Simplificación de fracciones cuyos términos sean polinomios.

.              

Regla:

Se descomponen en factores todos los polinomios, utilizando el Caso correspondiente de factorización o de Productos Notables.   Luego se suprimen los factores comunes del numerador y del denominador, dividiendo tanto el numerador como el denominador por un mismo factor común; de manera de dejarlos en su mínima expresión.

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Ejemplo A)  simplificar   2a² /4a²-4ab

--> Factorizando el denominador del Polinomio:

(Se utiliza el Caso I de Factorización en el denominador)

2a² / 4a²-4ab  = 2a² / 4a(a -b)  = 1∗a /2∗1∗(a -b)  =  a / 2(a -b)   <--  Solución.

Se dividió   2/4  entre 2/2  =  1/2

Se dividió   a² /a  entre  a /a  =  a/1

El factor (a-b), que no tiene común, solo se copia.

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Ejemplo B)  Simplificar   4x²y³ / 24x³y³-36x³y⁴

--> Factorizando el denominador del Polinomio:

(Se utiliza el Caso I de factorización)

4x²y³ / 24x³y³-36x³y⁴  = 4x²y³/12x³y³(2 -3y) = 1∗1∗1 / 3∗ x∗1∗ (2 -3y) = 1 /3x(2 -3y) <-- Solución.

Se dividió   4/12  entre 4/4  =  1/3

Se dividió   x²/x³   entre   x²/x²  =  1 /x

Se dividió   y³/y³   entre  y³/y³  =  1/1  = 1

El factor (2 -3y), que no tiene común solo se copia.

________________________________________

Ejemplo C)  Simplificar   x² -5x +6 / 2ax -6a

-->  Factorizando el Polinomio

(El numerador (Caso VI) y el denominador (Caso I)  De Factorización.

x²-5x+6 / 2ax -6a  =  (x -3)(x -2) / 2a(x -3)  =  1∗x-2 / 1∗2a = x-2/2a  <-- Solución.

Se dividió  x -3 /x -3  entre   x -3 /x-3  =  1/1  = 1

Los factores no comunes  ( x -2)  y  "2a" , solo se copian.

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Ejemplo D)  Simplificar    8a^3+27 / 4a^2+12a+9

-->  Factorizando el Polinomio.

El numerador (Producto Notable: Cubo de un Binomio)

y el denominador (Producto Notable: Cuadrado de la Suma de dos Cantidades)

8a³+27 / 4a²+12a+9  =  (2a +3)(4a² -6a +9) / (2a +3)²  =  (2a +3)(4a²-6a+9) / (2a +3)(2a +3) =

4a²-6a+9 / 2a +3  <--  Solución.

Se dividió  2a +3 / 2a +3  entre  2a+3 / 2a+3  =  1/1  =  1

Los factores no comunes (4a²-6a+9)  y  (2a+3), solo se copian.

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Ejercicio 119.

1) Simplificar  3ab / 2a²x +2a³

--> Factorizando el polinomio en el denominador: (Caso I de Factorización)

3ab / 2a²x+2a³  =  3ab / 2a²(x+a) = 3(1)(b) / 2(a)(x+a) = 3b / 2a(x+a) <--  Solución.

Se dividió   a/a² entre a/a  =  1/a

Los factores no comunes [ 3 , b ,  2 , (x+a) ], solo se copian.

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2) Simplificar   xy / 3x²y -3xy²

--> Factorizando el polinomio:  (en el denominador  Caso I de Factorización)

xy /3x²y -3xy² = xy/3xy(x -y) = (x)(y)/3(x)(y)(x -y) = (1)(1) / (3)(x -y) = 1 / 3(x -y) <--  Solución.

Se dividió   x/x  entre  x/x  =  1/1

Se dividió   y/y  entre  y/y  =  1/1

Los factores no comunes [ 3 , (x -y) ], solo se copian.

