Sistemas numéricos de dos ecuaciones fraccionarias con dos incógnitas.

.                              

Para resolver este sistema debemos simplificar las ecuaciones hasta dejarlas de la forma ax±by=±c
y finalmente aplicar cualquiera de los métodos de eliminación aprendidos.
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Ejemplos:

a) Resolver el sistema  x - 3x+4 /7 = y+2 /3

.                                      2y - 5x+4 /11 = x+24 /2

Suprimiendo denominadores:

encontrando el mcm de 1, 7, 3, de laprimera ecuación, que es 21; 

y el mcm de 1, 11, 2, de la 2ª ecuación, que es 22.

Dividiendo el mcm entre cada uno de sus respectivos denominadores y el cociente se multiplica por su respectivo numerador.

(21)x - (3)(3x+4) = (7)(y+2)

(22)(2y) - (2)(5x+4) = (11)(x+24)

Efectuando operaciones, trasponiendo y reduciendo términos semajantes:

21x-9x-12 = 7y+14

44y-10x-8 = 11x+264  (Se efectuaron operaciones)

->

21x-9x-7y = 14+12

-10x-11x+44y = 264+8  (se transpusieron términos semejantes)

->

12x-7y = 26

-21x+44y = 272    Sistema simplificado.

Aplicando un método de eliminación (Reducción)

Multiplicando la 1ª ecuación por 7, y la 2ª por 4 para poder eliminar las “x”:

(12x-7y = 26)(7)

(-21x+44y = 272)(4)

Sumando las ecuaciones para eliminar las “x” y encontrar el valor de “y”:

. 84x –  49y =   182

-84x +176y = 1088

.          127y = 1270

y = 1270/127

y = 10

Sustituyendo el valor de “y” en  12x -7y = 26 :

12x -7(10) = 26

12x -70 = 26

12x = 26 +70

x = 96/12

x = 8

Solución sistema:  x = 8

.                               y = 10

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b) Resolver  x+y /x-y = -2/7

.           8x+y-1 /x-y-2 = 2

Suprimiendo denominadores en ambas ecuaciones; multiplicando cruzado:

7(x+y) = -2(x-y)

1(8x+y-1) = 2(x-y-2)

->

7x+7y = -2x+2y

8x+y-1 = 2x-2y-4

Transponiendo y reduciendo términos semejantes:

7x+2x+7y-2y = 0

8x-2x+y+2y = -4+1

->

9x+5y = 0

6x+3y = -3

->

9x+5y = 0

2x+ y = -1       Sistema Simplificado.

Aplicando un método de eliminación (reducción)

Multiplicando la 2ª ecuación por (-5) para eliminar las “y”:

9x+5y = 0

(2x+y = -1)(-5)

Sumando las ecuaciones para encontrar el valor de “x”:

.  9x +5y = 0

-10x -5y = 5

- x          = 5

x = -5

Sustituyendo el valor de “x” en   9x+5y = 0

9(-5) +5y = 0

-45 +5y = 0

5y = 45

y= 45/5

y = 9

Solución del sistema:   x = -5
.                                      y =  9

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Ejercicio 180.

Resolver los siguientes sistemas:


1) 3x/2 +y = 11
    x + y/2 = 7
->
1(3x) +2(y) = 2(11)
2(x) + 1(y) = 2(7)
->
3x +2y = 22
2x + y = 14      Sistema simplificado. 

Aplicando el método de eliminación:

Multiplicando la 2ª ecuación por (-2):

. 3x+2y = 22

-4x -2y = -28

-x         =  -6

x = 6

Sustituyendo el valor de “x”:

2x+y = 14

2(6) +y = 14

12 +y = 14

y = 14-12 -> y = 2

Conjunto solución:  x = 6
.                                 y = 2

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2)  5x/12 -y = 9
.     x - 3y/4 = 15

->
1(5x - 12(y) = 12(9)
4(x) - 1(3y) = 4(15)
->
5x -12y = 108
4x -3y = 60          Sistema simplificado.

