Descomponer un trinomio en factores, hallando las raíces.

Descomponer un trinomio en factores, hallando las raíces.

1) Se iguala el trinomio a cero y se hallan las raíces de la ecuación x₁ , x₂.

2) Se descompone el trinomio en tres factores:

a) El coeficiente de x².

b) “x” menos una de las raíces.

c) “x” menos la otra raíz.

3) Se simplifican los paréntesis.  

4) Se dividen los factores entre el coeficiente de x².

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Ejemplos:

a) Descomponer en factores el trinomio  6x²+5x-4

> Igualando a cero el trinomio

6x²+5x-4 = 0

> Hallando las raíces de la ecuación:

x = [-(5)±√(5)²-4(6)(-4)]/2(6)

x = [-5±√25+96]/12

x = [-5±√121]/12

x = [-5±11]/12

–>

x₁ = (-5+11)/12 = 6/12 = ½

x₂ = (-5-11)/12 = -16/12 = -4/3

> Descomponiendo la ecuación en factores:

6x² +5x -4

= 6(x-1/2)(x-(-4/3)

= 6(x-1/2)(x +4/3)

> Simplificando los  paréntesis y dividiendo

Los factores entre el coeficiente de x²

= 6(2x-1)(3x +4)

.            6

> Eliminando el 6 del numerador y el denominador:

(2x -1)(3x +4)     Solución.

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b) Descomponer en factores el trinomio 24x²+26x+5

> Igualando a cero el trinomio:

24x²+26x+5 = 0

> Hallando las raíces de la ecuación:

x = [-(26)±√(26)²-4(24)(5)]/2(24)

x = [-26±√676-480]/48

x = [-26±√196]/48

x = [-26±14]/48

–>

x₁ = (-26+14)/48 = -12/48 = – ¼

x₂ = (-26-14)/48 = -40/48 = – 5/6

> Descomponiendo la ecuación en factores:

24x²+26x+5 = 0

= 24[x-(-1/4)][x-(-5/6)]

= 24(x +1/4)(x +5/6)

> Simplificando los paréntesis

= 24(4x+1)(6x+5)

> Dividiendo los factores entre el coeficiente de x²

= 24(4x+1)(6x+5)

.          24

(4x+1)(6x+5)    Solución.

________________________________________

c) Descomponer en factores el trinomio 4+7x-15x²

> Ordenando el trinomio e igualándolo a cero y

cambiando el signo a los términos.

-15x²+7x+4 = 0

15x²-7x-4 = 0

> Hallando las raíces de la ecuación:

x = [-(-7)±√(-7)²-4(15)(-4)]2(15)

x = [7±√49+240]/30

x = [7±√289]/30

x = [7±17]/30

–>

x₁ = (7+17)/30 = 24/30 = 4/5

x₂ = (7-17)/30 = -10/30 = – 1/3

> Descomponiendo la ecuación en factores:

-15x²+7x+4 = 0

= -15[x-(4/5)][x-(-1/3)

= -15(x -4/5)(x +1/3)

> Simplificando los paréntesis y dividiendo

Entre el coeficiente de x²

= -15(5x-4)( 3x+1)

.          15

> Eliminando el 15 del numerador y el denominador:

= -(5x-4)(3x+1)

= (-5x+4)(3x+1)          <– * Ver nota

= (4-5x)(1+3x)     Solución.

* Nota: Como el primer factor –(5x+4), tiene un signo “-“ antes del paréntesis, se elimina cambiándole el signo a lo que está dentro y luego se cambia de orden de los elementos para dejar de primero el elemento positivo; como  consecuencia se cambia el orden de los elementos del otro factor (3x+1), pero estos sin cambiarles el signo.   

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Ejercicio 280.