(En este ejercicio como en el numerador el único factor es el "1"  entonces si escribe; en cambio en el denominador como existen otros factores diferentes de "1", no es necesario escribir dicho factor,  porque este no altera el producto)

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3) Simplificar   2ax+4bx /3ay+6by

--> Factorizado el polinomio  (Caso I de Factorización )

2ax+4bx /3ay+6by = 2x(a+2b) /3y(a+2b) = (2)(x)(1) / (3)(y)(1) = 2x / 3y <-- Solución.

Se dividió a +2b / a +2b   entre  a +2b /a +2b  =  1 /1

Los factores no comunes ( 2,  x,  3,  y), solo se copian.

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4)  Simplificar   x² -2x -3 / x-3

--> Factorizando el numerador  (Caso VI de Factorización)

x² -2x -3 / x -3  =  (x-3)(x +1) / x -3  = 1(x +1) / 1 = x +1  <--  Solución.

Se dividió  x -3 /x -3  entre  x -3/x -3  =  1/1

Los factores no comunes "(x +1)",  solo se copian.

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5)  Simplificar   10a²b³c /80(a³ -a²b)

Factorizando  el denominador  (Caso I de Factorización)

10a²b³c / 80(a³ -a²b)  =  10a²b³c / 80a²(a -b)  = (1)(1)(b³)(c) / (8)(1)(a -b)

= b³c / 8(a -b)  <--  Solución.

Se dividió  10/80  entre  10/10  =   1/8

Se dividió  a² /a²  entre  a²/a²  =  1/1

Los factores comunes [ b³,  c,  (a -b)], solo se copian.

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6) Simplificar   x² -4 / 5ax +10a

Factorizando el numerador (Caso IV) y el denominador (Caso I), ambos de Factorización.

x² -4 / 5ax +10a  =  (x -2)(x +2) / 5a(x +2) = (1)(x -2) / (1)(5)(a) =  x -2 / 5a  <--  Solución.

Se dividió  x +2/x +2  entre  x +2 / x +2  =  1/1

Los factores no comunes [ (x -2),  5,  a ]

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10) Simplificar 3x²y+15xy/x²-25

Factorizando el numerador (Caso I) y el denominador (Caso IV) de factorización.

3x²y+15xy/x²-25 = 

= 3xy(x+5)/(x-5)(x+5)

Dividiendo x+5/x+5 = 1/1 

Los factores no comunes 3xy ,  x-5 , solo se copian.

=3xy/x-5   Solución.

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11) Simplificar a²-4ab+4b²/a³-8b³

Factorizando el numerador (Caso VI) y el denominador (Caso IX)

a²-4ab+4b²/a³-8b³ = (a-2b)(a-2b)/(a-2b)(a²+2ab+4b²)

es = a-2b/a²+2ab+4b²<-- Solución.

Nota: Al simplificar la fracción se eliminó (a-2b) del numerador y (a-2b) del denominador.

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12)  Simplificar  x³+4x²-21x/x³-9x

Factorizando numerador y denominador como Caso I. 

= x(x²+4x-21)/x(x² - 9)

Factorizando el numerador como Caso I , y el denominador como Caso IV.

= x(x+7)(x-3)/x(x+3)(x-3)

= x+7/x+3   Solución.

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13) Simplificar  6x²+5x-6/15x²-7x-2

Factorizando el numerador y el denominador como Caso VII.

= [  6(6x²+5x-6)] ÷  6  = [(6x)²+5x(6x)-36]÷  6

   [15(15x²-7x-2)]÷15     [(15x)²-7(15x)-30]÷15

= [(6x+9) / 3][(6x-4)  / 2]     = (2x+3)(3x-2)   =  2x+3     Solución.

    [(15x-10)/5][(15x+3)/3]      (3x-2)(5x+1)       5x+1

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14) Simplificar   a³+1 /a⁴-a³+a-1

Factorizando el denominador como Caso II.

= a³+1 /(a⁴-a³)+(a-1)

= a³+1/a³(a-1)+1(a-1)

= a³+1/(a-1)(a³+1)

Simplificando la fracción para eliminar a³+1 del numerador y del denominador.

= 1/a-1     Solución.

