Ecuaciones Exponenciales.

.             7ˣ = 512

Son las ecuaciones en que la incógnita es el exponente de una cantidad.

Para resolver este tipo de ecuaciones, se aplican logaritmos a los dos miembros de la ecuación y se despeja la incógnita.

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Procedimiento:

1°) Se aplica la fórmula para el logaritmo de una potencia.

2°) Se busca el logaritmo del otro miembro de la ecuación.

3°) Encontrado los logaritmos se procede a realizar operaciones.

4°) Se despejan la incógnita (el exponente de la potencia).

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Ejemplos:

 a) Resolver la ecuación  3ˣ = 60

> Aplicando logaritmos:

x(Log 3) = Log 60

x(0.477121) = 1.778151

x = 1.778151/0.477121

x = 3.72   Solución.

b) Resolver la ecuación 5²ˣ⁻¹ = 125

> Aplicando logaritmos:

2x-1(Log 5) = Log 125

2x-1(0.698970) = 2.096910

2x = (2.096919/0.698970) +1

x = 3+1 /2

x = 2   Solución.

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Ejercicio 301.

1) Resolver  5ˣ =3

> Aplicando logaritmos:

x(log 5) = log 3

x = log 3/log 5

x = 0.477121/0.698970

x = 0.6826  Solución.

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5) Resolver 3ˣ⁺¹ = 729

> Aplicando logaritmos:

x+1(log3) = log729

x+1 = log729 / log3

x= (log729 / log3) -1

x = (2.862727 / 0.477121) -1

x = 6 -1

x = 5 Solución.

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9) Resolver 11²ˣ = 915

> Aplicando logaritmos:

2x(log11) = log915

2x = log915/log11

x = (log915/log11) / 2

x = (2.961421/1.04393) / 2

x = 2.843711/2

x = 1.42186 Solución.

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Dados los logaritmos de ciertos números hallar el logaritmo de otro sin usar la tabla.

Log 144

> 144 = 2² * 6²

--> Log144 = 2(Log2) + 2(Log6)

Procedimiento:

1) Se construye un producto de 2 factores, que pueden ser 2 potencias o una; cuyas bases sean los números dados y cuyo resultado sea igual al otro número dado.

2) Luego se aplica la fórmula para logaritmo de un producto y de una raíz.

3) Si los números que nos dan, su producto es mayor que el otro número dado, entonces se forma un cociente con factores que divididos nos den el otro número dado.

4) Para el inciso 3 se aplica la fórmula para logaritmo de un cociente.

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 Ejemplos:

a) dados Log 2 = 0.301030 y Log 3= 0.477121, hallar el Log de 108, sin usar la tabla.

> Descomponiendo 108 en factores que tengan cuadrado perfecto:

2² * 3³ = 4 * 27 = 108

> Formando una ecuación:

108 = 2² * 3³

> Resolviendo por medio de logaritmos:

Log 108 = 2(Log 2) + 3(Log 3)

…………. = 2(0.301030) + 3(0.477121)

…………. = 0.602060 + 1.431363

…………. = 2.033423  Solución.

> Buscamos el log 108 directamente:

Log 108 = 2.0334237

b) Dados log 115 = 2.060698 y log 5 = 0.698970, hallar el log 23.

>Formando una ecuación:

23 = 115/5

> Resolviendo por logaritmos:

Log 23 = Log 115 + Colog 5

……….. = 2.060698 + ⁻1.30103

……….. = 1.361728    Solución

> Buscamos el log 23 directamente:

Log 23 = 1.361728

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Ejercicio 300.

Dados log 2=0.301030 ,  log 3=0.477121,  log 5=0.608970,  log 7=0.845098  Hallar:

1) log 36

> Descomponemos el 36 en dos factores potencias con las bases 2 y 3:

2² * 3² = 4 * 9 = 36

> Formamos la una ecuación:

36 = 2² * 3²

> Resolvemos la ecuación por logaritmos:

Log 36 = 2(log 2) + 2(log 3)

Log 36 = 2(0.301030) + 2(0.477121)

Log 36 = 0.60206 + 0.954242

Log 36 = 1.556302  Solución.

> Buscamos el log 36 directamente:

Log 36 = 1.556302  Solución.

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2) Log 75

> Descomponemos 75 en dos factores con la base 5:

3 * 5² = 3 * 25 = 75

> Formamos una ecuación:

75 = 3 *5²

> Resolvemos por logaritmos:

Log 75 = log 3 + 2(log 5)

Log 75  = 0.477121 + 2(0.698970)

Log 75 = 0.477121 + 1.39794

Log 75 = 1.875061  Solución

> Buscamos log 75 directamente:

Log 75 = 1.875061

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Combinación de los casos de operaciones con logaritmos.

