Suma de fracciones con denominadores compuestos.

.                   

Procedimiento:

>> Se halla el m.c.m. de los denominadores , factorando los binomios.

>> Se divide el denominador común entre cada uno de los denominadores factorados y el cociente se multiplica por el denominador respectivo.

>> Se escribe la suma los resultados obtenidos como un solo numerador y esto se parte entre el denominador común.

>> Se efectúan los productos resultantes.

>> Por ultimo se reducen los términos semejantes del denominador.  

Y esta fracción resultante es la Solución.

________________________________________

Ejemplo A) Sumar 1/3x+3 + 1/2x-2 + 1/x²-1

>> Factorando los denominadores  3x+3  ,   2x-2  ,  x²-1

3x+3 =  3(x+1)

2x -1 =  2(x-1)

x² -1 =  (x-1)(x+1)

--> el m.c. m. de  3(x+1)  ,  2(x-1)  ,   (x-1)(x+1) = 6(x-1)(x+1)

>> Dividiendo el común denominador entre cada uno de los denominadores factorados

6(x-1)(x+1)  ÷  3(x+1) = 2(x-1)  --> 2(x+1)(1) = 2(x+1)

6(x+1)(x-1) ÷ 2(x-1) = 3(x+1)  --> 3(x+1)(1) = 3(x+1)

6(x+1)(x-1) ÷ (x-1)(x+1) = 6  --> 6(1) =  6

>> Escribiendo la suma  de los resultados

2(x-1) + 3(x+1) + 6 / 6(x-1)(x+1)

>> Efectuando productos:

2x -2 +3x +3 +6 / 6(x-1)(x+1)

>> Reduciendo los términos semejantes

5x +7 / 6(x-1)(x+1),  que es la Solución.

________________________________________

Ejemplo B)  Sumar a-1/a²-4 + a-2/a²-a-6 + a+6/a²-5a+6

>> Factorando los denominadores  a²-4  ,  a²-a-6  ,  a²-5a+6

a²-4 =  (a-2)(a+2)

a²-a-6 = (a-3)(a+2)

a²-5a+6 = (a-3)(a-2)

--> el m.c.m.  de (a-2)(a+2)  ,  (a-3)(a+2)  ,  (a-3)(a-2)  es   (a+2)(a-2)(a-3)

>> Dividiendo el denominador común entre cada uno de los denominadores factorados

(a+2)(a-2)(a-3) ÷ (a-2)(a+2) = a-3  -->  (a-3)(a-1)

(a+2)(a-2)(a-3) ÷ (a-3)(a+2) = a-2  -->  (a-2)(a-2)

(a+2)(a-2)(a-3) ÷ (a-3)(a-2) = a+2   --> (a+2)(a+6)

>> Escribiendo la suma de resultados

(a-3)(a-1) + (a-2)(a-2) + (a+2)(a+6) /(a+2)(a-2)(a-3)

>> Efectuando los productos:

a²-4a+3 + a²-4a+4 + a²+8a+12 /(a+2)(a-2)(a-3)

>> Reduciendo términos semejantes

3a² +19 / (a+2)(a-2)(a-3)  <--  Solución.

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Ejercicio 127 del Libro.

1) Sumar   1/a+1 + 1/a-1

En este caso no es necesario factorar los denominadores

El m.c.m. de   a+1  ,  a-1  =  (a+1)(a-1)

-->  (a+1)(a-1) ÷ (a+1) =  a-1  -->  (a-1)(1) =  a-1

.      (a+1)(a-1)  ÷ (a-1) = a+1  --> (a+1)(1) =  a+1

--> la suma es  (a-1) + (a+1) / (a+1)(a-1)

Reduciendo términos semejantes

a-1+a+1 / (a+1)(a-1)  =  2a / (a+1)(a-1) o bien 2a / a²-1 <-- Solución.

________________________________________

2) Sumar  2/x+4 + 1/x-3

En este caso no es necesario factorar los denominadores.

El m.c.m. de  x+4  ,  x-3  =  (x+4)(x-3) -->

(x+4)(x-3) ÷ (x+4) = x-3  -->  (x-3)(2) = 2x-6

(x+4)(x-3) ÷ (x-3) = x+4  -->  (x+4)(1) = x+4

La suma quedaría :  (2x-6) + (x+4)/ (x+4)(x-3)

Reduciendo términos semejantes

2x-6+x+4 / (x+4)(x-3) = 3x-2 / (x+4)(x-3) <-- Solución.

________________________________________

3) Sumar   3/1-x  ,  6/2x+5

En este caso no es necesario factorar los denominadores

El m.c.m.  de  1-x  ,  2x+5 es =  (1-x)(2x+5)  -->

(1-x)(2x+5) ÷ (1-x) = 2x+5  -->  (2x+5)(3) = 6x+15

(1-x)(2x+5) ÷ (2x+5) = (1-x)  --> (1-x)(6) = 6-6x

La suma quedaría :  (6x+15) + (6-6x) / (1-x)(2x+5)

Reduciendo términos semejantes:

6x+15+6-6x / (1-x)(2x+5) =  21/(1-x)(2x+5)  <-- Solución.

