Factorización por agrupación de términos. Casos Especiales.

Estos casos son aquellas expresiones como a(x²)ⁿ ±bxⁿ ±c ; ax²y² ±bxy ±c ; ax² ±bxy ±

cy²; -ax² ±bx ±c, de las cuales se presentan ejemplos para su comprensión.

Ejemplos:

a) Factorar 15x⁴-11x²-12

> Multiplicando por el coeficiente del 1^er. término todo el trinomio,

descomponiendo el exponente ⁴ del término bicuadrático en dos factores: ² y ²:

= 15(15x⁴-11x²-12)

= (15x²)²-11(15x²)-180

> Factorando:

= [(15x²-20)(15x²+9)] /15

= (15x²-20)/5 (15x²+9)/3

= (3x²-4)(5x²+3) Solución.

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b) Factorar 12x²y²+xy-20

> Multiplicando por 12:

= 12(12x²y²+xy-20)

= (12xy)²+1(12xy)-240

> Factorando:

= [(12xy+16)(12xy-15)]/12

= (12xy+16)/4 (12xy-15)/3

= (3xy+4)(4xy-5) Solución.

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c) Factorar 6x²-11ax-10a²

> Multiplicando por 6:

= 6(6x²-11ax-10a²)

= (6x)²-11(6ax)-60a²

> Factorando:

= [(6x-15a)(6x+4a)]/6

= (6x-15a)/3 (6x+4a)/2

= (2x-5a)(3x+2a) Solución.

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d) Factorar 20-3x-9x²

= -9x²-3x+20 (ordenado)

> Introduciendo el trinomio entre paréntesis y cambiándole signo a los términos; precedido del signo ( - ):

= -(9x²+3x-20)

> Multiplicando por 9:

= -[9(9x²+3x-20)]

= -[(9x)²+3(9x)-180]

> Factorando:

= -[(9x+15)(9x-12)]/9

= -(9x+15)/3 (9x-12)/3

= -(3x+5)(3x-4)

> Eliminar el signo (-) que antecede a los factores; cambiándolo signo a un factor: a (3x-4) y este se convertirá en (-3x+4):

= (3x+5)(-3x+4)

> Cambiando el orden del segundo factor el resultado de la factorización quedaría:

= (3x+5)(4-3x) Solución.

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Ejercicio 101.

Factorar:

1) 6x⁴+5x²-6

= 6(6x⁴+5x²-6)

= (6x²)²+5(6x²)-36

Factorando:

= [(6x²+9)(6x²-4)]/6

= (6x²+9)/3 (6x²-4)/2

= (2x²+3)(3x²-2) Solución.

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2) 5x⁶+4x³-12

= 5(5x⁶+4x³-12)

= (5x³)²+4(5x³)-60

Factorando:

= [(5x³+10)(5x³-6)]/5

= (5x³+10)/5(5x³-6)/1

= (x³+2)(5x³-6) Solución.

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3) 10x⁸+29x⁴+10

= 10(10x⁸+29x⁴+10)

= (10x⁴)²+29(10x⁴)+100

Factorando:

= [(10x⁴+25)(10x⁴+4)]/10

= (10x⁴+25)/5 (10x⁴+4)/2

= (2x⁴+5)(5x⁴+2) Solución.

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4) 6a²x²+5ax-21

= 6(6a²x²+5ax-21)

= (6ax)²+5(6ax)-126

Factorando:

= [(6ax+14a)(6ax-9a)]/6

= (6ax+14a)/2 (6ax-9a)/3

= (3ax+7)(2ax-3) Solución.

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5) 20x²y²+9xy-20

= 20(20x²y²+9xy-20)

= (20xy)²+9(20xy)-400

Factorando

= [(20xy+25)(20xy-16)]/20

= (20xy+25)/5 (20xy-16)/4

= (4xy+5)(5xy-4) Solución.

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6) 15x²-ax-2a²

= 15(15x²-ax-2a²)

= (15x)²-1(15x)-30a²

Factorando:

= [(15x-6a)(15x+5a)]/15

= (15x-6a)/3 (15x+5a)/5

= (5x-2a)(3x+a) Solución.

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7) 12-7x-10x²

= -10x²-7x+12

= -(10x²+7x-12)

= -[10(10x²+7x-12)]

= -[(10x)²+7(10x)-120]

Factorando:

= -[(10x)²+7(10x)-120]/10

= -(10x+15)/5 (10x-8)/2

= -(2x+3)(5x-4)

→

= (2x+3)(-5x+4)

= (2x+3)(4-5x) Solución.

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8) 21x²-29xy-72y²

= 21(21x²-29xy-72y²)

= (21x)²-29(21x)-1512

Factorando:

= [(21x-56y)(21x+27y)]/21

= (21x-56y)/7 (21x+27y)/3

= (3x-8y)(7x+9y) Solución.