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Simplificación de fracciones cuyos términos sean monomios.

Regla General.

Simplificar una Fracción Algebraica es convertirla en una fracción equivalente cuyos términos sean primos entre sí.  Cuando los términos de una fracción son primos entre sí, la fracción es irreducible y entonces la fracción está reducida a su más simple expresión o a su mínima expresión.   Ejemplo:      4a/8a =  2a/4a  =  1a/2a = a/2a

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Regla para simplificar fracciones algebraicas cuyos términos son monomios.

Se dividen el numerador y el denominador entre un mismo factor común hasta que los términos sean primos entre sí.

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Ejemplo A) Simplificar   4a²b⁵ /6a³b³m

4a²b⁵ /6a³b³m    =  2.1.b^2 /3.a.1.m  =  2b² /3am  <--  Solución.

Se dividió  4 / 6 entre 2/2 y se obtuvo,  2 / 3

Se dividió  a² / a³ entre a²/a²  y se obtuvo,  1 / a

Se dividió  b⁵ / b³ entre b³/b³  y se obtuvo,  b² / 1

La "m"  no se divide por no haber común en el numerador y solo se copió en el denominador.

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Ejemplo B)  Simplificar  9x³y³ / 36x⁵y⁶

9x³y³ / 36x⁵y⁶  =  1.1.1 /4.x²y³  =  1 /4x²y³  <-- Solución

9 /36 dividido entre 9/9  =  1 / 4

x³  / x⁵  dividido entre x³/x³  =  1  / x²

y³  / y⁶  dividido entre y³/y³  =  1 /y³

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Ejercicio 118.

1)  Simplificar a² /ab

a² /ab =  a /1b  =  a /b  <--   Solución.

a² /a  dividido entre  a/a  =  a / 1

La "b" solo se copia.

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2) Simplificar   2a /8a²b

2a / 8a²b  =  1/ 4ab   <--   Solución.

2 / 8 divido entre 2/2  = 1/4

a / a²  dividido entre  a /a  = 1 / a

La "b" solo se copia en denominador.

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3) Simplificar   x²y² / x³y³

x²y² / x³y³ = 1 . 1/x . y  =  1/xy  <--   Solución.

x² /x³  dividido entre  x² /x²  = 1 /x

y² /y³  dividido entre y² /y²  =  1/y

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4)  Simplificar   ax³ /4x⁵y

ax³ / 4x⁵y  = 1 . a . 1 /4 . x² . y = a /4x²y  <--   Solución.

Como no hay coeficiente en el numerador se sobre entiende

que es "1", por lo tanto el "1"  y el "4" solo se copian.

la "a"  solo se copia en el numerador

x³ /x⁵  dividido entre  x³/x³  =  1/x²

la "y" solo se copia en el denominador.

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5)  Simplificar    6m²n³ /3m

6m²n³ /3m  =  2 . m . n³ / 1 = 2mn³/1 = 2mn³  <--   Solución.

6/3  = dividido entre  3/3  =  2

m² /m  dividido entre m/m  =  m/1 = m

"n³"  solo se copia en el numerador.

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6)  Simplificar   9x²y³ /24a²x³y⁴

9x²y³ / 24a²x³y⁴  =  3 . 1 . 1 / 8 . a² . x . y  =  3 /8a²xy  <-- Solución.

9/24  dividido entre  3/3  =  3/8

x²/x³  divido entre x²/x²  =  1/x

y³/y⁴  dividido entre y³/y³  =  1 /y

la "a²"  solo se copia en el denominador.

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7) Simplificar   8m⁴n³x² /24mn²x²

8m⁴n³x² /24mn²x²  = 1 . m³ . n . 1 /3 .1 . 1. 1 =  m³n /3  <--   Solución.

8/24 dividido entre  8/8 = 1/3

m⁴ /m dividido entre  m/m  =  m³/1

n³ /n² dividido entre  n² /n²  =  n/1

x² /x² dividido entre  x² /x²  =  1/1

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8)  Simplificar   12x³y⁴z⁵ / 32xy²z

12x³y⁴z⁵ / 32xy²z  =  3 . x² . y² . z⁴ / 8 . 1 . 1 . 1 =  3x²y²z⁴ /8  <--   Solución.

