Sistema de 4 ecuaciones simultáneas con 4 incógnitas.

.                  

Procedimiento:

1) Se resuelve el sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas, haciendo tres combinaciones de 2 ecuaciones, para eliminar cualquiera de las incógnitas, pero que esta incógnita sea la misma en las tres combinaciones.  Esto nos dará como resultado 3 ecuaciones con 3 incógnitas.

2) Formamos un Sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas y procedemos a hacer dos combinaciones de 2 ecuaciones, para eliminar cualquiera de las incógnitas, pero que  esta incógnita sea la misma.  El resultado nos dará dos ecuaciones con 2 incógnitas.

3) Formamos un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas y procedemos a eliminar una cualquiera de las incógnitas y encontrar el valor de la otra incógnita.

4) Sustituimos el valor de la incógnita obtenido en la otra ecuación del sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnita y encontraremos el valor de la otra incógnita.

5) Sustituimos el valor de las 2 incógnitas obtenidas en una cualquiera de las 3 ecuaciones con 3 incógnitas para encontrar el valor de una tercera incógnita.

6) Sustituimos el valor de las 3 incógnitas obtenidas en una cualquiera de las 4 ecuaciones con 4 incógnitas para encontrar el valor de la cuarta incógnita.

7) La solución general será el valor de las cuatro incógnitas obtenidas.

_________________________________________

Ejemplo:  Resolver el sistema

x+y+z+u = 10        (1)

2x-y+3z-4u = 9     (2)

3x+2y-z+5u = 13  (3)

x-3y+2z-4u = -3    (4)

>> Combinando ecuaciones para encontrar 3 ecuaciones con 3 incógnitas:

>> Combinamos la (1) y (2)

Para eliminar la x,  Multiplicamos (1) por 2  y la (2) por -1:

2x+2y+2z+2u = 20

-2x+y -3z+4u =  -9

.      3y - z+6u = 11  (5) Ecuación con 3 incógnitas.

>> Combinamos la (1) y (3)

Para eliminar la x, multiplicamos la (1) por 3 y la (3) por -1:

3x+3y+3z+3u = 30

-3x-2y+ z -5u = -13

.        y+4z-2u = 17  (6)  Ecuación con 3 incógnitas.

>> Combinamos la (1)  con la (4)

Para eliminar la x, multiplicamos la (4) por -1 :

x +  y + z + u = 10

-x+3y- 2z+4u =  3

.     4y - z+5u = 13  (7)  Ecuación con 3 incógnitas.

>> Formamos un Sistema de 3 ecuaciones con  3 incógnitas:

3y-z+6u = 11  (5)

y+4z-2u = 17  (6)

4y-z+5u = 13   (7)

>> Combinamos la (5) y (6)

Para eliminar la z, multiplicamos la (5) por 4 :

12y-4z+24u = 44

.   y+4z - 2u = 17

13y        +22u = 61  (8)  Ecuación con 2 incógnitas.

>> Combinamos la (5) y (7)

Para eliminar la z, multiplicamos la (7) por -1 :

3y - z+6u =  11

-4y+z-5u = -13

.-y     + u =  -2  (9)  Ecuación con 2 incógnitas.

>> Formamos un Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas:

13y+22u = 61  (8)

-  y +   u =  -2  (9)

>> Resolvemos este sistema multiplicando la (9) por 13 :

13y +22u =   61

-13y+13u = -26

.         35u = 35

u = 35/35

u = 1  <--  Solución.

>> Sustituimos el valor de u en en la (9):

-y+u = -2

-y+(1) = -2

-y+1 = -2

-y = -2-1

-y = -3

y = 3  <-- Solución

>> Sustituimos el valor de (y, u) en la ecuación de 3 incógnitas, la (5) :

3y-z+6u = 11

3(3)-z+6(1) = 11

9-z+6 = 11

15-z = 11

-z = 11-15

-z = -4

z = 4   <-- Solución

>> Por último sustituimos el valor de (y, z, u) en la ecuación de 4 incógnitas, en la  (1) :

x+y+z+u = 10

x+(3)+(4)+(1) = 10

x+8 = 10

x = 10-8

x = 2  <--  Solución

La solución General es :   (x = 2 , y = 3 , z = 4 , u = 1)

________________________________________

 Ejercicio 192

1) Resolver el sistema

.  x +  y  + z +u = 4  (1)

.  x +2y +3z  -u = -1  (2)

3x +4y +2z  +u = -5  (3)

.  x +4y +3z - u = -7  (4)

>> Combinamos las ecuaciones para encontrar 3 ecuaciones con 3 incógnitas.

>> Combinamos la (1) y la (2)

Eliminamos la u, únicamente sumando las ecuaciones:

x +  y +  z +u = 4

x +2y +3z - u = -1 

2x+3y+4z       = 3   (5) Ecuación con 3 incógnitas.

