División de polinomios con coeficientes fraccionarios.

Procedimiento:

Se utiliza el mismo que en las otras divisiones.

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Recuerda aplicar la Ley de Signos y la Ley de los Exponentes.

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Ejemplo:

Dividir 1/3x³ -35/36x²y +2/3xy² -3/8y³ entre 2/3x -3/2y

.                 1/2x² -1/3xy +1/4y²                  → Solución

2/3x -3/2y | 1/3x³ -35/36x²y +2/3xy² -3/8y³

.                 -1/3x³      3/4x²y

.                              - 2/9x²y +2/3xy²

.                                2/9x²y - 1/2xy²

.                                          + 1/6xy² -3/8y³

.                                          - 1/6xy² +3/8y³

.                                                     0

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Ejercicio 57

Dividir:

1) 1/6a² +5/36ab -1/6b² entre 1/3a +1/2b

.                 1/2a -1/3b                     → Solución

1/3a +1/2b | 1/6a² +5/36ab - 1/6b²

.                      -1/6a² -   1/4ab

.                               - 1/9ab - 1/6b²

.                                 1/9ab +1/6b²

.                                                   0

2) 1/3x² +7/10xy -1/3y² entre x -2/5y

.               1/3x +5/6y                      → Solución.

x -2/5y | 1/3x² +7/10xy -1/3y²

.               -1/3x² +2/15xy

.                                5/6xy - 1/3y²

.                             - 5/6xy +1/3y²

.                                        0

3) 1/3x³ -35/36x²y +2/3xy² -3/8y³ entre 1/2x² -1/3xy +1/4y²

.                                     2/3x -3/2y                                     →Solución.

1/2x² -1/3xy +1/4y² | 1/3x³ -35/36x²y +2/3xy² -3/8y³

.                                     -1/3x³ +   2/9x²y –1/6xy²

.                                                 -    3/4x²y +1/3xy² -3/8y³

.                                                       3/4x²y -1/3xy² +3/8y³

.                                                                       0

4) 1/16a³ -5/8a²b -b³ +5/3ab² entre 1/4a -3/2b

> Ordenando el dividendo:

1/16a³ -5/8a²b +5/3ab² -b³ entre 1/4a -3/2b

.                     1/4a² -ab +2/3b²                     → Solución.

1/4a -3/2b | 1/16a³ - 5/8a²b +5/3ab² -b³

.                     -1/16a³ +3/8a²b

.                                    -1/4a²b +5/3ab²

.                                     1/4a²b  -3/2ab²

.                                                     1/6ab² - b³

.                                                    -1/6ab² +b³

.                                                             0

5) 3/5m⁴ +1/10m³n -17/60m²n² +7/6mn³ -n⁴ entre 3/2m² +2n² -mn

Ordenando el divisor:

3/5m⁴ +1/10m³n -17/60m²n² +7/6mn³ -n⁴ entre 3/2m² -mn +2n²

.                         2/5m² +1/3mn -1/2n² →Solución                .

3/2m² -mn +2n² | 3/5m⁴ +1/10m³n -17/60m²n² +7/6mn³ - n⁴

.                              -3/5m⁴  + 2/5m³n  -    4/5m²n²

.                                                1/2m³n -13/12m²n² +7/6mn³

.                                               -1/2m³n +   1/3m²n² - 2/3mn³

.                                                                -   3/4m²n² +1/2mn³ - n⁴

.                                                                     3/4m²n² - 1/2mn³ +n⁴

.                                                                                       0

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División de polinomios con exponentes literales.

.       xⁿ + xⁿ⁺¹ / x +1

Procedimiento:

1) Se ordenan el dividendo y el divisor con relación a una misma letra.

2) Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor y se tendrá el primer término del cociente.

3) El primer término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, para lo cual se le cambia el signo, escribiendo cada término debajo de su semejante. Si algún término de este producto no tiene término semejante en el dividendo se escribe en el lugar que le corresponda de acuerdo a como se hayan ordenado.

4) Se divide el primer término del resto o residuo entre el primer término del divisor y se tendrá el segundo término del cociente.

5) Este segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, cambiando los signos.

6) Se divide el primer término del segundo resto o residuo entre el primero del divisor y se efectúan las operaciones anteriores; y así sucesivamente hasta que el residuo sea cero.

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Recuerda aplicar la Ley de Signos y la Ley de los Exponentes.