12/32 dividido entre  4/4  =  3/8

x³ /x dividido entre   x/x    =  x²/1

y⁴ /y²  dividido entre   y² /y²  =  y² /1

z⁵ /z  dividido entre   z/z  =  z⁴ /1

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9) Simplificar    12a²b³ / 80a³b⁵x⁶

12a²b³ / 60a³b⁵x⁶  = 1 . 1 . 1 / 5 . a . b² . x⁶  =  1 /5ab²x⁶ <__   Solución.

12/60 dividido entre 12/12  =  1/5

a² /a³ dividido entre   a²/a²  =  1/a

b³ /b⁵  dividido entre   b³ /b³  =  1 /b²

"x⁶"  solo se copia en su misma posición (denominador)

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10) Simplificar   21mn³x⁶ / 28m⁴n²x²

21mn³x⁶ / 28m⁴n²x²  =  3 . 1 . n . x⁴ /4 . m³ . 1 . 1  =  3nx⁴ / 4m³  <--  Solución.

21/28 dividido entre 7/7  =  3/4

m/m⁴  dividido entre   m/m  =  1/m³

n³/n²  dividido entre  n²/n²  =  n/1

x⁶/x²  dividido entre  x²/x²  =  x⁴/1

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Mínimo Común Múltiplo de polinomios.

.         y   

Regla General.

Se descomponen cada una de las expresiones dadas en sus factores primos (Caso.  I Factor Común de Polinomios); y el m.c.m.  es el producto de los factores primos  comunes y no comunes , con su mayor exponente.

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Ejemplo A)  Hallar el m.c.m. de 4ax² -8axy +4ay²  ,   6b²x -6b²y

>> Descomponiendo las expresiones en en sus factores primos (Caso I Factor Común Polinomio)

>4ax² -8axy +4ay²  =   4a(x² -2xy -y²)  = 2²a(x -y)²

> 6b²x -6b²y  =  6b²(x -y) = (2)(3)b²(x -y)

--> el m.c.m. es =  (2²)(3)ab²(x-y)² = 12ab²(x -y)²      Esta es la solución.

Ejemplo B)  Hallar el m.c.m. de  x³ +2bx²  ,  x³y -4b²xy  ,  x²y² +4bxy² +4b²y²

>> Descomponiendo las expresiones en sus factores primos (Caso I  Factor Común Polinomio)

> x³ +2bx²   = x²(x +2b)

> x³y -4b²xy = xy(x² +4b²) = xy(x +2b)(x -2b)

> x²y² +4bxy² +4b²y²  =  y²(x² +4bx +4b²) = y²(x +2b)²

-->  el m.c.m. es =  x²y²(x +2b)²(x -2b)    Esta es la Solución.

Ejemplo C)  Hallar el m.c.m. de    m² -mn  ,  mn +n²  ,  m² -n²

>> Descomponiendo las expresiones en sus factores primos (Caso I  Factor Común Polinomio)

> m² -mn  = m(m -n)

> mn +n²  = n(m +n)

> m² -n²  = (m -n)(m +n)

--> el m.c.m. es =  mn(m +n)(m -n)  = mn(m² -n²)  Esta es la Solución.

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Ejercicio 117.

1) Hallar el m.c.m. de 3x +3   ,  6x -6

>> Descomponiendo las expresiones dadas:

> 3x +3  =  3(x +1)

> 6x -6 = 6(x -1) = (3)(2)(x -1)

--> el m.c.m. es =   (3)(2)(x +1)(x -1) = 6(x -1)²  <--  Solución.

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2) Hallar el m.c.m. de   5x +10   ,   10x^2 -40

>> Descomponiendo las expresiones dadas:

> 5x +10 = 5(x +2)

> 10x² -40 = (5)(2)(x² -4) = (5)(2)(x +2)(x -2)

--> el m.c.m es  =    (5)(2)(x +2)(x -2) = 10(x² -4)   <-- Solución.

