En estos casos especiales se pueden presentar cuatro expresiones:
1) Cuando en la suma de cubos perfectos, uno de ellos es binomio.
(a+b)³ + c³ = [(a+b) + c][(a+b)² - (a+b)(c) + (c)²]
2) Cuando en la diferencia de cubos perfectos, uno de ellos es binomio.
c³ - (a+b)³ = [c + (a+b)][(c)² + (c)(a+b) + (a+b)²]
3) Cuando en la suma de cubos perfectos, los dos son binomio.
(a+b)³+(c+d)³ = [(a+b) + (c+d)][(a+b)² - (a+b)(c+d) + (c+d)²]
4) Cuando en la diferencia de cubos perfectos, los dos son binomio.
(a+b)³-(c+d)³ = [(a+b) + (c+d)][(a+b)² + (a+b)(c+d) + (c+d)²]
_______________________________________________
Ejemplos:
1) Factorar (a+b)³ + 1
> La raíz³ de: (a+b)³ = (a+b) ; 1 = 1
-->
(a+b)³ + 1 = [(a+b) + 1][(a+b)² - (a+b)(1) + (1)²]
. = (a+b+1)(a² +2ab + b² - (a + b) +1)
. = (a+b+1)(a² +2ab + b² - a - b +1) Solución.
2) Factorar 8 - (x-y)³
> La raíz³ de: 8 = 2 ; (x-y)³ = (x-y)
-->
8 - (x-y)³ = [2 - (x-y)][(2)² + (2)(x-y) + (x-y)²]
. = (2-x+y)(4 +2x -2y +x² -2xy +y² Solución.
3) Factorar (x+1)³ +(x-2)³
> La raíz³ de: (x+1)³ = x+1 ; (x-2)³ = x-2
-->
(x+1)³ +(x-2)³ = [(x+1)+(x-2)][(x+1)² - (x+1)(x-2) + (x-2)²]
. = [x+1+x-2][(x² +2x +1 - (x² -x -2) + x² -4x +4)]
. = (2x-1)(x² +2x +1 -x² +x +2 +x²-4x +4)
. = (2x-1)(x² - x +7) Solución.
4) (a-b)³ - (a+b)³
> La raíz³ de: (a-b)³ = (a-b) ; (a+b)³ = (a+b)
-->
(a-b)³ - (a+b)³ = [(a-b) - (a+b)][(a-b)² + (a-b)(a+b) + (a+b)²]
. = [a-b-a-b][a² -2ab +b² + a² - b² + a² + 2ab +b²]
. = (-2b)(3a² +b²) Solución.
______________________________________________
Ejercicio 104.
Descomponer en dos factores:
1) 1 + (x+y)³
Raíces³ de: 1=1 , (x+y)³ = (x+y)
⟹
= 1 + (x+y)³ = [1+(x+y)][(1²) -(1)(x+y) + (x+y)²]
. = (1+x +y)(1 -x -y +x² +2xy +y²)
. = (1+x +y)(1 -x -y +x² +2xy +y²) Solución.
_______________________________________________
2) 1 - (a+b)³
Raíces³ de: 1 = 1 ; (a+b)³ = (a+b)
⟹
1 - (a+b)³ = [1 -a -b][(1)² +(1)(a+b) +(a+b)²]
. = (1 -a -b)(1 +a +b +a² +2ab +b²) Solución.
_______________________________________________
3) 27 +(m-n)³
Raíces³ de: 27 = 3 ; (m-n)³ = (mn)
⟹
27 +(m-n)³ = [3 +m -n][(3²) -3(m-n) + (m-n)²]
. = (3 +m -n)(9 -3m +3n +m² -2mn +n²) Solución.
________________________________________________
4) (x-y)³ -8
Raíces³ de: (x-y)³ = (x-y) ; 8 = -2
⟹
(x-y)³ -8 = [(x-y) -2][(x-y)² +(x-y)(-2) +(-2)²]
. = [x -y -2][x² -2(x)(y)+y² -2x +2y +4 ]
. = (x -y -2)(x² -2xy +y² -2x +2y +4) Solución.
