Multiplicación de cantidades complejas.

(4 +7√-1)(-3 -2√-1)

La multiplicación de cantidades complejas se efectúa como cualquier expresión compuesta. Solo hay que tener presente las potencias de cantidades imaginarias que dice que (√-1)² = -1

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Ejemplo:

Multiplicar 3 +5√-1 por 4 – 3√-1

3 +5√-1

4 – 3√-1 .

12 +20√-1

. - 9√-1 -15(√-1)²

12 +11√-1 -15(-1)

> Simplificando:

= 12 +11√-1 +15

= 27 +11√-1

= 27 +11i Solución.

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Ejercicio 261

Multiplicar:

1) 3 - 4√-1 por 5 – 3√-1
3 - 4√-1

5 – 3√-1 .

15 – 20√-1

. - 9√-1 +12(√-1)²

15 – 29√-1 +12(-1)

>

= 15-12 – 29√-1
= 3 -29i Solución.

4) 8 - √-9 por 11 + √-25
= (8 - √-9)(11 + √-25)
= (8 - √3²√-1)(11 + √5²√-1)
= (8 -3√-1)(11 +5√-1)
= 8 – 3√-1
. 11 +5√-1 .
88 -33√-1
. 40√-1 - 15(√-1)²
88 +7 √-1 - 15(-1)
= 88 +15 +7√-1

= 103 +7i Solución.

7) √2 +√-5 por √3 +√-2
= (√2 +√-5)(√3 +√-2)
= (√2 + √5√-1)(√3 + √2√-1)
= √2 + √5√-1
. √3 + √2√-1 .
. √6 + √15√-1
. √4√-1 + √10(√-1)²
. √6 + √19√-1 + √10(-1)
= √6 + √19√-1 - √10
= √6 - √10 + √19√-1
= (√6 - √10) + (√4+15)√-1
= (√6 - √10) + (√2²+15)√-1

= (√6 - √10) + (2+√15)√-1

= (√6 - √10) + (2+√15)i

Nota: (√6 - √10) Estos radicales solo se deja indicada la operación, porque no son semejantes, y no se pueden convertir a semejantes porque los valores 6 y 10 al factorizarlos, ninguno de sus factores tienen cuadrado. Ver ejercicio 238.)

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Diferencia de dos cantidades complejas conjugadas.

7 +3√-1 de 7 -3√-1

Teorema: La diferencia de dos cantidades complejas conjugadas es una imaginaria pura.

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Procedimiento:

1) Se le cambian los signos al sustraendo.

2) Se copian los términos del minuendo y a continuación se copian los términos del sustraendo con los signos cambiados.

3) Se simplifican los términos semejantes hasta llegar a la mínima expresión. ±bi

Nota. Se puede operar de otra manera: Copiando el minuendo y debajo de éste se copia el sustraendo con los signos cambiados. Y se procede como una suma vertical.

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Ejemplo:

Restar 5 +3√-1 de 5 -3√-1

(5 +3√-1) - (5 -3√-1)

= 5 + 3√-1 -5 +3√-1

= (5-5) + (3√-1 +3√-1)

= 0 + 6√-1

= 6i Solución.

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Ejercicio 260.

1) De 2 -√-1 restar 2 +√-1

(2 - √-1) - (2 +√-1)

= 2 -√-1 -2 -√-1

= (2-2) + (-√-1 -√-1)

= 0 + (-2√-1)

= -2i Solución.

3) De -3 -7√-1 restar -3 +7√-1
(-3 -7√-1) - (-3 +7√-1)
=-3 -7√-1 +3 -7√-1
= (-3+3) + (-7√-1 -7√-1)
= 0 + -14√-1

= -14i Solución.

5) Restar √2 - √-3 de √2 + √-3
(√2 +√-3) - (√2 - √-3)
= √2 +√-3 -√2 + √-3
= (√2 -√2) + (√-3 + √-3)
= 0 + 2√-3
= 2√3√-1
= 2√3i Solución.