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3)  Hallar el m.c.m. de   x³+2x²y   ,   x² -4y²

>>  Descomponiendo las expresiones dadas:

> x³ +2x²y =  x²(x +2y)

> x² -4y² = (x +2y)(x -2y)

-->  el m.c.m.  =     x²(x +2y)(x -2y) = x²(x² -4y²)   <--  Solución.

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4) Hallar el m.c.m. de   3a²x -9a²   ,   x² -6x +9

>> Descomponiendo las expresiones dadas:

> 3a²x -9a² =  3a²(x -3)

> x² -6x +9 = (x -3)²

--> el m.c.m.   =  3a²(x -3)²   <--   Solución.

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Mínimo Común Múltiplo de monomios y polinomios.

.           ,    y  

Regla:

Se descomponen las expresiones dadas en sus factores primos.  El m.c.m. es el producto de los factores primos, comunes y no comunes, con su mayor exponente.

Los factores que se repiten en dos o más expresiones se toman solo una vez. Pero sí se toman en cuenta las veces que se repitan en la misma expresión.

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Ejemplos:

a) Hallar el m.c.m. de 6 , 3x-3

Descomponiendo las expresiones:

6 = 2*3

3x-3 = 3(x-1)

--> el m.c.m. es  2*3(x-1) = 6(x-1) Solución.

b) Hallar el m.c.m. de  14a² , 7x-21

> Descomponiendo las expresiones:

14a² = 2*7a²

7x-21 = 7(x-3)

--> el m.c.m. es  2*7a²(x-3) = 14a²(x-3)

c) Hallar el m.c.m. de  15x²,  10x²+5x,  45x³  Solución.

> Descomponiendo las expresiones

15x² ( Como está contenido en 45x³, entonces no se toma en cuenta)

10x²+5x = 5x(2x+1)

45x³ = 3² * 5x³

--> el m.c.m. es  3² *5 x³(2x+1) =  45x³(2x+1)  Solución.

d) Hallar el m.c.m. de 8a²b,  4a³-4a,  6a²-12a+6

> Descomponiendo las expresiones:

8a²b = 2³a²b

4a³-4a = 4a(a²-1) = 2²a(a+1)(a-1)

6a²-12a+6 = 6(a²-2a+1) = 2*3(a-1)²

--> el m.c.m. es  2³ * 3 a²b(a-1)²(a+1)

= 24 a²b(a-1)²(a+1)  Solución.

e) Hallar el m.c.m. de  24a²x,  18xy²,  2x³+2x²-40x,  8x⁴-200x²

> Descomponiendo las expresiones:

24a²x = 2³ * 3a²x

18xy² = 2 * 3² xy²

2x³+2x²-40x = 2x(x²+x-20) = 2x(x+5)(x-4)

8x⁴-200x² = 8x²(x²-25) = 2³x²(x+5)(x-5)

--> 2³ * 3² a²x²y²(x+5)(x-5)(x-4)

= 72a²x²y²(x+5)(x-5)(x-4)

= 72a²x²y²(x²-25)(x-4)  Solución.

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Ejercicio 116.

5) Hallar el m.c.m. de  6a²b,  3a²b²+6ab³

> Descomponiendo las expresiones:

6a²b = 2*3a²b

3a²b²+6ab³ = 3ab²(a+2b)

--> 2*3a²b²(a+2b)

= 6a²b²(a+2b)  Solución.

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15) Hallar el m.c.m. de  9a²,  18b³,  27a⁴b+81a³b²

> Descomponiendo las expresiones:

9a² = 3²a² 

18b³ = 2*3²b³

27a⁴b+81a³b² = 27a³b(a+3b) = 3³a³b(a+3b)

--> el m.c.m. es  2*3³a³b³(a+3b)

= 54 a³b³(a+3b)  Solución.