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Resolución de ecuaciones trinomias de grado superior al 2º por la fórmula de 2do. Grado.

Ecuaciones Trinomias son las que constan de 3 términos de la forma ax²ⁿ ±bxⁿ ±c = 0; donde el 1^er. término tiene el exponente doble que en el 2º término y el 3º término es independiente.

Estas ecuaciones pueden escribirse a(xⁿ)² ±bx² ±c = 0.

Se resuelven por la Fórmula de ecuaciones de 2º grado y también por descomposición de factores.

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Ejemplos:

a) Resolver por la Fórmula 4x⁴-37x² +9 = 0

→ 4(x²)² -37x² +9 = 0

> Aplicando la Fórmula para ecuación de 2º grado:

x² = -(-37) ±√(-37) -4(4)(9) / 2(4)

x² = 37 ±√1369 -144 / 8

x² = 37 ±√1225 / 8

x² = 37 ±35 / 8

→

x² = 37+35 / 8 = 9

x² = 37-35 / 8 = ¼

→ encontrando los valores para “x”

x² = 9 → x = ±√9 → x = ±3

x² = ¼ → x = ±√¼ → x = ±½

Solución: 3, 3, ½ , -½

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b) Resolver por factorización 3x⁴ -46x² -32 = 0

> Factorizando el trinomio:

= 3(3x⁴ -46x² -32) /3

= (3x²)² -46(3x²) -96 /3

= (3x²-48)/3 (3x²+2)/1

→ (x²-16)(3x²+2) = 0

> Igualando a cero los factores:

x²-16 = 0 → x² = 16 → x = ±√16 → x = ±4

3x²+2 = 0 → 3x² = -2 → x² = -⅔ → x = √-⅔ = ±i√⅔

Solución: 4, -4, i√⅔, -i√⅔

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Ejercicio 283

Resolver las ecuaciones, hallando las raíces:

1) x⁴ -10x² +9 = 0

→ (x²)² -10x² +9 = 0

x² = -(-10) ±√(-10)² -4(1)(9) / 2(1)

x² = 10 ±√100 -36 / 2

x² = 10 ±√64 / 2

x² = 10 ±8 /2

→

x² = 10 +8 /2 → x² = 9 → x = ±√9 → x = ±3

x² = 10 - 8 /2 → x² = 1 → x = ±√1 → x = ±1

Solución: ±3 , ±1

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5) x⁴ +3x² -4 = 0

→ (x²)² +3x² -4 = 0

x² = -(3) ±√(3)² -4(1)(-4) / 2(1)

x² = -3 ±√9+16 / 2

x² = -3 ±√25 / 2

x² = -3 ±5 / 2

→

x² = -3 +5 / 2 → x² = 1 → x = ±√1 → x = ±1

x² = -3 -5 / 2 → x² = -4 → x = ±√-4 → x = ±2i

Solución: ±1 , ±2i

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7) x⁴ -45x² -196 = 0

→ (x²)² -45x² -196 = 0

x² = -(-45) ±√(-45)² -4(1)(-196) / 2(1)

x² = 45 ±√2025 +784 / 2

x² = 45 ±√2809 / 2

x² = 45 ±53 / 2

→

x² = 45 +53 / 2 → x² = 49 → x = ±√49 → x = ±7

x² = 45 - 53 / 2 → x² = -4 → x = ±√-4 → x = ±2i

Solución: ±7 , ±2i

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12) 4x⁴ +11x² -3 = 0

→ 4(x²)² +11x² -3 = 0

x² = -(11) ±√(11)² -4(4)(-3) / 2(4)

x² = -11 ±√121 +48 / 8

x² = -11 ±√169 / 8

x² = -11 ±13 / 8

→

x² = -11+13 / 8 → x² = ¼ → x = ±√¼ → x = ±½

x² = -11-13 / 8 → x² = -3 → x = ±√-3 → x = ± i√3

Solución: ±½ , ± i√3

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14) x²(3x²+2) = 4(x²-3)+13

→ Factorizando:

3x⁴+2x² = 4x²-12+13

3x⁴+2x²-4x²-1 = 0

3(x²)² -2x² -1 = 0

→

x² = -(-2) ±√(-2) -4(3)(-1) /2(3)

x² = 2 ±√4 +12 /6

x² = 2 ±√16 /6

x² = 2 ±4 /6

→

x² = 2 +4 /6 → x² = 1-→ x = ±√1-→ x = ±1

x² = 2 - 4 6 → x² = -⅓ → x = ±√-⅓ → x = ±√⅓ i

Solución: ±1 , ±√⅓ i

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