Cambio de signos en la suma y resta de fracciones.

.                      

Regla:

Si la cantidad de factores que cambiamos signo en una fracción es impar, se debe cambiar el signo a toda la fracción; pero si la cantidad de factores que cambiamos signo en una fracción es par, el signo de toda la fracción no se cambia.

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Ejemplos:

a) Simplificar  2/ x+1 + 3/ x-1 – x+5/ 1-x²

> Cambiando el signo al denominador de la tercera fracción:

= 2/ x+1 + 3/ x-1 + x+5 / x²-1

> Descomponiendo el denominador de la tercera fracción:

=  2/ x+1 + 3/ x-1 + x+5 / (x+1)(x-1)

> Buscando el m.c.m. de los denominadores:

El m.c.m. de x+1,  x-1,  (x+1)(x-1) es (x+1)(x-1)

> Dividiendo el m.c.m. a los denominadores de las fracciones:

= 2(x-1) + 3(x+1) + x+5 /(x+1)(x-1)

> Resolviendo operaciones:

= 2x-2+3x+3+x+5 / (x+1)(x-1)

> Reduciendo términos semejantes:

= 6x+6 / (x+1)(x-1)

> Descomponiendo el numerador de la fracción:

= 6(x+1) /(x+1)(x-1)

> Simplificando la fracción:

= 6 / x-1   Solución.

b) Simplificar   x / x²-5x+6  –  1 / 2-x  –  2x / (3-x)(1-x)

> Descomponiendo en factores x²-5x+6:

= x / (x-3)(x-2)  –  1 / 2-x  –  2x / (3-x)(1-x)

> Cambiando signo a 2-x = x-2

> Cambiando signo a (3-x)(1-x) = (x-3)(x-1)

= x / (x-3)(x-2) + 1/ x-2 – 2x/(x-3)(x-1)

> Buscando el m.c.m. de los denominadores y aplicándolo:

El m.c.m. de los denominadores es : (x-1)(x-2)(x-3)

= x(x-1) + (x-1)(x-3) – 2x(x-2) /(x-1)(x-2)(x-3)

> Resolviendo operaciones:

= x²-x+x²-4x+3-2x²+4x / (x-1)(x-2)(x-3)

> Reduciendo términos en el denominador:

= -x+3 / (x-1)(x-2)(x-3)

> Cambiando signo a  –x+3 = x-3

> Cambiando signo a     x-1 = 1-x

= x-3 / (1-x)(x-2)(x-3)      (?)

> Simplificando la fracción:

= 1/(1-x)(x-2)   Solución.

(?) Se cambió signo a:  –x+3  y a:  x-1 , para poder dejar la fracción como positiva.

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Ejercicio 131 del libro.

 1) Simplificar   1/ m-n + m/ n²-m²

> Cambiando signo a  n²-m² = m²-n²

= 1/ m-n - m/ m²-n²

> Buscando el m.c.m. de los denominadores y aplicándolo:

El m.c.m. de los denominadores es m²-n²

= 1(m+n) – m(1) / m²-n²

= m+n-m / m²-n²

> Reduciendo términos y simplificando:

= n/ m²-n²   Solución.

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2) Simplificar   x²/ x²-xy – 2x/ y-x

> Descomponiendo x²-xy:

= x²/ x(x-y) – 2x/ y-x

> Cambiando signo a  y-x = x-y:

= x²/ x(x-y) + 2x/ x-y

> Buscando el m.c.m. de las denominadores y aplicándolo:

El m.c.m. de los denominadores es : x(x-y)

= x²(1) + x(2x) / x(x-y)

> Resolviendo operaciones:

= x²+2x²/ x(x-y)

> Descomponiendo el numerador de la fracción:

=x(x+2x) / x(x-y)

> Reduciendo términos y simplificando la fracción:

= 3x/ x-y    Solución.

