Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción. Caso V.

.                            

Procedimiento:

Se comprueba si el trinomio es cuadrado perfecto, extrayendo la raíz cuadrada al primer y tercer término; las raíces cuadradas de estos términos se multiplican por 2, y este producto se compara con el segundo término del trinomio dado.

Si el 2º término del trinomio no es igual al producto encontrado, no es cuadrado perfecto.  Por lo que se procede a convertirlo en un trinomio cuadrado perfecto, de la siguiente manera:

Se le suma al 2º término la diferencia que falta para que sea igual a producto encontrado en la comprobación del trinomio; y además para que el trinomio dado no varíe hay que restarle esta misma diferencia a todo el trinomio.

Por último se encuentra el resultado como en una diferencia de cuadrados perfectos (Caso IV).

_________________________________________

Ejemplo:  Factorar    x⁴ +x²y² +y⁴

1º) Comprobar si el trinomio es cuadrado perfecto:

raíz cuadrada de x⁴ = x²      ;     Raíz cuadrada de y⁴ = y²

el 2º  término debiera ser  2(x²)(y²) = 2x² y²

Comparando 2º término (2x²y²) - (x²y²) = x²y²  lo que le falta

2º) Convirtiendo a trinomio cuadrado  perfecto, sumando la diferencia que falta al 2º término y restando la misma diferencia al trinomio dado, así:

x₄ + x²y² + y⁴                     (Trinomio original)

.   + x²y²         - x²y²     (sumando y restando lo que le hace falta)

________________

x⁴ +2x²y² +y⁴  -x²y²  = (x⁴ +2x²y² +y⁴) -x²y² (resultado de convertir el trinomio)

3º) Factorando el trinomio cuadrado perfecto Caso III:

(x⁴ +2x²y² +y⁴)  - x²y² =  (x² + y²)² - x²y²

4º) Factorando la diferencia de cuadrados Caso IV:

(x² + y²)² - x²y²  = (x² +y² +xy)(x²y² -xy)

Ordenado sería = (x² +xy +y²)(x² -xy+y²) <-- Solución

__________________________________________

Ejercicio 96 del Libro.

1) Factorar a⁴+a²+1 = 

>  Comprobando si es trinomio cuadrado perfecto:

Raíz cuadrada de a⁴ = a²     ;   raíz cuadrada de 1 = 1

El 2º término debe ser: 2(a²)(1) =  2a²

>  Comparando los 2ºs términos:  2a² - a² = a²  <--lo que falta.

>  Convirtiendo a cuadrado perfecto (sumando lo que falta al 2º término y restando la diferencia que falta al trinomio dado):

a⁴ + a²  + 1

.   + a²        -a²

____________

a⁴ +2a² + 1 -a²  =  (a⁴ +2a² +1) - a²

>  Factorando el trinomio cuadrado perfecto como en el Caso III:

(a⁴ +2a² +1) - a² =  (a² +1)² - a²

>  Factorando como diferencia de cuadrados perfectos:

(a² +1)² - a² = (a² +1 +a)(a² +1 -a)  

ordenado quedaría así (a² +a+1)(a²-a+1)  <--Solución

_________________________________________

2) Factorar m⁴+m²n²+n^4 

>> Comprobando si es trinomio cuadrado perfecto:

Raíz² de  m⁴ = m²    ;   raíz² de n⁴ = n²

--> el 2º término debe ser: 2(m²)(n²) = 2m²n²

Comparando los 2ºs términos:  2m²n² - m²n² = m²n² <-- le falta

>> Convirtiendo a trinomio cuadrado perfecto:

m⁴ + m²n² + n⁴

.    + m²n²         - m²n²

__________________

m⁴ +2m²n² + n⁴ - m²n²  =  (m⁴+2m²n²+n⁴) -m²n²

>> Factorando el trinomio cuadrado perfecto como Caso III

(m⁴+2m²n²+n⁴) - m²n²  =  (m² + n²)²  - m²n²

>> Factorando como Diferencia de Cuadrados ( Caso IV)

(m²+ n²)² - m²n² = (m² +n² +mn)(m² +n² -mn)

ordenado quedaría así :  (m² +mn+n²)(m² -mn+n²) Solución

_________________________________________

3) Factorar x⁸ +3x⁴ +4

>> Comprobando si es trinomio cuadrado perfecto:

