Divisibilidad de aⁿ + bⁿ y aⁿ - bⁿ entre a + b y a - b.

Determinando la Divisibilidad de aⁿ+bⁿ y aⁿ-bⁿ entre a+b y a-b; aplicando el "Teorema del Residuo" y basado en las reglas de "Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades".

Reglas:

1)  , siempre es divisible, ya sea "n" par o impar.

y será divisible, si se anula al sustituir "a" por "+b", en aⁿ-bⁿ.

2)  , es divisible, si "n" es impar. 

y será divisible, si se anula al sustituir a por -b.

3)  , no es divisible, si "n" es par

y porque no se anula al sustituir a por +b.

4)   , es divisible, si "n" es par.

y será divisible, si se anula al sustituir a por -b. 

5)  , nunca es divisible, ya sea "n" par o impar.

Porque no se anula al sustituir a por +b.

__________________________________

Ejercicio 77.

Diga, por simple inspección, si son exactas las divisiones siguientes y en caso negativo, diga cuál es el residuo.

1) 

Es inexacta. 

No es divisible, porque al sustituir x⁵ por 1:

x⁵+1 ⇒ 1+1 = 2 es el residuo.

__________________________________

2)  

Inexacta.  

No es divisible porque "n" es par.

Sustituyendo a⁴ por -b⁴

 a⁴+b⁴ ⇒ (-b)⁴+b⁴ ⇒ b⁴+b⁴= 2b⁴  es el residuo

___________________________________

3) 

Exacta.  

Es divisible porque "n" es par.

Sustituyendo x⁸ por -(-1)

x⁸-1 ⇒ -(-1) -1 = 1-1 = 0 
___________________________________

4) 

Inexacta.  

Nunca es divisible. 

Porque al sustituir a¹¹ por +1:

a¹¹+1 ⇒ 1 +1 = 2 Residuo.

____________________________________

5) 

Inexacta.

No es divisible porque "n" es par.

Porque al sustituir a⁶ por +b⁶:

a⁶+b⁶ ⇒ (-b)⁶+b⁶ ⇒ b⁶+b⁶= 2b⁶ Residuo.

____________________________________

6) 

Exacta.

Siempre es divisible; par o impar.

Sustituyendo x⁷ por +1

a⁷-1 ⇒ (1) -1 = 0
____________________________________

7) 

Inexacta.

No es divisible porque "n" no es par.

Sustituyendo x³ por -8
x³-8 ⇒ -8 -8 = -16 Residuo.
_____________________________________

8) 

Exacta.

Es divisible porque "n" es par.

Sustituyendo x⁴ por -(-16)

x⁴-16 ⇒ -(-16)-16= 16-16 = 0
_____________________________________

9) 

Inexacta.

Nunca es divisible, ya sea "n" par o impar.

Sustituyendo a5 por +32

a5+32 ⇒ 32+32 = 64 Residuo.

____________________________________

10) 

Inexacta.

No es divisible, porque "n" no es par.

Sustituyendo x⁷ por -(-128)

x⁷-128 ⇒ -128-128 = -256  Residuo.

____________________________________

11) 

Exacta.

Es divisible porque "n" es par.

Sustituyendo 16a⁴ por -81b⁴

16a⁴ -81b⁴ ⇒ -(-81b⁴ ) -81b⁴ = 81b⁴  -81b⁴ = 0

____________________________________

12) 

Exacta.

Es divisible porque "n" ( ³ ) es impar. 
Sustituyendo a³x⁶ por -b⁹

a³x⁶ +b⁹ ⇒ -b⁹+b⁹ = 0.

___________________________________

Miscelánea sobre suma, resta, multiplicación y división de expresiones algebraicas.

Ejercicio 61.

3) Sumar x²-3xy con 3xy-y² y el resultado restarlo de x².

x²-3xy
.    3xy-y²
x²        -y²

x²

-x²        y²

.            y²    Solución.

__________________________________

4) ¿Qué expresión hay que añadir a 3x²-5x+6 para que la suma sea 3x?

Restando 3x²-5x+6  a 3x

.        3x

-3x²+5x-6

-3x²+8x-6  ← expresión a añadir.

Comprobando:

3x²  -5x +6

-3x²+8x -6

.       3x        Total.

__________________________________

5) Restar -2a²+3a-5 de 3 y sumar el resultado con 8a+5.