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3) Simplificar  1/ 2x-x² + x/ x²-4

> Descomponiendo factores:

2x-x² = x(2-x)

x²-4 = (x+2)(x-2)

= 1/ x(2-x) + x/(x+2)(x-2)

> Cambiando signo a  2-x = x-2

= - 1/x(x-2) + x/(x+2)(x-2)

> Buscando el m.c.m. de los denominadores y aplicándolo:

El m.c.m. de los denominadores es : x(x+2)(x-2)

= - 1(x+2) + x(x) / x(x+2)(x-2)

> Resolviendo operaciones:

= -x-2+x² / x(x+2)(x-2)

> Ordenando el numerador:

= x²-x-2 / x(x+2)(x-2)

> Descomponiendo x²-x-2 en factores:

= (x-2)(x+1) / x(x+2)(x-2)

Simplificando la fracción:

= x+1 /x(x+2)    Solución.

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Resta de fracciones con denominadores compuestos.

.                   

Regla General para Restar Fracciones.

1) Se factorizan los denominadores.

2) Se simplifican las fracciones dadas, si es necesario.

3) Se reducen las fracciones dadas al mínimo común denominador, si es necesario.

4) Se efectúan las operaciones indicadas.

5) Se restan los numeradores factorados y simplificados y se parten por el denominador común.

6) Se reducen los términos semejantes en el numerador.

7) Se simplifica el resultado a su mínima expresión.

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Ejemplo A)  Restar   a/ab-b²  -  1/b

>> Factorizando los denominadores

ab-b² = b(a-b)

b = b

>> Encontrando el m.c.m.  de   b(a-b)   y  b es = b(a-b) -->

b(a-b) ÷ b(a-b) = 1  -->  1(a) = a

b(a-b) ÷ b = a-b  --> (a-b)1 =  a-b

>> La resta quedaría así:

(a) - (a-b) /b(a-b) =  a-a+b/b(a-b)

>>  Reduciendo términos semejantes y simplificando =

b/b(a-b) = 1/a-b   <--  , que es la solución.

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Ejemplo B)  Restar  2/x+x²  -  1/x-x²  -  1-3x/x-x³

>> Factorizando denominadores

x+x² = x(1+x)

x-x² = x(1-x)

x-x³ = x(1-x²) = x(1-x)(1+x)

>> El m.c.m. de los denominadores factorados es x(1-x)(1+x)  -->

x(1-x)(1+x) ÷ x(1+x)= 1-x   --> (1-x)(2) = 2-2x

x(1-x)(1+x) ÷ x(1-x)=  1+x  --> (1+x)(1) = 1+x

x(1-x)(1+x) ÷ x(1-x)(1+x) =  1 --> (1)(1-3x) = 1-3x

>>  La resta quedaría así:

2-2x -(1+x) -(1-3x) /x(1-x)(1+x) = 2 -2x -1 -x -1 +3x /x(1-x)(1+x) =

>> Reduciendo términos semejantes y simplificando es =

0/x(1-x)(1+x) = 0  <--  Es la solución.

Nota: al reducir los términos en el numerador (-2x-x+3x) y (2-1-1) el resultado es cero; y cualquier fracción con numerador (cero) equivale a (cero).

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Ejemplo C)  Restar  4x²-1/2x²-8 - (x+1)²/x²+4x+4 - x+3/x-2

>> Factorizando los denominadores:

2x²-8 = 2(x²-4) = 2(x-2)(x+2)

x²+4x+4 = (x+2)(x+2) = (x+2)²

x-2 = x-2

>> El m.c.m. de los denominadores factorados es = 2(x+2)²(x-2) -->

2(x+2)²(x-2) ÷ 2(x-2)(x+2)= x+2   --> (x+2)(4x²-1)

2(x+2)²(x-2) ÷ (x+2)² = 2(x-2)   --> 2(x-2)(x+1)²

2(x+2)²(x-2) ÷ (x-2) = 2(x+2)²   --> 2(x+2)²(x+3)

>> La resta quedaría así:

(x+2)(4x²-1) - 2(x-2)(x+1)² - 2(x+2)²(x+3) / 2(x+2)²(x-2) =

>> Simplificando por factorización:

4x³+8x²-x-2 - 2(x-2)(x²+2x+1) - 2(x²+4x+4)(x+3) / 2(x+2)²(x-2) =

4x³+8x²-x-2 - (2x³-6x-4) -(2x³+14x²+32x+24) / 2(x+2)²(x-2) =

4x³+8x²-x-2 -2x³+6x+4 - 2x³-14x²-32x-24 / 2(x+2)²(x-2) =

>> Reduciendo términos semejantes es =

-6x² -27x -22 / 2(x+2)²(x-1)

>> Cambiando los signos a (-6x² -27x-22)  y a (x-1) es =

6x² +27x +22 / 2(x+2)²(1-x) , que es la Solución.