Aplicando el método de eliminación:

Multiplicando la 1ª ecuación por -4 y la 2ª por 5:

(5x -12y = 108)(-4)
(4x -3y = 60)(5)
->

-20x+48y = -432
20 x -15y =  300

.        33y = -132

.            y = -132/33 -> y = -4

Sustituyendo el valor de “y”

4x-3y = 60

4x-3(-4) = 60

4x+12 = 60

4x = 60-12

x = 48/4

x = 12

Conjunto solución:  x = 12
.                                 y = -4

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3)  x/7 + y/3 = 5
.    3y - x/14 = 26

->
3(x) + 7(y) = 21(5)
14(3y) -1(x) = 14(26)
->
3x +7y = 105
42y -x = 364
->
3x +7y = 105
- x +42y = 364    Sistema simplificado.

Aplicando el método de eliminación:

Multiplicando la 2ª ecuación por 3:

3x +7y = 105
(- x +42y = 364)(3)
->

.  3x +   7y = 105

– 3x+126y = 1092

.        133y = 1197

y = 1197/133

y = 9

Sustituyendo el valor de “y”:

3x+7y = 105

3x+7(9) = 105

3x+63 = 105

3x = 105-63

x = 42/3

x = 14

Conjunto solución:  x = 14

.                                  y = 9

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4)  x/5 = y/4
.    y/3 = x/3 -1
->
4(x) = 5(y)
1(y) = 1(x) 3(-1)
->
4x = 5y
y = x-3
->
4x -5y = 0
-x+y = -3      Sistema Simplificado.

Aplicando el método de eliminación:

Multiplicando la 2º ecuación por 4:

4x-5y = 0
-4x+4y = -12
->

.  4x- 5y =   0

– 4x+4y = -12

.       – y = -12

.          y =  12

Sustituyendo el valor de “y”:

4x-5y = 0

4x-5(12) = 0

4x-60 = 0

x = 60/4

x = 15

Conjunto solución:  x= 15
.                                 y = 12

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5)  3/5x -1/4y = 2
.    2x = 5/2y

->
3/5x -1/4y = 2
2x -5/2y = 0
->
4(3)x -5(1)y = 20(2)
2(2x) -1(5)y = 2(0)
->
12x -5y = 40
4x -5y = 0        Sistema simplificado.

Aplicando el método de eliminación:

Multiplicando la 2ª ecuación por -1:

12x-5y = 40
-4x+5y = 0
->

12x-5y = 40

-4x+5y =  0

8x         = 40

x = 40/8 -> x = 5

Sustituyendo el valor de “x”:

4x-5y = 0

4(5)-5y = 0

20-5y = 0

y = -20/-5

y = 4

Conjunto Solución:  x = 5
.                                  y = 4

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6) 2/3x -3/4y = 1
.   1/8y -5/6x = 2
-> 
2/3x -3/4y = 1
-5/6x +1/8y = 2
->
4(2)x -3(3)y = 12(1)
4(-5)x +3(1)y = 24(2)
->
8x -9y = 12
-20x +3y = 48  Sistema simplificado.

Aplicando el método de eliminación:

Multiplicando la 1ª ecuación por 5 y la 2ª por 2:

40x -45y = 60
-40x +6y = 96
->

.  40x-45y = 60

– 40x+ 6y = 96

.       -39y = 156

.            y = 156/-39

.            y = -4

Sustituyendo el valor de “y”:

8x-9y = 12

8x-9(-4) = 12

8x+36 = 12

8x = 12-36

x = -24/8

x = -3

Conjunto solución:   x = -3
.                                  y = -4

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Sistemas numéricos de dos ecuaciones enteras con dos incógnitas.

.                            