Aquí se aplican las diferentes fórmulas para logaritmo de un producto, de un cociente, de una potencia y  de una raíz;  de acuerdo con la expresión aritmética dada.
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Ejemplos:

a) Hallar el valor de (3284*0.09132) /715.84
> Aplicando las fórmulas correspondientes:
Log [(3284*0.09132)/715.84] =
= Log (3284*0.09132) + Colog 715.84
= (3.516403 + ⁻2.960566) + 3.145184
= 2.476969 + ⁻3.145184
= ⁻1.622153
> Antilog del resultado es
= 0.418941  Solución.

b) Hallar el valor de 100.39*0.03196 / 7.14*0.093
> Aplicando las fórmulas correspondientes:
Log [(100.39*0.03196)/(7.14*0.093)]=
= (Log 100.39 + Log 0.03196) – (Log 7.14 + Log 0.093)
= (2.001690 + ⁻2.504607) – (0.853698 + ⁻2.968483)
= 0.506297 + Colog ⁻1.822181
= 0.506297 + 0.177819
= 0.684116
= Antilog 0.684116
= 4.831878    Solución.

c) Hallar por logaritmos el valor de 3^⅖ * 5^⅔
> Aplicando las fórmulas correspondientes:
Log (3^⅖ * 5^⅔) =
= ⅖(Log 3) + ⅔(Log 5)
= ⅖(0.477121) + ⅔(0.698970)
= 0.190848 + 0.46598
= 0.656828
= Antilog 0.656828
= 4.5376  Solución. 

d) Hallar por logaritmos el valor de ³√(32.7*0.006)/(0.14*89.17)
> Aplicando los fórmulas correspondientes:
Log [³√(32.7*0.006)/(0.14*89.17)] =
= Log [(32.7*0.006)/(0.14*89.17)]/3
= [(Log 32.7 + Log 0.006) - (Log 0.14 + Log 89.17)]/3
= [(1.514548 + ⁻3.778151) + Colog (⁻1.146128 + 1.950219)]/3
= [(⁻1.292699) + Colog (1.096347)]/3
= [⁻1.292699) + ⁻2.903653]/3
= ⁻2.196352/3
= ⁻1.398784
Antilog ⁻1.398784
= 0.25048  Solución.
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Ejercicio 299.
Hallar por logaritmo el valor de las expresiones siguientes:

1) 515*78.19 /6.13
> Aplicando la fórmula para logaritmo de un producto, y de un cociente:
Log (515*78.19 /6.13) =
= (Log 515 + Log 78.19) – (Log 6.13)
= (2.711807 + 1.893151) + Colog 0.787460
= 4.604958 + ⁻1.212540
= 3.817498
Antilog de 3.817498 = 6568.98
= 6569.    Solución.
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11) 2^⅕ * 3^½ * 5^¾
> Aplicando la fórmula para logaritmo de una potencia y de un producto:
Log (2^⅕ * 3^½ * 5^¾) =
= ⅕(Log 2) + ½(Log 3) + ¾(Log 5)
= ⅕(0.301030) + ½(0.477121) + ¾(0.698970)
= 0.060206 + 0.238560 + 0.524227
= 0.822993
Antilog de 0.822993 =
= 6.6526   Solución.
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16) √(932.5 * 813.6 * 0.005)
> Aplicando la fórmula para logaritmo de un producto y de una raíz:
Log  [√(932.5 * 813.6 * 0.005)]
= (Log 932.5 + Log 813.6 + Log 0.005)/2
= (2.969649 + 2.910411 + ⁻3.698970)/2
= 3.57903 /2
= 1.789515
Antilog 1.789515
= 61.591   Solución.
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20) ⁵√(56813/22117)
> Aplicando la fórmula para logaritmo de un cociente y de una raíz:
Log ⁵√(56813/22117
= (Log 56813 – Log 22117)/5
= (4.754447 + Colog 4.344726)/5
= (4.754447 + ⁻5.655274)/5
= 0.409721/5
= 0.081944
Antilog 0.081944 =
= 1.20766  Solución.
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Valor de expresiones algebraicas por medio de logaritmos.

Logaritmo de a : Log a. 

Procedimiento:

1) Aplicar la fórmula correspondiente de acuerdo a la operación aritmética que se pide resolver:

Logaritmo de un Producto: es igual a la suma de los logaritmos de los factores. 

