Producto continuado de polinomios.

                 

Se refiere a una expresión formada por varios factores monomios y/o polinomios.  Los que se resuelven multiplicando los dos primeros factores y el resultado por el tercer factor y este nuevo resultado por el cuarto factor; y así sucesivamente al número de factores que contenga la expresión.

El producto continuado puede resolverse también agrupando factores, según la Ley asociativa de la Multiplicación, y los resultados se multiplican entre sí.

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Ejemplo:

Efectuar   3x(x+3)(x-2)(x+1)

> Resolviendo:

① 3x(x+3) = 3x²+9x

② 

3x²+9x

x-2               .

3x³+9x²

      - 6x²-18x

3x³+3x²-18x

③ 

3x³+3x²-18x

x+1                       .

3x⁴+3x³-18x²

      +3x³+ 3x²-18x

3x⁴+3x³-15x²-18x   Solución.

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Ejercicio 46 del Libro

3) Simplificar  2(a-3)(a-1)(a+4)

> Resolviendo:

2(a-3) = 2a-6

2a-6

a-1          .

2a²-6a

.     -2a+6

2a²-8a+6

2a²-8a+6

a+4                          .

2a³- 8a² + 6a

      +8a² -32a+24

2a³         -26a+24    Solución.

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6)  Simplificar  (a-b)(a²-2ab+b²)(a+b)

a²-2ab+b²

a-b                     .

a³-2a²b+   ab²

    -  a²b+2ab²-b³

a³-3a²b+3ab²-b³

a³-3a²b+3ab²-b³

a+b                                    .

a⁴-3a³b+3a²b² -  ab³

    + a³b -3a²b²+3ab³-b⁴

a⁴-2a³b            +2ab³-b⁴   Solución.

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9)  Simplificar (aᵐ -3)(aᵐ⁻¹ +2)( aᵐ⁻¹ -1)

> Resolviendo:

aᵐ-3

aᵐ⁻¹+2                    .

a²ᵐ⁻¹ -3aᵐ⁻¹

                      +2aᵐ-6

a²ᵐ⁻¹ -3aᵐ⁻¹ +2aᵐ-6

a²ᵐ⁻¹ -3aᵐ⁻¹ +2aᵐ-6

aᵐ⁻¹ -1                                                 .

a³ᵐ⁻²-3a²ᵐ⁻²+2a²ᵐ⁻¹  -6aᵐ⁻¹

                       -  a²ᵐ⁻¹ +3aᵐ⁻¹ -2aᵐ +6

a³ᵐ⁻²-3a²ᵐ⁻²+  a²ᵐ⁻¹  -3aᵐ⁻¹ -2aᵐ +6

Ordenando:

a³ᵐ⁻² +a²ᵐ⁻¹ -3a²ᵐ⁻² -2aᵐ -3aᵐ⁻¹ +6   Solución.

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14)  Simplificar  aᵡ(aᵡ⁺¹+bᵡ⁺²)( aᵡ⁺¹-bᵡ⁺²)bᵡ

> Resolviendo:

aᵡ⁺¹+bᵡ⁺²

aᵡ                 .

a²ᵡ⁺¹ +aᵡbᵡ⁺² ①

aᵡ⁺¹-bᵡ⁺²

bᵡ                 .

aᵡ⁺¹bᵡ -b²ᵡ⁺²   ②

a²ᵡ⁺¹ +aᵡbᵡ⁺²                           ①

aᵡ⁺¹bᵡ -b²ᵡ⁺²                        .   ②

a³ᵡ⁺²bᵡ +a²ᵡ⁺¹b²ᵡ⁺²

             - a²ᵡ⁺¹b²ᵡ⁺² -aᵡb³ᵡ⁺⁴

a³ᵡ⁺²bᵡ                     -aᵡb³ᵡ⁺⁴  Solución.

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Multiplicación de polinomios con coeficientes fraccionarios.

Procedimiento:

1) Ordenar los términos de los factores cuando sea necesario.

2) Multiplicar los factores, colocando los términos de los productos parciales debajo de su término semejante.

3) Los productos de los coeficientes deben simplificarse.