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Ejercicio 129 del libro.

1) De 1/x-4  restar 1/x-3

>>No es necesario simplificar ni factorar la fracción.

>> El m.c.m. de x-4   y   x-3 es =  (x-4)(x-3)  -->

(x-4)(x-3) ÷ x-4 = x-3   --> (x-3)1 = x-3

(x-4)(x-3) ÷ x-3 = x-4   --> (x-4)1 = x-4 -->

>> La resta quedaría así :

(x-3) -(x-4) / (x-4)(x-3) = x-3-x+4 / (x-4)(x-3)

>> Reduciendo términos semejantes  es =

x/(x-4)(x-3)  <-- que es la Solución.

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2) De  m-n/m+n  restar  m+n/m-n

>> No es necesario simplificar ni factorar.

>> El m.c.m. de m+n   y    m-n es = (m+n)(m-n) -->

(m+n)(m-n) ÷ m+n = m-n   --> (m-n)(m-n) = m² -2mn+n²

(m+n)(m-n) ÷ m-n = m+n   --> (m+n)(m+n) = m² +2mn +n²

>> La resta quedaría así:

m²-2mn+n² - (m²+2mn+n²)/(m+n)(m-n) =

= m²-2mn+n² -m²-2mn-n²/(m+n)(m-n)

>> Reduciendo términos semejantes es =

-4mn/(m+n)(m-n) = -4mn/m²-n² = 4mn/n²-m² ,  Solución.

_________________________________________

3) De 1-x/1+x  restar  1+x/1-x

>> El m.c.m. de 1+x   y   1-x  es = (1+x)(1-x) -->

(1+x)(1-x) ÷ 1+x = 1-x    --> (1-x)(1-x) = 1-2x+x²

(1+x)(1-x) ÷ 1-x = 1+x   -->  (1+x)(1+x) = 1+2x+x²

>> La resta quedaría así:

1-2x+x² - (1+2x+x²) / (1+x)(1-x) =

1-2x +x² -1 -2x -x² / (1+x)(1-x) =

Reduciendo términos semejantes es =

-4x/(1+x)(1-x) =-4x/1-x² = 4x/x²-1 ,  Solución.

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4) De  a+b/a²+ab   restar   b-a/ab+b²

>> Factorizando denominadores:

a²+ab = a(a+b)

ab+b² = b(a+b)

>> El m.c.m. de  a(a+b)   y   b(a+b) es = ab(a+b) -->

ab(a+b) ÷ a(a+b) = b  -->  b(a+b) = ab+b²

ab(a+b) ÷ b(a+b) = a  -->  a(b-a) = ab-a²

>> La resta quedaría así:

ab+b² - (ab-a²) /ab(a+b) = ab+b²-ab+a² /ab(a+b)

>> Reduciendo términos semejantes es =

a²-b² /ab(a+b) , Solución.

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5) De  m+n/m-n  restar  m²+n²/m²-n²

>> Factorizando denominadores:

m-n = m-n

m²-n² = (m+n)(m-n) = m²-n²

>> El m.c.m. de  m-n   y   m²-n² es =  m²-n²  -->

m²-n² / m-n = m+n   --> (m+n)(m+n) = m²+2mn+n²

m²-n² / m²-n² = 1   --> 1(m²+n²) = m²+n²

>>  La resta quedaría así:

m²+2mn+n² - (m²+n²)/ m²-n²  = m²+2mn+n²-m²-n²/m²-n²

Reduciendo términos semejantes es =

2mn /m²-n² ,  Solución.