________________________________________

4) Sumar   x/x-y  +  x/x+y

No es necesario factorar.

El m.c.m. de  x-y  ,   x+y  es =  (x-y)(x+y)   -->

(x-y)(x+y) ÷ (x-y) = (x+y)   --> (x+y)(x) = x²+xy

(x-y)(x+y) ÷ (x+y) = (x-y)   --> (x-y)(x) =  x²-xy

La suma quedaría:   (x²+xy) +(x²-xy) / (x-y)(x+y)

Reduciendo términos semejantes:

x²+xy+x²-xy / (x-y)(x+y) =  2x²/(x-y)(x+y) ò  2x²/x²-y² <--  Solución.

________________________________________

5) Sumar   m+3/m-3  +  m+2/m-2

No es necesario factorar.

El m.c.m. de  m-3  ,  m-2  es =  (m-3)(m-2)   -->

(m-3)(m-2) ÷ (m-3) = (m-2)   -->  (m-2)(m+3) = m²+m-6

(m-3)(m-2) ÷ (m-2) = (m-3)   -->  (m-3)(m+2) = m²-m-6

La suma quedaría:  (m²+m-6)+(m²-m-6)/(m-3)(m-2)

Reduciendo términos semejantes:

m²+m-6+m²-m-6/(m-3)(m-2) =  2m²-12/(m-3)(m-2)  <--  Solución.

________________________________________

7) Sumar    x/x²-1 +  x+1/(x-1)²

Factorando los denominadores:

x² -1 = (x+1)(x-1)

(x-1)² = (x-1)(x-1)  -->

el m.c.m. de  (x+1)(x-1)  ,   (x-1)(x-1) es = (x+1)(x-1)²   -->

(x+1)(x-1)² ÷ (x+1)(x-1) = (x-1)  --> (x-1)(x) =  x²-x

(x+1)(x-1)² ÷ (x-1)(x-1) = (x+1)  --> (x+1)(x+1) = x²+2x+1

La suma quedaría así: (x²-x) + (x²+2x+1)/(x+1)(x-1)²

Reduciendo términos semejantes:

x²-x+x²+2x+1/(x+1)(x-1)²  =  2x²+x+1/(x+1)(x-1)²   <--   Solución.

________________________________________

9) Sumar   1/3x-2y  + x-y/9x²-4y²

Factorando los denominadores:

3x-2y = 3x-2y

9x²-4y²= (3x-2y)(3x+2y)  -->

el m.c.m.  de  (3x-2y)   ,   (3x+2y)(3x-2y) es =  9x²-4y²  -->

9x²-4y² ÷ (3x-2y) = (3x+2y)  -->  (3x+2y)(1) = 3x+2y

9x²-4y² ÷ (3x+2y)(3x-2y) = 1   --> (1)(x-y) =  x-y  -->

la suma quedaría así:  (3x+2y) + (x-y) /9x²-4y²

Reduciendo términos semejantes:

3x+2y+x-y/9x²-4y²  =  4x+y/9x²-4y²  -->  Solución.

________________________________________

Suma de fracciones con denominadores monomios.

.        

Procedimiento:

>> Se halla el m.c.m. de los denominadores , factorando los binomios.

>> Se divide el denominador común entre cada uno de los denominadores factorados y el cociente se multiplica por el denominador respectivo.

>> Se escribe la suma los resultados obtenidos como un solo numerador y esto se parte entre el denominador común.

>> Por ultimo se reducen los términos semejantes del denominador.   Y esta fracción resultante sera la Solución.

________________________________________

Ejemplo A) Sumar   1/3x+3   +   1/2x-2   +   1/x2-1

>> Factorando los denominadores  3x+3  ,   2x-2  ,  x^2-1

3x+3 =  3(x+1)

2x -1 =  2(x-1)

x^2 -1 =  (x-1)(x+1)

--> el m.c. m. de  3(x+1)  ,  2(x-1)  ,   (x-1)(x+1) = 6(x-1)(x+1)

>> Dividiendo el común denominador entre cada uno de los denominadores factorados

6(x-1)(x+1)  ÷  3(x+1) = 2(x-1)  --> 2(x+1)(1) = 2(x+1)

6(x+1)(x-1) ÷ 2(x-1) = 3(x+1)  --> 3(x+1)(1) = 3(x+1)

6(x+1)(x-1) ÷ (x-1)(x+1) = 6  --> 6(1) =  6

>> Escribiendo la suma  de los resultados

2(x-1)  +  3(x+1)  +  6 / 6(x-1)(x+1) / 6(x-1)(x+1)

>> Reduciendo los términos semejantes

2x -2 +3x +3 +6 / 6(x-1)(x+1) =   5x +7 / 6(x-1)(x+1),  que es la Solución.