>> Combinamos la (1) y la (3)

Eliminamos la u, multiplicando la  (3) por -1 :

.  x +  y + z +u = 4

-3x -4y -2z  -u = 5

-2x -3y -  z       = 9   (6)  Ecuación con 3 incógnitas.

>> Combinamos la (1) y la (4)

Eliminamos la u, únicamente sumando:

x  +  y +  z +u =  4

x  +4y +3z - u = -7

2x+5y +4z      = -3   (7)  Ecuación con 3 incógnitas.

>> Formamos un Sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas:

2x +3y +4z =  3   (5)

-2x -3y -  z =  9   (6)

2x +5y +4z = -3  (7)

>> Combinamos la (5) y la (6)

Eliminamos la z, multiplicando la (6) por 4 :

2x + 3y+4z =  3

-8x-12y-4z = 36

-6x  -9y      = 39       (8)  Ecuación con 2 incógnitas

>> Combinamos la (6) y la (7)

Eliminamos la z, multiplicando la (6) por 4 :

-8x-12y -4z = 36

2x +5y +4z =  -3

-6x -7y        = 33      (9)  Ecuación con 2 incógnitas

>> Formamos un Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas:

-6x-9y = 39   (8)

-6x-7y = 33   (9)

Eliminamos la "x", multiplicando la (9) por -1 :

-6x -9y =  39

6x +7y = -33

.     -2y =   6

y = 6/-2

y = -3  <--  Solución

>> Sustituyendo el valor de "y" en la (8) :

-6x-9y = 39

-6x-9(-3) = 39

-6x+27 = 39

x = 39-27 /-6

x = -2   <--  Solución

>> Sustituyendo el valor de (x, y) en la ecuación de 3 incógnitas (5) :

2x+3y+4z = 3

2(-2)+3(-3)+4z = 3

-4-9+4z = 3

z = 3+13 /4

z = 4   <-- Solución

>> Sustituyendo el valor de (x, y. z) en la ecuación de 4 incógnitas (1) :

x +y +z +u = 4

(-2)+(-3)+(4)+u = 4

-2-3+4+u = 4

-1+u = 4

u = 4+1

u = 5  <--  Solución.

La Solución General es  (x = -2  ,  y = -3  ,  z = 4  ,  u = 5)

_________________________________________

2) resolver el sistema

x + y+ z+  u = 10  (1)

2x- y-2z+2u = 2  (2)

x -2y+3z - u = 2  (3)

x+2y-4z+2u = 1  (4)

>> Combinando (1) y la (2)

Para eliminar la "y", únicamente sumamos :

x  +y + z +  u = 10

2x -y -2z +2u =  2

3x      - z +3u = 12  (5)  Ecuación con 3 incógnitas

>> Combinando la (1) con la (3)

Eliminando la "y", multiplicamos la (1) por 2 :

2x+2y+2z+2u = 20

. x- 2y+3z -  u =  2

3x      +5z + u = 22  (6)  Ecuación con 3 incógnitas

>> Combinando la (2) y la (4)

Eliminando la "y", multiplicamos la (2) por 2 :

4x -2y-4z+4u = 4

. x+2y-4z+2u = 1

5x      -8z+6u = 5  (7)  Ecuación con 3 incógnitas

>> Se forma un Sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas:

3x -z+3u = 12  (5)

3x+5z+u = 22  (6)

5x -8z+6u = 5  (7)

>> Combinando la (5) y la (6)

Eliminar la u, multiplicando la (6) por -3 :

3x   -   z +3u =  12

-9x -15z - 3u = -66

-6x  -16z       = -54  (8)  Ecuación con 2 incógnitas

>> Combinando la (5) y la (7)

Eliminar la u, multiplicando la (5) por -2 :

-6x+2z-6u = -24

5x  -8z+6u =    5

- x  -6z       = -19   (9)  Ecuación con 2 incógnitas

>> Formando un Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas:

-6x -16z = -54   (8)

-  x -  6z = -19   (9)

>> Eliminando la x, multiplicando la (9) por -6 :

- 6x -16z =  -54

+6x+36z = 114

.        20z =  60

z = 60/20

z = 3  <--  Solución

>> Sustituyendo el valor de z en la ecuación (8)

-6x-16z = -54

-6x-16(3) = -54

-6x-48 = -54

x = -54+48 /-6

x = -6/-6

x = 1  <--  Solución

>> Sustituyendo el valor (x, z) en la ecuación con 3 incógnitas (5) :

3x -z +3u = 12

3(1) -(3) +3u = 12

3-3 +3u = 12

3u = 12

u = 12/3

u = 4  <--  Solución

>> Sustituyendo el valor de (x, z, u) en la ecuación con 4 incógnitas (1) :

x+y+z+u = 10

(1)+y+(3)+(4) = 10

y+8 = 10

y = 10-8

y = 2  <--  Solución

La solución General es :  (x = 1  ,  y = 2  ,  z =3  ,  u = 4)

__________________________________________

Resolución por determinantes de un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas.

