División Sintética. Cociente y Residuo de la división de un polinomio entero en “x” entre “x±a” o “bx±a”(2a. Parte)

Ver Procedimiento en la Parte 1.

Ejercicio 75 del Libro.

Hallar por división sintética, el cociente y el resto o residuo de:

1) x^2 -7x +5   entre   x -3 –>

1             -7              + 5

1  (1)3 =  3   (-4)3= -12

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1            -4               – 7        –>  Cociente =  x –4,   Residuo -7

En este caso el factor para encontrar el cociente es el inverso del término independiente del divisor 

(x-3) = +3.

1º  término del cociente es : coef. ( 1 ) y variable x^(2-1) = x^1 = x –> 1x = x

2º  término del cociente es: coef. (-4) y variable x^(1-1) = x^0 = 1 –> -4(1) = -4

El último de los coeficientes ( -7) es el residuo. –>

La solución es  x -4   con residuo de -7

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3) x^3 -x^2 +2x -2   entre   x +1 –>

1              -1                   2                  -2

1   1(-1) = -1  (-2)(-1) =  2   (4)(-1) = -4

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1              -2                   4                  -6         –> Cociente = x^2 -2x +4  Residuo = -6

Factor : inverso de +1 = -1

1º término : coef. (1)  y  variable x^(3-1) = x^2 –>  1(x^2) = 1(x^2) = x^2

2º término:  coef. (-2)  y variable x^(2-1) = x^1 = x –> = -2x

3º término:  coef. (4)  y variable x^(1-1) = x^0 = 1 –>  4(1) = 4

Residuo : el último coeficiente del cociente = -6

Solución :  Cociente   x^2 -2x  +4  y Residuo  -6

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5) a^3  -3a^2  -6 entre a +3 –>

1               -3                     0                      – 6

1  1(-3) =  -3   (-6)(-3) = 18   (18)(-3) = -54

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1              -6                    18                   -60     Cociente = a^2-6a+18  Residuo = -60

Factor : inverso de +3 = -3

1º término: coef. (1)  y variable a^(3-1) = a^2  –> 1(a^2) = a^2

2º término: coef. (-6) y variable a^(2-1) = a^1 = a –>  -6(a) = -6a

3º término: coef. (18) y variable a^(1-1) = a^0 = 1  –> 18(1) = 18

Residuo : el último coeficiente del cociente = -60

Solución:  Cociente   a^2 -6a +18   Residuo  -60

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6) n^4 -5n^3 +4n -48   entre   n+2 –>

1          -5                    0                      4                  -48

1(-2)=  -2   (-7)(-2)= 14   (14)(-2)= -28   (-24(-2)= 48

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1          -7                   14                  -24                     0

Cociente = n^3 -7n^2 +14n -24   Residuo = 0

–> Factor: inverso de +2 = -2

1º término: coef . (1)  y variable n^(4-1) = n^3 –>  1(n^3) = n^3

2º término: coef. (-7) y variable n^(3-1) = n^2 –>  -7(n^2) = -7n^2

3º término: coef. (14) y variable n^(2-1) = n^1 = n –>  14(n) = 14n

4º término: coef. (-24) y variable n^(1-1) = n^0 = 1  –> -24(1) = -24

Residuo: el último coeficiente del cociente = 0

Solución :  Cociente   n^3 -7n^2 +14n -24      Residuo = 0

En este caso al escribir los coeficientes del polinomio a dividir; después de -5n^3, no tiene ningún término elevado al cuadrado, por lo que en la división sintética se coloca un cero (0), y se continua con el siguiente término que es 4n.   Además esta división es exacta, porque su residuo es cero (0).

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División Sintética. Cociente y Residuo de la división de un polinomio entero en “x” entre “x±a” o “bx±a”.

Procedimiento para ejercicio 75 del Libro.

Procedimiento:

Teniendo:  x^3 -5x^2 +3x +14  / x-3

1) 1er. Termino del cociente :  Se escribe el coeficiente del primer termino del polinomio (1), abajo se pone el mismo coeficiente (1)  y como primer término del cociente también será el mismo.