________________________________________

Ejemplo B)  Sumar a-1/a²-4  +  a-2/a²-a-6  +  a+6/a²-5a+6

>> Factorando los denominadores  a²-4  ,  a²-a-6  ,  a²-5a+6

a²4 =  (a-2)(a+2)

a²a-6 = (a-3)(a+2)

a²-5a+6 = (a-3)(a-2)

--> el m.c.m.  de (a-2)(a+2)  ,  (a-3)(a+2)  ,  (a-3)(a-2)  es   (a+2)(a-2)(a-3)

>> Dividiendo el denominador común entre cada uno de los denominadores factorados

(a+2)(a-2)(a-3) ÷ (a-2)(a+2) = a-3  -->  (a-3)(a-1)

(a+2)(a-2)(a-3) ÷ (a-3)(a+2) = a-2  -->  (a-2)(a-2)

(a+2)(a-2)(a-3) ÷ (a-3)(a-2) = a+2   --> (a+2)(a+6)

>> Escribiendo la suma de resultados

(a-3)(a-1)  +  (a-2)(a-2)  +  (a+2)(a+6) /(a+2)(a-2)(a-3)

>> Reduciendo términos semejantes

a²-4a+3 + a²-4a+4 + a²+8a+12 =  3a^2 +19 / (a+2)(a-2)(a-3)  <--  Solución.

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Ejercicio 126 del libro.

1) Sumar   1/a+1  +  1/a-1

En este caso no es necesario factorar los denominadores

El m.c.m. de   a+1  ,  a-1  =  (a+1)(a-1)

-->  (a+1)(a-1) ÷ (a+1) =  a-1  -->  (a-1)(1) =  a-1

.      (a+1)(a-1)  ÷ (a-1) = a+1  --> (a+1)(1) =  a+1

--> la suma es  (a-1) + (a+1) / (a+1)(a-1)

Reduciendo términos semejantes

a-1+a-1 / (a+1)(a-1)  =  2a / (a+1)(a-1) o bien 2a / a²-1 <-- Solución.

_________________________________________

2) Sumar  2/x+4  +  1/x-3

En este caso no es necesario factorar los denominadores.

El m.c.m. de  x+4  ,  x-3  =  (x+4)(x-3) -->

(x+4)(x-3) ÷ (x+4) = x-3  -->  (x-3)(2) = 2x-6

(x+4)(x-3) ÷ (x-3) = x+4  -->  (x+4)(1) = x+4

La suma quedaría :  (2x-6) + (x+4)/ (x+4)(x-3)

Reduciendo términos semejantes

2x-6+x+4 / (x+4)(x-3) = 3x-2 / (x+4)(x-3) <-- Solución.

_________________________________________

3) Sumar   3/1-x  ,  6/2x+5

En este caso no es necesario factorar los denominadores

El m.c.m.  de  1-x  ,  2x+5 es =  (1-x)(2x+5)  -->

(1-x)(2x+5) ÷ (1-x) = 2x+5  -->  (2x+5)(3) = 6x+15

(1-x)(2x+5) ÷ (2x+5) = (1-x)  --> (1-x)(6) = 6-6x

La suma quedaría :  (6x+15) + (6-6x) / (1-x)(2x+5)

Reduciendo términos semejantes:

6x+15+6-6x / (1-x)(2x+5) =  21/(1-x)(2x+5)  <-- Solución.

_________________________________________

4) Sumar   x/x-y  +  x/x+y

No es necesario factorar.

El m.c.m. de  x-y   ,    x+y  es =  (x-y)(x+y)   -->

(x-y)(x+y) ÷ (x-y) = (x+y)   --> (x+y)(x) = x²+xy

(x-y)(x+y) ÷ (x+y) = (x-y)   --> (x-y)(x) =  x²-xy

La suma quedaría:   (x^2+xy) +(x^2-xy) / (x-y)(x+y)

Reduciendo términos semejantes:

x²+xy+x²-xy / (x-y)(x+y) =  2x²/(x-y)(x+y) ó  2x²/x²-y²<--  Solución.

_________________________________________

5) Sumar   m+3/m-3  +  m+2/m-2

No es necesario factorar.

El m.c.m. de  m-3  ,  m-2  es =  (m-3)(m-2)   -->

(m-3)(m-2) ÷ (m-3) = (m-2)   -->  (m-2)(m+3) = m²+m-6

(m-3)(m-2) ÷ (m-2) = (m-3)   -->  (m-3)(m+2) = m²-m-6

La suma quedaría:  (m²+m-6)+(m²-m-6)/(m-3)(m-2)

Reduciendo términos semejantes:

m²+m-6+m²-m-6/(m-3)(m-2) =  2m²-12/(m-3)(m-2)  <--  Solución.