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6) Restar  1/x-x²  de  1/x+x²

Factorizando denominadores:

x-x² =  x(1-x)

x+x² = x(1+x)  -->

>> El m.c.m. de   x(1-x)   y   x(1+x) es = x(1-x²)  -->

x(1-x²) / x(1-x) = 1+x  --> (1-x)(1) = 1-x

x(1-x²) / x(1+x) = 1-x  --> (1-x)(1) = 1+x

>> La resta quedaría así :

1-x - (1+x) / x(1-x²)  =  1-x-1-x / x(1-x²)

>> Reduciendo términos semejantes y simplificando es =

-2x / x(1-x²) = 2x / x(x²-1) = 2/x²-1  Solución.

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Resta de fracciones con denominadores monomios.

.                    

Regla General para la Resta de Fracciones:

1) Se simplifican las fracciones dadas si es necesario.

2) Se reducen las fracciones dadas al mínimo común denominador.

3) Se efectúan las multiplicaciones indicadas.

4) Se restan los numeradores y la diferencia se parte entre el denominador común.

5) Se reducen términos semejantes en el numerador.

6) Se simplifica el resultado, si es necesario.

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Ejemplo A)  De    a+2b/3a  restar  4ab²-3/6a²b

1) No es necesario simplificar.

2) El m.c.m.  de 3a   y    6a²b  es =  6a²b

3) Efectuando operaciones:

6a²b ÷ 3a  =  2ab,  -->  2ab(a+2b) =  2a²b+4ab²

6a²b ÷ 6a²b  =  1.  -->  1(4ab²-3) =  4ab²-3

4) La resta quedaría así:

2a²b+4ab² -(4ab²-3)/6a²b = 2a²b+4ab²-4ab²+3/6a²b =

5 y 6) Reduciendo términos semejantes y simplificando:

=  2a²b+3/ 6a²b ,  <--  Solución

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Ejemplo B)  Restar  x+2/x²    de   x-1/3x

El minuendo es x-1/3x

1) No es necesario simplificar

2) El m.c.m. de  3x   y   x²  es =  3x²

3) Efectuando las operaciones

3x² ÷ 3x =  x,  --> x(x-1) =  x² -x

3x² ÷ x²=  3, -->  3(x+2) =  3x+6

4)  La resta quedaría así:

x² -x -(3x+6)/3x² = x²-x-3x-6/3x²

5 y 6) Reduciendo términos semejantes y simplificando:

x²-4x-6/3x²  <--  Solución.

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Ejemplo C)  Simplificar la Resta   x²+3x-2/2x² - 2x+5/4x

1)  No es necesario simplificar.

2)  El m.c.m. de   2x²   y   4x es  =  4x²

3) Efectuando operaciones:

4x² ÷ 2x² =   2,  -->  2(x²+3x-2) =  2x²+6x-4

4x² ÷ 4x =  x,  -->  x(2x+5) =  2x² +5x

4)  La resta quedaría asó:

2x²+6x-4 -(2x²+5x)/4x² =  2x²+6x-4-2x²-5x/4x² =

5 y 6)  Reduciendo términos semejantes y simplificando:

= x-4/4x²  <--  Solución.

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Ejercicio 128 del libro.

En algunos problemas de este ejercicio no se realizarán algunos pasos, cuando no sea necesario.

1)  Restar   x-3/4  -  x+2/8

>> El m.c.m.  de  4  y  8  es =  8

>> 8÷4 = 2   -->  2(x-3) = 2x-6

.     8÷8 = 1  -->  1(x+2) = x+2

>>  La resta  sería :  2x-6 -(x+2)/8  =  2x-6-x-2/8 =

>>  =  x-8 /8  <--   Solución.

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2) Restar   a+5b/a² -  b-3/ab

>>  El m.c.m. de   a²   y   ab  es  =  a²b

>> a²b ÷ a² =  b  -->  b(a+5b) =  ab+5b²

.     a²b ÷ ab =  a  -->  a(b-3) =  ab-3a

>> La resta sería :  ab+5b² - (ab-3a)/a²b = ab+5b²-ab+3a/a²b =

>>  3a+5b²/a²b  <--  Solución.