Para resolver un sistema numérico de dos ecuaciones enteras con dos incógnitas debemos de simplificar las ecuaciones para dejarlas de la forma ax±by=c; en donde x  y  y son las incógnitas y a, b y c son los valores conocidos.
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Ejemplos:

a) Resolver el sistema  3x-(4y+6) = 2y-(x+18)

.                                             2x-3 = x-y+4

Suprimiendo signos de agrupación:

3x-4y-6 = 2y-x-18

.    2x-3 = x-y+4

Trasponiendo términos y reduciéndolos:

3x+x-4y-2y = -18+6

.      2x-x+y = 4+3

=

4x-6y = -12

.  x+y =  7

Dividiendo la 1ª ecuación entre 2:

2x-3y = -6

.  x+y =  7     (Sistema simplificado)(1)

Resolviendo el sistema por el método de reducción:

Igualamos los coeficientes de “y” multiplicando la 2ª ecuación por 3, y sumamos verticalmente los términos semejantes:

2x -3y = -6

3x+3y = 21

5x       = 15

–> x= 3

Sustituimos el valor de x que es 3, en la segunda ecuación del sistema simplificado(1)

x+y=7

3+y=7

y=7-3 –> y=4

Solución: x = 3 ,  y = 4

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b)  Resolver el sistema  3(2x+y)-2(y-x) = -4(y+7)

.                                           3(2y+3x)-20 = -53

Efectuando las operaciones indicadas :

6x+3y-2y+2x = -4y-28

.    6y+9x -20 = -53

Trasponiendo y reduciendo términos semejantes:

6x +2x+3y-2y+4y = -28

.  9x+6y = -53+20

= 

8x+5y = -28

9x+6y = -33

Dividiendo entre 3 la 2ª ecuación para simplificarla al mínimo:

8x+5y = -28

3x+2y = -11       Sistema simplificado.

Resolviendo el sistema por el método de reducción:

Igualamos en el sistema simplicado; los coeficientes de “x” multiplicando la 1ª ecuación por -3, y la 2ª ecuación por 8; luego sumamos verticalmente los términos semejantes:

-24x -15y =  84

 24x +16y =-88

.              y =  -4

Sustituimos el valor de y que es 3, en la ecuación 3x +2y = -11

3x +2(-4) = -11

.   3x  – 8  = -11

.             x = -11+8 /3

.            x = -1

Solución: x = -1

.                y = -4

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Ejercicio 179.

Resolver los siguientes sistemas:

Ejercicio 1)  8x-5 = 7y-9

.                        6x = 3y+6

8x-7y = -9+5

6x-3y = 6

-->

8x-7y = -4

6x-3y = 6

-->

8x-7y = -4

2x- y = 2     Sistema simplicado.   

Aplicando método de eliminación:

.   8x-7y =   -4

-14x+7y = -14     (Se multiplicó la 2ª ecuación por -7, para eliminar las “y”)

->

.   8x-7y =   -4

-14x+7y = -14

.- 6x       = -18

x = -18/-6 –> x = 3

Sustituyendo el valor de “x” en 2x-y=2

2(3)-y = 2

6 -y = 2

-y= 2-6 –> -y=-4 –> y = 4

Solución: x = 3

.                y = 4

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Ejercicio 2)  x-1 = y+1

.                    x-3 = 3y-7

x +y =  1+1

x-3y = -7+3

->

x + y =  2

x -3y = -4       Sistema simplificado.

Aplicando método de eliminación:

-x - y = -2

x -3y = -4     (Se multiplicó la 1ª ecuación por -1 para eliminar las “x”)

->

-x + y = -2

. x-3y = -4

.   -2y = -6

y = -6/-2 –> y = 3

Sustituyendo el valor de “y” en   x -y = 2

x -(3) = 2

x -3 = 2  –> x = 2+3  –> x = 5

Solución:  x = 5

.                 y = 3

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Ejercicio 3)  3(x+2) = 2y

.                    2(y+5) = 7x

3x+6 = 2y

2y+10 = 7x

->

3x  -2y =  -6

-7x+2y = -10     Sistema simplificado.