.                      

Procedimiento:

1)      Se halla el valor de la determinante del sistema (D₃),  por el método de Sarrus, que será el denominador del valor de cada una de las incógnitas (x, y, z).

2)      Se halla el valor de “x”

3)      Se halla el valor de “y”

4)      Se halla el valor de “z”

5)      Se escribe la solución del sistema, que será las soluciones de “x” ,”y”, “z”

_________________________________________

Ejemplo a) Resolver por determinantes el siguiente sistema:

  x        y       z     ti                   (variables x,  y,  z,  ti = término independiente)
2x    + y  - 3 z = 12

5x   - 4y +7z = 27

10x +3y  -  z = 40

 1)      Determinante del sistema (D₃)

           x    y      z
.         |2    1     -3|

.         |5    -4     7|

D₃ =  |10   3    -1| = (8-45+70)-(120+42-5) = 33-(157) = 33-15.7 = -124 

.         |2     1    -3|

.         |5    -4     7|

2)      Hallar el valor de “x”:

            ti    y      z
.         |12   1    -3|

.         |27   -4    7|     (12)(-4)(-1)+(27)(3)(-3)+(40)(1)(7) - (-3)(-4)(40)-(7)(3)(12)-(-1)(1)(27) =

x =    |40    3    -1| =  48-243+280-480-252+27 = -620

.         |12    1   -3|     Entonces  -620/-124 =  5  <– Solución

.         |27   -4    7|

 3)      Hallar el valor de “y”:

          x      ti     z
.        |2     12   -3|

.        |5     27    7|      (2)(27)(-1)+(5)(40)(-3)+(10)(12)(7) - (-3)(27)(10)-(7)(40)(2)-(-1)(12)(5) =

y =   |10   40    -1| =  -54-600+840+810-560+60 = 496

.        |2     12    -3|     Entonces  496/-124 = -4  <– Solución

.        |5     27     7|

 4)      Hallar el valor de “z”:

           x       y     ti
 .        |2      1     12|

.        |5     -4     27|     (2)(-4)(40)+(5)(3)(12)+(10)(1)(27)-(12)(-4)(10)-(27)(3)(2)-(40)(1)(5) =

z =    |10    3     40| =   -320+180+270+480-162-200 = 248

.        |2      1     12|      Entonces  248/-124 = -2  <– Solución

.        |5     -4     27|

 Solución del sistema es:   x = 5  ,  y =-4  ,  z = -2

______________________________________________

Ejemplo b) Resolver por determinantes el siguiente sistema:

x       y      z      ti
x   +  y +  z =   4

2x - 3y +5z = - 5

3x +4y +  z = 10

1)      Determinante del sistema (D3)

           x     y     z
.         |1    1     1|

.         |2    -3     5|    (1)(-3)(7)+(2)(4)(1)+(3)(1)(5)-(1)(-3)(3)-(5)(4)(1)-(7)(1)(2) =

D3 =  |3     4     7| = -21+8+15+9-20-14 =  –23 

.         |1     1     1|

.         |2    -3     5||

 2)      Hallar el valor de “x”:

          ti      y      z
.         |4     1     1|

.         |-5   -3    5|     (4)(-3)(7)+(-5)(4)(1)+(10)(1)(5)-(1)(-3)(10)-(5)(4)(4)-(7)(1)(-5) =

x =    |10    4     7| =  -84-20+50+30-80+35 = -69

.         |4     1     1|     Entonces  -69/-23 =  3  <– Solución

.         |-5   -3    5|

 3)      Hallar el valor de “y”:

          x     ti      z
.        |1     4      1|

.        |2    -5      5|      (1)(-5)(7)+(2)(10)(1)+(3)(4)(5)-(1)(-5)(3)-(5)(10)(1)-(7)(4)(2) =

y =   |3     10     7| =   -35+20+60+15-50-56 = -46

.        |1     4      1|     Entonces  -46/-23 = 2  <– Solución

.        |2    -5      5|

 4)      Hallar el valor de “z”:

          x      y      ti
.        |1      1      4|

.        |2     -3     -5|     (1)(-3)(10)+(2)(4)(4)+(3)(1)(-5)-(4)(-3)(3)-(-5)(4)(1)-(10)(1)(2) =

z =    |3      4     10| =  -30+32-15+36+20-20 = 23

.        |1      1       4|      Entonces  23/-23 =  -1 <– Solución

.        |2     -3     -5|

 Solución del sistema es:   x = 3  ,  y = 2  ,  z = -1

______________________________________________

Ejercicio 188.