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3) Restar  2/3mn²   -   1/2m²n

>> El m.c.m. de   3mn²   y   2m²n es =  6m²n²

>> 6m²n² ÷ 3mn²=  2m  -->  2m(2) = 4m

.     6m²n² ÷ 2m²n = 3n  --> 3n(1) = 3n

>>  La resta sería:  4m -(3n)/6m²n²  =  4m-3n/6m²n² =

>>  4m-3n / 6m²n²  <--  Solución.

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4) Restar   a-3/5ab   -   4-3ab²/3a²b³

>> El m.c.m.  de   5ab   y   3a²b³ es =   15a²b³

>>  15a²b³ ÷ 5ab = 3ab²  -->  3ab²(a-3) = 3a²b² -9ab²

.      15a²b³ ÷ 3a²b³ = 5  --> 5(4-3ab²) = 20-15ab²

>>  La resta sería :  3a²b²-9ab² -(20-15ab²)/15a²b³ =

-     = 3a²b² -9ab² -20 +15ab²/15a²b³

>>  =  3a²b² +6ab² -20/15a²b³   <--  Solución.

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5) Restar   2a+3/4a   -   a-2/8a

>>  El m.c.m. de  4a    y    8a  es =  8a

>>  8a ÷ 4a =  2  -->  2(2a+3) = 4a+6

.      8a ÷ 8a = 1  -->  1(a-2) =  a-2

>>  La resta sería:  4a+6 -(a-2)/8a = 4a+6-a+2/8a =

>> =  3a+8/8a  <--   Solución.

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6) Restar  y-2x/20x   -   x-3y/24y

>>  El m.c.m. de  20x   ,     24y  es =    120xy

>>  120xy ÷ 20x = 6y  -->  6y(y-2x) =  6y²-12xy

.      120xy ÷ 24y = 5x  -->  5x(x-3y) = 5x²-15xy

>> La resta sería:  6y²-12xy -(5x²-15xy)/120xy =

.    = 6y²-12xy-5x²+15xy/120xy =

>> =  6y²+3xy-5x²/120xy  <--   Solución.

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7) Restar  x-1/3  -   x-2/4  -  x+3/6

>>  El m.c.m. de  3, 4 y 6  es = 12

>>  12 ÷ 3 = 4  --> 4(x-1) =  4x-4

.     12 ÷ 4 = 3  --> 3(x-2) =  3x-6

.     12 ÷ 6 = 2  --> 2(x+3) = 2x+6

>> La resta sería:  4x-4 -(3x-6) -(2x+6)/12 =

.    =  4x-4-3x+6-2x-6/12 =

>> =  -x-4/12   ó  -(x+4/12)  <--  Solución.

Nota:  Como al numerador de la solución (-x-4) le cambiamos signos (x+4); entonces toda la fracción queda negativa  -(x+4/12). ( Ver ejercicio 131 "Cambio de signos en la suma y resta de fracciones")

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8) Restar  3/5  -  2a+1/10a  -  4a²+1/20a²

>> El m.c.m. de  5,  10a,  y   20a² es =  20a²

>>  20a² ÷ 5 = 4a²  -->  4a²(3) = 12a²

.     20a² ÷ 10a = 2a  -->  2a(2a+1) = 4a²+2a

.     20a² ÷ 20a² = 1  --> 1(4a²+1) = 4a²+1

>> La resta sería:  12a² -(4a²+2a) -(4a²+1) / 20a² =

.    =  12a² -4a² -2a -4a² -1 / 20a² =

>>  4a² -2a -1 / 20a²  <--  Solución.

Suma de fracciones con denominadores compuestos.

.                   

Procedimiento:

>> Se halla el m.c.m. de los denominadores , factorando los binomios.

>> Se divide el denominador común entre cada uno de los denominadores factorados y el cociente se multiplica por el denominador respectivo.

>> Se escribe la suma los resultados obtenidos como un solo numerador y esto se parte entre el denominador común.

