Potencias de monomios con exponentes negativos y fraccionarios.

.                  (x²/³y⁻¹/²)³

La Regla para Potencia de un Monomio dice:

Para elevar un monomio a una potencia se eleva su coeficiente a esa potencia y se multiplica el exponente de cada letra por el exponente que indica la potencia. Esta regla se aplica también cuando las letras del monomio tienen exponentes negativos o fraccionarios.

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Ejemplos:

a) (a⁻²)³

Multiplicando el exponente de la letra “a”

por el exponente de la potencia

= a⁻²ˣ³ = a⁻⁶

b) (a¹⁄²)²

Multiplicando el exponente de la letra “a”

Por el exponente de la potencia

= a¹⁄² ˣ² = a²⁄²

Simplificando el resultado

= a¹ = a

c) (a⁻³⁄⁴)²

Multiplicando el exponente de la letra  "a" por

el exponente de la potencia

= a⁻³⁄⁴ ˣ² = a⁻⁶⁄⁴

Simplificando el resultado

= a⁻³⁄²

d) (2a⁻¹b¹⁄³)³

Elevando al cubo el coeficiente de la potencia y multiplicando los exponentes de cada letra por el exponente de la potencia

= 2³a⁻¹ˣ³b¹⁄³ ˣ³ = 8a⁻³b³⁄³

Simplificando  el resultado

= 8a⁻³b¹ = 8a⁻³b

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Ejercicio 227.
Hallar el valor de:

1) (a⁻¹)²

= a⁻¹ˣ² = a⁻²   Solución

2) (a⁻²b⁻¹)³

= a⁻²ˣ³b⁻¹ˣ³ = a⁻⁶b⁻³  Solución

3) (a³⁄²)²

= a³⁄² ˣ² = a⁶⁄² = a³   Solución

9) (a⁻³b⁻¹)⁴

= a⁻³ˣ⁴b⁻¹ˣ⁴ = a⁻¹²b⁻⁴  Solución

12) (2m⁻¹⁄²n⁻¹⁄³)³

= 2³m⁻¹⁄² ˣ³n⁻¹⁄³ ˣ³

= 8m⁻³⁄²n⁻³⁄³ = 8m⁻³⁄²n⁻¹   Solución

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División de polinomios con exponentes negativos y fraccionarios.

.              

Ejemplos:

a) Dividir a⁻¹b⁻³-2ab⁻⁵+a³b⁻⁷ entre a²b⁻²-2a³b⁻³+a⁴b⁻⁴

> Ya están ordenados en orden ascendente en relación a la “a”.

.                                         . a⁻³b⁻¹ +2a⁻²b⁻² +a⁻¹b⁻³                     <--  Solución 

a²b⁻²-2a³b⁻³+a⁴b⁻⁴              | a⁻¹b⁻³              -2ab⁻⁵            +a³b⁻⁷

.                                          -a⁻¹b⁻³+2a⁰b⁻⁴ -  ab⁻⁵

.                                                       2a⁰b⁻⁴ -3ab⁻⁵

.                                                      -2a⁰b⁻⁴+4ab⁻⁵-2a²b⁻⁶

.                                                                     ab⁻⁵ -2a²b⁻⁶+a³b⁻⁷

.                                                                    -ab⁻⁵+2a²b⁻⁶-a³b⁻⁷

.                                                                                  0

b) Dividir 4x+11-x⁻¹⁄²+7x¹⁄²+3x⁻¹  entre  4x⁻¹⁄²-1+x⁻¹⁄²

> ordenando en orden descendente

.                       . x¹⁄² +2 +3x⁻¹⁄²                  <--  Solución

4x¹⁄²-1+x⁻¹⁄²     ¦ 4x+7x¹⁄²+11 - x⁻¹⁄² +3x⁻¹

.                        -4x+ x¹⁄² -  1            

.                               8x¹⁄²+10 -  x⁻¹⁄²

.                              -8x¹⁄²+  2 -2x⁻¹⁄²

.                                         12 -3x⁻¹⁄² +3x⁻¹

.                                        -12+3x⁻¹⁄²  -3x⁻¹.                        

.                                                      0

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Ejercicio 226.

Dividir, ordenando previamente:

1) x⁻⁸+x⁻²+2x⁻⁶+2 entre  x⁻⁴-x⁻²+1

Ordenando en orden ascendente:

.                    .x⁻⁴ +3x⁻² +2                   <--  Solución

x⁻⁴-x⁻²+1      ¦ x⁻⁸+2x⁻⁶          + x⁻² +2

.                      -x⁻⁸+  x⁻⁶ - x⁻⁴

.                              3x⁻⁶ -  x⁻⁴ + x⁻²

.                             -3x⁻⁶+3x⁻⁴-3x⁻²

.                                        2x⁻⁴-2x⁻² +2

.                                      -2x⁻⁴+2x⁻² - 2

.                                                 0

 2) a⁴⁄³-2a²⁄³+1  entre  a+a¹⁄³+2a²⁄³

> Ordenando el divisor en orden descendente:

.                       . a¹⁄³ -2 +a⁻¹⁄³                    .  <--  Solución

a+2a²⁄³+a¹⁄³      ¦ a⁴⁄³        -2a²⁄³             +1

.                       -a⁴⁄³ -2a -   a²⁄³

.                              -2a - 3a²⁄³

.                               2a +4a²⁄³ +2a¹⁄³

.                                        a²⁄³ +2a¹⁄³  +1

.                                       -a²⁄³ -2a¹⁄³  - 1

.                                               - 0 –

8) a⁻¹²b⁻¹¹+a⁻⁸b⁻⁷+a⁻⁴b⁻³  entre  a⁻⁷b⁻⁶-a⁻⁵b⁻⁴+a⁻³b⁻²

> Ya está ordenado en orden ascendente en relación a la letra “a”

.                                . a⁻⁵b⁻⁵ +a⁻³b⁻³ +a⁻¹b⁻¹          <-- Solución. 

a⁻⁷b⁻⁶-a⁻⁵b⁻⁴+a⁻³b⁻²   ¦ a⁻¹²b⁻¹¹              +a⁻⁸b⁻⁷              +a⁻⁴b⁻³

.                                 -a⁻¹²b⁻¹¹ +a⁻¹⁰b⁻⁹ -a⁻⁸b⁻⁷

.                                                 a⁻¹⁰b⁻⁹

.                                                -a⁻¹⁰b⁻⁹+a⁻⁸b⁻⁷ -a⁻⁶b⁻⁵

.                                                              a⁻⁸b⁻⁷ -a⁻⁶b⁻⁵+a⁻⁴b⁻³

.                                                             -a⁻⁸b⁻⁷+a⁻⁶b⁻⁵- a⁻⁴b⁻³

.                                                                          - 0 –

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División de monomios con exponentes negativos y fraccionarios.

.              

La ley de los exponentes de la división, dice que para dividir potencias de la misma base se dividen los coeficientes, se copia la base y se resta el exponente del divisor del exponente del dividendo.  Esto se aplica también cuando los exponentes de la potencia son negativos o  fraccionarios.

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Ejemplos:

1) a⁻¹ ÷ a² = a⁻¹⁻⁽²⁾ = a⁻¹⁻² = a⁻³

2) a² ÷ a⁻¹ = a²⁻⁽⁻¹⁾ = a²⁺¹ = a³

3) a⁻³ ÷ a⁻⁵ = a⁻³⁻⁽⁻⁵⁾ = a⁻³⁺⁵ = a²

4) a¹⁄² ÷ a³⁄⁴ = a¹⁄²⁻⁽³⁄⁴⁾ = a¹⁄²⁻³⁄⁴ = a⁻¹⁄⁴

5) a ÷ a⁻¹⁄³ = a¹⁻⁽⁻¹⁄³⁾ = a¹⁺¹⁄³ = a⁴⁄³

6) a⁻¹⁄⁴ ÷ a¹⁄² = a⁻¹⁄⁴⁻⁽¹⁄²⁾ = a⁻¹⁄⁴⁻¹⁄² = a⁻³⁄⁴

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Ejercicio 225.

Dividir:

1) a² ÷ a⁻² = a²⁻⁽⁻²⁾ = a²⁺² = a⁴  <--Solución

2) x⁻³ ÷ x² = x⁻³⁻⁽²⁾ = x⁻³⁻² = a⁻⁵  <-- Solución

11) 4x²⁄⁵ ÷ 2x⁻¹⁄⁵ = 2x²⁄⁵⁻⁽⁻¹⁄⁵⁾ = 2x²⁄⁵⁺¹⁄⁵ = 2x³⁄⁵  <-- Solución

13) x⁻²y⁻¹÷ x⁻³y⁻² = x⁻²⁻⁽⁻³⁾y⁻¹⁻⁽⁻²⁾ = x⁻²⁺³y⁻¹⁺² = x¹y¹ = xy <-- Solución

18) 8x⁻²y²⁄⁵ ÷ 4xy⁻¹⁄⁵ = 2x⁻²⁻⁽¹⁾y²⁄⁵⁻⁽⁻¹⁄⁵⁾ = 2x⁻²⁻¹y²⁄⁵⁺¹⁄⁵ = 2x⁻³y³⁄⁵ <-- Solución.

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Multiplicación de polinomios con exponentes negativos y fraccionarios.

.          

Notas: Para multiplicar polinomios primero hay que ordenar los términos en orden ascendente o descendente con relación a una letra, tomando en cuenta lo siguiente:

1°.  En el orden ascendente, el exponente entero negativo o el fraccionario negativo que irá primero será aquel que esté menos próximo a cero.  Ejemplo: -1 es menor que -1/2, porque está menos próximo a cero (0)

2°.  En el orden descendente, el exponente entero negativo o el fraccionario negativo que irá primero será aquel que esté más próximo a cero.  Ejemplo:  -3/7 es mayor que -3/8, porque está más próximo a cero (0)

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Veamos unos ejemplos de la multiplicación de polinomios:

a) 2x⁻¹ + 3x⁻¹⁄²y⁻¹⁄² + y⁻¹  por  x⁻¹- x⁻¹⁄²y⁻¹⁄²+ y⁻¹

>Ya están ordenados en orden ascendente en relación a la letra “x”.