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Ejemplos:

a) Multiplicar ½ x² -⅓xy   por   ⅔x -⅘y

½ x² -⅓xy

⅔x -⅘y                      .

⅓x³  -  ²∕₉x²y

        -  ²∕₅x²y +⁴⁄₁₅xy²

⅓x³  -²⁸⁄₄₅x²y+⁴⁄₁₅xy²    Solución.

b) Multiplicar ⅓x²+ ½y²-⅕xy   por  ¾x²- ½xy- ¼y²

> Ordenando el primer factor:

⅓x²-⅕xy+½y²

¾x²- ½xy- ¼y²               .

¼ x⁴ - ³∕₂₀x³y  +   ³∕₈x²y²

         -   ¹∕₆x³y +  ¹∕₁₀x²y²  -   ¼ xy³

                         -  ¹∕₁₂x²y ² +¹∕₂₀xy³ -¹∕₈y⁴

¼ x⁴  -¹⁹∕₆₀x³y + ⁴⁷∕₁₂₀x²y²   -  ¹∕₅xy³ -¹∕₈y⁴   Solución.

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Ejercicio 44 del Libro.

Multiplicar:

2)  x - ⅖y  por  ⅚y + ⅓x

> Ordenando el segundo factor:

x -⅖y

⅓x +⅚y              .

⅓x²  -²∕₁₅xy

        +  ⅚xy  -⅓y²

⅓x²  +⁷∕₁₀xy   -⅓y²   Solución.

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3) ½ x² -⅓xy + ¼ y²  por  ⅔x -³∕₂y

½ x² -⅓xy + ¼ y²

⅔x -³∕₂y                  .

⅓x³  -    ²∕₉x²y +⅙xy²

         -    ¾ x²y +½xy² -³∕₈y³

⅓x³   -  ³⁵∕₃₆x²y +⅔xy²  -³∕₈y³   Solución.

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5) ⅖m²+⅓mn- ½n²   por   ³∕₂m²+2n²-mn

> Ordenando el segundo factor:

⅖m²+⅓mn- ½n²

³∕₂m²-mn+2n²               .

⅗m⁴ + ½ m³n  -  ¾ m²n²

         -  ⅖m³n  -   ⅓m²n² +  ½mn³

                        +  ⅘m²n² +  ⅔mn³ - n⁴

⅗m⁴ + ¹∕₁₀m³n -¹⁷∕₆₀m²n² + ⁷∕₆mn³  - n⁴    Solución.

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Multiplicación de polinomios con exponentes literales.

           

Procedimiento:

1) Ordenar los términos de los factores cuando sea necesario.

2) Multiplicar los factores, colocando los términos de los productos parciales debajo de su término semejante.

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Ejemplos:

a) Multiplicar   aᵐ⁺²-4ᵐ-2ᵐ⁺¹ por a²-2a.

> Ordenando los términos:

aᵐ⁺²-2ᵐ⁺¹-4ᵐ

a²-2a                     .

aᵐ⁺⁴-2aᵐ⁺³ -4aᵐ⁺²

        -2aᵐ⁺³+4aᵐ⁺²+8aᵐ⁺¹

aᵐ⁺⁴-4aᵐ⁺³             +8aᵐ⁺¹   Solución.

b) Multiplicar   xᵅ⁺²-3xᵅ-xᵅ⁺¹+xᵅ⁻¹  por xᵅ⁺¹+xᵅ+4xᵅ⁻¹

> Ordenando los términos de los factores:

xᵅ⁺²-xᵅ⁺¹-3xᵅ+xᵅ⁻¹

xᵅ⁺¹+xᵅ+4xᵅ⁻¹             .

x²ᵅ⁺³-x²ᵅ⁺²-3x²ᵅ⁺¹ +  x²ᵅ

          x²ᵅ⁺² - x²ᵅ⁺¹ -3x²ᵅ +   x²ᵅ⁻¹

                   4x²ᵅ⁺¹ -4x²ᵅ -12x²ᵅ⁻¹ +4x²ᵅ⁻²

x²ᵅ⁺³                      -6 x²ᵅ-11x²ᵅ⁻¹ +4x²ᵅ⁻²   Solución.