Log (a * b) = Log a + Log b.

Logaritmo de un Cociente: es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.

Log a/b = Log a – Log b.

Logaritmo de una Potencia: es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base. 

Log aⁿ = n(Log a).

Logaritmo de una Raíz: es igual al logaritmo de la cantidad subradical divido entre el índice de la raíz. 

Log ⁿ√a = Log a /n.

2) Aplicar en todos los casos las propiedades que corresponda según el tipo de logaritmo que se aplique.

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Ejemplos:

a) Hallar el valor de 1215 * 0.84 por logaritmos.

> Aplicando la fórmula para Log de un producto:

Log  (1215 * 0.84) =

= Log 1215 + Log 0.84

= 3.084576 + ⁻1.924279

= (3-1)+(0.084576 + 0.924279) (Se suman las características por separado y luego se suman las mantisas también separadas; pero éstas como positivas.

= 2 + 1.008855    (Finalmente se suma el total de las características y la suma de las mantisas).

= 3.008855

> Se encuentra el antilogaritmo del resultado:

Antilog  3.008855 = 1,020.60 Solución

> Realizando la operación aritméticamente:

1,215 * 0.84 = 1,020.60

b) Hallar por logaritmos el valor de 3214.8 * 0.003 * (-43.76)

> En este caso el factor -43.76 se debe tomar como positivo; pero al resultado final se le pone el signo menos.

> Aplicando la fórmula para logaritmo de un producto:

Log (3214.8 * 0.003* 43.76) =

Log 3214.8 + Log 0.003 + Log 43.76

= 3.507154 + ⁻3.477121 + 1.641077

= (3-3+1) + (0.507154 + 0.477121 +0.641077)

= 1 + 1.625352  = 2.625352

> Encontrando el Antilog del resultado:

Antilog  2.625352 = 422.0384 = -422.0384  Solución.

> Realizando la operación aritméticamente:

3214.8 * 0.003 * -43.76 = -422.0389

c) Hallar por logaritmos el valor de 0.765/39.14

> Aplicando la fórmula para logaritmo de un cociente:

Log (0.765/39.14) =

= Log 0.765 – Log 39.14

= ⁻1.883661 – 1.592621

> Aplicamos el cologaritmo del sustraendo (1.592621) para convertir la operación en suma:

Colog 1.592621 = ⁻2.407379

> la operación quedaría así:

⁻1.883661 + ⁻2.407379 =

= (-1-2) + (0.883661 + 0.407379)

= ⁻3 + 1.29104

= ⁻2.29104

> Aplicando el Antilogaritmo del resultado:

Antilog  ⁻2.29104 = 0.019545   Solución.

> Resolviendo el cociente aritméticamente:

0.765/39.14 = 0.019545

d) Hallar por logaritmos el valor de (7.5)⁶

> Aplicando la fórmula para logaritmo de una potencia:

Log (7.5)⁶ =

6(Log 7.5) =

=6(0.875061)

= 5.250366

> Aplicando el Antilogaritmo del resultado:

Antilog  5.250366 = 177,977.868   Solución.

> Operando la potencia aritméticamente:

(7.5)⁶ = 177,978.515

Nota: Generalmente la diferencia entre el valor hallado por logaritmos y el valor aritmético se debe a que los logaritmos no son rigurosamente exactos, sino aproximados.

e) Hallar por logaritmos el valor de ⁵√3

> Aplicando la fórmula para el logaritmo de una raíz:

Log ⁵√3 =

(Log 3)/5

= 0.477121/5

= 0.095424

> Aplicando el antilogaritmo al resultado:

Antilog 0.095424 = 1.24573  Solución.

> Resolviendo la raíz aritméticamente:

⁵√3 = 1.24573

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Ejercicio 298.

Hallar el valor de las siguientes expresiones por medio de logaritmos:

1)  532 * 0.184

> Aplicando la fórmula para logaritmo de un producto:

Log (532*0.184)

= Log 532 + Log 0.184

= 2.725912 + ⁻1.264818

= (2-1)+(0.725912+0.264818)

= 1 + 0.99073

= 1.99073

> Aplicando el antilogaritmo al resultado:

Antilog 1.99073 = 97.888  Solución.

> Resolviendo el producto aritméticamente:

532 * 0.184 = 97.888

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7) 8.125 ÷ 0.9324

> Aplicando la fórmula para logaritmo de un cociente:

Log (8.125 /0.9324)

= Log 8.125 – Log 0.9324 

= 0.909823 - ⁻1.969602

= 0.909823 + Colog ⁻1.969602

= 0.909823 + 0.030398

= 0.940221

> Aplicando el antilogaritmo al resultado:

Antilog 0.940221 = 8.7141  Solución.