.             3

2a² -3a +5

2a² -3a +8

2a² - 3a +8

.       8a +5

2a² +5a+13  Solución.

__________________________________

.                                                      ___

6) Simplificar -3x²-{-[4x²+5x-(x²-x+6)]}

.                                                                              __

= -3x²-{-[4x²+5x-(x²-x-6)]}  Se suprimió la barra

= -3x²-{-[4x²+5x-x²+x+6]}   Se suprimieron los paréntesis

= -3x²-{-[3x²+6x+6]}            Se efectuaron operaciones

= -3x²-{-3x²-6x-6}                 Se suprimieron los corchetes

= -3x²+3x²+6x+6                   Se suprimieron las llaves y se operó.

= 6x+6   Solución.

__________________________________

7) Simplificar (x+y)(x-y)-(x+y)²

= x² -y² - (x²+2xy+y²)

= x² -y² -x²-2xy-y²

= -2xy-2y²  ó

= -2y² -2xy   Solución.

___________________________________

8) Valor numérico de 3(a+b)-4(c-b)+√(c-b /-a) siendo a = 2,  b = 3,  c = 1

= 3(2+3)-4(1-3)+√(1-3 /-(2))

= 3(5) - 4(-2) + √(-2 /-2)

= 15 +8 + √1

= 23 +1

= 24   Solución.

___________________________________

9) Restar x²-3xy+y² de 3x²-5y² y sumar la diferencia con el resultado de restar 5xy+x² de 2x²+5xy+6y².

Primera resta:

3x²           -5y²

- x² +3xy -  y²

2x² +3xy -6y²  diferencia.

Segunda resta:

2x² +5xy +6y²

- x²- 5xy        .

. x²          +6y²   diferencia.

Suma de diferencias:

2x² +3xy -6y²

. x²          +6y²

3x²+3xy             Solución.

___________________________________

10) Multiplicar 2/3a² -1/2ab +1/5b²  por  1/2a² +3/4ab -2b²

2/3a² -1/2ab  +1/5b² 

1/2a² +3/4ab  -2b²   .

1/3a⁴-1/4a³b +     1/10a²b²

.         1/2a³b -        3/8a²b² + 3/20ab³

.                    -        4/3a²b² +      1 ab³ -2/5b⁴

1/3a⁴+1/4a³b -193/120a²b² +23/20ab³ -2/5b⁴  Solución.

_____________________________________

11) Dividir la suma de x⁵-x³+5x², -2x⁴+2x²-10x, 6x³-6x+30  entre x²-2x+6

x⁵         -  x³ +5x²

.   -2x⁴         +2x² -  10x

.          +6x³          -   6x +30

x⁵- 2x⁴ +5x³ +7x² - 16x +30  

.              x³ -x +5                               .  ← Solución.

x²-2x+6 | x⁵- 2x⁴ +5x³ +7x² - 16x+30

.             - x⁵+2x⁴ - 6x³

.                              -x³ +7x² -16x 

.                               x³  -2x² + 6x

.                                      5x² -10x +30

.                                     -5x²+10x - 30

.                                                0

______________________________________

12) Restar el cociente de 1/4a³-1/90ab²+1/15b³  entre  1/2a+1/3b  de  1/2a²+ab+1/5b² 

.                 1/2a² -1/3ab +1/5b²                .

1/2a+1/3b | 1/4a³            -1/90ab² +1/15b³

.                 -1/4a³-1/6a²b

.                          -1/6a²b -1/90ab²

.                           1/6a²b +1/9 ab²

.                                        1/10ab² +1/15b³

.                                       -1/10ab² -1/15b³

.                                                  0

1/2a²  +     ab+1/5b²

-1/2a² +1/3ab -1/5b² 

.            4/3ab             ← Solución.

______________________________________

13)  Restar la suma de -3ab²-b³ y 2a²b+3ab²-b³  de  a³-a²b+b³   y   la diferencia multiplicarla por a²-ab+b².

Sumando:

.       -3ab²- b³

2a²b+3ab²- b³

2a²b         -2b³

Restando:

a³-  a²b+  b³ 

 . -2a²b+2b³

a³-3a²b+3b³

Multiplicando:

a³-3a²b+3b³

a² -ab +b²   .

a⁵-3a⁴b           +3a²b³

   -  a⁴b+3a³b²            -3ab⁴

.          +   a³b²- 3a²b³          +3b⁵

a⁵-4a⁴b+4a³b²             -3ab⁴+3b⁵

a⁵-4a⁴b+4a³b² -3ab⁴+3b⁵  Solución.