Raíz² de x⁸ = x⁴   ;   raíz² de 4 = 2

--> el 2º término debería ser :  2(x⁴)(2) = 4x⁴

Comparando los 2ºs términos:   4x⁴  -  3x⁴ = x⁴  Es lo que falta

>> Convirtiendo a trinomio cuadrado perfecto:

x⁸ +3x⁴ +4

.       x⁴ +4 -x⁴

___________

x⁸ +4x⁴ +4 -x⁴  =   (x⁸ +4x⁴ +4) -x⁴

>> Factorando el trinomio cuadrado perfecto, como Caso III

(x⁸ +4x⁴ +4)  - x⁴  =  (x⁴ +2)²  - x⁴

>> Factorando como diferencia de cuadrados perfectos, Caso IV

(x⁴ +2)² -x⁴  =  (x⁴ +2 +x²)(x⁴ +2 -x²)

ordenando quedaría así :  (x⁴ +x² +2)(x⁴ -x² +2)  Solución

_________________________________________

4) Factorar    a⁴ +2a² +9 

>> Comprobando si es trinomio cuadrado perfecto:

Raíz² de a⁴ = a²     ;      raíz² de 9 = 3

--> el 2° término sería:  2(a²)(3) = 6a²

--> comparando los 2° términos :   6a²   -   2a² = 4a²  lo que falta

>> Convirtiendo a trinomio cuadrado perfecto:

a⁴ +2a² +9

.   +4a²      -4a²

____________

a⁴ +6a² +9 -4a²   =   (a⁴ +6a² +9) - 4a²

>> Factorando el trinomio cuadrado perfecto, como Caso III

(a⁴ +6a² +9) -4a² = (a² +3)²  - 4a²

>> Factorando como diferencia de cuadrados perfectos, Caso IV

(a² +3)² - 4a² = (a² +3 +2a)(a² +3 -2a)

ordenado quedaría así:  (a² +2a +3)(a² -2a +3)   Solución

_________________________________________

17) Factorar  25x⁴-139x²y²+81y⁴

>> Comprobando si es trinomio cuadrado perfecto

√25x⁴ = 5x²

√81y⁴ = 9y²

El 2° término debe ser  -2(5x²)(9y²) =  -90x²y²

Comparando los dos 2° términos:

-139x²y²  ( trinomio original)

-  90x²y²  (como debería ser)

-  49x²y²   ( es lo que se pasa)

Entonces a la ecuación original debemos quitarle +49x²y²

>> Convirtiendo la expresión a trinomio cuadrado perfecto,

por adición y sustracción, se hace así:

25x⁴ -139x²y² +81y⁴

.          49x²y²            -49x²y²

25x⁴ -  90x²y² +81y⁴ -49x²y²

= (25x⁴-90x²y²+81y⁴) - 49x²y²

>> Factorando el trinomio cuadrado como (Caso III)

= (5x²-9y²)² - (7xy)²

>> Factorando toda la expresión como diferencia de cuadrados (Caso IV)

(5x²-9y²+7xy)(5x²-9y²-7xy)

>> Ordenando los factores:

= 5x²+7xy-9y²)(5x²-7xy-9y²) <--  Solución.

Combinación de Casos de Trinomio Cuadrado Perfecto y Diferencia de Cuadrados.

.                     

Procedimiento General.

1) Agrupar los términos de la expresión algebraica dada en dos grupos; formando uno o más Trinomios Cuadrados  Perfectos (a²+2ab+b²).  Los términos que no sean T.C.P.  se restan del trinomio.  Cuando se forman dos trinomios se escriben uno menos el otro (a²+2ab+b²) - (x²+2xy+y²).

2) Se factoriza el trinomio o trinomios para convertirlos en un binomio al cuadrado (a+b)²

3) Si son dos binomios al cuadrado los encontrados se escriben como Diferencia de Cuadrados Perfectos (a+b)² - (x+y)².  Si solo es un binomio al cuadrado el encontrado, este se escribe restándole el otro término que no formó parte del trinomio (a+b)² – c².

Veamos unos ejemplos para su mejor comprensión:

Ejemplo 1)  Descomponer o factorar  a² +m² -4b² -2am

> Formando un trinomio cuadrado perfecto con 3 de los términos de la expresión dada:

a² -2am +m²

> Factorizando el trinomio cuadrado perfecto encontrado:

a² -2am +m² = (a-m)²

> Restándole al binomio al cuadrado encontrado el otro término de la expresión dada:

(a-m)² – 4b²

> Esta nueva expresión es una Diferencia de Cuadrados Perfectos y se procede a factorizarla:

(a-m)² – 4b²

= [(a-m)+2b)][(a-m)-2b]

= (a-m+2b)(a-m-2b)   Solución.