Descomponer en factores, hallando las raíces:

1) x²-16x+63

> Igualando a cero el trinomio:

x²-16x+63 =  0

> Hallando las raíces de la ecuación:

x = [-(-16)±√(-16)²-4(1)(63)]/2(1)

x = [16±√256-252]/2

x = [16±√4]/2

x = [16±2]/2

–>

x₁ = (16+2)/2 = 18/2 = 9

x₂ = (16-2)/2 = 14/2 = 7

> Descomponer la ecuación en factores:

x²-16x+63 =  0

= 1(x-9)(x-7)

= (x-9)(x-7)     Solución.

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3) x²-26x-155

 > Igualando el trinomio a cero:

x²-26x-155 = 0

> Hallando las raíces de la ecuación:

x = [-(-26)±√(-26)²-4(1)(-155)]/2(1)

x = [26±√676+620]/2

x = [26±√1296]/2

x = [26±36]/2

–>

x₁ = (26+36)/2 = 62/2 = 31

x₂ = (26-36)/2 = -10/2 = -5

> Descomponiendo el trinomio en factores:

x²-26x-155

= 1(x-31)(x-(-5))

= (x-31)(x+5)   Solución.

_________________________________________

8) 12x²-25x+12

> Igualando el trinomio a cero:

12x²-25x+12 = 0

> Hallando las raíces de la ecuación:

x = [-(-25)±√(-25)²-4(12)(12)]/2(12)

x = [25±√(625-576]/24

x = [25±√49]/24

x = [25±√7]/24

–>

x₁ = (25+7)/24 = 32/24 = 4/3

x₂ = (25-7)/24 = 18/24 = ¾

> Descomponiendo el trinomio en factores:

12x²-25x+12

= 12(x – 4/3)(x – 3/4)

> Simplificando los paréntesis y dividiendo

Entre el coeficiente de x²:

12(3x-4)(4x-3)

.          12

> Eliminando 12 del numerador y el denominador:

(3x-4)(4x-3)   Solución.

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11) 30x²-61x+30

> Igualando el trinomio a cero:

30x²-61x+30 = 0

> Hallando las raíces de la ecuación:

x = [-(-61)±√(-61)²-4(30)(30)]/2(30)

x = [61±√3721-3600]/60

x = [61±√121]/60

x = [61±11]/60

–>

x₁ = (61+11)/60 = 72/60 = 6/5

x₂ = (61-11)/60 = 50/60 = 5/6

> Descomponiendo el trinomio en  factores:

30x²-61x+30

30(x -6/5)(x -5/6)

> Simplificando el paréntesis y dividiendo

entre el coeficiente de x²

30(5x-6)(6x-5)

.         30

> Eliminando el 30 del numerador y el denominador:

(5x-6)(6x-5)   Solución.

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16) 4+13x-12x²

> Ordenando el trinomio e igualándolo a cero:

-12x²+13x+4 = 0

12x²-13x-4 = 0

> Hallando las raíces de la ecuación:

x = [-(-13)±√(-13)²-4(12)(-4)]/2(12)

x = [13±√169+192]/24

x = [13±√361]/24

x = [13±19]/24

–>

x₁ = (13+19)/24 = 32/24 = 4/3

x₂ = (13-19)/24 = -6/24 = – ¼

> Descomponiendo el trinomio en factores:

-12x²+13x+4

-12(x – 4/3)(x –(-1/4)

> Simplificando los paréntesis y dividiendo

entre el coeficiente de x²

-12(3x-4)(4x+1)

.        12

> Eliminando el 12 del numerador y el denominador:

-(3x-4)(4x+1)

> Resolviendo el signo menos antes del primer factor

(-3x+4)(4x+1)

> Cambiando el orden de los elementos de los factores.

para dejar como primer elemento un positivo:

(4-3x)(1+4x)    Solución.

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Dada la suma y el producto de dos números, hallar los números.

1) Se construye la ecuación x²+bx+c = 0 :  donde le 1° término será x²; el 2° término será la suma de los números con el signo cambiado, y el 3° término será el producto de los números con su propio signo.