___________________________________

14)  Restar la suma de x³-5x²+4x, -6x²-6x+3, -8x²+8x-3  de  2x³-16x²+5x+12  y  dividir esta diferencia entre x²-x+3.

Sumando:

x³ -  5x² +4x

.   -  6x² - 6x +3

.   -  8x² +8x - 3

x³ -19x² +6x

Restando:

2x³ - 16x²+5x+12

- x³ +19x² -6x     .

. x³ +  3x² -  x +12

Dividiendo:

.              x +4                  .

x² -x +3 | x³ +3x² -  x +12

.             - x³+  x² - 3x

.                     4x² - 4x

.                    -4x² +4x -12

.                              0

x + 4   Solución.

___________________________________

15) Probar que (2+x)²(1+x²)-(x²-2)(x²+x-3) = x²(3x+10)+2(3x-1)

1°)  (2+x)²(1+x²)-(x²-2)(x²+x-3)

= (4+4x+x²)(1+x²) - (x⁴-4x²+4)(x²+x-3)

= (4+4x+x²+4x²+4x³+x⁴) - (x⁴+x³-3x²-2x²-2x+6)

= (x⁴+4x³+5x²+4x+4) - (x⁴+x³-5x²-2x+6)

. x⁴+4x³+  5x²+4x+4

 -x⁴ -  x³+  5x²+2x-6

.       3x³+10x²+6x-2 

2°)  x²(3x+10)+2(3x-1)    

= 3x³+10x²+6x-2

⇒

(2+x)²(1+x²)-(x²-2)(x²+x-3) = x²(3x+10)+2(3x-1)

                    3x³+10x²+6x-2 = 3x³+10x²+6x-2  Comprobado.

___________________________________

16) Hallar el valor numérico de (x+y)²(x-y)²+2(x+y)(x-y) ,

siendo x = -2,  y = 1

=[-2+1]²[-2-(1)]²+2[-2+1][-2-(1)]

= (-1)²(-3)²+2(-1)(-3)

= (1)(9)+2(-1)(-3)

= 9 +6

= 15.   Solución.

___________________________________

17) ¿Qué expresión hay que sumar a la suma de x+4, x-6 y x²+2x+8 para obtener 5x²-4x+3?

Sumando:

x²+2x+ 8

.       x+ 4

.       x - 6

x²+4x+ 6

Restando:

5x²-4x+ 3

- x²-4x - 6

4x²-8x - 3  ←  expresión a sumar.

Comprobando:

. x²+4x+ 6

4x² -8x - 3

5x² -4x +3  ← Comprobado. 

___________________________________

18) Restar -{3a+(-b+a)-2(a+b)}  de  -2[(a+b)-(a-b)]

Suprimiendo signos de agrupación y simplificando:

= -{3a+(a-b)-2(a+b)}    ;    -2[(a+b)-(a-b)]

= -{3a+a-b-2a-2b}    ;    -2[a+b-a+b]

= -{2a-3b}    ;    -2a-2b+2a-2b

= -2a+3b    ;    -4b

⇒Restando:

    -4b

2a-3b

2a-7b    Solución.

___________________________________

.                                        ___

19) Multiplicar 5x+[-(3x -x-y)] por 8x+[-2x+(-x+y)]

Suprimiendo signos de agrupación:

.                  ___

= 5x+[-(3x -x-y)]        ;       8x+[-2x+(-x+y)]

= 5x+[-(3x-x+y)]        ;       8x+[-2x-x+y]

= 5x+[-3x+x-y]           ;       8x+[-3x+y]

= 5x-3x+x-y                ;       8x-3x+y

= 3x-y                          ;       5x+y

⇒Multiplicando:

3x-y

5x+y

15x²-5xy

.        3xy-y²

15x²-2xy-y²   Solución.

__________________________________

20) Restar el cociente de 1/4x³+1/24x²y+5/12xy²+1/3y³ entre 1/2x²-1/4xy+y²  de  2x+[-5x-(x-y)]

Dividiendo:

.                          1/2x +1/3y                                .

