Ecuaciones enteras de 1er. grado con una incógnita.

                    

Procedimiento.

Sea 3x -5= x +3

1°) Efectuar operaciones indicadas, si las hay. (En este caso no las hay)

2°) Transponer términos, reuniendo en un miembro todos los términos que tengan incógnitas y en el otro miembro todas las cantidades conocidas.  (Los términos que se trasladan pasan al otro lado con el signo cambiado)

--> 3x -x= 3 +5

3°) Reducir los términos semejantes:

--> 2x = 8

4°) Se despeja la incógnita dividiendo ambos miembros de la ecuación entre el coeficiente de la incógnita (x)

--> 2x / 2 = 8/2,    simplificando x = 4  , que es la Solución.

Otra forma de solución es pasando el coeficiente del primer miembro que está multiplicando al otro miembro a dividir :

4°) 2x = 8  -->  x= 8/2  -->  x = 4  , que es la misma Solución.

 Nota:  Puede optar por cualquiera de las formas de encontrarla Solución, del paso 4°.

En el desarrollo de los ejercicios que veremos más adelante, optaré la segunda forma.

Recuerda:

> Al trasladar al otro lado de la ecuación, cantidades que están sumando o restando, se les cambia el signo.

> Al trasladar al otro lado de la ecuación, las cantidades que estan multiplicando pasan a dividir con su mismo signo: y las cantidades que estan dividiendo pasan a multiplicar con su mismo signo.

> Aplicar la ley de signos para las operaciones.

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Veamos el Ejemplo   35 -22x +6 -18x = 14 -30x +32

Transponiendo términos:   -22x -18x +30x = 14 +32 -35-6

Reduciendo términos: -10x = 5

Despejando la incógnita:  dividimos los miembros entre -10

--> -10x/-10 = 5/-10,       simplificando:  x = -1/2,  Solución.

ó bien:  -10x = 5  -->  x = 5/-10  -->  x = -1/2     Solución.

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Ejercicio 78 del Libro.

1) Resolver   5x = 8x -15

-->  5x -8x= -15

-->        -3x= -15

-->           x = -15/-3

-->           x = 5     Solución.

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2) Resolver   4x +1 = 2

-->    4x = 2 -1

-->    4x = 1

-->       x= 1/4       Solución.

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3) Resolver   y -5 = 3y -25

-->     y -3y = -25 +5

-->         -2y = -20

-->             y = -20/-2

-->             y = 10   Solución.

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4) Resolver  5x +6 = 10x +5

-->   5x -10x = 5 -6

-->            -5x = -1

-->                x = -1 /-5

-->                x = 1/5   Solución.

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5) Resolver   9y -11 = -10 +12y

-->   9y -12y = -10+11

-->            -3y = 1

-->                y = 1/-3

-->                y = - 1/3   Solución.

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6)  Resolver    21 -6x = 27 -8x

-->    -6x +8x = 27 -21

-->                2x= 6

-->                  x = 6/2

-->                  x = 3    Solución.

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7) 11x +5x -1 = 65x -36

-->    11x +5x -65x = -36 +1

-->                      -49x = -35

-->                             x = -35/-49

-->                             x = 5/7    Solución.

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8)  Resolver  8x -4 +3x = 7x +x +14

-->      8x +3x -7x -x = 14 +4

-->                              3x = 18

-->                                x = 18/3

-->                                x = 6    Solución.

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9) 8x +9 -12x = 4x -13 -5x

-->      8x -12x -4x +5x = -13 -9

-->                                -3x = -22

-->                                    x = -22/-3

-->                                    x = 22/3    Solución.

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10)  Resolver 5y+6y -81 = 7y +102 +65y

-->     5y +6y -7y -65y = 102 +81

-->                             -61y = 183

-->                                    y = 183/-61

-->                                    y = -3    Solución.

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Divisibilidad de un polinomio entero en “x” entre un binomio de la forma “x±a” o “bx±a”.

Teoremas:

1) Para comprobar si un polinomio dividido entre "x-a" es exacto, se divide el término independiente del polinomio entre el término independiente del binomio, sin tomar en cuenta los signos; y si el resultado es cero (0), es exacta.

2) Para comprobar si un polinomio entero en "x" es divisible entre un binomio de la forma "x-a"; se sustituye el valor de "x" del polinomio, con el valor opuesto del segundo término del binomio, y si el resultado es igual a cero, o sea que se anula, el polinomio si es divisible entre x-a.