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Ejercicio 43 del Libro.

Multiplicar:

1) aᵡ-aᵡ⁺¹+aᵡ⁺²  por  a+1

> Ordenando el factor trinomio:

aᵡ⁺²-aᵡ⁺¹+aᵡ

a+1                      .

aᵡ⁺³-aᵡ⁺²+aᵡ⁺¹

        aᵡ⁺² -aᵡ⁺¹+aᵡ

aᵡ⁺³                 +aᵡ   Solución.

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2) xⁿ⁺¹+2xⁿ⁺²-xⁿ⁺³  por  x²+x

> ordenando el factor binomio:

xⁿ⁺¹+2xⁿ⁺²-xⁿ⁺³

x+x²                    .

xⁿ⁺²+2xⁿ⁺³ -  xⁿ⁺⁴

           xⁿ⁺³+2xⁿ⁺⁴-xⁿ⁺⁵

xⁿ⁺²+3xⁿ⁺³+  xⁿ⁺⁴-xⁿ⁺⁵   Solución.

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3) mᵅ⁻¹+mᵅ⁺¹+mᵅ⁺²-mᵅ  por  m²-2m+3

> Ordenando el primer factor:

mᵅ⁺²+mᵅ⁺¹-mᵅ+mᵅ⁻¹

m²-2m+3                    .

. mᵅ⁺⁴+  mᵅ⁺³-  mᵅ⁺²+  mᵅ⁺¹

           -2mᵅ⁺³-2mᵅ⁺²+2mᵅ⁺¹-2mᵅ

                        3mᵅ⁺²+3mᵅ⁺¹-3mᵅ+3mᵅ⁻¹

. mᵅ⁺⁴ - mᵅ⁺³             +6mᵅ⁺¹-5mᵅ+3mᵅ⁻¹    Solución.

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Multiplicación de Polinomios.

              
                  
Procedimiento:
1) Se multiplican todos los términos del multiplicando por el primer término del multiplicador.
2) Se multiplican todos los términos del multiplicando por el segundo término del multiplicador; colocando los subproductos debajo de cada uno de los términos semejantes del primer subproducto, y así sucesivamente según el número de términos que contenga el multiplicador.
3) Por último se suman los subproductos para obtener el producto final.
Es recomendable que el polinomio que multiplica sea el menor de los polinomios.
También es recomendable ordenar los polinomios poniendo la literal, en orden alfabético y/o antes que los valores constantes.
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Ejemplos:

a) Multiplicar a-4 por 3+a

> Ordenando, multiplicando y sumando subproductos:
a -4
a +3           .
a² -4a
     3a -12
a²  - a -12    Solución.
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b) Multiplicar 4x-3y por -2y +5x

> Ordenando, multiplicando y sumando subproductos:
4x -3y
5x -2y                    .
20x² -15xy
        -  8xy +6y²
20x² -23xy +6y²   Solución.
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Ejercicio 41 del Libro.
Multiplicar:

1)  a+3 por a-1

a +3
a -1           .
a² +3a
    -   a -3
a² +2a -3   Solución.
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2) a-3 por a+1
a -3
a +1       .
a²  -3a
.   +  a -3
a² -2a -3   Solución.
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3) x+5 por x-4
x +5
x -4          .
x² +5x
.    -4x -20
x² + x -20   Solución.
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4) m-6 por m-5

m -6
m -5              .
m²  - 6m
      - 5m +30
m² -11m +30   Solución.
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7) 3x-2y por y +2x

3x -2y
2x + y             .
6x² -4xy
        3xy -2y²
6x² -  xy -2y²  Solución.
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8) -4y+5x por -3x+2y
5x -4y
-3x +2y               .
-15x² +12xy
.        +10xy  -8y²
-15x² +22xy -8y²   Solución.
___________________________________________

9) 5a-7b por a+3b
5a -7b
a +3b                 .
5a²  - 7ab
.      +15ab -21b²
5a² +  8ab -21b²   Solución.
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10) 7x -3  por  4 +2x

7x -3
2x +4              .
14x²  -  6x
        +28x -12
14x² +22x -12   Solución.
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12) 6m -5n  por  -n +m