1/2x²-1/4xy+y² | 1/4x³+1/24x²y+ 5/12xy²+1/3y³

.                         -1/4x³+ 1/8 x²y -   1/2xy²

.                                      1/6 x²y - 1/12xy²

.                                     -1/6 x²y + 1/12xy²-1/3y³

.                                                       0

Simplificando el minuendo:

2x+[-5x-(x-y)]

= 2x+[-5x-x+y]

= 2x-5x-x+y

= -4x+y

Restando:

-   4x +     y

-1/2x - 1/3y

-9/2x +2/3y   Solución.

__________________________________

21) Probar que [x²-(3x+2)][x²+(-x+3)] = x²(x²-4x+4)-(7x+6)

1°)  [x²-(3x+2)][x²+(-x+3)] 

= [x²-3x-2][x²-x+3]

= x⁴-x³+3x²-3x³+3x²-9x-2x²+2x-6

= x⁴-4x³+4x²-7x-6

2°) x²(x²-4x+4) - (7x+6)

= x⁴-4x³+4x²-7x-6

⇒

[x²-(3x+2)][x²+(-x+3)] = x²(x²-4x+4)-(7x+6)

es equivalente a:

           x⁴-4x³+4x²-7x-6 = x⁴-4x³+4x²-7x-6   Comprobado. 

__________________________________

22)  ¿Qué expresión hay que sumar al producto de [x(x+y)-x(x-y)][2(x²+y²)-3(x²-y²)] para obtener 2x³y+3xy³?

Simplificando: 

[x(x+y)-x(x-y)][2(x²+y²)-3(x²-y²)]

= [x²+xy-x²+xy][2x²+2y²-3x²+3y²]

=[2xy][-x²+5y²]

Multiplicando:

-x²+5y²

2xy              .

-2x³y+10xy³

Restando:

2x³y+ 3xy³

2x³y-10xy³

4x³y-  7xy³   expresión a sumar.

Comprobando:

- 2x³y+10xy³

. 4x³y -  7xy³

. 2x³y+  3xy³  comprobado.

________________________________

23) Restar -x²-3xy+y² de 0 y multiplicar la diferencia por el cociente de dividir x³-y³ entre x-y.

Restando:

0

x²+3xy-y²

x²+3xy-y²   Diferencia.

Dividiendo:

.        x²+xy+y²       .     Cociente.

x -y | x³               -y³

.       -x³+x²y

.             x²y

.            -x²y+xy²

.                     xy² 

.                    -xy²+y³

.                         0

Multiplicando:

x²+3xy-y²

x²+xy+y²

x⁴+3x³y  -x²y²

       x³y+3x²y² -  xy³

.                x²y²+3xy³ -y⁴

x⁴+4x³y+3x²y²+2xy³ -y⁴    Solución.

__________________________________

24) Simplificar (x-y)(x²+xy+y²) - (x+y)(x²-xy+y²)

=  (x-y)(x²+xy+y²) - (x+y)(x²-xy+y²)

Multiplicando 1°:

x²+xy+y²

x -y        .

x³+x²y+xy²

.   -x²y -xy² -y³

x³                -y³

Multiplicando 2°

x²-xy+y²

x +y      .

x³-x²y+xy²

.   x²y -xy² +y³

x³               +y³

⇒

(x-y)(x²+xy+y²) - (x+y)(x²-xy+y²)

= (x³ -y³) - (x³ +y³)

=  x³ -  y³

.  -x³ -  y³

.        -2y³     Solución.

__________________________________

25)  Hallar el valor numérico de √ab /c +2(b-a)√9b /a² -3(c-b)√c/b,

siendo a = 4,  b = 9,  c = 25

= √(4)(9) /25 +2(9-4)√9(9) /(4)² -3(25-9)√25/9

= √36/25 +2(5)√81/16 -3(16)√25/9

= 6/5 +10(9/4)-48(5/3)

= 6/5 +90/4 -80

= 237/10 -80

= -563/10

= -56 ³/₁₀      Solución.

___________________________________

26) ¿Por cuál expresión hay que dividir el cociente de x³+3x²-4x-12 entre x+3 para obtener x-2?