2) 2º. Termino del cociente es :  el coeficiente del 2º término del polinomio (-5),  sumado con el producto del primer coeficiente del cociente encontrado (1) por el inverso del coeficiente del 2º término del divisor (+3), que es, (1)3=3  por lo que el segundo término del cociente es  -5 +3 = -2

3) 3er. Termino del cociente es : el coeficiente del 3er. término del polinomio (3),  sumado con el producto del 2º  coeficiente del cociente encontrado (-2) por el inverso del coeficiente del coeficiente del 2º término del divisor (+3), que es  (-2)3 = -6  , por lo que el tercer término del cociente es 3 -6 = -3

4) 4o término del cociente es : el coeficiente del 4o término del polinomio (14),  sumado con el producto del 2º  coeficiente del cociente encontrado (-3) por el inverso del coeficiente del coeficiente del 2º término del divisor (+3), o sea (-3)3 = -9 ; por lo que el 4o término del cociente es 14 -9 = 5

Dividendo      1                -5                   +3           +14

Divisor             1   (1)3   = 3   (-2)3  =  -6  (-3)3  = – 9

.                         ______________________________

Cociente         1                 -2                  – 3             5   =  x^2 -2x +3   Residuo 5

5) A los coeficientes del cociente encontrado se les agrega la variable así :

–  El primer término del cociente encontrado =  al primer coeficiente (1) por el término es la variable (x) en un grado menor al del primer término del polinomio dividido (x^3) , o sea, (x^2) –> 1x^2 = x^2 ;

–  El segundo término del cociente encontrado = al segundo coeficiente encontrado (-2) por la variable en forma descendente de grado (x^1) = x  –> -2(x) = -2x  ;

–  El 3er. término del cociente encontrado = a el 3er. coeficiente encontrado (+3) por la variable  en forma descendente de grado (x^0) = 1  –>    1(-3) = -3 

–  El último coeficiente del cociente encontrado será el residuo ( 5 )

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Ver varios ejercicios en :   División sintética.  Cociente y Residuo de la  división de un polinomio entero en “x” entre “x±a” o “bx±a”  (2a.  Parte)

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Residuo de la división de un polinomio entero y racional en “x” por un binomio de la forma “x±a” o “bx±a”.

Procedimiento:

El residuo se obtiene sustituyendo en el polinomio dado la "x" por la fracción que resulta de dividir el segundo término del binomio con el signo cambiado entre el coeficiente del primer término del binomio.  Ejemplo:   x^2 -7x +6 entre x -4

Se encuentra la división del 2° término del binomio, con signo cambiado, entre el 1° término del binomio :  4/1 = 4

El resultado de la fracción se sustituye por la "x" en el polinomio dado:

x^2 -7x +6 --> (4)^2 -7(4) +6 = 16 -28 +6 = -6   Esta es la solución

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Ejercicio 74 del Libro.

Hallar, sin efectuar la división, el residuo de dividir:

1) x^2 -2x +3 entre x-1

Encontrando la fracción :   1/1 = 1

Sustituyendo en : x^2 -2x +3 --> (1)^2 -2(1) +3 = 1 -2 +3 = 2   Residuo

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3) x^4 -x^3+5 entre x -2

Encontrando la fracción :  2/1 = 2

Sustituyendo en:  x^4 -x^3 +5 -->  (2)^4 -(2)^3 +5 = 16 -8 +5 = 13  Residuo

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6) x^5 +3x^4 -2x^3 +4x^2 -2x +2 entre x +3

(el 3 se pasa a dividir con signo cambiado o sea -3)

Encontrando la fracción :  -3/1 = -3

Sustituyendo en  x^5 +3x^4 -2x^3 +4x^2 -2x +2 -->

(-3)^5 +3(-3)^4 -2(-3)^3 +4(-3)^2 -2(-3) +2 =

= -243+243+54+36+6+2= 98    Residuo

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8) 6x^3 +x^2 +3x +5 entre 2x +1

Encontrando la fracción : 1/2 = -1/2 (con el signo cambiado)

Sustituyendo en 6x^3 +x^2 +3x +5 -->

6(-1/2)^3 +(-1/2)^2 +3(-1/2) +5 =

= 6(-1/8) + 1/4 -3/2 +5 = -3/4 +1/4 -3/2 +5 =  3   Residuo

Recuerda aplicar la ley de los signos para la suma.

Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de 2 cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades.