>> Se efectúan los productos resultantes.

>> Por ultimo se reducen los términos semejantes del denominador.  

Y esta fracción resultante es la Solución.

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Ejemplo A) Sumar 1/3x+3 + 1/2x-2 + 1/x²-1

>> Factorando los denominadores  3x+3  ,   2x-2  ,  x²-1

3x+3 =  3(x+1)

2x -1 =  2(x-1)

x² -1 =  (x-1)(x+1)

--> el m.c. m. de  3(x+1)  ,  2(x-1)  ,   (x-1)(x+1) = 6(x-1)(x+1)

>> Dividiendo el común denominador entre cada uno de los denominadores factorados

6(x-1)(x+1)  ÷  3(x+1) = 2(x-1)  --> 2(x+1)(1) = 2(x+1)

6(x+1)(x-1) ÷ 2(x-1) = 3(x+1)  --> 3(x+1)(1) = 3(x+1)

6(x+1)(x-1) ÷ (x-1)(x+1) = 6  --> 6(1) =  6

>> Escribiendo la suma  de los resultados

2(x-1) + 3(x+1) + 6 / 6(x-1)(x+1)

>> Efectuando productos:

2x -2 +3x +3 +6 / 6(x-1)(x+1)

>> Reduciendo los términos semejantes

5x +7 / 6(x-1)(x+1),  que es la Solución.

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Ejemplo B)  Sumar a-1/a²-4 + a-2/a²-a-6 + a+6/a²-5a+6

>> Factorando los denominadores  a²-4  ,  a²-a-6  ,  a²-5a+6

a²-4 =  (a-2)(a+2)

a²-a-6 = (a-3)(a+2)

a²-5a+6 = (a-3)(a-2)

--> el m.c.m.  de (a-2)(a+2)  ,  (a-3)(a+2)  ,  (a-3)(a-2)  es   (a+2)(a-2)(a-3)

>> Dividiendo el denominador común entre cada uno de los denominadores factorados

(a+2)(a-2)(a-3) ÷ (a-2)(a+2) = a-3  -->  (a-3)(a-1)

(a+2)(a-2)(a-3) ÷ (a-3)(a+2) = a-2  -->  (a-2)(a-2)

(a+2)(a-2)(a-3) ÷ (a-3)(a-2) = a+2   --> (a+2)(a+6)

>> Escribiendo la suma de resultados

(a-3)(a-1) + (a-2)(a-2) + (a+2)(a+6) /(a+2)(a-2)(a-3)

>> Efectuando los productos:

a²-4a+3 + a²-4a+4 + a²+8a+12 /(a+2)(a-2)(a-3)

>> Reduciendo términos semejantes

3a² +19 / (a+2)(a-2)(a-3)  <--  Solución.

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Ejercicio 127 del Libro.

1) Sumar   1/a+1 + 1/a-1

En este caso no es necesario factorar los denominadores

El m.c.m. de   a+1  ,  a-1  =  (a+1)(a-1)

-->  (a+1)(a-1) ÷ (a+1) =  a-1  -->  (a-1)(1) =  a-1

.      (a+1)(a-1)  ÷ (a-1) = a+1  --> (a+1)(1) =  a+1

--> la suma es  (a-1) + (a+1) / (a+1)(a-1)

Reduciendo términos semejantes

a-1+a+1 / (a+1)(a-1)  =  2a / (a+1)(a-1) o bien 2a / a²-1 <-- Solución.

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2) Sumar  2/x+4 + 1/x-3

En este caso no es necesario factorar los denominadores.

El m.c.m. de  x+4  ,  x-3  =  (x+4)(x-3) -->

(x+4)(x-3) ÷ (x+4) = x-3  -->  (x-3)(2) = 2x-6

(x+4)(x-3) ÷ (x-3) = x+4  -->  (x+4)(1) = x+4

La suma quedaría :  (2x-6) + (x+4)/ (x+4)(x-3)

Reduciendo términos semejantes

2x-6+x+4 / (x+4)(x-3) = 3x-2 / (x+4)(x-3) <-- Solución.