1)      Resolver por determinantes:

x       y      z     ti
x   +  y +  z = 11

x   -  y  +3z = 13

2x +2y  -  z = 7

a)      Determinante del sistema (D₃):

         x    y     z
.       |1    1    1|

.       |1   -1    3|

D₃ = |2    2   -1| = 1+2+6+2-6+1 = 6

.        |1    1    1|

.       |1   -1    3|

b)      Valor de “x” :

        ti    y    z
.     |11   1    1|

.     |13  -1    3|

x = |7     2   -1| =  11+26+21+7-66+13 = 12

.     |11   1    1|  Entonces 12/6 = 2 <– Solución

.     |13  -1    3|

c)   Valor de “y”

       x    ti     z
.     |1   11    1|

.     |1   13    3|

y = |2    7    -1| = -13+7+66-26-21+11 = 24

.     |1   11    1|  Entonces  24/6 = 4 <– Solución

.     |1   13    3|

d)   Valor de “z” :

       x     y    ti
.     |1    1   11|

.     |1   -1   13|

z = |2     2    7| = -7+22+26+22-26-7 = 30

.     |1    1   11|   Entonces  30/6 = 5 <– Solución

.     |1   -1   13|

La Solución del sistema es:  x = 2 , y = 4 , z = 5

______________________________________________

2)  Resolver por determinantes :

x     y     z    ti 
x + y  + z = -6

2x+ y  -  z = -1

x  -2y +3z = -6

a)   Determinante del sistema (D₃) :

         x     y     z
.       |1    1    1|

.       |2    1   -1|

D₃ = |1   -2    3| = 3-4-1-1-2-6 = -11

.       |1    1    1|

.       |2    1   -1|

b)   Hallar valor de “x”:

       ti     y     z
.     |-6    1    1|

.     |-1    1   -1|

x = |-6   -2    3| = -18+2+6+6+12+3 = 11

.     |-6    1    1|  Entonces 11/-11 = -1 <– Solución

.     |-1    1   -1|

c)   Hallar valor de “y”:

       x     ti     z
.     |1    -6    1|

.     |2    -1   -1|

y = |1    -6    3| = -3-12+6+1-6+36 = 22

.     |1    -6    1|  Entonces  22/-11 = -2  <– Solución

.     |2    -1   -1|

d)   Hallar el valor de “z”:

       x      y    ti
.     |1     1   -6|

.     |2     1   -1|

z = |1    -2   -6| = -6+24-1+6-2+12 = 33

.     |1     1   -6|  Entonces  33/-11 = -3   <– Solución

.     |2     1   -1|

La Solución del sistema es:  x = -1 , y = -2 , z = -3

______________________________________________

3)   Resolver por determinantes:

  x     y    z    ti          
2x+3y+4z = 3

2x+6y+8z = 5

4x+9y-4z = 4

a)   Determinante del sistema (D₃):
          x     y      z

.        |2     3     4|

.        |2     6     8|

D₃ = |4     9   -4| = -48+72+96-96-144+24 = -96

.        |2     3     4|

.        |2     6     8|

b)   Hallar valor de “x”:

        ti      y     z

.       |3     3     4|

.       |5     6     8|

x =   |4     9    -4| = -72+180+96-96-216+60 = -48

.       |3     3     4|  Entonces  -48/-96 = 1/2 <– Solución

.       |5     6     8|

c)    Hallar el valor de “y”:

         x     ti     z

.       |2     3     4|

.       |2     5     8|

y =   |4     4    -4| = -40+32+96-80-64+24 = -32

.       |2     3     4|    Entonces -32/-96 = 1/3 <– Solución

.       |2     5     8|

d)    Hallar valor de “z”:

         x     y     ti

.       |2     3     3|

.       |2     6     5|

z =   |4     9     4| = 48+54+60-72-90-24 = -24

.       |2     3     3|    Entonces  -24/-96 = ¼ <– Solución

.       |2     6     5|

La Solución del sistema es:   x = 1/2 , y = 1/3 , z = ¼

_______________________________________________

4)    Resolver por determinantes:

4x -y +z=4

2y-z+2x=2

6x+3z-2y=12

Se ordenan por x,y,z:

. x     y     z    ti 
4x –  y + z = 4

2x+2y –  z =  2

6x-2y +3z = 12

a)    Determinante del sistema (D₃):

        x       y     z
.       |4     -1    1|

.       |2      2   -1|

D₃ = |6    -2     3| = 24-4+6-12-8+6 = 12

.       |4    -1     1|

.       |2     2    -1|

b)    Hallar valor de “x”:

         ti     y      z
.       |4    -1     1|

.       |2     2    -1|

x =   |12  -2    3| = 24-4+12-24-8+6 = 6

.       |4    -1     1|    Entonces  6/12 = ½  <– Solución 

.       |2     2    -1|

c)     Hallar valor de “y”:

         x     ti       z
.       |4     4      1|

.       |2     2     -1|

y =   |6    12     3| = 24+24-24-12+48-24 = 36

.       |4     4      1|     Entonces   36/12 = 3  <– Solución

.       |2     2     -1|

d)    Hallar valor de “z”:

         x     y      ti
.       |4    -1      4|

.       |2     2      2|

z =   |6    -2    12| = 96-16-12-48+16+24 = 60

.       |4    -1      4|    Entonces  60/12 = 5  <– Solución

.       |2     2      2|

La Solución del sistema es:  x = ½ , y = 3 , z = 5

_____________________________________________

Resolución de un sistema de 3 ecuaciones simultáneas con 3 incógnitas.