.         x²-4              .

x +3 | x³+3x²-4x-12

.        -x³-3x²

.             0      -4x-12

.                      4x+12

.                          0

Dividiendo el cociente encontrado (x²-4) entre la expresión que se quiere obtener (x-2), para obtener la expresión por la que hay que dividir el cociente encontrado.

.       x+2       . 

x-2 | x²       -4

.      -x²-2x

.            -2x -4

.              2x+4

.                  0

Solución: La expresión a la que hay que dividir es  x+2.

Comprobando:

.        x-2       .

x+2 | x²       -4

.       -x²-2x

.            -2x -4

.              2x+4

.                  0

___________________________________

.                                              ___

27) Simplificar 4x²-{3x-(x² - 4+x)}+[x²-{x+(-3)}]  y hallar su valor para x = -2.

.                       

= 4x²-{3x-(x²-4-x)}+[x²-{x-3}]

= 4x²-{3x-x²+4+x}+[x²-x+3]

= 4x²+x²-4x-4+[x²-x+3]

= 4x²+x²-4x-4+x²-x+3

= 6x²-5x-1

Valor numérico de 4x²-5x-1, siendo x=-2

= 6(-2)²-5(-2)-1

= 6(4) +10 -1

= 24 +10 -1

= 33.   Solución.

____________________________________

28) ¿De cuál expresión hay que restar -18x³+14x²+84x-45 para que la diferencia dividida entre x²+7x-5 dé como resultado x²-9? 

Multiplicando el divisor x²+7x-5 por el cociente x²-9, para encontrar el dividendo, que será la expresión a la que se restará (minuendo).

(x²+7x-5)(x²-9) = x⁴+7x³-14x²-63x+45

Restando:

x⁴+  7x³ -14x² -63x+45

.   -18x³+14x²+84x -45

x⁴ -11x³    0    +21x   0

Solución: la expresión es x⁴ -11x³+21x 

_____________________________________

29)  Probar que (a²+b²)(a+b)(a-b) = a⁴-[3a+2(a+2)-4(a+1)-a+b⁴]

= (a²+b²)(a²-b²) = a⁴-[3a+2a+4-4a-4-a+b⁴]

= a⁴-b⁴ = a⁴-3a-2a-4+4a+4+a-b⁴

= a⁴ -b⁴ = a⁴+5a-5a-b⁴

= a⁴ -b⁴ = a⁴ -b⁴    

⇒

(a²+b²)(a+b)(a-b) = a⁴-[3a+2(a+2)-4(a+1)-a+b⁴]

es equivalente a

.                  a⁴ - b⁴ = a⁴ - b⁴   Comprobado.

_____________________________________

30) Restar -x³-5x²+6 de 3 y sumar la diferencia con la suma de x²-x+2  y  -[x²+(-3x+4) - (-x+3)]

Restando:

.             3

x³ +5x² -6

x³ +5x² -3  Diferencia

Sumando: 

x²-x+2 + -[x²+(-3x+4) - (-x+3)]

= x²-x+2 + -[x²-3x+4+x-3]

= x²-x+2 -x²+3x-4-x+3

= x+1   total.

Sumando diferencia con total

x³ +5x²      -3

.           +x +1

x³ +5x² +x -2   Solución.

_____________________________________

Valor numérico de expresiones compuestas. Ejercicio 12.

 Ejemplo a)  Hallar el valor numérico de a²-5ab+3b³, cuando a = 3 y b = 4.

= (3)² -5(3)(4) +3(4)³

= 9 -60 +3(64)

= 9 -60 +192

= 141   Solución.

_______________________________________

Ejemplo b)  Valor numérico de 3a²/4 - 5ab/x + b/ax, cuando a=2,  b=1/3 y x =1/6

= 3(2)² / 4 - 5(2)(1/3) / (1/6) + (1/3) / (2)(1/6)

= 12/4 - 10/3 /1/6 + 1/3 / 1/3

= 3 - 20 + 1

= -16   Solución.

________________________________________

Ejercicio 12.

Hallar el valor numérico de las expresiones siguientes, 

cuando a=3,  b=4,   c=1/3,   d=1/2,   m=6,   n=1/4

1)  a²-2ab+b²

= (a-b)²

= (3 -4)²

= -1²

= 1   Solución.

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2) c² +2cd +d²

= (c+d)²

= (1/3 +1/2)²

= (5/6)²

= 25/36   Solución.