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20) Hallar el m.c.m. de  x²,   x³+x²-2x,   x²+4x+4

> Descomponiendo las expresiones:

x² = x² 

x³+x²-2x = x(x²+x-2) = x(x+2)(x-1)

x²+4x+4 = (x+2)(x+2)

--> el m.c.m. es  x²(x+2)²(x-1)  Solución.

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Mínimo Común Múltiplo de monomios.

.                           y   

Regla General:  El m.c.m de 2 ó más expresiones algebraicas es la expresión algebraica de menor coeficiente numérico y de menor grado que es divisible exactamente por cada una de las expresiones algebraicas dadas.

Por ejemplo:

1) El m.c.m. de   4a   y   6a²  es 12a² ,  porque

12a²  /  4a  =  3a

12a²  /  6a²  =  2

2) El m.c.m. de 6x³   y   9x⁴  es  18x⁴ ,  porque

18x⁴  /  6x³  =  3x

18x⁴  /  9x⁴  =  2

NOTA:  En el ejemplo 1) no hay otra expresión algebraica menor que 12a² que divida exactamente a las expresiones dadas.  Así como en el ejemplo 2) 18x⁴ es la menor expresión algebraica que divide exactamente a sus respectivas expresiones dadas.

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Mínimo Común Múltiplo de Monomios.

Procedimiento:

Se encuentra el m.c.m. de los coeficientes y a la par de éste se escriben todas las letras distintas, sean comunes o no, con su exponente de mayor grado que aparezca en cualquiera de las expresiones dadas.

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Ejemplo 1) Hallar el m.c.m. de ax²   y   a³x

--> El m.c.m. de los coeficientes es   1.  ( En posteriores casos similares, se puede omitir este paso)

-->   En la letra "a" , el exponente de mayor grado es  =  a³

-->  En la letra "x" , el exponente de mayor grado es  =  x²

Por tanto, el m.c.m. de ax²    y    a³x  es  =  a³x²

-------------------------

Ejemplo 2)  Hallar el m.c.m. de 8ab²c    y   12 a³b²

--> El m.c.m. de  8   y   12    es  = 24 ,

--> En la letra "a" , el exponente de mayor grado es = a³

-->  En la letra "b" , el exponente de mayor grado es = b²

-->  En la letra "c" , el exponente de mayor grado es = c

Por lo tanto, el m.c.m. de 8a²c   y   12a³b²  es  =  24a³b²c

-----------------------

Ejemplo 3)  Hallar el m.c.m. de 10a³x ,  36a²mx²   y   24b²m⁴

--> El m.c.m. de  10, 36 y 24  es

10|36|24|2    <-- Primos relativos que dividen a cada uno de los coeficientes que están a su izquierda.

05|18|12|2

05|09|06|3

05|03|02|2

05|03|01|3

05|01|01|5.   --> el m.c.m. es =  (2)(2)(3)(2)(3)(5) = 2^3 * 3^2 * 5 = 8 * 9 * 5 = 360

01|01|01|

Las letras comunes y no comunes con su exponente de mayor grado son:  a³  ,   b²  ,  m⁴ ,  x²

Por lo tanto, el m.c.m. de  10a³x ,  36a²mx²   y   24b²m⁴  es  =  360a³b²m⁴x²

NOTA: Para estos casos donde hay varios coeficientes es recomendable utilizar la tabla del Ejemplo 3).

Si tienes otra manera (mental o numérica) de encontrar el menor de los múltiplos que divida exactamente, puedes utilizarla.

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Ejercicio 115.

1) Hallar el m.c.m. de   a²   ,   ab³

Letras con su exponente de mayor grado son:  a²    ,   b³

Por lo tanto, el m.c.m. de a²    y    ab³  es =  a²b³  --> Solución.

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2) Hallar el m.c.m. de   x²y   ,    xy²

Las letras con su exponente de mayor grado son : x²    ,   y²

Por lo tanto, el m.c.m. de   x²y    y   xy²  es =  x²y² ,   --> Solución.

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3) Hallar el m.c.m. de   ab²c     y    a²bc

-->  Letras con su exponente de mayor grado son :  a² ,   b² ,    c

Por lo tanto, el m.c.m. de  ab²c    y   a²bc  es =  a²b²c ,  -->  Solución.