,                    

Procedimiento:

1) Se utilizan dos de las ecuaciones dadas y se elimina una de las incógnitas para obtener como resultado una ecuación con 2 incógnitas.

2) se utiliza una tercera ecuación con cualquiera de las dos ecuaciones utilizadas anteriormente y se elimina la misma incógnita que se eliminó en la combinación anterior, obteniendo otra ecuación con 2 incógnitas.

3) Se resuelve el nuevo sistema formado por las dos ecuaciones con dos incógnitas, para hallar el valor de las incógnitas. Utilizando el procedimiento visto en "Ecuaciones Simultáneas de 1° Grado con 2 Incógnitas".

4) Con los valores de las incógnitas obtenido se sustituyen en una de las tres ecuaciones dadas de tres incógnitas para encontrar el valor de la tercera incógnita.

Puedes utilizar cualquiera de los métodos de eliminación; pero aquí en los ejemplos y ejercicios utilizaré el método de Reducción o de Suma o Resta.

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Ejemplo a)  Resolver el sistema:

. x+4y-  z =  6  (1)

2x+5y-7z = -9 (2)

3x- 2y+ z =  2  (3)

>> Utilizamos las ecuaciones (1) y (2), para eliminar la x.

Multiplicamos la ecuación (1) por 2; y la ecuación (2) por -1; y quedaría el sistema así:

2x+8y-2z = 12

-2x-5y+7z =  9   (se le cambió signo a esta ecuación al multiplicar por -1)

.       3y+5z=21   ( 4) Ecuación con 2 incógnitas

>> Utilizamos la ecuación (3) y cualquiera de las otras del sistema dado, en este caso utilizaremos la ecuación (1), para eliminar la x.

Multiplicamos la ecuación (1) por 3 y la ecuación (3) por -1;  y quedaría el sistema así:

3x+12y-3z  =18

-3x+ 2y -  z = -2  (Se le cambio signo a la ecuación al multiplicar por -1)

.        14y-4z = 16   (5) Ecuación con dos incógnitas.

>> Tomamos las ecuaciones con 2 incógnitas y formamos un sistema:

. 3y+5z = 21  (4)

14y -4z = 16   (5)

>> Para resolverlo eliminamos la z multiplicando la ecuación (4) por 4 y la ecuación (5) por 5.

12y+20z = 84

70y-20z = 80  (aquí no fue necesario cambiar los signos)

82y         = 164

y = 164/82

y = 2  <-- Solución

>> Sustituimos el valor de "y" en la ecuación (5) para encontrar el valor de z:

14y-4z = 16

14(2)-4z =16

28-4z = 16

z = 16-28 /-4

z = -12/-4

z = 3 <-- Solución

>> Por último sustituimos el valor de "y" y el valor de "z" en cualquiera de las tres ecuaciones dadas, para este ejemplo en la ecuación (1); para a encontrar el valor de x.

x+4y-z = 6

x+4(2)-(3) = 6

x+8-3 = 6

x = 6-5

x = 1 <-- Solución

Solución General:   x = 1  ,   y = 2  ,  z = 3

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Ejemplo b)  Resolver el sistema

z-4 + 6x-19/5 = -y  (1)

10 - x-2z/8 = 2y-1   (2)

4z+3y = 3x-y      .    (3)

>> En este caso es necesario realizar algunas operaciones antes de proceder a hacer combinaciones.

>> Quitando denominadores:

5z-20+6x-19 = -5y

80-x+2z = 16y-8

4z+3y = 3x-y

>> Transponiendo términos:

6x+ 5y+5z  =  39  (1)

- x-16y+2z = -88  (2)

-3x+ 4y+4z =   0  (3)

>> Iniciamos las resolución de las ecuaciones utilizando la (1) y la (2)

para eliminar la x.  Multiplicamos la (1) por 1 , y la (2) por 6:

6x + 5y + 5z =    39

-6x-96y+12z = -528  (no fue necesario cambiar signo a la ecuación)

.    -91y+17z = -489  (4)  Ecuación con 2 incógnitas.

>> Utilizamos la ecuación (3) y la combinamos con la (2),

para eliminar la x.  Multiplicamos la (2) por -3:

3x +48y- 6z = 264  (Se le cambió signo a la ecuación, al multiplicar por -3)

-3x+  4y+4z =   0    

.     52y -2z = 264  (5)  Ecuación con 2 incógnitas.