3) Para comprobar si un polinomio entero en “x” es divisible entre un binomio de la forma “bx-a”; se sustituye el valor de “x” en el polinomio, con el valor de la fracción que resulta de dividir el segundo término del binomio con el signo cambiado entre el coeficiente del primer término del binomio “a/b”.

NOTA: Aún cuando el resultado de dividir los términos independientes sean exacto (Paso 1), no es condición suficiente para afirmar que el polinomio es divisible entre el binomio (Paso 2). 

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Ejemplos:

Paso 1)
Hallar, sin efectuar la división, si es exacta la división de x^3 -4x^2 +7x -6  entre x-2.

--> 6 / 2 = 3   --> la división es exacta.

 Paso 2) 
Hallar, sin efectuar la división, si x^3 -4x^2+7x -6 es divisible entre x-2.

- Opuesto del 2º término del binomio (-2) = 2

- Sustituyendo:

x^3 -4x^2 +7x -6
= (2)^3 -4(2)^2 +7(2) -6
= 8 -16 +14 -6
= 22-22 = 0

por lo tanto el polinomio es divisible entre "x-2".

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Ejercicio 76 del Libro.

Hallar, sin efectuar la división, si son exactas las divisiones siguientes:

1) x^2 -x -6 entre x-3

--> 6 /3 = 2  <--> es exacta.

Sustituyendo la "x" con el opuesto de (-3) = +3 en el polinomio:

x^2 -x -6
= (3)^2 -(3) -6
= 9 -3 -6
= 9 -9 = 0   --> exacta y si es divisible.

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2) x^3 +4x^2 -x -10 entre x+2

--> 10 / 2 = 5  <--> es exacta.

Sustituyendo la "x" con el opuesto de (+2) = -2 en el polinomio:

x^3+4x^2-x-10
= (-2)^3+4(-2)^2-(-2)-10
= -8+16+2-10 

= -18+18 = 0 --> exacta y si es divisible.

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3) 2x^4 -5x^3 +7x^2 -9x +3 entre x-1

--> 3 / 1 = 3 <--> es exacta.

Sustituyendo la "x" con el opuesto de (-1) = 1 en el polinomio:

2x^4 -5x^3 +7x^2 -9x +3
= 2(1)^4 -5(1)^3 +7(1)^2 -9(1) +3 

= 2 -5 +7 -9 +3
= 12 -14 = -2 --> inexacta porque no es divisible.

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4) x^5 +x^4 -5x^3 -7x +8 entre x+3

--> 8 / 3 = 2. 2/3  --> no es exacta.

Sustituyendo la "x" con el opuesto de (+3) = -3 en el polinomio:

x^5 +x^4 -5x^3 -7x +8
= (-3)^5 +(-3)^4 -5(-3)^3 -7(-3) +8 

= -243 +81 +135 +21 +8
= -243 +245 = 2 --> inexacta y por lo tanto no divisible.

En este caso cuando en la primera comprobación es inexacta, no es necesario realizar la segunda comprobación.

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5) 4x^3 -8x^2 +11x -4 entre 2x-1

--> 4 / 1 = 4  --> es exacta.

Sustituyendo "x " con el opuesto de (-1/2) = +1/2 en el polinomio:

4x^3 -8x^2 +11x -4
= 4(1/2)^3 -8(1/2)^2 +11(1/2) -4 

= 1/2 -2 +11/2 -4
= 6 -6 = 0  --> exacta y si es divisible.

Nota: -1/2 resulta de dividir el segundo término del binomio “-1”

entre el coeficiente del primer término del binomio “2”.

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6) 6x^5 +2x^4 -3x^3 -x^2 +3x +3 entre 3x+1

--> 3/1 = 3 --> es exacta.

Sustituyendo "x" con el opuesto de (1/3) = -1/3 en el polinomio:

6x^5 +2x^4 -3x^3 -x^2 +3x +3 =

= 6(-1/3)^5 +2(-1/3)^4 -3(-1/3)^3 -(-1/3)^2 +3(-1/3) +3 =

= -2/81 +2/81 +1/9 -1/9 -1 +3
= -92/81 +254/81
= 162/81 = 2 -->  inexacta porque no es divisible.