Aplicando método de eliminación:

 3x  -2y = -6

-7x+2y = -10

-4x       = -16

x = -16/-4 –> x = 4

Sustituyendo el valor de “x” en   3x-2y = -6

3(4) -2y = -6

12 -2y = -6

-2y = -6-12

y = -18/-2 –> y = 9

Solución:  x = 4

.                 y = 9

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Ejercicio 4)  x-1 = 2(y+6)

.                    x+6 = 3(1-2y)

x -1 = 2y+12

x+6 = 3-6y

->

x-2y = 12+1

x+6y = 3-6

->

x -2y = 13

x+6y = -3      Sistema simplificado.

Aplicando método de eliminación:

-x+2y = -13

x +6y =  -3   (Se multiplicó la 1ª ecuación por -1 para eliminar las “x”.

->

-x+2y = -13

x +6y =  -3

.    8y = -16

y = -16/8 –> y = -2

Sustituyendo el valor de “y” en   x+6y = -3:

x +6(-2) = -3

x-12 = -3

x = -3+12 –> x = 9

Solución: x =  9

.                y = -2

________________________________________

Ejercicio 5)  30-(8-x) = 2y+30

.                         5x-29 = x-(5-4y)

30-8+x = 2y+30

. 5x-29 = x-5+4y

->

x-2y = 30-30+8

5x-x-4y = -5+29

->

x-2y = 8

4x-4y = 24

->

x-2y = 8

x - y = 6     Sistema simplificado. (se dividió la 2° ecuación entre 4)

Aplicando método de eliminación:

x-2y = 8

-x+y = -6    (se multiplicó la 2ª ecuación por -1 para eliminar las “x”)

x  - 2y =  8

-x + y = -6

.      -y = 2

-> y = -2

Sustituyendo el valor de “y” en    x -y = 6:

x -(-2) = 6

x +2 = 6

x = 6-2 –> x = 4

Solución: x =  4

.                y = -2

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Ejercicio 6)  3x-(9x+y) = 5y-(2x+9y)

.                    4x-(3y+7) = 5y-47

3x-9x-y = 5y-2x-9y

4x-3y-7 = 5y-47

->

3x-9x+2x-y-5y+9y = 0

4x-3y-5y = -47+7

->

-4x+3y =   0

4x - 8y = -40     Sistema simplificado.

Aplicando método de eliminación:

-4x+3y =   0

. 4x -8y = -40

.      -5y = -40

y = -40/-5 –> y = 8

Sustituyendo el valor de y en   -4x+3y = 0:

-4x +3(8) = 0

-4x+24 = 0

-4x = -24

x =-24/-4 –> x = 6

Solución:  x = 6

.                 y = 8

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Método de eliminación por reducción.

Procedimiento:

1) Se hacen iguales los coeficientes de una de las incógnitas de las ecuaciones:

> Se busca el m.c.m. de los coeficientes y este se divide entre cada uno de los coeficientes y los cocientes que resulten serán los números por los cuales se deberán multiplicar cada una de las ecuaciones respectivamente.

2) Modificada una o las dos ecuaciones se procede a sumarlas, para eliminar una de la incógnitas de las ecuaciones, lo que nos dará como resultado el valor de la otra incógnita.

3) Se sustituyen el valor de la incógnita obtenida en cualquiera de las dos ecuaciones, para encontrar el valor de la otra incógnita.

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Ejemplo a) Resolver el sistema

5x+6y =  20¦

4x- 3y = -23¦

>> Igualando la incógnita "y",  para eliminarla después en la suma:

El m.c.m. de 3 y 6 es 6 --> 6 ÷ 3 = 2 , entonces multiplicamos la 2° ecuación por 2 para igualar el coeficiente de "y" en las dos ecuaciones.

(4x-3y = -23)(2)   (multiplicando por 2)

8x-6y = -46

>> Se suman la ecuación no modificada  y la que si modificamos:

5x+6y = 20

8x-6y = -46

13x      = -26  (Notarás que la "y" fue eliminada, porque +6-6 = 0)

x = -26/13

x = -2  <-- solución.

>> Sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones el valor de x obtenido:

5x+6y = 20

5(-2)+6y = 20

-10+6y = 20

y = 20+10/6

y = 30/6

y = 5  <-- Solución.

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Ejemplo b)  Resolver el sistema

10x+9y =  8

8x -15y = -1

>> Igualando la x de las dos ecuaciones;

El m.c.m. de 10 y 8 es 40 --> dividimos 40 entre 10 = 4; y 40 entre 8 es = 5; entonces multiplicamos la primera ecuación por 4 y la segunda ecuación por 5.

(10x+9y = 8)(4) --> sería igual a 40x+36y = 32

(8x-15y = -1)(5) --> sería igual a 40x-75y = -5

Como los dos coeficientes de x son positivos se le cambia signo a todos los términos de la segunda ecuación, para poder eliminar la x. = -40x+75y = 5

Las ecuaciones quedarían así, y se suman:

40x+ 36y = 32

-40x+75y = 5

.       111y = 37

y = 37/111

y = 1/3  <--  Solución

>> Sustituyendo el valor de "y" en la 2° ecuación original:

8x-15y = -1

8x-15(1/3) = -1

8x-5 = -1

x = -1+5/8

x = 1/2  <--  Solución.

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Ejercicio 178.

1) Resolver el sistema  

6x-5y =  - 9

4x+3y = 13

>> Igualamos los coeficientes de "y" en las dos ecuaciones:

El m.c.m. de  5  y  3 es  15 --> 15÷5 = 3   ;  15÷3 = 5

(3)(6x -5y= -9)  sería igual a 18x-15y = -27

(5)(4x+3y=13) sería igual a 20x+15y = 65

>> La suma de las ecuaciones quedarían así:

18x -15y = -27

20x+15y = 65

38x          = 38

x = 38/38

x = 1  <--  Solución

>> Sustituyendo el valor de x en la 2° ecuación original:

4x+3y = 13

4(1)+3y = 13

4+3y = 13

y = 13-4/3

y = 9/3

y = 3  <--  Solución.

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2)  Resolver el sistema

7x-15y = 1

-  x- 6y = 8

>> Igualando el coeficiente de x en la 2° ecuación.

(7)(-x-6y = 8) es igual a  -7x-42y = 56

>>La suma de las ecuaciones quedaría así:

7x -15y =  1

-7x-42y = 56

.     -57y = 57

y = 57/-57

y = -1  <--  Solución

>>sustituyendo el valor de "y" en la 2° ecuación original:

-x-6y = 8

-x-6(-1) = 8

-x +6 = 8

x = 8-6/-1

x = -2  <--  Solución.

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3)  Resolver el sistema

 3x - 4y = 41

11x+6y = 47

>> Igualando los coeficiente de "y" en las dos ecuaciones:

El m.c.m. de 4 y 6 es 12 -->  12÷4 = 3  y  12÷6 = 2,  entonces

(3)(3x-4y=41) es igual a  9x-12y = 123

(2)(11x+6y=47) es igual a  22x+12y = 94

>> La suma de las ecuaciones quedaría así:

9x - 12y = 123

22x+12y = 94

31x         = 217

x = 217/31

x = 7  <-- Solución

>>Sustituyendo el valor de x en la 2° ecuación original:

11x+6y = 47

11(7)+6y = 47

77+6y = 47

y = 47-77/6

y = -30/6

y = -5

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4)  Resolver el sistema

9x+11y = -14

6x  - 5y = -34

>> Igualando los coeficientes de "y" en las dos ecuaciones:

El m.c.m. de 11 y 5 es = 55 --> 55÷11 = 5   y  55÷5 = 11, entonces

(5)(9x+11y = -14) es igual a  45x+55y = -70

(11)(6x-5y = -34) es igual a  66x-55y = -374

>> La suma de las ecuaciones quedaría así:

45x+55y = - 70

66x - 55y = -374

111x        = -444

x = -444/111

x = -4  <--  Solución.