Ejemplo 2) Descomponer o factorar  4x² -a² +y² -4xy +2ab -b²

> Formando trinomios cuadrados perfectos (en este caso se pueden formar dos), buscando el que sería el 2° término de cada trinomio.

-4xy es el resultado de -2(√4x²)(√y²) = -2(2x)(y) =  -4xy

2ab  es el resultado de  2(√-a²)(√-b²) = 2(-a)(-b) = 2ab

> Los trinomios quedarían así:

(4x² -4xy +y²) - (a² -2ab +b²)

> Convirtiendo los trinomios cuadrados perfectos en binomios al cuadrado:

(4x² -4xy +y²) - (a² -2ab +b²)

= (2x-y)² – (a-b)²

> Factorizando la diferencia de cuadrados perfectos encontrada:

(2x-y)² – (a-b)²

= [(2x-y) + (a-b)][(2x-y) - (a-b)]

= (2x-y+a-b)(2x-y-a+b)   Solución.

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Ejercicio 95 del Libro.

Factorar o descomponer en dos factores:

1) a² +2ab +b² –x²

> Formando un trinomio cuadrado perfecto y factorándolo:

(a²+2ab+b²)

= (a+b)²

> Formando una diferencia de cuadrados pefectos:

(a+b)² – x²

> Factorizando la diferencia de cuadrados perfectos:

(a+b)² – x²

= [(a+b) +x][(a+b) -x]

= (a+b+x)(a+b-x) Solución.

_________________________________________

2) x² -2xy +y² –m²

> Formando un trinomio cuadrado perfecto:

(x² -2xy +y²)

> Factorando el trinomio cuadrado perfecto:

x²-2xy +y² = (x-y)²

> Formando una diferencia de cuadrados perfectos:

(x-y)² – m²

> Factorando la diferencia de cuadrados perfectos:

(x-y)² – m²

= [(x-y)+m][(x-y) +m]

= (x-y+m)(x-y-m) Solución.

_________________________________________

3) m² +2mn +n² -1

> Formando un trinomio cuadrado perfecto:

m²+2mn+n²

> Factorando el trinomio cuadrado perfecto:

m²+2mn+n² = (m+n)²

> Formando una diferencia de cuadrados perfectos:

(m+n)² -1

Factorizando la diferencia de cuadrados perfectos:

(m+n)² -1

= [(m+n) +1][(m+n) -1]

= (m+n+1)(m+n-1)   Solución.

_________________________________________

4) a² -2a +1 –b²

> Formando un trinomio cuadrado perfecto:

a² -2a +1

> Factorando el trinomio cuadrado perfecto:

a² -2a +1 = (a-1)²

> Formando una diferencia de cuadrados perfectos:

(a–1)² -b²

>Factorando la diferencia de cuadrados perfectos:

(a–1)² -b²

= [(a-1) +b][(a-1) -b]

= (a-1+b)(a-1-b)    ordenado sería:

= (a+b-1)(a-b-1   Solución.

_________________________________________

7) a² +4 -4a -9b²

> Formando un trinomio cuadrado perfecto:

a² -4a +4

> Factorando  el trinomio cuadrado perfecto:

a² -4a +4 = (a-2)²

> Formando una diferencia de cuadrados perfectos:

(a-2)² -9b²

> Factorando la diferencia de cuadrados perfectos:

(a-2)² -9b²

= [(a-2) +3b][(a-2) -3b]

= (a-2+3b)(a-2-3b)     ordenado sería:

= (a+3b-2)(a-3b-2)    Solución.

_________________________________________

28) x² +4a² -4ax –y² -9b² +6by

> Formando trinomios cuadrados perfectos:

(x² -4ax +4a²) – (–y²+6by-9b²)

> Factorando los trinomios cuadrados perfectos:

(x² -4ax +4a²) – (y²-6by+9b²)

= (x-2a)² – (y-3b)²

> Factorizando los binomios como una diferencia de cuadrados perfectos:

= (x-2a)² – (y-3b)²

= [(x-2a) +(y-3b)][(x-2a) – (y-3b)]

= (x-2a+y-3b)(x-2a-y+3b)    Solución.