2) Si al construir x²+bx+c = 0 , la suma y/o el producto de los números, es o son fracciones, toda la ecuación se debe dividir entre el m.c.m. de los denominadores, con lo que la ecuación cambiará a la forma ax²+bx+c = 0.

3) Para ambos casos, es recomendable usar la fórmula general o por medio de factorización.

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Ejemplos:

a) La suma de dos números es 4 y su producto es -396, hallar los números:

> Construyendo la ecuación:

x² -4x -396 = 0

> Aplicando la fórmula:

x = [-(b)±√(b)²-4ac]/2(a)

x = [-(-4)±√(-4)²-4(1)(-396)]/2(1)

x = [4±√16+1584]/2

x = [4±√1600]/2

x = (4±40)/2

–>

x₁ = (4+40)/2 = 44/2 = 22

x₂ = (4-40)/2 = -36/2 = -18

b) La suma de dos números es -35/4 y su producto 6.  Hallar los números.

> Construyendo la ecuación:

x²+35/4x+6 = 0

> Convirtiendo la ecuación a la forma ax+bx+c = 0:

x²+35/4x+6 = 0 ÷ 4

4x²+35x+24 = 0

> Resolviendo por la fórmula:

x = [-(35)±√(35)²-4(4)(24)]/2(4)

x = [-35±√1225-384]/8

x = [-35±√841]/8

x = [-35±29]/8

–>

x₁ = (-35+29)/8 = -6/8 = – ¾

x₂ = (-35-29)/8 = -64/8 = -8

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Ejercicio 279.

(Aquí utilizaré la fórmula en algunos casos y en otros la fórmula y la factorización, para que veas cual es más fácil y menos laboriosa)

Encontrar dos números sabiendo que

1) La suma es 11 y el producto es 30.

> Construyendo la ecuación:

x²-11x+30 = 0

> Resolviendo por fórmula:

x = [-(-11)±√(11)²-4(1)(30)]/2(1)

x = [11±√121-120]/2

x = [11±√1]/2

x = [11±1]/2

–>

x₁ = (11+1)/2 = 12/2 = 6

x₂ = (11-1)/2 = 10/2 = 5

> Resolviendo por factorización:

x²-11x+30 = 0

(x-6)(x-5) = 0

> Igualando los factores a cero:

x-6 = 0  –>  x₁ = 6

x-5 = 0  –>  x₂ = 5

__________________________________________________

2) La suma es -33 y el producto 260.

> Construyendo la ecuación:

x²+33x+260 = 0

> Resolviendo por la fórmula:

x = [-(33)±√(33)²-4(1)(260)]/2(1)

x = [-33±√1089-1040]/2

x = [-33±√49]/2

x = [-33±7]/2

–>

x₁ = (-33+7)/2 = -26/2 = -13

x₂ = (-33-7)/2 = -40/2 = -20

> Resolviendo por factorización:

x²+33x+260 = 0

(x+13)(x+20) = 0

> Igualando los factores a cero:

x+13 = 0  –>  x₁ = -13

x+20 = 0  –>  x₂ = -20

__________________________________________________ 

6) La suma es 3/2 y su producto -1

> Construyendo la ecuación:

x² -3/2x -1 = 0

Convirtiendo a la forma ax²+bx+c = 0

x² -3/2x -1 = 0 ÷ 2

2x ²-3x -2 = 0

> Resolviendo por la fórmula:

x = [-(-3)±√(-3)²-4(2)(-2)]/2(2)

x = [3±√9+16]/4

x = [3±√25]/4

x = [3±5]/4

–>

x₁ = (3+5)/4 = 8/4 = 2

x₂ = (3-5)/4 = -2/4 = – ½

> Resolviendo por factorización:

2x²-3x-2 = 0

(2x)²-3(2x)-4 = 0

(2x-4)(2x+1) = 0

.   2        1

(x-2)(2x+1) = 0

> Igualando los factores a cero:

x-2 = 0 –>  x₁ = 2

2x+1 = 0  –>  x₂ = – ½

__________________________________________________

8) La suma es ¼ y su producto -3/8

> Construyendo la ecuación:

x² -1/4x -3/8 = 0

> Convirtiendo la ecuación a la forma ax²+bx+c = 0

 x² -1/4x -3/8  ÷ 8

8x² -2x -3 = 0

> Resolviendo por la fórmula:

x = [-(-2)±√(-2)²-4(8)(-3)]2(8)

x = [2±√4+96]/16

x = [2±√100]/16

x = [2±10]/16

–>

x₁ = (2+10)/16 = 12/16 = ¾

x₂ = (2-10)/16 = -8/16 = – ½

> Resolviendo por factorización:

8x² -2x -3 = 0

(8x)² -2(8x)-24 = 0

(8x-6)(8x+4) = 0

.   2        4

(4x-3)(2x+1) = 0

> Igualando los factores a cero:

4x-3 = 0   –>  x₁ =  ¾

2x+1 = 0  –>  x₂ = – ½

Determinar la ecuación de 2o. grado, dadas las raíces.

1) Si las raíces son enteras, la ecuación será x²+bx+c = 0 .

Donde el primer término será igual a x²; el segundo será la suma de las raíces dadas, con el signo cambiado; y  el tercer término será igual al producto de las raíces con su  mismo signo.

2) Si al menos una de las raíces es fraccionaria, la ecuación será ax²+bx+c = 0.   

La ecuación resultante nos dará x² como primer término; y el 2° y 3° términos después de aplicar las propiedades de las raíces, puede darnos coeficientes fraccionarios; por lo que se procede a convertir la ecuación a la forma ax²+bx+c = 0, dividiendo está ecuación entre el m.c.m. de los denominadores de los coeficientes del  2° y 3° términos.

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Ejemplos:

a)  Determinar la ecuación de 2° grado, dadas sus raíces 3 y -5

> Aplicando las propiedades:

3+(-5) = 3-5 = -2 , cambiando signo = 2

(3)(-5) = -15

Entonces la ecuación será: x²+2x-15 = 0

b) Determinar la ecuación de 2° grado, dadas sus raíces 2 y -3/4

> Aplicando las propiedades:

2+(-3/4) =2 -3/4 = 5/4 , cambiando el signo = – 5/4

(2)(-3/4) = – 3/2

Entonces la ecuación será: x² -5/4x -3/2 = 0

> Convirtiendo la ecuación a la forma ax²+bx+c = 0

x²-5/4x-3/2 = 0  ÷ 4    ( 4 es el m.c.m. de 2 y 4)

4x²-5x-6 = 0  Ecuación final.

c) Hallar la ecuación cuyas raíces son -4 y -3/5

> Aplicando las propiedades:

-4+(-3/5) = -4 -3/5 = -23/5 , cambiando signo = 23/5

(-4)(-3/5) = 12/5

Entonces la ecuación será x²+23/5x+12/5 = 0

> Convirtiendo la ecuación a la forma ax²+bx-c = 0

x²+23/5x+12/5 = 0  ÷ 5

5x²+23x+12 = 0 , que es la ecuación final.

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Ejercicio 278.

Determinar las ecuaciones cuyas raíces son:

1) 3 y 4

> Aplicando las propiedades:

3+4 = 7 , cambiando signo = -7

(3)(4) = 12

Entonces la ecuación es:  x²-7x+12 = 0

 _________________________________________________

2)  -1 y 3

> Aplicando las propiedades:

-1+3 = 2 , cambiando el signo = -2

(-1)(3) = -3

Entonces la ecuación es:  x² -2x -3 = 0

 _________________________________________________

5) 1 y ½

> Aplicando las propiedades:

1+1/2 = 3/2 ,  cambiando signo = -3/2

(1)(1/2) = 1/2

Entonces la ecuación es:  x² -3/2x +1/2 = 0

> Convirtiendo la ecuación a la forma ax²+bx+x = 0

x²-3/2x+1/2 = 0  ÷ 2

2x² -3x +1 = 0 , que es la ecuación final.