_________________________________________

3) a/c + b/d

= 3/ 1/3 + 4/ 1/2

= 9 +8

= 17   Solución.

_________________________________________

4) c/d - m/n +2

= (1/3)/(1/2) - 6/(1/4) +2

= 2/3 - 24 +2

= 2/3 -22

= 64/3 = 21¹/₃   Solución.

_________________________________________

5)  a²/3 - b²/2+ m²/6

= (3)²/3 - (4)²/2+ (6)²/6

= 9/3 -16/2 + 36/6

= 3-8+6

= 1.   Solución.

________________________________________

6) 3/5c -1/2b +2d

= 3/5(1/3) -1/2(4) +2(1/2)

= 1/5 -2 +1

= -4/5   Solución.

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7) ab/n + ac/d -bd/m

= (3)(4)/(1/4) + (3)(1/3)/(1/2) - (4)(1/2)/(6)

= 12/(1/4) + 1/(1/2) - 2/6

= 48 + 2 -1/3

= 50 -1/3

= 149/3 = 49 ²/₃   Solución.

________________________________________

8) √b + √n + √6m

= √(4) + √(1/4) + √(6)(6)

= 2 + 1/2 + √36

= 2 + 1/2 + 6

= 8 +1/2 = 8¹/₂   Solución.

________________________________________

9) c√3a - d√16b² + n√8d 

= (1/3)√(3)(3) - (1/2)√(16)(4)² + (1/4)√(8)(1/2)

=  (1/3)√9 - (1/2)√256 + (1/4)√4

= (1/3)(3) - (1/2)(16) + (1/4)(2)

= 1 - 8 + 1/2

= -7 +1/2 = -6¹/₂  Solución.

________________________________________

10)  m^a / d^b

m^a / d^b  = 6³ /(1/2)⁴ 

= 216 / (1/16)

= 3456   Solución.

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11) 3c²/4 + 4n²/m

= (3)(1/3)²/4 + (4)(1/4)²/(6)

= (3)(1/9)/4 + (4)(1/16)/(6)

= (1/3)/4 + (1/4)/(6)

= 1/12 + 1/24

= 3/24 = 1/8   Solución.

_______________________________________

12) 4d²/2 + 16n²/2 -1

= (4)(1/2)²/2 + (16)(1/4)²/2 -1

= (4)(1/4)/2 + (16)(1/16)/2 -1

= 1/2 + 1/2 -1

=1 -1 = 0   Solución.

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13) a+b/c - b+m/d

= (3)+(4)/(1/3) - (4)+(6)/(1/2)

= 7/(1/3) - 10/(1/2)

= 21 - 20 

= 1.   Solución.

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14) b-a /n + m-b /d + 5a

= (4)-(3) /(1/4) + (6)-(4) /(1/2) + (5)(3)

= 1 /(1/4) + 2 /(1/2) + 15

= 4 +4 +15

= 23  Solución.

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15) 12c-a /2b - 16n-a /m + 1/d

= (12)(1/3)-(3) /(2)(4) - (16)(1/4)-(3) /(6) + 1/(1/2)

= 4-3 /8 - 4-3 /6 + 2

= 1/8 -1/6 +2

= 47/24 = 1²³/₂₄   Solución.

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16) √4b + √3a /3 - √6m /6

= √(4)(4) + √(3)(3) /3 - √(6)(6) /6

= √16 + √9 /3 - √36 /6

= 4 + 3/3 - 6/6

= 4+1-1

= 4   Solución.

_________________________________________

17) √b+√2d /2 - √3c+√8d  /4

= √(4)+√(2)(1/2) /2 - √(3)(1/3)+√(8)(1/2) /4

= 2+√1 /2 - √1+√4 /4

= 2+1 /2 - 1+2 /4

= 3/2 - 3/4

= 3/4   Solución.

________________________________________

18)  2√a²b² /3 + 3√2+d² /4 - a√n

= 2√(3)²(4)² /3 + 3√2+(1/2)² /4 - (3)√(1/4)

= 2√(9)(16) /3 + 3√2+(1/4) /4 - (3)(1/2)

= 2√144 /3 + 3√9/4 /4 - 3/2

= 2(12)/3 + 3(3/2) /4 - 3/2

= 24/3 + (9/2)/4 - 3/2

= 8 + 9/8 - 3/2

= 61/8 = 7⁵/₈   Solución.