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7) Sumar    x/x²-1   +    x+1/(x-1)²

Factorando los denominadores:

x² -1 = (x+1)(x-1)

(x-1)² = (x-1)(x-1)  -->

el m.c.m. de  (x+1)(x-1)  ,   (x-1)(x-1) es = (x+1)(x-1)²   -->

(x+1)(x-1)² ÷ (x+1)(x-1) = (x-1)  --> (x-1)(x) =  x²-x

(x+1)(x-1)² ÷ (x-1)(x-1) = (x+1)  --> (x+1)(x+1) = x²+2x+1

La suma quedaría así: (x²-x) + (x²+2x+1)/(x+1)(x-1)²

Reduciendo términos semejantes:

x²-x+x²+2x+1/(x+1)(x-1)²  =  2x²+x+1/(x+1)(x-1)²   <--   Solución.

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9) Sumar   1/3x-2y    +   x-y/9x²-4y²

Factorando los denominadores:

3x-2y = 3x-2y

9x²-4y² = (3x-2y)(3x+2y)  -->

el m.c.m.  de  (3x-2y)   ,   (3x+2y)(3x-2y) es =  9x²-4y²  -->

9x²-4y² ÷ (3x-2y) = (3x+2y)  -->  (3x+2y)(1) = 3x+2y

9x²-4y² ÷ (3x+2y)(3x-2y) = 1   --> (1)(x-y) =  x-y  -->

la suma quedaría así:  (3x+2y) + (x-y) /9x²-4y²

Reduciendo términos semejantes:

3x+2y+x-y/9x²-4y²  =  4x+y/9x²-4y²  -->  Solución.

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Reducción de fracciones al mínimo común denominador.

.              ,   , 

Reducir fracciones al mínimo común denominador es convertirlas en fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador y que este sea el menor posible.

Procedimiento:

1.  Se simplifican las fracciones dadas, si es posible.

2.  Se halla el m.c.m. de los denominadores, que sera el denominador común.

3.  Se divide el denominador común encontrado entre cada denominador y el cociente se multiplica por el numerador respectivo.

4.  Se efectúan las operaciones indicadas para encontrar la Solución.

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Ejemplos:

 A)  Reducir  2/a , 3/2a² ,  5/4x²

>Simplificando las fracciones (En este caso no es necesario)

> Hallando el mínimo común denominador de las fracciones:  a, 2a², 4x², que es 4a²x², 

porque:

4a²x² dividido entre  a  =  4ax² ,  multiplicado por (2)  =  8ax²

4a²x² dividido entre  2a²  =  2x², multiplicado por  (3)  =  6x²

4a²x² dividido entre  4x²  =  a²,  multiplicado por  (5)  =  5a²

--> La Solución es  8ax² /4a²x²  ,  6x² /4a²x²  ,  5a² /4a²x²

Nota:  Para encontrar el mínimo común múltiplo de los coeficientes (1 , 2 y 4),

puedes utilizarse la tabla del m.c.m.

(También puedes hacerlo de otra manera efectiva que conozcas)

|1|2|4|2

|1|1|2|2   |--> el m.c.m. es =  (2)(2)  =  4

|1|1|1|     |  Las letras "a"  y la "x" se agregan con su mayor exponente : "a²"  y  "x²"

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B)  Reducir   1/3x²  ,   x-1/6x  ,  2x-3/9x³

> Hallando el mínimo común denominador de  3x²  ,  6x  ,  9x³ , que es  18x³ ,
porque

18x³ dividido entre  3x²  =  6x  multiplicado por  1  =  6x

18x³ dividido entre  6x  =  3x²  multiplicado por x-1 =  3x³-3x²

18x³ dividido entre  9x³  = 2  multiplicado por 2x-3  =  4x-6

-->  La solución es :   6x /18x³  ,  3x³x² /18x³  ,  4x-6 /18x³

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C)  Reducir   a-b /ab  ,  2a /ab+b²  ,  3b /a²+ab

Simplificando los denominadores

ab  =  ab             ;          ab+b² =  b(a+b)     ;     a²+ab = a(a+b)

Hallando el mínimo común denominador de ab  ,  b(a+b)  ,  a(a+b) que es   ab(a+b) 
porque:

ab(a+b)  dividido entre  ab =  (a+b) y multiplicado por  (a-b) = a²-b²

ab(a+b)  dividido entre  b(a+b)  =  "a"  y multiplicado por 2a = 2a²

ab(a+b)  dividido entre  a(a+b)  =  "b"  y multiplicado por 3b  =  3b²

-->  La Solución es   a²-b² /ab(a+b)  ,  2a² /ab(a+b)  ,  3b² /ab(a+b)

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D)  Reducir   x+3 /x²-1  ,  2x /x²+3+2  ,  x+4 /x²+x-2

Simplificando los denominadores por factorización:

x²-1  =  (x+1)(x-1)        ;       x²+3+2 = (x+2)(x+1)       ;      x²+x-2 = (x+2)(x-1)