Caso I) a^4-b^4 / a-b = a^³+a^²b+ab^²+b^³ ,             

.            a^5-b^5 / a-b = a^⁴+a^³b+a^²b^²+ab^³+b^⁴

Caso II)  a^4-b^4 /a+b = a^³-a^²b+ab^²-b^³    

Caso III) a^5+b^5 / a+b = a^⁴-a^³b+a^²b^²-ab^³+b^⁴

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Procedimiento: 

1) El cociente tendrá un número de términos igual al número de unidades que tienen los exponentes de las letras en el dividendo.

2) El primer término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y el exponente de "a" disminuye 1 en cada término.

3) El exponente de "b" en el segundo término del cociente es 1 y este exponente aumenta en 1 en cada término posterior a este.

4) Cuando el divisor es "a-b" todos los signos del cociente son +, y cuando el divisor es "a+b", los signos del cociente son alternativamente "+" y "-". 

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Ejercicio 71 del Libro.

1) x^4-y^4 / x-y      =     x^³ +x^²y +xy^² +y^³

Primer término: x /x = x -->  x^(4-1) = x^3

Segundo término: x^(3-1) = x^2;     y^1= y --> x^2y

Tercer término : x^(2-1) = x^1 = x ;    y^(1+1) = y^2 -->  xy^2

Cuarto término : x^(1-1) = x^0 = 1 ;  y^(2+1) = y^3

Observa que el segundo término del dividendo, o sea la "y" , se empieza a colocar a partir del segundo término del cociente, elevado a la potencia "1" ; pero toda potencia a la "1" es igual a su base : Ejemplo y^1 = y.

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3) a^5-n^5 / a-n         =       a^⁴ +a^³n +a^²n^² +an^³ +n^⁴

Primer término: a /a = a -->   a^(5-1) = a^4

Segundo término : a^(4-1) = a^3 ;   n^1 = n --> a^3n

Tercer término : a^(3-1) = a^2  ;   n^(1+1) = n^2 --> a^2n^2

Cuarto término : a^(2-1) = a^1 = a   ;  n^(2+1) = n^3 --> an^3

Quinto término : a^(1-1) = a^0 = 1   ;  n^(3+1) = n^4 --> 1n^4 = n^4

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4) x^6-y^6 / x+y     =      x^⁵ -x^⁴y +x^³y^² -x^²y^³ +xy^⁴ -y^⁵

Primer término: x/x = x --> x^(6-1) = x^5

Segundo término: x^(5-1) = x^4    ;  y^1 = y  --> x^4y

Tercer término :  x^(4-1) = x^3    ;    y^(1+1) = y^2 --> x^3y^2

Cuarto término:  x^(3-1) = x^2    ;    y^(2+1) = y^3 --> x^2y^3

Quinto término:  x^(2-1) = x^1 = x   ;  y^(3+1) = y^4 -->  xy^4

Sexto término:   x^(1-1) = x^0 = 1   ;  y^(4+1) = y^5 --> 1y^5 = y^5

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6) x^7+y^7 / x+y  =  x^⁶ –x^⁵y +x^⁴y^² –x^³y^³ +x^²y^⁴ –xy^⁵ +y^⁶

Primer término:  x/x = x  --> x^(7-1) = x^6

Segundo término: x^(6-1) = x^5   ;  y^1 = y  --> x^5y

Tercer término:    x^(5-1) = x^4  ;   y^1+1) = y^2   --> x^4y^2

Cuarto término:   x^(4-1) = x^3  ;   y^(2+1) = y^3  --> x^3y^3

Quinto término:   x^(3-1) = x^2  ;   y^(3+1) = y^4  --> x^2y^4

Sexto término :   x^(2-1) = x^1 = x  ;  y^(4+1) = y^5  --> xy^5

Séptimo término: x^(1-1) = x^0 = 1  ;  y^(5+1) = y^6 --> 1y^6 = y^6

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13) 1-n^5 / 1-n =

(1)^⁴ +(1)^³n +(1)^²n^² +1n^³ +n^⁴ = 1 +n +n^² +n^³ +n^⁴

Primer término: 1/1 = 1 --> 1^(5-1) = 1^4 = 1

Segundo término : 1^(4-1) = a^3 = 1  ;  n^1 = n --> 1n = n

Tercer término : 1^(3-1) = 1^2 = 1  ;  n^(1+1) = n^2 --> 1n^2 = n^2

Cuarto término : 1^(2-1) = 1^1 = 1  ;  n^(2+1) = n^3 --> 1n^3 = n^3 

Quinto término :  1^(1-1) = 1^0 = 1  ;  n^(3+1) = n^4 --> 1n^4 = n^4

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27) 64m^6-729n^6 / 2m+3n = (2m)^6-(3n)6 / 2m+3n