>> Formamos un sistema de ecuaciones con 2 incógnitas con la (4) y la (5)

-91y+17z = -489   (4)

. 52y - 2z =  264    (5)

>> Multiplicamos  la (4) por 4  y la (5) por 7:

- 364y+68z = -1956

. 364y -14z =  1848  (aquí no fue necesario cambiar el signo a la ecuación)

.           54z  =  -108

z = -108/54

z = -2  <-- Solución

>> Sustituimos el valor de "z" en la (5) para encontrar la otra incógnita:

52y-2z = 264

52y-2(-2) = 264

52y+4 = 264

y = 264-4 /52

y = 260/52

y = 5  <-- Solución

>> Por último sustituimos el valor de las incógnitas obtenidos, en la ecuación (3), para encontrar el valor de la última incógnita, que es x:

-3x+4y+4z = 0

-3x+4(5)+4(-2) = 0

-3x+20-8 = 0

-3x = -12

x = -12/-3

x = 4  <-- Solución

La solución General es    x = 4  ,  y = 5  ,  z = -2

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Ejemplo c)   Resolver el sistema

2x-5y =13  (1)

4y+z = -8   (2)

x-y-z = -2   (3)

>>En este sistema especial hay ecuaciones que no tienen las tres variables; en este caso se utilizan ecuaciones que tengan las mismas incógnitas; utilizaré la ecuación (2) y la ecuación (3):

.  4y+z = -8

x - y -z = -2

x+3y   = -10   (4) Ecuación de 2 incógnitas

>> Combinamos la ecuación (4) con la ecuación (1):

2x - 5y =   13 

.  x +3y = -10

>> Multiplicamos la segunda ecuación por -2 para igualar los coeficientes de x, pudiendo eliminar esta incógnita:

. 2x-5y = 13

-2x-6y = 20

.     -11y = 33

y = 33/-11

y = -3  <-- Solución.

>> Sustituimos el valor de "y" en la ecuación (1), para encontrar el valor de x:

2x-5y = 13

2x-5(-3) = 13

2x +15 = 13

x = 13-15 /2

x = -2/2

x = -1  <-- Solución.

>> Sustituimos el valor de las incógnitas obtenidos ( x,y) en la ecuación (3), que tiene tres incógnitas, para encontrar el valor de z:

x-y-z = -2

(-1)-(-3)-z = -2

-1+3-z = -2

-z = -2-2

-z = -4

z = 4 <--  Solución.

La Solución general es:   x = -1  ,  y = -3  ,  z = 4

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Ejercicio 186

1) Resolver el sistema 

x+y + z =  6   (1)

x -y+2z =  5   (2)

x -y -3z = -10 (3)

>> Utilizamos la ecuación (1) y (2)

x +y + z =  6

x -y +2z = 5

2x   +3z = 11   (4)  Ecuación con 2 incógnitas.

>> Utilizamos la ecuación (1) y (3)

x   +y + z =   6

x   - y -3z = -10

2x      -2z = - 4   (5)  Ecuación con 2 incógnitas.

>> Formamos un nuevo sistema con las ecuaciones de 2 incógnitas (4) y (5)

2x+3z = 11 (4)

2x -2z = -4  (5)

>> Multiplicamos toda la ecuación (5) por -1, y restamos para eliminar la x:

2x +3z = 11

-2x+2z = 4  (Aquí se cambió el signo a la ecuación al multiplicarla por -1)

.      5z = 15

z = 15/5

z = 3  <-- Solución

>> Sustituimos el valor de "z" obtenido, en la ecuación (4) para encontrar el valor de x:

2x+3z = 11

2x +3(3) = 11

x = 11-9 /2

x = 1  <--  Solución

>>Sustituimos los valores obtenidos de (x, z) en la ecuación (1)

x+y+z = 6

(1)+y+(3) = 6

y+4 = 6

y = 6-4

y = 2  <-- Solución

La Solución General es :  x = 1  ,  y = 2  ,  z = 3

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2)  Resolver el sistema

x+y+z = 12  (1)

2x-y+z = 7   (2)

x+2y-z = 6   (3)

>> Utilizamos la ecuación (1) y (2)

x  +y  +z = 12

2x -y  +z =  7

3x     +2z = 19  (4)  Ecuación con 2 incógnitas.

>> Utilizamos la ecuación (2) y (3)

2x-y+z = 7

x+2y-z = 6

>> multiplicamos la ecuación (2) por 2 para igualar los coeficientes de "y".

4x -2y +2z = 14

.  x+2y -  z =  6

5x        + z = 20  (5)  Ecuación con 2 incógnitas

>> Formamos un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas:

3x+2z = 19  (4)

5x + z = 20  (5)

>> multiplicamos la (5) por -2 para poder eliminar la z.