Nota: 1/3 resulta de dividir el segundo término del binomio “1”

entre el coeficiente del primer término del binomio “3”.

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División Sintética. Cociente y Residuo de la división de un polinomio entero en “x” entre “x±a” o “bx±a”(2a. Parte)

Ver Procedimiento en la Parte 1.

Ejercicio 75 del Libro.

Hallar por división sintética, el cociente y el resto o residuo de:

1) x^2 -7x +5   entre   x -3 –>

1             -7              + 5

1  (1)3 =  3   (-4)3= -12

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1            -4               – 7        –>  Cociente =  x –4,   Residuo -7

En este caso el factor para encontrar el cociente es el inverso del término independiente del divisor 

(x-3) = +3.

1º  término del cociente es : coef. ( 1 ) y variable x^(2-1) = x^1 = x –> 1x = x

2º  término del cociente es: coef. (-4) y variable x^(1-1) = x^0 = 1 –> -4(1) = -4

El último de los coeficientes ( -7) es el residuo. –>

La solución es  x -4   con residuo de -7

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3) x^3 -x^2 +2x -2   entre   x +1 –>

1              -1                   2                  -2

1   1(-1) = -1  (-2)(-1) =  2   (4)(-1) = -4

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1              -2                   4                  -6         –> Cociente = x^2 -2x +4  Residuo = -6

Factor : inverso de +1 = -1

1º término : coef. (1)  y  variable x^(3-1) = x^2 –>  1(x^2) = 1(x^2) = x^2

2º término:  coef. (-2)  y variable x^(2-1) = x^1 = x –> = -2x

3º término:  coef. (4)  y variable x^(1-1) = x^0 = 1 –>  4(1) = 4

Residuo : el último coeficiente del cociente = -6

Solución :  Cociente   x^2 -2x  +4  y Residuo  -6

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5) a^3  -3a^2  -6 entre a +3 –>

1               -3                     0                      – 6

1  1(-3) =  -3   (-6)(-3) = 18   (18)(-3) = -54

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1              -6                    18                   -60     Cociente = a^2-6a+18  Residuo = -60

Factor : inverso de +3 = -3

1º término: coef. (1)  y variable a^(3-1) = a^2  –> 1(a^2) = a^2

2º término: coef. (-6) y variable a^(2-1) = a^1 = a –>  -6(a) = -6a

3º término: coef. (18) y variable a^(1-1) = a^0 = 1  –> 18(1) = 18

Residuo : el último coeficiente del cociente = -60

Solución:  Cociente   a^2 -6a +18   Residuo  -60

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6) n^4 -5n^3 +4n -48   entre   n+2 –>

1          -5                    0                      4                  -48

1(-2)=  -2   (-7)(-2)= 14   (14)(-2)= -28   (-24(-2)= 48

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1          -7                   14                  -24                     0

Cociente = n^3 -7n^2 +14n -24   Residuo = 0

–> Factor: inverso de +2 = -2

1º término: coef . (1)  y variable n^(4-1) = n^3 –>  1(n^3) = n^3

2º término: coef. (-7) y variable n^(3-1) = n^2 –>  -7(n^2) = -7n^2

3º término: coef. (14) y variable n^(2-1) = n^1 = n –>  14(n) = 14n

4º término: coef. (-24) y variable n^(1-1) = n^0 = 1  –> -24(1) = -24

Residuo: el último coeficiente del cociente = 0

Solución :  Cociente   n^3 -7n^2 +14n -24      Residuo = 0

En este caso al escribir los coeficientes del polinomio a dividir; después de -5n^3, no tiene ningún término elevado al cuadrado, por lo que en la división sintética se coloca un cero (0), y se continua con el siguiente término que es 4n.   Además esta división es exacta, porque su residuo es cero (0).

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División Sintética. Cociente y Residuo de la división de un polinomio entero en “x” entre “x±a” o “bx±a”.

Procedimiento para ejercicio 75 del Libro.

Procedimiento:

Teniendo:  x^3 -5x^2 +3x +14  / x-3

1) 1er. Termino del cociente :  Se escribe el coeficiente del primer termino del polinomio (1), abajo se pone el mismo coeficiente (1)  y como primer término del cociente también será el mismo.