=(2m)^⁵–(2m)^⁴(3n)+(2m)^³(3n)^²–(2m)^²(3n)^³+(2m)(3n)^⁴–(3n)^⁵

= 32m^⁵ -48m^⁴n +72m^³n^² -108m^²n^³ +162mn^⁴ -243n^⁵

1er. término : (2m)^(6-1) = (2m)^5 = 32m^5

2° término : (2m)^(5-1) = (2m)^4 = 16m^4  ; (3n)^1 = 3n

--> (16m^4)(3n) = (16)(3)m^4n = 48m^4n

3er. término:(2m)^(4-1) =(2m)^3 =8m^3  ; (3n)^(1+1)=3n^2 =9n^2

--> (8m^3)(9n^2) = (8)(9)m^3n^2 = 72m^3n^2

4° término: (2m)^(3-1) =(2m)^2 =4m^2 ; (3n)^(2+1)= (3n)^3 =27n^3

--> (4m^2)(27n^3) = (4)(27)m^2n^3 = 108m^2n^3

5° término:(2m)^(2-1) = (2m)^1 = 2m  ;  (3n)^(3+1) = (3n)^4 =81n^4

--> (2m)(81n^4) = (2)(81)mn^4 = 162mn^4

6° término: (2m)^(1-1) =(2m)^0 = 1  ;  (3n)^(4+1) =(3n)^5 = 243n^5

--> (1)(243n^5) = 243m^5

Nota: El cociente original 64m^6-729n^6 se cambia por (2m)^6-(3n)^6, dado que 64m^2 es igual a (2m)^6 y 729n^6 es igual (3n)^6; --> se usan para el desarrollo los términos del divisor "2m" y "3n" , siguiendo los pasos que se han utilizado en el desarrollo de los anteriores casos.

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Recuerda:

El número de términos del cociente depende del exponente del dividendo.

Ej.  x^6 --> 6 términos.

Cociente de la suma o diferencia de los cubos de 2 cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades.

Procedimiento:

1) a^3 + b^3 / a+b 
Es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el producto de la raíz cúbica de la primera cantidad por la raíz cúbica de la segunda cantidad, más el cuadrado de la segunda cantidad.

2) a^3 - b^3 / a-b 
Es igual al cuadrado de la primera cantidad, más el producto de la raíz cúbica de la primera cantidad por la raíz cúbica de la segunda cantidad, más el cuadrado de la segunda cantidad.

Nota: Se entiende por cantidad, la raíz cúbica de los términos:

la raíz cúbica de a^3 es "a" y la raíz cúbica de b^3 es "b"

--> la raíz cúbica de a^3+b^3 = a+b   y la raíz cúbica de a^3-b^3 = a-b

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Ejercicio 70 del Libro.

1) 1+a^3 / 1+a
= (1)^² –(1)(a) +a^²
= 1 –a +a^²

Cuadrado de la 1° cantidad : (1)^2 = 1^2 = 1

( - ) Producto de la raíz cúbica de la 1° por la raíz cúbica de la 2° :  (1)(a) = a

(+) Cuadrado de la 2° cantidad : (a)^2 = a^2

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4) 8a^3 -1 /2a-1
= (2a)^² +(2a)(1) +(1)^²
= 4a^² +2a +1 

Cuadrado de la 1° cantidad : (2a)^2 = 4a^2    ( la raíz^3 de 8a^3 = 2a)

(-) Producto de la raíz^3 de la 1° por la raíz^3 de la 2° :  (2a)(1) = 2a

(+) Cuadrado de la 2° cantidad : (1)^2 = 1^2 = 1

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7) 64a^3+343 / 4a+7
= (4a)^² –(4a)(7) +(7)^²
= 16a^² - 28a +49

Cuadrado de la 1° cantidad: (4a)^2 = 16a^2

(-) Producto de la raíz^3 de la 1° por la raíz^3 de la 2° : (4a)(7) = 28a

(+) Cuadrado de la 2° cantidad: (7)^2 = 49

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