>> Sustituyendo el valor de x en la 2° ecuación original:

6x-5y =-34

6(-4)-5y = -34

-24-5y = -34

y = -34+24/-5

y = -10/-5

y = 2  <--  Solución.

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Método de eliminación por sustitución.

Procedimiento:

1) Se despeja una de las incógnitas en cualquiera de las ecuaciones dadas, para eliminar una de las incógnitas.

2) El valor encontrado se sustituye en la otra ecuación, y tendremos una ecuación con una sola incógnita.

3) Se resuelve la ecuación con una incógnita para encontrar el valor de la incógnita.

4) Se sustituye el valor de la incógnita encontrado en cualquiera de las ecuaciones originales dadas, para encontrar el valor de a otra variable.

5) Se verifica el valor de las variables encontradas, en las dos ecuaciones originales dadas,  y ambas se convierten en identidad.

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Ejemplo:  Resolver el sistema 2x+5y = -24    ,     8x-3y = 19

>> Despejando el valor de x, en   2x+5y = -24

x = -24-5y/2

>> Sustituyendo el valor de x obtenido en la otra ecuación:

8x-3y = 19

8(-24-5y)/2 -3y = 19

4(-24-5y) -3y = 19

-96-20y -3y = 19

-23y = 19+96

y = 115/-23

y = -5  <-- Solución.

Sustituyendo el valor de "y"  en cualquiera de las ecuaciones, en este caso se hará en la primera ecuación:

2x+5y =-24

2x+5(-5) = -24

2x-25 = -24

x = -24+25/2

x =  1/2  <--  Solución

>> Verificando el valor de "x" y el valor de "y" obtenidos:

> 2x+5y = -24

2(1/2)+5(-5) = -24

1-25 = -24

-24 = -24 (comprobado hay identidad)

> 8x-3y =19

8(1/2)-3(-5) = 19

4+15 = 19

19 = 19  (Comprobado hay identidad)

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Ejercicio 177.

(las verificaciones de los valores de las incógnitas obtenidas, hazlas si te las piden en la tarea o si tu quieres comprobar)

1) Resolver   x+3y = 6    ,    5x-2y = 13

>> Despejando x en  x+3y = 6

x = 6-3y

>> Sustituyendo el valor de x en

5x-2y = 13

5(6-3y) -2y = 13

30-15y -2y = 13

30-17y = 13

y = 13-30/-17

y = -17/-17

y = 1  <-- Solución.

>> Sustituyendo el valor de "y", en 5x-2y = 13

5x-2(1) = 13

5x-2 = 13

x = 13+2/5

x = 15/5

x = 3  <--  Solución.

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2) Resolver   5x+7y = -1    ,    -3x+4y = -24

>> Despejando x en  5x+7y = -1

x = -1-7y/5

>> Sustituyendo el valor de x en  -3x+4y = -24

-3(-1-7y/5) +4y = -24

(3+21y)/5 +4y = -24

3+21y+20y = -120

41y = -120-3

y = -123/41

y = -3  <--  Solución.

>> Sustituyendo el valor de "y" en  5x+7y = -1

5x +7(-3) = -1

5x -21 = -1

x = -1+21/5

x = 4  <--  Solución.

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3) Resolver   4y+3x = 8    ,    8x-9y = -77

>> Despejando x en  4y+3x = 8

x = 8-4y/3

>> Sustituyendo el valor de x en  8x-9y = -77

8(8-4y/3) -9y = -77

(64-32y)/3 -9y = -77

64-32y-27y = -231

-59y = -231-64

y = -295/-59

y = 5  <--  Solución.

>> Sustituyendo el valor de "y" en  4y+3x = 8

4(5)+3x = 8

20+3x = 8

x = 8-20/3

x = -12/3

x = -4  <-- Solución.