_________________________________________________
12) (a+1)³ + (a-3)³
Raíces de: (a+1)³ = (a+1) ; (a-3)³ = (a-3)
⟹
(a+1)³ + (a-3)³ = [(a+1)+(a-3)][(a+1)² - (a+1)(a-3) + (a-3)²]
- = [a +1 +a -3][(a)² +2(a)(1) + (1)² -(a² -2a -3)+ a² +2(a)(3) +(3)²]
. = (2a -2)(a² +2a+1 -a² +2a +3 +a² -6a +9)
. = (2a-2)(a² -2a +13) Solución.
_________________________________________________
13) (x-1)³ - (x+2)³
Raíces de: (x-1)³ = (x+1) ; (x+2)³ = x+2
⟹
(x-1)³ - (x+2)³ = [(x-1) - (x+2)][(x-1)² + (x-1)(x+2) + (x+2)²]
. = [x -1 -x -2][(x² -2x +1) + (x² +x -2) + (x² +4x +4)]
. = (-3)(3x² +3x +3) (Efectuando multiplicación)
. = -9x² -9x -9 (Factor común polinomio)
. = -9(x² +x +1) Solución.
_________________________________________________
viernes, 3 de julio de 2020
jueves, 25 de junio de 2020
Factorización por agrupación de términos. Casos Especiales.
Estos
casos son aquellas expresiones como a(x²)ⁿ ±bxⁿ ±c ;
ax²y² ±bxy ±c
; ax² ±bxy ±
cy²; -ax² ±bx ±c,
de
las cuales se presentan ejemplos para su comprensión.
Ejemplos:
a)
Factorar 15x⁴-11x²-12
>
Multiplicando por el coeficiente del 1er.
término
todo el trinomio,
descomponiendo
el exponente ⁴ del término
bicuadrático en dos factores: ²
y ²:
=
15(15x⁴-11x²-12)
=
(15x²)²-11(15x²)-180
>
Factorando:
=
[(15x²-20)(15x²+9)]
/15
=
(15x²-20)/5 (15x²+9)/3
=
(3x²-4)(5x²+3)
Solución.
_________________________________
b)
Factorar 12x²y²+xy-20
>
Multiplicando por 12:
=
12(12x²y²+xy-20)
=
(12xy)²+1(12xy)-240
>
Factorando:
=
[(12xy+16)(12xy-15)]/12
=
(12xy+16)/4 (12xy-15)/3
=
(3xy+4)(4xy-5) Solución.
_________________________________
c)
Factorar 6x²-11ax-10a²
>
Multiplicando por 6:
=
6(6x²-11ax-10a²)
=
(6x)²-11(6ax)-60a²
>
Factorando:
=
[(6x-15a)(6x+4a)]/6
=
(6x-15a)/3 (6x+4a)/2
=
(2x-5a)(3x+2a) Solución.
_________________________________
d)
Factorar 20-3x-9x²
=
-9x²-3x+20
(ordenado)
>
Introduciendo el trinomio entre paréntesis y cambiándole signo a
los términos; precedido
del
signo ( - ):
=
-(9x²+3x-20)
>
Multiplicando por 9:
=
-[9(9x²+3x-20)]
=
-[(9x)²+3(9x)-180]
>
Factorando:
=
-[(9x+15)(9x-12)]/9
=
-(9x+15)/3 (9x-12)/3
=
-(3x+5)(3x-4)
>
Eliminar el signo (-) que antecede a los factores; cambiándolo signo
a un factor: a (3x-4) y este se convertirá en (-3x+4):
=
(3x+5)(-3x+4)
>
Cambiando el orden del segundo
factor el resultado de la factorización quedaría:
=
(3x+5)(4-3x) Solución.
_______________________________
Ejercicio
101.