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Valor numérico de expresiones simples.

Valor numérico de una expresión algebraica es el resultado obtenido al sustituir las letras o variables por valores numéricos dados, luego de efectuadas las operaciones indicadas.

Valor numérico de expresiones simples. 

Ejercicio 11.

Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones; cuando  

a = 1,   b = 2,   c = 3,   m = 1/2,   n = 1/3,   p = 1/4

1) 3ab.

Sustituyendo y operando:

3(1)(2) = 6   Solución.

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2) 5a²b³c

Sustituyendo y operando:

= 5(1²)(2³)(3)

=5(1)(8)(3)

= 120.   Solución.

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3)  b²mn

= (2²)(1/2)(1/3)

= (4)(1/6)

= 2/3   Solución.

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4) 24m²n³p

= 24(1/2)²(1/3)³(1/4)

= 24(1/4)(1/27)(1/4)

= 24(1/16)(1/27)

= 24(1/432)

= 1/18   Solución.

___________________________________

5) 2/3a⁴b²m³

= 2/3(1)⁴(2)²(1/2)³

= 2/3(1)(4)(1/8)

= (8/3)(1/8)

= 1/3   Solución.

___________________________________

6) 7/12(c)³(p)²(m)

= (7/12)(3)³(1/4)²(1/2)                                                                                    

= (7/12)(27)(1/16)(1/2)  

= 27(7/384)

= 63/128  Solución.

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7) m^bn^cp^a

= (1/2)²(1/3)³(1/4)¹

= (1/4)(1/27)(1/4)

= 1/432   Solución.

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8) 5/6a^b-1m^c-2

= 5/6(1)²⁻¹(1/2)³⁻²

= 5/6(1)¹(1/2)¹

= (5/6)(1)(1/2)

= 5/12   Solución.

___________________________________

9)  √2bc²

= √2(2)(3)²

= √(2)(2)(9)

= √36

= 6  Solución.

___________________________________

10) 4m∛12bc²

= 4(1/2)∛(12)(2)(3)²

= 2∛(12)(2)(9)

= 2∛216

= (2)(6)

= 12  Solución.

___________________________________

11) mn√8a⁴b³

= (1/2)(1/3)√(8)(1)⁴(2)³

= (1/6)√(8)(1)(8)

= (1/6)√64

= (1/6)(8)

= 4/3   Solución.

___________________________________

12) 4a / 3bc

= 4(1) / (3)(2)(3)

= 4/18

= 2/9    Solución.

___________________________________

13) 5b²m² /np

= (5)(2)²(1/2)² /(1/3)(1/4)

= (5)(4)(1/4) /(1/3)(1/4)

= 5/ 1/12

= 60   Solución.

___________________________________

14)   3/4b³ / 2/3c²

= (3/4)(2)³ / (2/3)(3)²

= (3/4)(8) / (2/3)(9)

= 6/6

= 1.   Solución.

___________________________________

15)  2m / √n²

= (2)(1/2) / √(1/3)²

= 1 / √1/9

= 1/ 1/3

= 3  Solución.

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16) 24mn / 2√n²p²

= (24)(1/2)(1/3) / 2√(1/3)²(1/4)²

= (24)(1/6) / 2√(1/9)(1/16)

= 4 / 2√1/144

= 4/ (2)(1/12)

= 4/ 1/6

= 24   Solución.

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17) 3∛64b³c⁶ / 2m

= 3∛(64)(2)³(3)⁶ / (2)(1/2)

= 3∛(64)(8)(729) / 1

=  3∛373248 / 1

= 3(72)/1

= 216   Solución.

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18) 3/5√apb² / (3/2)∛125bm

= 3/5√(1)(1/4)(2)² / (3/2)∛(125)(2)(1/2)

= 3/5√(1)(1/4)(4) / (3/2)∛(125)(2)(1/2)

= 3/5√1 / (3/2)∛125

= (3/5)(1) / (3/2)(5)

= 3/5 / 15/2

= 2/25   Solución.

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Ecuaciones de grado superior al 2°, resueltas por fórmula general y/o factorización.

Son las ecuaciones que constan de tres términos: en donde el primer término es el doble en su exponente que el segundo, y el tercer término es independiente.   