__________________________________________

30)  9x² +4y² -a² -12xy -25b² -10ab

> Formando trinomios cuadrados perfectos:

(9x² -12xy +4y²) – (a² +10ab +25b²)

> Factorando los trinomios cuadrados:

(9x² -12xy +4y²) – (a² +10ab +25b²)

= (3x-2y)² – (a+5b)²

> Factorizando los binomios como una diferencia de cuadrados perfectos:

(3x-2y)² – (a+5b)²

= [(3x-2y)+(a+5b)][(3x-2y)-(a+5b)]

= (3x-2y+a+5b)(3x-2y-a-5b)   Solución.

__________________________________________

Diferencia de cuadrados. Caso IV. Caso especial.

.               

Regla para factorar una diferencia de cuadrados; cuando uno o ambos cuadrados son compuestos:

Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se forman dos factores: la suma de estas raíces cuadradas por la diferencia de dichas raíces.

Ejemplo:  (a+b)² - c² = (a +b+c)(a+b -c)

Primero se extraen la raíces cuadradas y luego se forman los factores.

Procedimiento para factorar una diferencia de cuadrados perfectos, cuando uno o ambos cuadrados son compuestos:

>> Factorar (a+b)² - c².

a) Raíz cuadrada de (a+b)² = (a+b)         Raíz cuadrada de c² = c

b) Se forma un factor con la suma de las raíces:  (a+b)+c , y otro factor con la diferencia de dichas raíces: (a+b) - c

o sea [(a+b) +c][(a+b) - c] = (a+b+c)(a+b-c) y esta es la Solución.

_________________________________________

Ejercicio 94 del Libro.
Descomponer en factores y simplificar, si es necesario:

1) (x+y)² -z²

Raíz cuadrada de (x+y)² = (x+y)    ;   raíz cuadrada de z² = z

Suma de las raíces : (x+y) +z  ;   Diferencia de las raíces (x+y) -z

--> factorando : [(x+y)+z][(x+y)- z]  = (x+y+z)(x+y-z) <-- Solución.

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2) 4 - (a+1)²  

Raíz cuadrada de 4 = 2      ;  raíz cuadrada de (a+1)² = (a+1)

Suma de las raíces: 2+(a+1)    ;    Diferencia de las raíces 2 -(a+1)

--> factorando:  [2+(a+1)][2 -(a+1)] = (2+a+1)(2-a-1) =

= (3+a)(1-a) , o bien es = (a+3)(1-a)  Solución

Nota: En los resultados se pueden poner las letras primero y luego los números, siempre y cuando no quede un negativo de primero.

En este caso se cambio el primer factor (3+a) por (a+3);  pero el segundo factor no se cambio porque la letra pasaría con su mismo signo negativo.

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3) 9 -(m+n)²  

Raíz cuadrada de 9 = 3     ;      raíz cuadrada de (m+n)² = (m+n)

Suma de las raíces: 3 +(m+n)     ;   Diferencia de las raíces 3 -(m+n)

--> factorando:  [3 +(m+n)][3 -(m+n)] = (3+m+n)(3-m-n) Solución 

Recuerda:  cuando se sacan valores de un paréntesis que va precedido por el signo menos, se colocan con el signo cambiado:  3 -(m+n) = (3-m-n)

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4) (m-n)²-16  

Raíz cuadrada de (m-n)² = (m-n)     ;    raíz cuadrada de 16 = 4

Suma de las raíces: (m-n) +4    ;   diferencia de las raíces (m -n) -4

Factorando:  [(m-n +4)][(m-n -4)] = (m-n+4)(m-n-4)  Solución

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5) (x-y)² -4z² 

Raíz cuadrada de (x-y)² = (x-y)    ;    raíz cuadrada de 4z² = 2z

Suma de las raíces: (x-y) +2z   ;   diferencia de las raíces: (x-y) -2z

Factorando: [(x-y) +2z][(x-y) -2z] = (x-y+2z)(x-y-2z)  Solución

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6) (a+2b)² -1 

Raíz cuadrada de (a+2b)² = (a+2b)   ;   raíz cuadrada de 1 = 1

Suma de las raíces: (a+2b )+1   ;   diferencia de las raíces (a+2b) -1

Factorando: [(a+2b) +1][(a+2b) -1] = (a+2b+1)(a+2b-1)  Solución

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9) (a+b)² -(c+d)²  

Raíz cuadrada de (a+b)² = (a+b)   ;   raíz cuadrada de (c+d)² = (c+d)