Hallando el mínimo común denominador de

(x+1)(x-1)  ,  (x+2)(x+1)  ,  (x+2)(x-1) que es  (x+1)(x-1)(x+2),
porque

(x+1)(x-1)(x+2) divido entre   (x+1)(x-1) = (x+2) por (x+3) = x²+5x+6

(x+1)(x-1)(x+2) divido entre  (x+2)(x+1) = (x-1) por (2x) = 2x²-2x

(x+1)(x-1)(x+2) divido entre (x+2)(x-1) = (x+1) por (x+4) = x²+5x+4

-->  La Solución es  

x²+5x+6 /(x+1)(x-1)(x+2)   ,  2x²-2x /(x+1)(x-1)(x+2)  ,  x²+5x+4 /(x+1)(x-1)(x+2)

________________________________________

Ejercicio 125

1) Reducir a/b  ,  1/ab

Hallando el mínimo común denominador de "b"   y  "ab" , que es ab  -->

ab ÷ b  =  a, -->  a(a) /ab  =  a² /ab

ab ÷  ab  =  1,  -->  1(1) /ab  = 1 /ab

--> La Solución es   a²/ab  ,  1/ab

________________________________________

2) Reducir    x/2a    ,   4/3a²x

Hallando el mínimo común denominador de   2a   , 3a²x,  que es 6a²x   -->

6a²x ÷ 2a  =   3ax , --> 3ax(x) /6a²x  =  3ax²/6a²x

6a²x ÷ 3a²x  =  2,  --> 2(4) /6a²x  = 8/6a²x

-->  La Solución es   3ax²/6a²x    ,    8/6a²x

________________________________________

3) Reducir     1/2x²    ,    3/4x   ,   5/8x³

Hallando el mínimo común denominador de   2x²  ,  4x  ,  8x³3 ,  que es  8x³  -->

8x³ ÷ 2x²  =  4x,  -->  4x(1) /8x³  = 4x /8x³

8x³ ÷ 4x  =  2x²,  -->  2x²(3) /8x³  =  6x² /8x³

8x³ ÷ 8x³  = 1,   -->  1(5) /8x³  =  5 /8x³

--> La Solución  es   4x/8x³  ,  6x²/8x³  ,  5/8x³

________________________________________

4) Reducir   3x/ab²   ,   x/a²b   ,   3/a³

Hallando el mínimo común denominador de  ab²  ,  a²b  ,  a³  que es  a³b²  -->

a³b² ÷ ab²  =  a²,  -->   a²(3x) /a³b²  =  3a²x /a³b²

a³b² ÷ a²b  =  ab,  -->  ab(x) /a³b²  =  abx /a³b²

a³b² ÷ a³  =  b²,  -->  b²(3) /a³b²  =  3b² /a³b²

-->  La Solución  es    3a²x/a³b²  ,  abx/a³b²  ,  3b²/a³b²

________________________________________

5) Reducir   7y/6x²   ,  1/9xy   ,   5x/12y³

Hallando el mínimo común denominador de  6x²  ,  9xy  ,  12y³   que  es  36x²y³  -->

36x²y³ ÷ 6x²  =  6y³,  -->  6y³(7y) /36x²y³  = 42y⁴ /36x²y³

36x²y³ ÷ 9xy  =  4xy²  --> 4xy²(1) /36x²y³  =  4xy² /36x²y³

36x²y³ ÷ 12y³ =  3x²  --> 3x²(5x) /36x²y³  =  15x³ /36x²y³

-->  La Solución es   42y⁴/36x²y³  ,   4xy²/36x²y³  ,  15x³/36x²y³

Para encontrar el mínimo común múltiplo de los coeficientes (6, 9 y 12),

puedes hacer uso de la tabla.  ( Si consideras que la necesitas)

|6|9|12|3

|2|3|  4|2

|1|3|  2|2

|1|3|  1|3  --> el m. c.m. denominador es (3)(2)(3)(2) = 36

|1|1|  1|     -->  Las letras "x"  y  la "y" se copian con su mayor exponente : x²  ,  y³

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10) Reducir 2a-b/3a²   ,   3b-a/4b²  ,   a-3b/2

Hallando el mínimo común denominador de   3a²  ,  4b²  ,  2,  que es   12a²b² -->

12a²b² ÷ 3a²  =  4b²,  -->  4b²(2a-b) /12a²b² = 8ab²-4b³ /12a²b²

12a²b² ÷ 4b²  =  3a²,  -->  3a²(3b-a) /12a²b² = 9a²b-3a³ /12a²b²

12a²b² ÷ 2  =  6a²b²,  -->  6a²b²(a-3b)/12a²b² = 6a³b²-18a²b³ /12a²b²

-->  La Solución es

   8ab²-4b³/12a²b²  ,   9a²b-3a³/12a²b²  ,  6a³b² -18a²b³/12a²b² 

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13) Reducir   x/x²-1   ,   1/x²-x-2

Se simplifican los denominadores , factorándolos.