 _________________________________________________

9) -1/2  y  3/4

> Aplicando las propiedades:

-1/2+3/4 = ¼  , cambiando signo = -1/4

(-1/2)(3/4) = -3/8

Entonces la ecuación es:  x² -1/4x -3/8 = 0

> Convirtiendo la ecuación a la forma ax²+bx+c = 0

x² -1/4x -3/8 = 0  ÷  8

8x² -2x -3 = 0, que es la ecuación final.

Propiedades de las raíces de la ecuación de 2o. grado.

Suma de raíces = -(b)/a    ;   Producto de raíces = c/a

Cuando  la ecuación general de 2° grado es  ax²+bx+c = 0:

1) Suma de las raíces:  es igual al coeficiente del segundo término con el signo cambiado partido por el coeficiente del primer término  -b/a.

2) El producto de las raíces: es igual al tercer término de la ecuación con su propio signo partido por el coeficiente del primer término  c/a.

Cuando la ecuación es de la forma x²+bx+c = 0:

Podemos decir que: toda ecuación de 2° grado en que el coeficiente del primer término es 1; 

1) La suma de sus raíces es igual al coeficiente del segundo término con el signo cambiado.

2) El producto de las raíces es igual al tercer término con su propio signo.

Ahora bien, la ecuación general de 2° grado (ax²+bx+c = 0)  puede cambiarse a la forma x²+bx+c = 0; dividiendo todos sus términos entre el coeficiente del primer término. Y proceder a encontrar la suma y el producto como si fuera de la forma x²+bx+c = 0.

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Ejemplos:

a) Hallar si 2 y -5 son raíces de la ecuación x²+3x-10 = 0

> Aplicando las propiedades:

x₁+x₂ = 2+(-5) = 2-5 = -3 –> cambiando signo es = 3

x₁x₂ = (2)(-5) = -10

–>  2 y -5 si son raíces de la ecuación  x²+3x-10 = 0

b) Hallar si -3 y –½ son raíces de la ecuación 2x²+7x+3 = 0

> Convirtiendo la ecuación dada a la forma x²+bx+c = 0,

Dividiéndola entre el coeficiente de x², que es 2:

x²+7/2x+3/2 = 0

> Aplicando las propiedades de la suma y del producto:

x₁+x₂= -3+(-½) =-3 – ½ = -7/2, Cambiando signo es = 7/2

x₁x₂ = (-3)(-½) = 3/2   

–> -3  y  –½  si son raíces de la ecuación convertida.

c) Hallar si 1  y  -2/3 son raíces de 3x²+x-2 = 0

> Convirtiendo la ecuación dada a la forma x²+bx+c = 0

Dividiéndola entre el coeficiente de x², que es 3:

x²+1/3x – 2/3 = 0

> Aplicando las propiedades de la suma y el producto:

x₁+x₂= 1+(-2/3) = 1 – 2/3 = 1/3,  cambiando signo es = -1/3  (Atención)

x₁x₂ = (1)(-2/3) = – 2/3  

Respuesta: 1  y  -2/3 no son raíces de la ecuación dada, porque -1/3

.                    no es igual a (+1/3) de la ecuación convertida)

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Ejercicio 277.

Determinar por las propiedades de las raíces, si

1) 2 y -3 son raíces de la ecuación x²+x-6 = 0

> Aplicando las propiedades:

2+(-3) = 2-3 = -1, cambiando signo = 1

(2)(-3) = -6

Solución: sí, son las raíces de la ecuación.

__________________________________________________ 

2) 1 y 5 son raíces de x²-4x-5 = 0

> Aplicando las propiedades:

1+5 = 6, cambiando signo = -6

(1)(5) = 5

Solución:  no son las raíces de la ecuación.