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4) Resolver  x-5y = 8    ,    -7x+8y = 25

>> Despejando x en  x-5y = 8

x = 8+5y

>> Sustituyendo el valor de x  en -7x+8y = 25

-7(8+5y) +8y = 25

-56-35y+8y = 25

-27y = 25+56

y = 81/-27

y = -3  <-- Solución.

>> Sustituyendo el valor de "y" en  x-5y = 8

x-5(-3) = 8

x+15 = 8

x = 8-15

x = -7  <--  solución.

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Método de eliminación por igualación.

Procedimiento:

1) Se despeja cualquiera de las incógnitas de la primera ecuación.

2) Se despeja la misma incógnita en la segunda ecuación.

3) Se forma una igualdad poniendo en un miembro el resultado de la primera ecuación y en el otro miembro el resultado de la segunda ecuación.

4) El resultado de la igualdad que formamos nos dará una sola ecuación con una incógnita.

5) Procedemos a despejar la incógnita de esta nueva ecuación.

6) Sabiendo el resultado de una de las incógnitas, sustituimos este valor en cualquiera de las dos ecuaciones originales para obtener el valor de la otra incógnita.

7) Si quieres verificar o porque te lo piden en la tarea; sustituye el valor de las incógnitas en las dos ecuaciones originales y verás que ambas se convierten en identidad.

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Ejemplo)  Resolver el sistema

7x + 4y = 13

5x -  2y =  19

>> Despejando el valor de x  en  7x +4y = 13

x = 13 -4y/7

>> Despejando el valor de x  en 5x - 2y = 19

x = 19+2y/5

>> Formando una igualdad solamente con los resultados de x  de ambas ecuaciones:

13-4y/7 = 19+2y/5

>> Resolvemos la nueva ecuación para encontrar el valor de "y":

5(13-4y) = 7(19+2y)

65-20y = 133+14y

-20y-14y = 133-65

-34y = 68

y = 68/-34

y= -2  <-- Solución

>> Sustituyendo el valor de "y" en cualquiera de las ecuaciones originales, para encontrar el valor de x. En este caso utilizaremos la primera ecuación:

7x + 4y = 13

7x + 4(-2) = 13

7x -8 = 13

x = 13+8/7

x = 3   <-- Solución.

>> Verificando el valor de "x" y el valor de "y" en las dos ecuaciones originales:

1°) 7x +4y = 13

7(3)+4(-2) = 13

21-8 = 13

13 = 13    Verificada la identidad.

2°) 5x-2y = 19

5(3)-2(-2) = 19

15+4 = 19

19 = 19  Verificada la identidad.

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Ejercicio 176.

1) Resolver    x +6y = 27    ,    7x -3y = 9

>> Despejando x en   x+6y = 27

x = 27-6y

>> Despejando x en  7x-3y = 9

x = 9+3y/7

>> Formando una igualdad con los valores de x

27-6y = 9+3y/7  (Nueva ecuación)

>> Resolviendo la nueva ecuación para encontrar el valor de "y"

7(27-6y) = 1(9+3y)

189-42y = 9+3y

-42y-3y = 9-189

-45y = -180

y = -180/-45

y = 4  <-- Solución

>> Sustituyendo valor de "y" en la 1° ecuación original

x +6y = 27

x +6(4) = 27

x = 27-24

x = 3  <-- Solución.

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2) Resolver   3x -2y = -2   ,   5x +8y = -60

>> Despejando x en  3x -2y = -2

x = -2+2y/3

>> Despejando x en  5x+8y = -60

x = -60-8y/5

>> Formando igualdad con los valores de x obtenidos:

-2+2y/3 = -60-8y/5   (Nueva ecuación)

>> Resolviendo la nueva ecuación para encontrar el valor de "y":

5(-2+2y) = 3(-60-8y)

-10+10y = -180-24y

10y+24y = -180+10

34y = -170

y= -170/34

y = -5  <-- Solución.

>> Sustituyendo valor de "y" en la 1° ecuación original:

3x -2y = -2

3x-2(-5) = -2

3x+10 = -2

x = -2-10/3

x = -12/3 = -4  <-- Solución.