x² -1  = (x-1)(x+1)  <--  Se aplicó (Caso IV de Factorización)

x² -x -2 = (x-2)(x+1)  <--  Se aplicó (Caso VI de Factorización)

Hallando  el mínimo común denominador de

(x-1)(x+1)   y   (x-2)(x+1)  es  (x-1)(x+1)(x-2) -->

(x-1)(x+1)(x-2)÷(x-1)(x+1) = (x-2), -->  (x-2)(x)/(x-1)(x+1)(x-2) =  x²-2x /(x-1)(x+1)(x-2)

(x-1)(x+1)(x-2)÷(x-2)(x+1)  = (x-1), --> (x-1)(1)/(x-1)(x+1)(x-2)  =  x-1 /(x-1)(x+1)(x-2)

-->  La Solución es    x²-2x/(x-1)(x+1)(x-2)   ,    x-1 /(x-1)(x+1)(x-2)    ó

.                                      x²-2x / (x²-1)(x-2)        ,     x-1 / (x²-1)(x-2)

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29)  Reducir  a+3/a² +a -20    ,   5a/a² -7a +12   ,   a+1/a² +2a-15

Simplificando los denominadores, factorándolos

a² +a -20 = (a+5)(a-4)     (Se aplicó  Caso VI)

a² -7a +12  =  (a-4)(a-3)  (Se aplicó Caso VI)

a² +2a -15  =  (a+5)(a-3)  (Se aplicó Caso VI)

Hallando el mínimo común denominador de

(a+5)(a-4)  ,   (a-4)(a-3)  ,  (a+5)(a-3)  que es  (a-3)(a-4)(a+5)  -->

(a-3)(a-4)(a+5)÷(a+5)(a-4) = (a-3), --> (a-3)(a+3)/(a-3)(a-4)(a+5) = a²-9 /(a-3)(a-4)(a+5)

(a-3)(a-4)(a+5)÷(a-4)(a-3) = (a+5), --> (a+5)5a/(a-3)(a-4)(a+5) = 5a²+25a/(a-3)(a-4)(a+5)

(a-3)(a-4)(a+5)÷(a+5)(a-3) = (a-4), --> (a-4)(a+1)/(a-3)(a-4)(a+5)  = a²-3a-4 /(a-3)(a-4)(a+5)

--> La Solución  es  

a² -9 /(a-3)(a-4)(a+5)   ,    5a²+25a /(a-3)(a-4)(a+5)   ,   a²-3a-4 /(a-3)(a-4)(a+5)

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Simplificación de fracciones cuando hay que cambiar signo a uno o más factores.

.                

Nota:

1) Cuando al descomponer una fracción vemos que no se puede simplificar porque el numerador no coincide con el denominador; es entonces cuando procedemos a cambiar el signo a un factor, que puede ser en el numerador o en el denominador, para poder simplificar, pero esto implica que para que no varíe la fracción debemos cambiarle el signo a toda la fracción.

2) Ahora bien si cambiamos  el signo a dos factores, que pueden ser un factor del numerador y a un factor del denominador o los dos factores en el numerador o en el denominador, entonces el signo de toda la fracción no varía.

3) Por lo tanto, si la cantidad de factores que cambiamos signo en una fracción es impar, se debe cambiar el signo a toda la fracción; pero si la cantidad de factores que cambiamos signo en una fracción es par, el signo de toda la fracción no se cambia.

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Ejemplos:

a) Simplificar  2a-2b / 3b-3a

> Descomponiendo el numerador y el denominador de la fracción:

(Aplicando Caso I de factorización)

2a-2b / 3b-3a = 2(a-b) / 3(b-a)

> Como un factor del numerador (a-b) no coincide con un factor del denominador (b-a), entonces se procede a cambiarle signo al factor (b-a) del denominador; y por consiguiente cambiarle signo a toda la fracción:

2(a-b) / 3(b-a) = -2(a-b) / 3(a-b)

> Ahora procedemos a la simplificación:

-2(a-b) / 3(a-b) =

= - 2/3  Solución.

(Se elimina (a-b) del numerador y del denominador en la simplificación).

b) Simplificar ax²-9a / 3x-3y-x²+xy

> Descomponiendo los factores de la fracción:

(Aplicando Caso I y Caso IV de Factorización en el numerador)

(Aplicando Caso II de factorización en el denominador)

ax²-9a / 3x-3y-x²+xy

= a(x²-9) / (3x-3y)-(x²-xy) =

a(x+3)(x-3) / 3(x-y)-x(x-y) =

= a(x+3)(x-3) / (x-y)(3-x)

> Simplificando, pero antes se cambia signo al factor (3-x) del denominador para poder eliminarlo con el factor (x-3) del numerador: y también se cambia el signo a (x-y) del denominador por (y-x) para que sean dos los cambios de signo y así no cambiarle signo a toda la fracción. 

= a(x+3)(x-3) / (y-x)(x-3)

= a(x+3) / y-x  Solución.