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Ejemplos:

a) Dividir 3aˣ⁺⁵ +19aˣ⁺³ -10aˣ⁺⁴ -8aˣ⁺² +5aˣ⁺¹ entre a² -3a +5

> Ordenando los términos de los polinomios en orden descendente:
3aˣ⁺⁵ -10aˣ⁺⁴ +19aˣ⁺³ -8aˣ⁺² +5aˣ⁺¹ entre a² -3a +5

.                  3aˣ⁺³ -aˣ⁺² +aˣ⁺¹                                .

a² -3a +5 | 3aˣ⁺⁵ -10aˣ⁺⁴ +19aˣ⁺³ -8aˣ⁺² +5aˣ⁺¹ --> ( 3aˣ⁺⁵ ÷ a² = 3aˣ⁺³)

.                  -3aˣ⁺⁵  +9aˣ⁺⁴ -15aˣ⁺³

.                                - aˣ⁺⁴ +  4aˣ⁺³ -8aˣ⁺²             --> ( -aˣ⁺⁴ ÷ a² = -aˣ⁺²)

.                                   aˣ⁺⁴ -  3aˣ⁺³ +5aˣ⁺²

.                                                aˣ⁺³ - 3aˣ⁺² +5aˣ⁺¹ --> ( aˣ⁺³ ÷ a² = aˣ⁺¹)

.                                              - aˣ⁺³ +3aˣ⁺² +5aˣ⁺¹

.                                                             0

b) Dividir x³ᵅ -17x³ᵅ¯² +x³ᵅ¯¹ +3x³ᵅ¯⁴ +2x³ᵅ¯³ -2x³ᵅ¯⁵ entre x²ᵅ¯¹ -2x²ᵅ¯³ -3x²ᵅ¯²

Ordenando los polinomios:

x³ᵅ +x³ᵅ¯¹ -17x³ᵅ¯² +2x³ᵅ¯³ +3x³ᵅ¯⁴ -2x³ᵅ¯⁵ entre x²ᵅ¯¹ -3x²ᵅ¯² -2x²ᵅ¯³

.                                   xᵅ⁺¹ +4xᵅ -3xᵅ¯¹ +xᵅ¯²                                         .

x²ᵅ¯¹ -3x²ᵅ¯² -2x²ᵅ¯³ | x³ᵅ +  x³ᵅ¯¹ -17x³ᵅ¯ ² +  2x³ᵅ¯³  +3x³ᵅ¯⁴ -2x³ᵅ¯⁵

.                                   -x³ᵅ +3x³ᵅ¯¹ +  2x³ᵅ¯²

.                                             4x³ᵅ¯¹ –15x³ᵅ¯² +  2x³ᵅ¯³

.                                            -4x³ᵅ¯¹ +12x³ᵅ¯² +  8x³ᵅ¯³

.                                                           - 3x³ᵅ¯² +10x³ᵅ¯³ +3x³ᵅ¯⁴

.                                                             3x³ᵅ¯²   - 9x³ᵅ¯³  -6x³ᵅ¯⁴

.                                                                               x³ᵅ¯³  -3x³ᵅ¯⁴ -2x³ᵅ¯⁵

.                                                                              -x³ᵅ¯³ +3x³ᵅ¯⁴ +2x³ᵅ¯⁵

.                                                                                                0

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Ejercicio 56.

Dividir:

1) aˣ⁺³ +aˣ entre a +1

> ordenando ascendentemente en relación a la letra a

= aˣ + aˣ⁺³ entre 1 +a

.         aˣ -aˣ⁺¹ aˣ⁺²              . --> Solución.

1 +a | aˣ                     +aˣ⁺³

.         -aˣ  -aˣ⁺¹

.                -aˣ⁺¹

.                 aˣ⁺¹ + aˣ⁺²

.                           aˣ⁺² +aˣ⁺³

.                          -aˣ⁺² - aˣ⁺³

.                                   0

2) xⁿ⁺² +3xⁿ⁺³ +xⁿ⁺⁴ -xⁿ⁺⁵ entre x² +x

> Ordenado el divisor ascendentemente:
xⁿ⁺² +3xⁿ⁺³ +xⁿ⁺⁴ -xⁿ⁺⁵ entre x + x²

.           xⁿ⁺¹ +2xⁿ⁺² -xⁿ⁺³             . → Solución.

x + x² | xⁿ⁺² +3xⁿ⁺³ + xⁿ⁺⁴  -xⁿ⁺⁵

.           -xⁿ⁺²  -  xⁿ⁺³

.                      2xⁿ⁺³ + xⁿ⁺⁴

.                     -2xⁿ⁺³ -2xⁿ⁺⁴

.                                  - xⁿ⁺⁴ -xⁿ⁺⁵

.                                    xⁿ⁺⁴ +xⁿ⁺⁵

.                                            0

3) mᵅ⁺⁴ -mᵅ⁺³ +6mᵅ⁺¹ -5mᵅ +3mᵅ¯¹ entre m² -2m +3

.                    mᵅ⁺² +mᵅ⁺¹ -mᵅ +mᵅ¯¹     → Solución         .