, en donde a y b son los coeficientes del primer y tercer término respectivamente; c es el término independiente; n es el exponente al que está elevado la variable x, y 2n indica el doble del primer término con el siguiente. 

Las ecuaciones trinomias en las que el primer término es x⁴, y el segundo x² se llaman ecuaciones bicuadráticas.

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Ejemplo a)  Resuelve x⁶-19x³ -216 = 0

Utilizando la fórmula de la ecuación de 2° grado:

Descomponiendo el término cuadrático  x⁶ en (x³)², entonces:

Por lo tanto ( ∴ ),

Extraemos la raíz cúbica, para encontrar el valor de x:

x³ = 27  ∴ x = ∛27 ⇒  x = 3

x³ = -8  ∴ x = ∛-8 ⇒  x = -2

Igualando a cero los resultados de:

x³ = 27 ⇒  x³ -27 = 0

x³ = -8 ⇒  x³ +8 = 0

La expresión queda así:

(x³ -27)(x³ +8) = 0

Descomponiendo los factores x³ -27:

x³ -27 = (x-3)(x²+3x+9)

Igualando a cero los nuevos factores:

Si x-3 = 0 ⇒ x = 3

Si x² +3x +9= 0

 

 

∴ 

 

raíces imaginarias. 

Descomponiendo los factores x³ +8:

x³ +8 = (x+2)(x²-2x+4)

Igualando a cero los nuevos factores:

Si x+2 = 0 ⇒ x = -2

∴

  raíces imaginarias.

Entonces las raíces de x⁶-19x³ -216 = 0 son

x=3 , x=-2 ,  x= -3/2+3√3i /2  ,  x= -3/2-3√3i /2  ,  x=  1+√3i  ,  1-√3i 

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Ejemplo b)  Resolver  

Factorizando el trinomio:

Igualando a cero el primer factor:

Raíces imaginarias.

Igualando a cero el segundo factor:

Raíces reales.

Las raíces de   son:

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Ejercicio 184  

Resolver las ecuaciones:  

Utilizando la fórmula general:

Por lo tanto:

Igualando a cero:

 

Factorizando 

1°.  

    raíz

 

Por lo tanto:

  raíces

2°.  

   raíz.

Por lo tanto:

    raíces.

Las raíces de    son:

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Por fórmula general:

    Por lo tanto:

Igualando a cero y factorizando los resultados de x⁴:

1°.  Si  x⁴ = 25 ⇒ x⁴ -25 = 0 ⇒ (x²-5) (x²+5) = 0 

Entonces:

Si  x²-5 = 0 ⇒ x² = 5 ⇒ x =  ±√5   Raíces.

Si  x²+5 = 0 ⇒ x² = -5 ⇒ x =  ±√-5 ⇒  x =  ±√5i   Raíces.

2°.  Si x⁴ = 16 ⇒ x⁴ -16 = 0 ⇒ (x² -4) (x² +4) = 0

Entonces:

Si x² -4 = 0 ⇒ x² = 4 ⇒ x = ±√4 ⇒ x = ±2   Raíces. 

Si x² +4 = 0 ⇒ x² = -4 ⇒ x = ±√-4 ⇒ x = ±√4i  ⇒ x = ±2i   Raíces.

Las raíces de   son:

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Despejando por la fórmula de 2° grado

Factorizando:

Si x⁵ =32 ⇒ x = √32 ⇒ x = 2  Raíz

Si x⁵ = 1 ⇒ x = √1 ⇒ x = 1  Raíz

Solución:  Las raíces de la ecuación original son:  x = 2  y x = 1.

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Por lo tanto:

Factorizando el trinomio:

Por lo tanto;

Descomponiendo los factores:

   raíces.

   raíces.

Solución: Las raíces de la ecuación original son:

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Factorizando

Igualando a cero los factores:

     Raíz.

    Raíz.

Solución:  Las raíces de la ecuación son:  x = 1/3  y  x = -1.

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Factorizando:

(x-9)(x-4) = 0 

⇒

x -9 = 0  ⇒  x = 9 

x -4 = 0  ⇒ x = 4

Solución:  {x = 9  ,  x = 4}

Nota: 9 es una solución falsa  y 4 es verdadera.

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Factorizando por Fórmula de 2° grado:

Por lo tanto

⇒

Solución:  {x = 16  ,  x = 1/16}

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