6m -5n
m  -n                       .
6m² -  5mn
       -  6mn +5n²
6m² -11mn +5n²   Solución.
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Ejercicio 42.
Multiplicar:

1) x² +xy +y² por x-y
x² +xy +y²
x - y                 .
x³ +x²y +xy²
.    -x²y  -xy² -y³
x³    --     --  -y³     Solución.
___________________________________________

9) m³-m²+m -2 por am+a
m³ -m² +m -2
am +a                      .
am -am³ +am² -2am
.      +am³ - am² +am  -2a
am                   -am  -2a  Solución.
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14) m³-3m²n+2mn² por m²-2mn-8n²
m³-3m²n+2mn²
m²-2mn-8n²                                       .
m  -3mn +2m³n²
.      -2mn +6m³n² - 4 m²n³
.                  -8m³n²+24m²n³  -16mn.
m -5mn     ---    +20m²n³ -16mn   Solución.
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16) 2-3x²+x  por x²-2x+3
x -3x² +2
x² -2x +3                                   .
x          -3x         +2x²
.    -2x         +6x³          -4x
.           +3x           -9x²        +6
x -2x   ---  +6x³  -7x²  -4x +6   Solución.
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Multiplicación de polinomios por monomios.

                  

Procedimiento:

Multiplicar 3x^2-6x+7 por 4ax^2

a) Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio, colocando los productos parciales indicados; luego se efectúan las operaciones indicadas para obtener el producto total.

--> 3x^2(4ax^2) -6x(4ax^2) +7(4ax^2) = 12ax^4 -24ax^3 +28ax^2

b) Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio, colocando los productos parciales debajo de la línea.

-->  3x^2 -6x +7

.     4ax^2                             .

.    12ax^4 -24ax^3 +28ax^2 

Nota:
Recuerda aplicar la Ley de signos para la multiplicación y la Ley de Signos de los Exponentes, que dice que en la multiplicación se suman los exponentes.

En los ejercicios se aplicará el procedimiento b), que es el utilizado en el Álgebra y solamente en los ejercicios que tienen exponentes literales y numéricos se aplicará el procedimiento a), para su mejor desarrollo.

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Ejercicio 39 del Libro.

Multiplicar:

1) 3x^3 -x^2 por -2x -->

3x^3 -x^2

-2x                 .

-6x^4 -2x^3

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2) 8x^2y  -3y^2 por 2ax^3 -->

8x^2y -3y^2

2ax^3                        .

16ax^5y -6ax^3y^2

---------------------------------------------------------------

3) x^2 -4x +3   por   -2x

x^2 -4x +3

-2x                      .

-2x^3 +8x^2 -6x

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6) x^5 -6x^3 -8x  por  3a^2x^2

x^5 -6x^3 -8x

3a^2x^2                                       .

3a^2x^7 -18a^2x^5 -24a^2x^3

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10) a^m -a^(m-1) +a^(m-2)   por   -2a

-2a(a^m)  -2a{-a^(m-1)}  -2a{a^(m-2)} = -2a^(m+1) +2a^m -2a^(m-1)

-- 1º Producto -2a(a^m) = -2a^(m+1)

Se multiplican los coeficientes de "a":  -2(1)= -2 ; se copia la literal "a"  ;  y se suman los exponentes (1 de la "a" y la "m") = (m+1) --> todo es = -2a(m+1) 

-- 2º Producto: -2a{-a^(m-1)} = 2a^m

Se multiplican los coeficientes de "a": -2(-1) = 2 ;  se copia la literal "a" y se suman los exponentes (1 de la "a" y -1 de la "m") o sea m^(1-1) = m --> todo es = 2a^m

-- 3º Producto: -2a{a^(m-2)} = -2a^(m-1)

Se multiplican los coeficientes de "a":  -2(1) = -2  ;  se copia la literal "a" ;  y se suman los exponentes (1 de la "a" y -2 de la "m") o sea m^(1-2) = (m-1) --> todo es = -2a^(m-1)
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Nota:
Toda letra o literal que no tenga indicado un exponente, se sobreentiende que está elevada a la potencia (1)