2) 2º. Termino del cociente es :  el coeficiente del 2º término del polinomio (-5),  sumado con el producto del primer coeficiente del cociente encontrado (1) por el inverso del coeficiente del 2º término del divisor (+3), que es, (1)3=3  por lo que el segundo término del cociente es  -5 +3 = -2

3) 3er. Termino del cociente es : el coeficiente del 3er. término del polinomio (3),  sumado con el producto del 2º  coeficiente del cociente encontrado (-2) por el inverso del coeficiente del coeficiente del 2º término del divisor (+3), que es  (-2)3 = -6  , por lo que el tercer término del cociente es 3 -6 = -3

4) 4o término del cociente es : el coeficiente del 4o término del polinomio (14),  sumado con el producto del 2º  coeficiente del cociente encontrado (-3) por el inverso del coeficiente del coeficiente del 2º término del divisor (+3), o sea (-3)3 = -9 ; por lo que el 4o término del cociente es 14 -9 = 5

Dividendo      1                -5                   +3           +14

Divisor             1   (1)3   = 3   (-2)3  =  -6  (-3)3  = – 9

.                         ______________________________

Cociente         1                 -2                  – 3             5   =  x^2 -2x +3   Residuo 5

5) A los coeficientes del cociente encontrado se les agrega la variable así :

–  El primer término del cociente encontrado =  al primer coeficiente (1) por el término es la variable (x) en un grado menor al del primer término del polinomio dividido (x^3) , o sea, (x^2) –> 1x^2 = x^2 ;

–  El segundo término del cociente encontrado = al segundo coeficiente encontrado (-2) por la variable en forma descendente de grado (x^1) = x  –> -2(x) = -2x  ;

–  El 3er. término del cociente encontrado = a el 3er. coeficiente encontrado (+3) por la variable  en forma descendente de grado (x^0) = 1  –>    1(-3) = -3 

–  El último coeficiente del cociente encontrado será el residuo ( 5 )

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Ver varios ejercicios en :   División sintética.  Cociente y Residuo de la  división de un polinomio entero en “x” entre “x±a” o “bx±a”  (2a.  Parte)

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Residuo de la división de un polinomio entero y racional en “x” por un binomio de la forma “x±a” o “bx±a”.

Procedimiento:

El residuo se obtiene sustituyendo en el polinomio dado la "x" por la fracción que resulta de dividir el segundo término del binomio con el signo cambiado entre el coeficiente del primer término del binomio.  Ejemplo:   x^2 -7x +6 entre x -4

Se encuentra la división del 2° término del binomio, con signo cambiado, entre el 1° término del binomio :  4/1 = 4

El resultado de la fracción se sustituye por la "x" en el polinomio dado:

x^2 -7x +6 --> (4)^2 -7(4) +6 = 16 -28 +6 = -6   Esta es la solución

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Ejercicio 74 del Libro.

Hallar, sin efectuar la división, el residuo de dividir:

1) x^2 -2x +3 entre x-1

Encontrando la fracción :   1/1 = 1

Sustituyendo en : x^2 -2x +3 --> (1)^2 -2(1) +3 = 1 -2 +3 = 2   Residuo

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3) x^4 -x^3+5 entre x -2

Encontrando la fracción :  2/1 = 2

Sustituyendo en:  x^4 -x^3 +5 -->  (2)^4 -(2)^3 +5 = 16 -8 +5 = 13  Residuo

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6) x^5 +3x^4 -2x^3 +4x^2 -2x +2 entre x +3

(el 3 se pasa a dividir con signo cambiado o sea -3)

Encontrando la fracción :  -3/1 = -3

Sustituyendo en  x^5 +3x^4 -2x^3 +4x^2 -2x +2 -->

(-3)^5 +3(-3)^4 -2(-3)^3 +4(-3)^2 -2(-3) +2 =

= -243+243+54+36+6+2= 98    Residuo

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8) 6x^3 +x^2 +3x +5 entre 2x +1

Encontrando la fracción : 1/2 = -1/2 (con el signo cambiado)

Sustituyendo en 6x^3 +x^2 +3x +5 -->

6(-1/2)^3 +(-1/2)^2 +3(-1/2) +5 =

= 6(-1/8) + 1/4 -3/2 +5 = -3/4 +1/4 -3/2 +5 =  3   Residuo

Recuerda aplicar la ley de los signos para la suma.