2x⁻¹ + 3x⁻¹⁄²y⁻¹⁄² + y⁻¹

x⁻¹ - x⁻¹⁄²y⁻¹⁄² + y⁻¹           

2x⁻² + 3x⁻³⁄²y⁻¹⁄² +  x⁻¹y⁻¹

.       – 2x⁻³⁄²y⁻¹⁄² - 3x⁻¹y⁻¹   -  x⁻¹⁄²y⁻³⁄²

                           + 2x⁻¹y⁻¹ + 3x⁻¹⁄²y⁻³⁄² + y⁻²

2x⁻²  +  x⁻³⁄²y⁻¹⁄²                  +2x⁻¹⁄²y⁻³⁄² + y⁻²    Solución.

b) ab⁻¹ - a¹⁄³b + a²⁄³   por  a¹⁄³b⁻³ - b⁻² - a⁻¹⁄³b⁻¹

> Ordenando en orden descendente en relación a la letra “a”:

ab⁻¹ + a²⁄³ - a¹⁄³b

a¹⁄³b⁻³ - b⁻² - a⁻¹⁄³b⁻¹

a⁴⁄³b⁻⁴ + ab⁻³ - a²⁄³b⁻²

.          -  ab⁻³ - a²⁄³b⁻² + a¹⁄³b⁻¹

.                     - a²⁄³b⁻²  - a¹⁄³b⁻¹ + 1

a⁴⁄³b⁻⁴            -3a²⁄³b⁻²              + 1  Solución.

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Ejercicio 224.

Multiplicar, ordenando previamente:

1)  a⁻⁴+2+3a⁻²  por  a⁻⁴-a⁻²+1

a⁻⁴+3a⁻²+2

a⁻⁴ -a⁻² +1

a⁻⁸+3a⁻⁶+2a⁻⁴

.     -  a⁻⁶ -3a⁻⁴ - 2a⁻²

.                 a⁻⁴ +3a⁻² +2

a⁻⁸+2a⁻⁶               a⁻² +2  Solución.

2) x²-1+x⁻²  por  x²+2-x⁻²

x² -1 +x⁻²

x² +2 -x⁻²

x⁴ - x² +x⁰

.    2x²        -2 +2x⁻²

.           -x⁰           x⁻² -x⁻⁴

x⁴+ x²         -2  +3x⁻² -x⁻⁴   Solución.

3) x+x¹⁄³+2x²⁄³  por  x¹⁄³+x⁻¹⁄³-2

x +2x²⁄³+x¹⁄³

x¹⁄³  -2+x⁻¹⁄³

x⁴⁄³+2x +  x²⁄³

.     -2x - 4x²⁄³ - 2x¹⁄³

.           +  x²⁄³ + 2x¹⁄³+x⁰

x⁴⁄³        -2x²⁄³           +1  Solución.

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Multiplicación de monomios con exponentes negativos y fraccionarios.

.                       

La Ley de los Exponentes en la multiplicación, dice que para multiplicar potencias de igual base, se multiplican los coeficientes, se copia la base(letra) y se suman los exponentes.  Esto se aplica también cuando las bases tienen exponentes negativos o fraccionarios.

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Ejemplos:

1) a⁻⁴ * a

= a⁻⁴⁺¹ = a⁻³

2) a³ * a⁻⁵

= a³⁻⁵  = a⁻²

3) a⁻¹ * a⁻²

= a⁻¹⁻² = a⁻³

4) a³ * a⁻³

= a³⁻³ = a⁰ = 1

5) a¹⁄² * a³⁄⁴

= a¹⁄²⁺³⁄⁴ = a⁵⁄⁴

6) a⁻³⁄⁴ * a¹⁄²

= a⁻³⁄⁴⁺¹⁄² = a⁻¹⁄⁴

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Ejercicio 223.

Multiplicar:

1) x² * x⁻³

= x²⁻³ = x⁻¹   Solución.

4) a¹⁄² * a

= a¹⁄²⁺¹ = a³⁄²   Solución.

10) 3n² * n⁻²⁄³

= 3n² ⁻²⁄³ = 3n⁴⁄³   Solución.

14) 3a²b¹⁄² * 2a⁻²b⁻¹⁄²

= 6a²⁻²b¹⁄² ⁻¹⁄² = 6a⁰b⁰ = 6*1*1 = 6  Solución.

17) m⁻²⁄³n¹⁄³ * m⁻¹⁄³n²⁄³

= m⁻²⁄³⁻¹⁄³n¹⁄³⁺²⁄³ = m⁻¹n  Solución.

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