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5) Hallar el m.c.m. de   6m²n    y    4m³

--> El m.c.m. de  6    y   4

6|4|2

3|2|2

3|1|3    --> el m.c.m es = (2)(2)(3) = 12

1|1|

--> Las letras con su exponente de mayor grado son:  m³    y    n

Por lo tanto, el m.c.m. de   6m²n   y   4m³ es  =  12m³n ,  -->  Solución.

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6) Hallar el m.c.m. de     9ax³y⁴    ,     15x²y⁵

--> El m.c.m de   9   y   15  es

9|15|3

3|05|3

1|05|5  --> el m.c.m. es =  (3)(3)(5)  =  45

1|01

--> Las letras con exponente de mayor grado son: a , x³ , y⁵

Por lo tanto, el m.c.m. de  9ax³y⁴   y    15x²y⁵  es  =  45ax³y⁵  ,   -->  Solución.

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9) Hallar el m.c.m. de   2ab²   ,   4a²b   ,   8a³

--> El m.c.m. de   2  ,   4   y   8  es

2|4|8|2

1|2|4|2

1|1|2|2  --> el m.c.m. es =  (2)(2)(2)  =  8

1|1|1|

--> Las letras con su exponente de mayor grado son:  a³    y    b²

Por lo tanto, el m.c.m. de  2ab²  ,  4a²b  y  8a³ es =  8a³b²,  --> Solución.

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17) Hallar el m.c.m. de   9a²bx  ,   12ab²x²   ,   18a³b³x

-->El m.c.m. de  9, 12 y 18 es

9|12|18|3

3|04|06|3

1|04|02|2

1|02|01|2   --> el m.c.m. es = (3)(3)(2)(2) = 36

1|01|01|

--> Las letras con su exponente de mayor grado son  a³  ,   b³  ,   x²

Por lo tanto, el m.c.m. de  9a²bx,  12ab²x²  y  18a³b³x  es 

=  36a³b³x²  <-- Solución. 

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20)  Hallar  el m.c.m. de   20m³n³   ,   24m³n   y   30mn²

-->  El m.c.m. de  20, 24 y 30 es

20|24|30|2

10|12|15|2

05|06|15|5

01|06|03|2

01|03|03|3  -->  el m.c.m. es =  (2)(2)(2)(3)(5) = 120

01|01|01|

--> Las letras  con su exponente de mayor grado son:  m³  ,   n³

Por  lo tanto, el m.c.m. de   20m³n³   ,   24m³n   y   30mn² es

=  120m³n³ <--  Solución.

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24)  Hallar el m.c.m. de   15mn²   ,   10m²   ,   20n³   ,   25mn⁴

--> El m.c.m. de  15, 10, 20 y 25 es

15|10|20|25|5

03|02|04|05|5

03|02|04|01|3

01|02|04|01|2

01|01|02|01|2  --> el m.c.m.  =  (5)(5)(3)(2)(2) =  300

01|01|01|01|

--> Las letras con su exponente de mayor grado son:   m²   ,   n⁴

Por lo tanto, el m.c.m. de   15mn²   ,   10m²   ,   20n³   y   25mn⁴

=  300m²n⁴  <--  Solución.

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26)  Hallar el m.c.m. de   3a³   ,   8ab   ,   10b²  ,  12a²b³  ,  16a²b²

--> El m.c.m. de  3, 8, 10, 12  y 16

3|8|10|12|16|2

3|4|05|06|08|2

3|2|05|03|04|2

3|1|05|03|02|2

3|1|05|03|01|3

1|1|05|01|01|5  --> el m..c.m.  =  (2)(2)(2)(2)(3)(5) = 240

1|1|01|01|01|

--> Las letras con su exponente de mayor grado  son:  a³   ,   b³

Por lo tanto, el m.c.m. de   3a³   ,   8ab   ,   10b²  ,  12a²b³  y  16a²b²  es

= 240a³b³   <-- Solución.

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