m² -2m +3 | mᵅ⁺⁴ -   mᵅ⁺³               +6mᵅ⁺¹ -5mᵅ +3mᵅ¯¹

.                    -mᵅ⁺⁴ +2mᵅ⁺³ - 3mᵅ⁺²

.                                   mᵅ⁺³ - 3mᵅ⁺² +6mᵅ⁺¹

.                                 - mᵅ⁺³ +2mᵅ⁺² –3mᵅ⁺¹

.                                               - mᵅ⁺² +3mᵅ⁺¹ -5mᵅ

.                                                 mᵅ⁺²  -2mᵅ⁺¹ +3mᵅ

.                                                               mᵅ⁺¹ - 2mᵅ +3mᵅ¯¹

.                                                              -mᵅ⁺¹ +2mᵅ –3mᵅ¯¹

.                                                                              0

10) a²ⁿb³ -a²ⁿ¯¹b⁴ +a a²ⁿ¯²b⁵ -2a²ⁿ¯⁴b⁷ +a²ⁿ¯⁵b⁸ entre aⁿb -aⁿ¯¹b² +2aⁿ¯²b³ -aⁿ¯³b⁴

.                                                   aⁿb² -aⁿ¯²b⁴    → Solución                                            .

.aⁿb -aⁿ¯¹b² +2aⁿ¯²b³ -aⁿ¯³b⁴ | a²ⁿb³ - a²ⁿ¯¹b⁴ + a²ⁿ¯²b⁵                 -2a²ⁿ¯⁴b⁷ +a²ⁿ¯⁵b⁸

.                                                   -a²ⁿb³ +a²ⁿ¯¹b⁴ -2a²ⁿ¯²b⁵ +a²ⁿ¯³b⁶

.                                                                               - a²ⁿ¯²b⁵ +a²ⁿ¯³b⁶ - 2a²ⁿ¯⁴b⁷ +a²ⁿ¯⁵b⁸

.                                                                                  a²ⁿ¯²b⁵ - a²ⁿ¯³b⁶ +2a²ⁿ¯⁴b⁷ -a²ⁿ¯⁵b⁸

.                                                                                                                 0

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Número de términos de una progresión geométrica por logaritmos.

Procedimiento:

1) Se forma una ecuación, sabiendo el valor de u, a y r.

2) Se aplica la fórmula para “n “ por logaritmos.

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Fórmula:  n =  [(log u + colog a) /log r] +1

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Ejemplo:

Cuántos términos tiene la progresión ÷÷2:6:……..:1458?

> Elementos:  a=2  ;  u= 1458  ;   r = 6÷2 = 3

> Aplicando la fórmula para  n:

n = [(log 1458 + Colog 2) / log 3] +1     (Ver aplicación de cologaritmo en "logaritmo")

n = [(3.163757 + ⁻1.698970) / 0.477121] +1

n = (2.862727 / 0.477121) +1

n = 6 + 1 =7   Solución.

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Ejercicio 302.

Hallar el número de términos de las progresiones:

2) ÷÷2:3:…….:²⁴³⁄₁₆

> Elementos:  u = ²⁴³⁄₁₆  ;  a = 2  ;  r = 3÷2 =  ³⁄₂

> Aplicando  la fórmula para  n:

n = [(log ²⁴³⁄₁₆ + Colog 2) / log ³⁄₂] +1

n = [(1.181486 + ⁻1.698970) / 0.176091] +1

n = (0.880456 / 0.176091) +1

n = 5 +1 = 6   Solución.

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4) ÷÷6:8:………:²⁰⁴⁸⁄₈₁

> Elementos:  u= ²⁰⁴⁸⁄₈₁  ¸ a = 6  ;  r = 8/6 = ⁴⁄₃

> Aplicando la fórmula:

n = [(Log ²⁰⁴⁸⁄₈₁ + Colog 6) / log ⁴⁄₃] +1

n = [(1.402845 + ⁻1.221849) / 0.124939] +1

n = (0.624694 / 0.124939) +1

n = 5 +1 = 6   Solución.

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Ecuaciones Exponenciales.

.             7ˣ = 512

Son las ecuaciones en que la incógnita es el exponente de una cantidad.