> Resolviendo el cociente aritméticamente:

8.125 ÷ 0.9324 = 8.7141

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12)  0.15³

> Aplicando la fórmula para logaritmo de una potencia:

Log (0.15³) =

= 3(Log 0.15)

= 3(⁻1.823909)

= ⁻3.471727

= 0.003375    Solución.

< Resolviendo la potencia aritméticamente:

(0.15)³ = 0.003375

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19 )  ⁵√63

> Aplicando la fórmula para logaritmo de una raíz:

Log (⁵√63) =

= (Log 63)/5

= (1.799340)/5

= 0.359868

> El antilogaritmo del resultado es:

Antilog 0.359868 = 2.290   Solución.

> Resolviendo la raíz aritméticamente:

⁵√63 = 2.290

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Logaritmos.

Logaritmos.

Logaritmo de un número es el exponente a que hay que elevar otro número llamado base para obtener el número dado.

Sistemas de Logaritmos: 

1) Logaritmos Vulgares o de Briggs: cuya base es 10. 

2) Logaritmos Naturales o de Neper, cuya base es el número indeterminado.

Propiedades Generales de los Logaritmos:

1) La base de un sistema de logaritmos no puede ser negativa.

2) Los números negativos no tienen logaritmo, porque siendo su base positiva, todas sus potencias pares o impares, serán positivas.

3) En todo sistema de logaritmos, el logaritmo de la base es 1. (Log b = 1)

4) En todo sistema el logaritmo de 1 es cero. (Log 1 = 0)

5) Los números mayores que 1 tienen logaritmo positivo, porque siempre serán mayores que 0.

6) Los números menores que 1 tiene logaritmo negativo, porque siempre serán menores que 0.

Logaritmo de un Producto: es igual a la suma de los logaritmos de los factores.  Log (a * b) = Log a + Log b

Logaritmo de un Cociente:  es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.  Log a/b = Loga – Log b.

Logaritmo de una Potencia: es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base.  Log aⁿ = n(Log a).

Logaritmo de una Raíz: es igual al logaritmo de la cantidad subradical divido entre el índice de la raíz.  Log ⁿ√a = Log a /n.

Logaritmos Vulgares o de Briggs son aquellos cuya base es 10. Estos son los únicos números cuyos logaritmos son números enteros.

Log 1 = 0  ;  Log 10 = 1  ;  Log 100 = 2  ;  Log 1000 = 3  ; Etc.   y   Log 0.1 = ⁻1  ;  Log 0.01 = ⁻2  ;  Log 0.001= ⁻3 ; Etc.

Estructura de un logaritmo: (que  no sea de base 10)

Característica, que es la parte entera. ( 1.xxxxxx)

Mantisa, que es la parte decimal. (x.397940)

Valor de la Característica de un logaritmo. 

1) La característica del logaritmo de un número comprendido entre 1 y 10 es cero.

2) La característica del logaritmo de un número mayor que 10 es positiva y su valor absoluto es 1 menos que el número de cifras enteras del número.  125.8   -->  Característica es 2.

3) La característica del logaritmo de un número menor que 1 es negativa y su valor absoluto es 1 más que el número de ceros que hay entre el punto decimal y la primera cifra significativa decimal.   Log 0.07  -->  su característica es ⁻2.

Características negativas.

En Log de un número menor que 1 la característica es negativa, pero su mantisa siempre será positiva.  Al escribirse la característica negativa junto con su mantisa debe escribirse el 2  con una línea encima del ⁻2; y no -2.xxxxxx porque el signo a la par de la característica indicaría que la mantisa también es negativa.

Cologaritmo:

Se llama cologaritmo de un número al logaritmo de su inverso.

El cologaritmo es usado para transformar la sustracción en adición, aplicando el cologaritmo al sustraendo y convertirlo en un sumando.

Regla: La característica del cologaritmo se obtiene agregando 1 a la característica dada y cambiándole luego de signo al resultado;  la mantisa se obtiene restando de 9 todas las cifras a partir del punto decimal, excepto la última cifra significativa, que se resta de 10.

Ejemplo:  Colog 3.472 = (3+1).(9-4)(9-7)(10-2) = 4.528 = ⁻4.528   (Este es el nuevo sumando)

Nota: Ver en próximas publicaciones la parte práctica de los Logaritmos.