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Ejercicio 120.

1) Simplificar 4-4x / 6x-6

> Descomponiendo los factores de la fracción

(Aplicando el caso 1 de Factorización)

4-4x / 6x-6 = 4(1-x) / 6(x-1)

> Cambiando los signos de (x-1) por (1-x)

4(1-x) / 6(x-1) = - 4(1-x) / 6(1-x)

> Simplificando la fracción:

- 4(1-x) / 6(1-x) 

= - 4/6

= - 2/3   Solución.

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3) Simplificar  m²-n² / (n-m)²

> Descomponiendo los factores de la fracción:

(Aplicando el Caso IV de factorización para el numerador)

(Aplicando el Producto Notable, Cuadrado de la diferencia de dos

cantidades, para el denominador)

m²-n² / (n-m)² = (m-n)(m+n) / (n-m)(n-m)

> Cambiando el signo a los dos (par) factores del denominador:

(m-n)(m+n) / (n-m)(n-m) = (m-n)(m+n) / (m-n)(m-n)

> Simplificando la fracción:

(m-n)(m+n) / (m-n)(m-n) =

= m+n / m-n  Solución.

(Esta solución es positiva porque se le cambió signo a dos factores)

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5)  Simplificar  3y-6x / 2mx-my-2nx+ny

> Descomponer los factores de la fracción:

(Aplicando Caso I en el numerador)

(Aplicando Caso II en el denominador)

3y-6x / 2mx-my-2nx+ny = 3(y-2x) / (2mx-2nx)-(my+ny)

= 3(y-2x) / 2x(m-n-)-y(m-n)

= 3(y-2x) / (2x-y)(m-n)

> Cambiando signo a (2x-y)  por (y-2x):

= - 3(y-2x) / (y-2x)(m-n)

> Simplificando la fracción:

= - 3/m-n   Solución.

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Simplificación de fracciones cuyos términos sean polinomios.

.              

Regla:

Se descomponen en factores todos los polinomios, utilizando el Caso correspondiente de factorización o de Productos Notables.   Luego se suprimen los factores comunes del numerador y del denominador, dividiendo tanto el numerador como el denominador por un mismo factor común; de manera de dejarlos en su mínima expresión.

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Ejemplo A)  simplificar   2a² /4a²-4ab

--> Factorizando el denominador del Polinomio:

(Se utiliza el Caso I de Factorización en el denominador)

2a² / 4a²-4ab  = 2a² / 4a(a -b)  = 1∗a /2∗1∗(a -b)  =  a / 2(a -b)   <--  Solución.

Se dividió   2/4  entre 2/2  =  1/2

Se dividió   a² /a  entre  a /a  =  a/1

El factor (a-b), que no tiene común, solo se copia.

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Ejemplo B)  Simplificar   4x²y³ / 24x³y³-36x³y⁴

--> Factorizando el denominador del Polinomio:

(Se utiliza el Caso I de factorización)

4x²y³ / 24x³y³-36x³y⁴  = 4x²y³/12x³y³(2 -3y) = 1∗1∗1 / 3∗ x∗1∗ (2 -3y) = 1 /3x(2 -3y) <-- Solución.

Se dividió   4/12  entre 4/4  =  1/3

Se dividió   x²/x³   entre   x²/x²  =  1 /x

Se dividió   y³/y³   entre  y³/y³  =  1/1  = 1

El factor (2 -3y), que no tiene común solo se copia.

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Ejemplo C)  Simplificar   x² -5x +6 / 2ax -6a

-->  Factorizando el Polinomio

(El numerador (Caso VI) y el denominador (Caso I)  De Factorización.

x²-5x+6 / 2ax -6a  =  (x -3)(x -2) / 2a(x -3)  =  1∗x-2 / 1∗2a = x-2/2a  <-- Solución.

Se dividió  x -3 /x -3  entre   x -3 /x-3  =  1/1  = 1

Los factores no comunes  ( x -2)  y  "2a" , solo se copian.

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Ejemplo D)  Simplificar    8a^3+27 / 4a^2+12a+9

-->  Factorizando el Polinomio.

El numerador (Producto Notable: Cubo de un Binomio)

y el denominador (Producto Notable: Cuadrado de la Suma de dos Cantidades)

8a³+27 / 4a²+12a+9  =  (2a +3)(4a² -6a +9) / (2a +3)²  =  (2a +3)(4a²-6a+9) / (2a +3)(2a +3) =

4a²-6a+9 / 2a +3  <--  Solución.

Se dividió  2a +3 / 2a +3  entre  2a+3 / 2a+3  =  1/1  =  1

Los factores no comunes (4a²-6a+9)  y  (2a+3), solo se copian.

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Ejercicio 119.

1) Simplificar  3ab / 2a²x +2a³

--> Factorizando el polinomio en el denominador: (Caso I de Factorización)

3ab / 2a²x+2a³  =  3ab / 2a²(x+a) = 3(1)(b) / 2(a)(x+a) = 3b / 2a(x+a) <--  Solución.

