 +7√-1

= 103 +7i Solución.

7) √2 +√-5 por √3 +√-2
= (√2 +√-5)(√3 +√-2)
= (√2 + √5√-1)(√3 + √2√-1)
= √2 + √5√-1
. √3 + √2√-1 .
. √6 + √15√-1
. √4√-1 + √10(√-1)²
. √6 + √19√-1 + √10(-1)
= √6 + √19√-1 - √10
= √6 - √10 + √19√-1
= (√6 - √10) + (√4+15)√-1
= (√6 - √10) + (√2²+15)√-1

= (√6 - √10) + (2+√15)√-1

= (√6 - √10) + (2+√15)i

Nota: (√6 - √10) Estos radicales solo se deja indicada la operación, porque no son semejantes, y no se pueden convertir a semejantes porque los valores 6 y 10 al factorizarlos, ninguno de sus factores tienen cuadrado. Ver ejercicio 238.)

_________________________________________________