.  3x+2z =  19

-10x-2z = -40 (se cambió signo a la ecuación al multiplicarla por -5)

- 7x        = -21

x = -21/-7

x = 3  <-- Solución

Sustituimos el valor de "x" en la ecuación (4)

para encontrar el valor de z:

3x+2z = 19

3(3)+2z = 19

z = 19-9 /2

z = 5  <-- Solución

>> Sustituimos los valores obtenidos (x, z ) en la ecuación (1)

para encontrar el valor de la incógnita "y":

x+y+z = 12

(3)+y+(5) = 12

y = 12-8

y = 4  <-- Solución

La Solución general es  x = 3  ,  y = 4  ,  z = 5

______________________________________________

3)  Resolver el sistema

x  - y  +z =  2  (1)

x  +y  +z =  4  (2)

2x+2y-z = -4  (3)

>> Utilizamos las ecuaciones (1) y (2) para eliminar la "y"

x   -y  +z = 2

x  +y  +z = 4

2x     +2z = 6  (4) Ecuación de 2 incógnitas.

>> Utilizamos las ecuaciones (1) y (3) para eliminar la "y", multiplicando la ecuación (1) por 2:

2x -2y +2z =  4

2x +2y -  z = -4

4x        +  z = 0  (5) Ecuación de 2 incógnitas.

>> Formamos un sistema con las dos ecuaciones de 2 incógnitas:

2x+2z = 6  (4)

4x+ z = 0   (5)

>> multiplicamos la ecuación (5) por -2 para eliminar la z:

2x +2z = 6

-8x -2z = 0

-6x       = 6

x = 6/-6

x = -1  <--  Solución

>> Sustituimos el valor de "x" obtenido, en la ecuación (4) para encontrar el valor de z:

2x+2z = 6

2(-1)+2z = 6

-2+2z = 6

z = 6+2 /2

z = 4  <--   Solución

>> Sustituimos en la ecuación (3) los valores obtenidos de (x, z ) para encontrar el valor de "y":

2x+2y-z = -4

2(-1)+2y-(4) = -4

-2+2y-4 = -4

-6+2y = -4

y = -4+6 /2

y = 2/2

y= 1  <-- Solución.

La Solución general es :  x =-1  ,  y = 1  ,  z = 4

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15) Resolver el sistema

x+y =  1   (1)

y+z =  -1   (2)

z+x = -6   (3)

>> Utilizamos las ecuaciones (1) y (2) y multiplicamos la (1) por -1 para eliminar la "y":

-x -y       = -1

.   +y +z = -1

-x      +z = -2  (4)  Ecuación con 2 incógnitas

>> Utilizamos las ecuaciones (3) y (4)

x  + z = -6

-x + z = -2

-    2z = -8

z = -8/2

z = -4  <-- Solución

>> Sustituimos el valor de z en la ecuación (2) para encontrar el valor de x:

y +z = -1

y +(-4) = -1

y -4 = -1

y = -1+4

y = 3  <-- Solución

>> Sustituimos los valores obtenidos de "y" en la ecuación (1) para encontrar el valor de x:

x+y = 1

x +(3) = 1

x = 1-3

x = -2  <-- Solución

La Solución general es:   x = -2  ,  y = 3  ,  z = -4

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Resolución por determinantes de 2 ecuaciones con 2 incógnitas.

.                          

Procedimiento: Teniendo un Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas, lo plantearíamos así:

a₁x+b₁y = c₁

a₂x+b₂y = c₂

1)      Se forma la determinante del sistema  (D₂) con los coeficientes de “x” y de “y” de las 2 ecuaciones; dispuestas en una matriz cuadrada de 2 por 2. Donde “a” es el coeficiente de “x”; y “b” es el coeficiente de “y”

|a₁ b₁|

|a₂ b₂|  = (a₁)( b₂) – (a₂)( b₁) 

 El resultado de la diferencia de los productos será el denominador de la determinante de “x” y de “y”. 

2)      Para encontrar el valor de “x”, formamos una fracción cuyo numerador será la determinante que se forma sustituyendo en la determinante del sistema la columna de los coeficientes de “x” por la columna de los términos independientes de las dos ecuaciones (c). Y cuyo denominador será la determinante del sistema

.     |c₁ b₁|

.     |c₂ b₂| =  (c₁)( b₂) – (c₂)( b₁) 
x = _____  = ________________

.     |a₁ b₁|  = (a₁)( b₂) – (a₂)( b₁)

.     |a₂ b₂| 

3)      Para encontrar el valor de “y”, formamos una fracción cuyo numerador será la determinante que se forma sustituyendo en la determinante del sistema la columna de los coeficientes de “y” por la columna de los términos independientes de las dos ecuaciones(c)  Y cuyo denominador será la determinante del sistema.