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3)  Resolver   3x+5y = 7   ,   2x-y= -4

>>Despejando x en  3x+5y = 7

x = 7-5y/3

>> Despejando x en  2x-y = -4

x = -4+y/2

>> Formando igualdad con los valores de x obtenidos:

7-5y/3 = -4+y/2  (nueva ecuación)

>> Resolviendo nueva ecuación para encontrar valor de "y":

2(7-5y) = 3(-4+y)

14-10y = -12+3y

-10y-3y = -12-14

-13y = -26

y = -26/-13

y = 2

>> Sustituyendo valor de "y" en la 1° ecuación original:

3x+5y = 7

3x+5(2) = 7

3x+10 = 7

x = 7-10/3

x = -1  <-- Solución.

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4)  Resolver   7x-4y = 5   ,    9x+8y = 13

>> Despejando x en   7x-4y = 5

x = 5+4y/7

>> Despejando x en  9x+8y = 13

x = 13-8y/9

>> Formando igualdad con los valores de x obtenidos:

5+4y/7 = 13-8y/9  (ecuación nueva)

>> Resolviendo la nueva ecuación para encontrar el valor de "y":

9(5+4y) = 7(13-8y)

45+36y = 91-56y

36y+56y = 91-45

92y = 46

y = 46/92

y = 1/2  <-- Solución.

>> Sustituyendo valor de "y" en la 1° ecuación original:

7x-4y = 5

7x-4(1/2) = 5

7x-2= 5

x = 5+2/7

x = 1  <--  Solución.

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5)  Resolver   9x+16y = 7   ,   4y -3x = 0

>> Despejando x  en   9x+16y = 7

x = 7-16y/9

>> Despejando x en   -3x+4y = 0

x = -4y/-3

x = 4y/3

>> Formando igualdad con los valores de x obtenidos:

7-16y/9 = 4y/3  (nueva ecuación)

>> Resolviendo la nueva ecuación para encontrar el valor de "y":

3(7-16y) = 9(4y)

21-48y = 36y

-48y-36y = -21

-84y = -21

y = -21/-84

y = 1/4

>> Sustituyendo valor de "y" en la 1° ecuación original:

9x+16y = 7

9x+16(1/4) = 7

9x+4 = 7

x = 7-4/9

x = 3/9  = 1/3  <-- Solución.

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6) Resolver    14x -11y = -29    ,    13y -8x = 30

>> Despejando x en   14x -11y = -29

x = -29+11y /14

>> Despejando x en  13y -8x = 30

x = 30 -13y /-8

>> Formando una igualdad con los valores de x

-29+11y /14 = 30 -13y /-8  (Nueva ecuación)

>> Resolviendo la nueva ecuación para encontrar el valor de "y"

-8(-29+11y) = 14(30-13y)

232-88y = 420 -182y

-88y +182y = 420 -232

94y = 188

y = 188/94

y = 2  <-- Solución

>> Sustituyendo valor de "y" en la 1° ecuación original

14x -11y = -29

14x -11(2) = -29

14x -22 = -29

x = -29+22 /14

x = -7/14

x = -1/2  <-- Solución.

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7) Resolver    15x -11y = -87    ,    -12x -5y = -27

>> Despejando x en   15x-11y = -87

x = -87+11y /15

>> Despejando x en  -12x-5y = -27

x = -27+5y /-12

>> Formando una igualdad con los valores de x

-87+11y /15 = -27+5y /-12  (Nueva ecuación)

>> Resolviendo la nueva ecuación para encontrar el valor de "y"

-12(-87+11y) = 15(-27+5y)

1044-132y = -405+75y =

-75y-132y = -405-1044

-207y = -1449

y = -1449/-207

y = 7  <-- Solución

>> Sustituyendo valor de "y" en la 1° ecuación original

15x -11y = -87

x -11(7) = -87

x = -87+77 /15

x = -10/15

x = -2/3  <-- Solución.

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