Factorar:
1)
6x⁴+5x²-6
=
6(6x⁴+5x²-6)
=
(6x²)²+5(6x²)-36
Factorando:
=
[(6x²+9)(6x²-4)]/6
=
(6x²+9)/3
(6x²-4)/2
=
(2x²+3)(3x²-2)
Solución.
________________________________
2)
5x⁶+4x³-12
=
5(5x⁶+4x³-12)
=
(5x³)²+4(5x³)-60
Factorando:
=
[(5x³+10)(5x³-6)]/5
=
(5x³+10)/5(5x³-6)/1
=
(x³+2)(5x³-6)
Solución.
_________________________________
3)
10x⁸+29x⁴+10
=
10(10x⁸+29x⁴+10)
=
(10x⁴)²+29(10x⁴)+100
Factorando:
=
[(10x⁴+25)(10x⁴+4)]/10
=
(10x⁴+25)/5
(10x⁴+4)/2
=
(2x⁴+5)(5x⁴+2)
Solución.
_________________________________
4)
6a²x²+5ax-21
=
6(6a²x²+5ax-21)
=
(6ax)²+5(6ax)-126
Factorando:
=
[(6ax+14a)(6ax-9a)]/6
=
(6ax+14a)/2
(6ax-9a)/3
=
(3ax+7)(2ax-3) Solución.
_________________________________
5)
20x²y²+9xy-20
=
20(20x²y²+9xy-20)
=
(20xy)²+9(20xy)-400
Factorando
=
[(20xy+25)(20xy-16)]/20
=
(20xy+25)/5
(20xy-16)/4
=
(4xy+5)(5xy-4) Solución.
_________________________________
6)
15x²-ax-2a²
=
15(15x²-ax-2a²)
=
(15x)²-1(15x)-30a²
Factorando:
=
[(15x-6a)(15x+5a)]/15
=
(15x-6a)/3 (15x+5a)/5
=
(5x-2a)(3x+a) Solución.
_________________________________
7)
12-7x-10x²
=
-10x²-7x+12
=
-(10x²+7x-12)
=
-[10(10x²+7x-12)]
=
-[(10x)²+7(10x)-120]
Factorando:
=
-[(10x)²+7(10x)-120]/10
=
-(10x+15)/5 (10x-8)/2
=
-(2x+3)(5x-4)
→
=
(2x+3)(-5x+4)
=
(2x+3)(4-5x) Solución.
_________________________________
8)
21x²-29xy-72y²
=
21(21x²-29xy-72y²)
=
(21x)²-29(21x)-1512
Factorando:
=
[(21x-56y)(21x+27y)]/21
=
(21x-56y)/7
(21x+27y)/3
=
(3x-8y)(7x+9y)
Solución.
________________________________
viernes, 19 de junio de 2020
Resolución de ecuaciones trinomias de grado superior al 2º por la fórmula de 2do. Grado.
Ecuaciones
Trinomias son las que constan de 3 términos de la forma ax²ⁿ
±bxⁿ
±c = 0; donde el 1er.
término tiene el exponente doble que en el 2º término y el 3º
término es independiente.
Estas
ecuaciones pueden escribirse a(xⁿ)²
±bx²
±c = 0.
Se resuelven por la Fórmula de ecuaciones de 2º grado y también por descomposición de factores.