.     |a₁c₁|

.     |a₂c₂|  = (a₁)(c₂)-(a₂)(c₁)
y = _____ = _____________

.     |a₁b₁|  = (a₁)(b₂)-(a₂)(b₂) 

.     |a₂b₂| 

 _______________________________________

Ejemplo A)  Resolver por determinantes:

5x+3y=5

4x+7y=27

1)      Determinante del sistema:

.         |5     3|

D₂ = |4     7| = (5)(7)-(4)(3)= 35-12= 23

2)      Valor de “x”

.       |5      3|

.      |27   7|     (5)(7)-(27)(3)     35-81     -46  
x =  ______ = ___________ = _____ = ___ = -2

.       |5      3|            23                23         23

.       |4     7|

 3)      Valor de “y”

.        |5     5|

.        |4  27|     (5)(27)-(4)(5)     135-20     115  
y =    _____ = ___________ = ______ = ___ = 5

.        |5     3|             23                 23          23

.        |4     7|

 Solución:  x = -2 ,  y = 5

 _______________________________________

Ejemplo B)  Resolver por determinantes:

x+1 /5 = y-2 /7

x+4 /3 = y-9 /6 = 8/3

 En este caso, antes de seguir los pasos es necesario realizar unas operaciones:

>> Quitando denominadores es =

7x+7 = 5y-10

2x+8-y+9 = 16

>> Transponiendo términos y reduciendo es =

7x-5y = -17

2x – y =  -1

1)      Determinante del sistema:

.         |7      -5|

D₂ = |2      -1| = (7)(-1) – (2)(-5)= -7+10= 3

 2)      Valor de “x”

.        |-17  -5|

.        |-1    -1|     (-17)(-1)-(-1)(-5)     17 – 5     12 
x =    ______ =  ______________ = _____ =  __  = 4

.        |7     -5|                  3                     3          3

.        |2     -1|

 3)      Valor de “y”

.        |7   -17|

.        |2     -1|     (7)(-1) – (2)(-17)     -7 +34      27 
y =    ______ = _____________  =  ______ = __  = 9      

.        |7     -5|         3                              3            3

.        |2     -2|

 Solución:  x = 4 , y = 9

_________________________________________

Ejercicio 184.

 1)  Resolver por determinantes:

7x+8y = 29

5x+11y = 26

1>      Determinante del sistema:

.        |7      8|

D₂ =  |5   11| = (7)(11)-(5)(8)= 77-40 = 37

2>      Valor de “x”

.       |29     8|

.       |26   11|     (29)(11)-(26)(8)    319-208    111 
x =    ______ = _____________ =  ______ = ___  = 3

.       |7       8|                37                    37        37

.       |5     11|

3>      Valor de “y”

.       |7     29|

.       |5     26|    (7)(26)-(5)(29)     182-145      37 
y =   ______ = ____________ = _______ = __  = 1

.       |7       8|               37                    37         37

.       |5     11|

Solución:  x = 3 ,  y = 1

__________________________________________
  

2)  Resolver por determinantes:

3x-4y=13

8x-5y=-5

1>      Determinante del sistema:

.         |3    -4|

D₂ =  |8    -5| = (3)(-5)-(8)(-4)= -15+32 = 17

2>     Valor de “x”

.       |13   -4|

.       |-5    -5|      (13)(-5)-(-5)(-4)    -65-20     -85 
x =   _______ = _____________ =  _____ = ___ = -5

.       |3      -4|               17                    17        17

.       |8      -5|

3>      Valor de “y”

.       |3    13|

.       |8    -5|      (3)(-5)-(8)(13)     -15-104      -119 
y =   ______ = ____________ = _______ = ____ = -7 

.       |3     -4|               17                    17           17

.       |8     -5|

Solución:  x = -5 , y = -7

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3)  Resolver por determinantes:

13x-31y=-326

25x+37y=146

1>      Determinante del sistema:

.        |13    -31|

D₂ =  |25     37| = (13)(37)-(25)(-31)= 481+775 = 1256

2>      Valor de “x”

.       |-326  -31|

.       | 146    37|   (-326)(37)-(146)(-31)    –12062+4526      -7536 
x =   ________ = _________________ = ____________ = _____ = -6

.       |13      -31|                 1256                          1256           1256

.       |25       37|

3>      Valor de “y”

.       |13    -326|

.       |25     146|     (13)(146)-(25)(-326)     1898+8150    10048  
y =   ________  = _________________ = _________ = _____ = 8

.       |13      -31|                 1256                       1256           1256

.       |25       37|

Solución:  x = -6 ,  y = 8

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4)  Resolver por determinantes:

15x-44y=-6

-27x+32y=-1

1>      Determinante del sistema:

.        |15   -44|

D₂ =  |-27   32| = (15)(32)-(-27)(-44)= 480-1188 = -708

2>      Valor de “x”

.       |-6    -44|

.       |-1     32|    (-6)(32)-(-1)(-44)    -192-44    -236      1
x =   _______ = ______________ = ______ = ____ = __

.       |15   -44|             -708                  -708       -708      3

.       |-27   32|

3>      Valor de “y”

.       |15     -6|

.       |-27   -1|     (15)(-1)-(-27)(-6)     -15-162      -177      1 
y =   _______ = ______________ = _______ = ____ = __  

         |15  -44| =           -708                  -708         -708     4

.       |-27  32|

Solución:  x = 1/3 ,  y = 1/4

______________________________________