Para resolver este tipo de ecuaciones, se aplican logaritmos a los dos miembros de la ecuación y se despeja la incógnita.

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Procedimiento:

1°) Se aplica la fórmula para el logaritmo de una potencia.

2°) Se busca el logaritmo del otro miembro de la ecuación.

3°) Encontrado los logaritmos se procede a realizar operaciones.

4°) Se despejan la incógnita (el exponente de la potencia).

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Ejemplos:

 a) Resolver la ecuación  3ˣ = 60

> Aplicando logaritmos:

x(Log 3) = Log 60

x(0.477121) = 1.778151

x = 1.778151/0.477121

x = 3.72   Solución.

b) Resolver la ecuación 5²ˣ⁻¹ = 125

> Aplicando logaritmos:

2x-1(Log 5) = Log 125

2x-1(0.698970) = 2.096910

2x = (2.096919/0.698970) +1

x = 3+1 /2

x = 2   Solución.

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Ejercicio 301.

1) Resolver  5ˣ =3

> Aplicando logaritmos:

x(log 5) = log 3

x = log 3/log 5

x = 0.477121/0.698970

x = 0.6826  Solución.

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5) Resolver 3ˣ⁺¹ = 729

> Aplicando logaritmos:

x+1(log3) = log729

x+1 = log729 / log3

x= (log729 / log3) -1

x = (2.862727 / 0.477121) -1

x = 6 -1

x = 5 Solución.

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9) Resolver 11²ˣ = 915

> Aplicando logaritmos:

2x(log11) = log915

2x = log915/log11

x = (log915/log11) / 2

x = (2.961421/1.04393) / 2

x = 2.843711/2

x = 1.42186 Solución.

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Dados los logaritmos de ciertos números hallar el logaritmo de otro sin usar la tabla.

Log 144

> 144 = 2² * 6²

--> Log144 = 2(Log2) + 2(Log6)

Procedimiento:

1) Se construye un producto de 2 factores, que pueden ser 2 potencias o una; cuyas bases sean los números dados y cuyo resultado sea igual al otro número dado.

2) Luego se aplica la fórmula para logaritmo de un producto y de una raíz.

3) Si los números que nos dan, su producto es mayor que el otro número dado, entonces se forma un cociente con factores que divididos nos den el otro número dado.

4) Para el inciso 3 se aplica la fórmula para logaritmo de un cociente.

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 Ejemplos:

a) dados Log 2 = 0.301030 y Log 3= 0.477121, hallar el Log de 108, sin usar la tabla.

> Descomponiendo 108 en factores que tengan cuadrado perfecto:

2² * 3³ = 4 * 27 = 108

> Formando una ecuación:

108 = 2² * 3³

> Resolviendo por medio de logaritmos:

Log 108 = 2(Log 2) + 3(Log 3)

…………. = 2(0.301030) + 3(0.477121)

…………. = 0.602060 + 1.431363

…………. = 2.033423  Solución.

> Buscamos el log 108 directamente:

Log 108 = 2.0334237

b) Dados log 115 = 2.060698 y log 5 = 0.698970, hallar el log 23.

>Formando una ecuación:

23 = 115/5

> Resolviendo por logaritmos:

Log 23 = Log 115 + Colog 5

……….. = 2.060698 + ⁻1.30103

……….. = 1.361728    Solución

> Buscamos el log 23 directamente:

Log 23 = 1.361728

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Ejercicio 300.

Dados log 2=0.301030 ,  log 3=0.477121,  log 5=0.608970,  log 7=0.845098  Hallar:

1) log 36

> Descomponemos el 36 en dos factores potencias con las bases 2 y 3:

2² * 3² = 4 * 9 = 36

> Formamos la una ecuación:

36 = 2² * 3²

> Resolvemos la ecuación por logaritmos:

Log 36 = 2(log 2) + 2(log 3)

Log 36 = 2(0.301030) + 2(0.477121)

Log 36 = 0.60206 + 0.954242

Log 36 = 1.556302  Solución.

> Buscamos el log 36 directamente:

Log 36 = 1.556302  Solución.

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2) Log 75

> Descomponemos 75 en dos factores con la base 5:

3 * 5² = 3 * 25 = 75

> Formamos una ecuación:

75 = 3 *5²

> Resolvemos por logaritmos:

Log 75 = log 3 + 2(log 5)

Log 75  = 0.477121 + 2(0.698970)

Log 75 = 0.477121 + 1.39794

Log 75 = 1.875061  Solución

> Buscamos log 75 directamente:

Log 75 = 1.875061

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