Suma de las raíces: (a+b)+(c+d)    ;   diferencia de las raíces (a+b)-(c+d)

Factorando: [(a+b)+(c+d)][(a+b) -(c+d)] =

=  (a+b+c+d)(a+b-c-d)   Solución

_________________________________________

10) (a-b)² -(c-d)² 

Raíz cuadrada de (a-b)² = (a-b)  ;   raíz cuadrada de (c-d)²= (c-d)

Suma de las raíces: (a-b)+(c-d)  ;  diferencia de las raíces (a-b) -(c-d)

Factorando: [(a-b)+(c-d)][(a-b) -(c-d)] =

=  (a-b+c-d)(a-b-c+d)  Solución
_________________________________________

11) (x+1)² - 16x²

> Extrayendo las raíces cuadradas del minuendo y del sustraendo:

Raíz cuadrada de (x+1)²  =  (x+1)

Raíz cuadrada de 16x² = 4x

> Formando dos factores: uno con la suma de las raíces encontradas y otro con la diferencia:

= [(x+1)+4x][(x+1)-4x]

> Quitando los paréntesis y simplificando los factores:

= (x+1+4x)(x+1-4x)

= (5x+1)(1-3x)    Solución.

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Diferencia de cuadrados. Caso IV.

.                   

Regla para factorar una diferencia de cuadrados:

Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se forman dos factores: la suma de estas raíces cuadradas por la diferencia de dichas raíces.

_________________________________________

Ejemplos:

>> Factorar 1 -a².

a) Raíz cuadrada de 1 = 1         

Raíz cuadrada de a² = a

b) Se forman los factores:  (1 +a)(1 -a) y esta es la Solución.

>> Factorar 16x² -25y⁴

a) Raíz cuadrada de 16x² = 4x    

Raíz cuadrada de 25y⁴ = 5y²

b) Formando los factores: (4x +5y²)(4x -5y²)  <-- Solución

>> Factorar 49x²y⁶z¹⁰ - a¹²

a) Raíz cuadrada de 49x² y⁶ z¹⁰ = 7xy³z⁵

Raíz cuadrada de a^¹² = a⁶

b) Formando los factores:  (7xy³z⁵ + a⁶)(7xy³z⁵ - a⁶) Solución

>> Factorar a²/4 - b⁴/9

a) Raíz cuadrada de a²/4 = a/2  

Raíz cuadrada de b⁴/9 = b²/3

b) Formando los factores:  (a/2 +b²/3)(a/2 - b²/3)  Solución

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Ejercicio 93 del Libro.

1) Factorar x² -y²

Porque: Raíz cuadrada de x² = x    ;  raíz cuadrada de y² = y

--> la suma por su diferencia es (x +y)(x - y)  que es la Solución.

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2) Factorar a² -1 

Raíz cuadrada de a² = a 

raíz cuadrada de a = 1

--> (a +1)(a - 1) es la Solución

_________________________________________

3) Factorar a² -4 

Raíz cuadrada de a² = a 

raíz cuadrada de 4 = 2

--> (a +2)(a - 2) es la Solución.

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4) Factorar 9 -b²

Raíz cuadrada de 9 =3 

raíz cuadrada de b² = b

--> (3 +b)(3 - b) es la solución

_________________________________________

12) Factorar 4x² -81y⁴ 

Raíz cuadrada de 4x² = 2x 

Raíz cuadrada de 81y⁴ = 9y²

--> (2x +9y²)(2x - 9y²) es la Solución

_________________________________________

17) Factorar 100m²n⁴ - 169y⁶ 

Raíz cuadrada de 100m²n⁴ = 10mn²  ;

Raíz cuadrada de 169y⁶ = 13y³

--> (10mn² + 13y³)(10mn² - 13y³) es la solución

_________________________________________

19) Factorar 196x²y⁴-225z¹²

La raíz cuadrada de 196x²y⁴ = 14xy²

La raíz cuadrada de 225z¹² = 15z⁶

--> la solución es   (14xy²+15z⁶)(14xy²-15z⁶)

Trinomio cuadrado perfecto. Caso III.

.            

Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto:

Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando el primero y tercer términos tienen raíz cuadrada exacta y positiva, y el segundo término es el doble del producto de sus raíces cuadradas.

Ejemplo:  a²-4ab+4b² es cuadrado perfecto porque:

Raíz cuadrada de a² = a

Raíz cuadrada de 4b² = 2b

y el doble producto de estas raíces es 2(a)(2b) = 4ab

____________________________________________

Regla para factorar un trinomio cuadrado perfecto:

Se extrae la raíz cuadrada del primero y tercer términos del trinomio y se separan estas raíces por el signo del segundo término del trinomio.

El binomio que se forma, que son las raíces cuadradas del trinomio, se multiplica por sí mismo o sea se eleva al cuadrado.

Ejemplo: a²-4ab+4b² = (a-2b)(a-2b) = (a-2b)²

Raíz cuadrada de a² = a    ;    raíz cuadrada de 4b²= 2b

--> se forma el binomio (a -2b)  y este se multiplica por sí mismo (a-2b)(a-2b) o sea se eleva al cuadrado, que sería  (a -2b)² , que es la Solución.

Recuerda que el signo del binomio es el signo que tiene el segundo término del trinomio.

____________________________________________

Ejercicio 92 del Libro.

1) a² -2ab +b² 

-- Raíz cuadrada de a² = a      ;    raíz cuadrada de b² = b

--> el binomio es:  (a -b)

Por lo tanto (a-b)(a-b) = (a -b)²  <--  Solución

_____________________________________________

2) a² +2ab +b²

Raíz cuadrada de a² = a      ;    raíz cuadrada de b² = b

--> el binomio es:  (a +b)

Por lo tanto (a+b)(a+b) = (a +b)²  <--  Solución

_____________________________________________

3) x²-2x+1 

Raíz cuadrada de x² = x     ;   raíz cuadrada de 1 = 1

--> el binomio es: (x -1)

Por lo tanto (x-1)(x-1) = (x -1)²<-- Solución.

_____________________________________________

4) y⁴ +1 +2y²

= y⁴ +2y² +1 

Raíz cuadrada de y⁴ = y²       ;   raíz cuadrada de 1 = 1

--> el binomio es: (y² +1)

Por lo tanto (y² +1)(y²+1) = (y² +1)²<-- Solución.

En este caso el trinomio original se ordenó en relación al exponente de su letra (y), en orden del mayor al menor exponente. (descendente).

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5) a^2 -10a +25 

Raíz cuadrada de a² = a    ;   raíz cuadrada de 25 = 5

--> el binomio es (a -5)

por lo tanto (a -5)(a -5) = (a -5)²<-- Solución.

____________________________________________

6) 9-6x+x²

Raíz cuadrada de 9 = 3    ;   raíz cuadrada de x²= x

--> el binomio es (3 -x)

Por lo tanto (3 -x)(3 -x) = (3 -x)²  <-- Solución

En este caso ya viene ordenado el trinomio en relación al exponente de su letra de menor a mayor.  (ascendente)

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7) 16 +40x² +25x⁴

Raíz cuadrada de 16 = 4    ;   raíz cuadrada de 25x⁴ = 5x²

--> el binomio es (4 +5x^2)

Por lo tanto (4 +5x^2)(4 +5x^2) = (4 +5x²)² <--  Solución.

____________________________________________

8) 1 +49a² -14a

=  1 -14a +49a² 

Raíz cuadrada de 1 = 1    ;    raíz cuadrada de 49a² = 7a

--> el binomio es (1 -7a)

Por lo tanto (1 -7a)(1 -7a) = (1 -7a)² <-- Solución.

En este caso se ordenó el trinomio original en forma ascendente en relación al exponente de su letra.

____________________________________________

11) a⁸ +18a⁴ +81 

Raíz cuadrada de a⁸ = a⁴   ;     raíz cuadrada de 81 = 9

--> el binomio es (a⁴ +9)

Por lo tanto (a⁴ +9)(a⁴ +9) = (a⁴ +9)² <--  Solución.

____________________________________________

17) 49m⁶ -70am³n² +25a²n⁴

Raíz cuadrada de 49m⁶ = 7m³   ;   raíz cuadrada de 25a²n⁴ = 5an²

--> el binomio es (7m³ -5an²)

por lo tanto (7m³ -5an²)(7m³ -5an²) 

= (7m³ -5an²)²  Solución.