Se dividió   a/a² entre a/a  =  1/a

Los factores no comunes [ 3 , b ,  2 , (x+a) ], solo se copian.

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2) Simplificar   xy / 3x²y -3xy²

--> Factorizando el polinomio:  (en el denominador  Caso I de Factorización)

xy /3x²y -3xy² = xy/3xy(x -y) = (x)(y)/3(x)(y)(x -y) = (1)(1) / (3)(x -y) = 1 / 3(x -y) <--  Solución.

Se dividió   x/x  entre  x/x  =  1/1

Se dividió   y/y  entre  y/y  =  1/1

Los factores no comunes [ 3 , (x -y) ], solo se copian.

(En este ejercicio como en el numerador el único factor es el "1"  entonces si escribe; en cambio en el denominador como existen otros factores diferentes de "1", no es necesario escribir dicho factor,  porque este no altera el producto)

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3) Simplificar   2ax+4bx /3ay+6by

--> Factorizado el polinomio  (Caso I de Factorización )

2ax+4bx /3ay+6by = 2x(a+2b) /3y(a+2b) = (2)(x)(1) / (3)(y)(1) = 2x / 3y <-- Solución.

Se dividió a +2b / a +2b   entre  a +2b /a +2b  =  1 /1

Los factores no comunes ( 2,  x,  3,  y), solo se copian.

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4)  Simplificar   x² -2x -3 / x-3

--> Factorizando el numerador  (Caso VI de Factorización)

x² -2x -3 / x -3  =  (x-3)(x +1) / x -3  = 1(x +1) / 1 = x +1  <--  Solución.

Se dividió  x -3 /x -3  entre  x -3/x -3  =  1/1

Los factores no comunes "(x +1)",  solo se copian.

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5)  Simplificar   10a²b³c /80(a³ -a²b)

Factorizando  el denominador  (Caso I de Factorización)

10a²b³c / 80(a³ -a²b)  =  10a²b³c / 80a²(a -b)  = (1)(1)(b³)(c) / (8)(1)(a -b)

= b³c / 8(a -b)  <--  Solución.

Se dividió  10/80  entre  10/10  =   1/8

Se dividió  a² /a²  entre  a²/a²  =  1/1

Los factores comunes [ b³,  c,  (a -b)], solo se copian.

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6) Simplificar   x² -4 / 5ax +10a

Factorizando el numerador (Caso IV) y el denominador (Caso I), ambos de Factorización.

x² -4 / 5ax +10a  =  (x -2)(x +2) / 5a(x +2) = (1)(x -2) / (1)(5)(a) =  x -2 / 5a  <--  Solución.

Se dividió  x +2/x +2  entre  x +2 / x +2  =  1/1

Los factores no comunes [ (x -2),  5,  a ]

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10) Simplificar 3x²y+15xy/x²-25

Factorizando el numerador (Caso I) y el denominador (Caso IV) de factorización.

3x²y+15xy/x²-25 = 

= 3xy(x+5)/(x-5)(x+5)

Dividiendo x+5/x+5 = 1/1 

Los factores no comunes 3xy ,  x-5 , solo se copian.

=3xy/x-5   Solución.

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11) Simplificar a²-4ab+4b²/a³-8b³

Factorizando el numerador (Caso VI) y el denominador (Caso IX)

a²-4ab+4b²/a³-8b³ = (a-2b)(a-2b)/(a-2b)(a²+2ab+4b²)

es = a-2b/a²+2ab+4b²<-- Solución.

Nota: Al simplificar la fracción se eliminó (a-2b) del numerador y (a-2b) del denominador.

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12)  Simplificar  x³+4x²-21x/x³-9x

Factorizando numerador y denominador como Caso I. 

= x(x²+4x-21)/x(x² - 9)

Factorizando el numerador como Caso I , y el denominador como Caso IV.

= x(x+7)(x-3)/x(x+3)(x-3)

= x+7/x+3   Solución.

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13) Simplificar  6x²+5x-6/15x²-7x-2

Factorizando el numerador y el denominador como Caso VII.

= [  6(6x²+5x-6)] ÷  6  = [(6x)²+5x(6x)-36]÷  6

   [15(15x²-7x-2)]÷15     [(15x)²-7(15x)-30]÷15

= [(6x+9) / 3][(6x-4)  / 2]     = (2x+3)(3x-2)   =  2x+3     Solución.

    [(15x-10)/5][(15x+3)/3]      (3x-2)(5x+1)       5x+1

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14) Simplificar   a³+1 /a⁴-a³+a-1

Factorizando el denominador como Caso II.

= a³+1 /(a⁴-a³)+(a-1)

= a³+1/a³(a-1)+1(a-1)

= a³+1/(a-1)(a³+1)

Simplificando la fracción para eliminar a³+1 del numerador y del denominador.

= 1/a-1     Solución.

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