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Resta de cantidades complejas.

(3 -2√-1) - (5 +3√-1)

Procedimiento:

1) Se le cambian los signos al sustraendo.
2) Se copian los términos del minuendo y a continuación se copian los términos del sustraendo que se les cambio el signo.
3) Se simplifican los términos semejantes hasta llegar a la mínima expresión. a ±bi
Nota. Se puede operar de otra manera: Copiando el minuendo y debajo de éste se copia el sustraendo con los signos cambiados. Y se procede como una suma vertical.

Ej.: a ±b√-1

. a ±b√-1 Sumar
.   total
Para efecto de esta publicación se procedió de la primera manera explicada.

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Ejemplos:

a) de 5 +7√-1 restar 4 +2√-1

(5 +7√-1) - (4 +2√-1)

5 +7√-1 -4 -2√-1 (cambiándole signos al sustraendo)

= (5-4) + (7-2)√-1 (sumando los valores)

= 1 +5√-1 (simplificando los resultado)

= 1 +5i Solución.

b) Restar -3 – 7√-1 de 8 – 11√-1

Ordenando el dividendo y sustraendo:

(8 – 11√-1) - (-3 – 7√-1)

= 8 – 11√-1 +3 +7√-1

= (8 +3) +(-11+7)√-1

= 11 +(-4)√-1

= 11 - 4√-1

= 11 - 4i Solución.

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Ejercicio 259.

3) De -1 -1√-1 restar -7 -8√-1

(-1 - 1√-1) - (-7 -8√-1)

= -1 -1√-1 +7 +8√-1

= (-1+7) + (-1+8)√-1

= 6 +7√-1
= 6 +7i Solución.

5) Restar 8 -7√-1 de 15 -4√-1
(15 -4√-1) - (8 -7√-1)
= 15 -4√-1 -8 +7√-1
= (15-8) + (-4+7)√-1
= 7 +3√-1
= 7 +3i Solución.

7) De 5 - √-25 restar 3 +6i

(5 - √-25) - (3 +6i)

= (5 - √5²√-1) - (3 +6i)
= (5 - 5√-1) - (3 +6i)
= (5 - 5i) - (3 +6i)
= 5 – 5i -3 -6i

= (5-3) + (-5-6)i

= 2 +(-11)i
= 2 -11i Solución.

9) Restar √3 +6√-1 de √2 -5√-1
(√2 -5√-1) - (√3 +6√-1)
= √2 -5√-1 -√3 -6√-1
= (√2 -√3) + (-5-6)√-1
= (√2 -√3) + (-11)√-1
= (√2 +√3) – 11√-1
= (√2 -√3) – 11i Solución.

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Suma de cantidades complejas conjugadas.

.                        5 -4√-1 , 5 +4√-1

Teorema: La suma de dos cantidades complejas conjugadas es una cantidad real.

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Procedimiento:

1) Se suman las valores reales independientes de los radicales.

2) Se suman los coeficientes de las cantidades imaginarias.

3) Se simplifica si es necesario y la solución será un número real.

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Ejemplo:

Sumar 5 +3√-1 y 5 -3√-1
(5 +3√-1) + (5 -3√-1)

= (5+5) +(3-3)√-1

= 10 +0√-1

= 10 Solución.

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Ejercicio 258.

Sumar:

1) 7 -2√-1 , 7 +2√-1

(7 -2√-1) + (7 +2√-1)

= (7+7) +(-2+2)√-1

= 14 +0√-1

= 14 Solución.

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3) 9 +i√3 , 9 -i√3
(9 +i√3) + (9 -i√3)
= (9+9) + 0 (más cero (0) porque +i√3-i√3= 0)

= 18 Solución.

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5) 8 -3√-2 , 8 +3√-2

(8 -3√-2) + (8 +3√-2)

= (8+8) + 0

= 16 Solución.

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6) √2 +i√3 , √2 -i√3

(√2 +i√3) + (√2 -i√3)

= (√2+√2) + 0

= 2√2 Solución.

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