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3) 1 y -1/2 son raíces de 2x²-x-1 = 0

> Convirtiendo la ecuación a la forma x²+bx+c = 0

2x²-x-1 ÷ 2 =

x²-1/2x-1/2 = 0

x²-1/2x-1/2 = 0

> Aplicando las propiedades:

1+(-1/2) = 1 -1/2 = ½ , cambiando signo = – ½

(1)(-1/2) = – ½

Solución: Sí, son las raíces de la ecuación convertida.

_________________________________________________ 

4) -3 y 1/3 son raíces de 3x²+8x-3 = 0

> Convirtiendo la ecuación a la forma x²+bx+c = 0

3x²+8x-3 = 0 ÷ 3 =

x²+8/3x-3/3 = 0

x²+8/3x-1 = 0

> Aplicando las propiedades:

-3+1/3 = -8/3 , cambiando signo = 8/3

(-3)(1/3) = – 1

Solución: sí, son las raíces de la ecuación convertida.

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Carácter de las raíces de la ecuación de 2o. grado.

Carácter  -->  b²-4ac  -->  Discriminante

La ecuación de 2° grado tiene solamente dos raíces:

 x₁=[-b+((b)^2-4ac)]/2a        y      x₂=[-b-√((b)^2-4ac)]/2a  

El carácter de estas raíces depende del valor del binomio  b²-4ac, el cual se llama Discriminante de la ecuación de 2° grado.

En esta discriminante se consideran tres casos:

1) Cuando b²-4ac  es una cantidad positiva; las raíces son reales y desiguales, y si es cuadrado perfecto son racionales.

2) Cuando b²-4ac  es cero (0); las raíces son reales e iguales.

3) Cuando b²-4ac  es una cantidad negativa; las raíces son imaginarias y desiguales.

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Ejemplos:

Determinar el carácter de las raíces de:

a) 3x²-7x+2 = 0

> Desarrollando la discriminante:

b²-4ac = (-7)²-4(3)(2) = 49-24 = 25

-->  Como 25 es positivo; las raíces son reales y desiguales (5, -5).  Y como 25 es cuadrado perfecto; las raíces son racionales (5*5 , ó -5*-5).

b) 3x²-2x-6 = 0

> Desarrollando la discriminante:

b²-4ac = (-2)²-4(3)(-6) = 4+72 = 76

--> Como 76 es positivo; las raíces son reales y desiguales.  Y como 76 no es cuadrado perfecto; las raíces son irracionales.

c) 4x²-12x+9

> Desarrollando la discriminante:

b²-4ac = (-12)²-4(4)(9) = 144-144 = 0

--> Como es cero (0); las raíces son reales e iguales.

d) x²-2x+3

> Desarrollando la discriminante:

b²-4ac = (-2)²-4(1)(3) = 4-12 = -8

--> Como -8 es negativo; las raíces son imaginarias.

______________________________________

Ejercicio 276.

Determinar el carácter de las siguientes ecuaciones, solamente por la discriminante b²-4ac:

1) 3x²+5x-2 = 0

> Desarrollando la discriminante:

(5)²-4(3)(-2) = 25+24 = 49

--> Las raíces son reales, desiguales y racionales.

___________________________________________________ 

2) 2x²-4x+1 = 0

 > Desarrollando la discriminante:

(-4)²-4(2)(1) = 16-8 = 8

--> Las raíces son reales, desiguales e irracionales.

 __________________________________________________

3) 4x²-4x+1

> Desarrollando la discriminante:

(-4)²-4(4)(1) = 16-16= 0

--> Las raíces son reales e iguales.

 __________________________________________________

4) 3x²-2x+5 = 0

> Desarrollando la discriminante:

(-2)²-4(3)(5) = 4-50 = -46

--> Las raíces son imaginarias.

 __________________________________________________

5) x²-10x+25= 0

> Desarrollando la discriminante:

(-10)²-4(1)(25) = 100-100 = 0

--> Las raíces son reales e iguales.

 __________________________________________________

6) x²-5x+5 = 0

> Desarrollando la discriminante:

(-5)²-4(1)(5) = 25-20 = 5

--> Las raíces son reales, desiguales e irracionales.

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