___________________________________
Ejemplos:
a)
Resolver por la Fórmula 4x⁴-37x²
+9 = 0
→ 4(x²)²
-37x² +9 = 0
>
Aplicando la Fórmula para ecuación de 2º grado:
x²
= -(-37) ±√(-37)
-4(4)(9) / 2(4)
x²
= 37 ±√1369
-144 / 8
x²
= 37 ±√1225
/ 8
x²
= 37 ±35
/ 8
→
x²
= 37+35 / 8 = 9
x²
= 37-35 / 8 = ¼
→ encontrando
los valores para “x”
x²
= 9 → x = ±√9
→ x
= ±3
x²
= ¼ → x = ±√¼
→ x
= ±½
Solución:
3, 3, ½ , -½
______________________________
b)
Resolver por
factorización 3x⁴
-46x²
-32 = 0
>
Factorizando el trinomio:
=
3(3x⁴
-46x²
-32) /3
=
(3x²)²
-46(3x²)
-96 /3
=
(3x²-48)/3
(3x²+2)/1
→
(x²-16)(3x²+2)
= 0
>
Igualando a cero los factores:
x²-16
= 0 → x²
=
16 → x = ±√16
→ x
= ±4
3x²+2
= 0 → 3x²
=
-2 → x²
=
-⅔ → x
= √-⅔
=
±i√⅔
Solución:
4, -4, i√⅔,
-i√⅔
_________________________________
Ejercicio
283
Resolver
las ecuaciones, hallando las raíces:
1)
x⁴
-10x² +9 = 0
→ (x²)²
-10x² +9 = 0
x²
= -(-10) ±√(-10)²
-4(1)(9) / 2(1)
x²
= 10 ±√100
-36
/ 2
x²
= 10 ±√64
/ 2
x²
= 10 ±8
/2
→
x²
= 10 +8
/2 → x²
=
9 → x = ±√9
→ x
= ±3
x²
= 10 - 8
/2 → x²
=
1 → x = ±√1
→ x
= ±1
Solución:
±3
, ±1
________________________________
5)
x⁴
+3x²
-4
= 0
→
(x²)²
+3x²
-4
= 0
x²
= -(3)
±√(3)²
-4(1)(-4)
/ 2(1)
x²
= -3
±√9+16
/ 2
x²
= -3
±√25
/ 2
x²
= -3
±5
/
2
→
x²
= -3
+5
/
2 →
x²
= 1
→ x = ±√1
→ x
= ±1
x²
= -3
-5
/
2 →
x²
= -4
→ x = ±√-4 → x
= ±2i
Solución:
±1 , ±2i
_________________________________
7)
x⁴
-45x²
-196
= 0
→
(x²)²
-45x²
-196
= 0
x²
= -(-45)
±√(-45)²
-4(1)(-196)
/ 2(1)
x²
= 45
±√2025
+784
/ 2
x²
= 45
±√2809
/ 2
x²
= 45
±53
/ 2
→
x²
= 45
+53
/ 2 →
x²
= 49
→ x = ±√49
→ x
= ±7
x²
= 45
- 53
/ 2 →
x²
= -4
→ x = ±√-4
→
x
= ±2i
Solución:
±7
, ±2i
__________________________________
12)
4x⁴
+11x²
-3
= 0
→
4(x²)²
+11x²
-3
= 0
x²
= -(11)
±√(11)²
-4(4)(-3)
/ 2(4)
x²
= -11
±√121
+48
/ 8
x²
= -11
±√169
/ 8
x²
= -11
±13
/ 8
→
x²
= -11+13
/ 8
→ x²
= ¼
→ x = ±√¼
→ x
= ±½
x²
= -11-13
/ 8
→ x²
= -3
→ x = ±√-3
→ x
= ± i√3
Solución:
±½
, ±
i√3
__________________________________
14)
x²(3x²+2)
= 4(x²-3)+13
→ Factorizando:
3x⁴+2x²
= 4x²-12+13
3x⁴+2x²-4x²-1
= 0
3(x²)²
-2x² -1 = 0
→
x²
= -(-2) ±√(-2)
-4(3)(-1) /2(3)
x²
= 2 ±√4
+12 /6
x²
= 2 ±√16
/6
x²
= 2 ±4
/6
→
x²
= 2 +4
/6
→ x² = 1-→ x = ±√1-→ x
= ±1
x²
= 2 - 4
6
→ x² = -⅓ → x = ±√-⅓
→ x
= ±√⅓
i
Solución:
±1 , ±√⅓
i
________________________________
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