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3) Sumar   3/1-x  ,  6/2x+5

En este caso no es necesario factorar los denominadores

El m.c.m.  de  1-x  ,  2x+5 es =  (1-x)(2x+5)  -->

(1-x)(2x+5) ÷ (1-x) = 2x+5  -->  (2x+5)(3) = 6x+15

(1-x)(2x+5) ÷ (2x+5) = (1-x)  --> (1-x)(6) = 6-6x

La suma quedaría :  (6x+15) + (6-6x) / (1-x)(2x+5)

Reduciendo términos semejantes:

6x+15+6-6x / (1-x)(2x+5) =  21/(1-x)(2x+5)  <-- Solución.

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4) Sumar   x/x-y  +  x/x+y

No es necesario factorar.

El m.c.m. de  x-y  ,   x+y  es =  (x-y)(x+y)   -->

(x-y)(x+y) ÷ (x-y) = (x+y)   --> (x+y)(x) = x²+xy

(x-y)(x+y) ÷ (x+y) = (x-y)   --> (x-y)(x) =  x²-xy

La suma quedaría:   (x²+xy) +(x²-xy) / (x-y)(x+y)

Reduciendo términos semejantes:

x²+xy+x²-xy / (x-y)(x+y) =  2x²/(x-y)(x+y) ò  2x²/x²-y² <--  Solución.

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5) Sumar   m+3/m-3  +  m+2/m-2

No es necesario factorar.

El m.c.m. de  m-3  ,  m-2  es =  (m-3)(m-2)   -->

(m-3)(m-2) ÷ (m-3) = (m-2)   -->  (m-2)(m+3) = m²+m-6

(m-3)(m-2) ÷ (m-2) = (m-3)   -->  (m-3)(m+2) = m²-m-6

La suma quedaría:  (m²+m-6)+(m²-m-6)/(m-3)(m-2)

Reduciendo términos semejantes:

m²+m-6+m²-m-6/(m-3)(m-2) =  2m²-12/(m-3)(m-2)  <--  Solución.

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7) Sumar    x/x²-1 +  x+1/(x-1)²

Factorando los denominadores:

x² -1 = (x+1)(x-1)

(x-1)² = (x-1)(x-1)  -->

el m.c.m. de  (x+1)(x-1)  ,   (x-1)(x-1) es = (x+1)(x-1)²   -->

(x+1)(x-1)² ÷ (x+1)(x-1) = (x-1)  --> (x-1)(x) =  x²-x

(x+1)(x-1)² ÷ (x-1)(x-1) = (x+1)  --> (x+1)(x+1) = x²+2x+1

La suma quedaría así: (x²-x) + (x²+2x+1)/(x+1)(x-1)²

Reduciendo términos semejantes:

x²-x+x²+2x+1/(x+1)(x-1)²  =  2x²+x+1/(x+1)(x-1)²   <--   Solución.

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9) Sumar   1/3x-2y  + x-y/9x²-4y²

Factorando los denominadores:

3x-2y = 3x-2y

9x²-4y²= (3x-2y)(3x+2y)  -->

el m.c.m.  de  (3x-2y)   ,   (3x+2y)(3x-2y) es =  9x²-4y²  -->

9x²-4y² ÷ (3x-2y) = (3x+2y)  -->  (3x+2y)(1) = 3x+2y

9x²-4y² ÷ (3x+2y)(3x-2y) = 1   --> (1)(x-y) =  x-y  -->

la suma quedaría así:  (3x+2y) + (x-y) /9x²-4y²

Reduciendo términos semejantes:

3x+2y+x-y/9x²-4y²  =  4x+y/9x²-4y²  -->  Solución.

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Suma de fracciones con denominadores monomios.

.        

Procedimiento:

>> Se halla el m.c.m. de los denominadores , factorando los binomios.

>> Se divide el denominador común entre cada uno de los denominadores factorados y el cociente se multiplica por el denominador respectivo.

>> Se escribe la suma los resultados obtenidos como un solo numerador y esto se parte entre el denominador común.

>> Por ultimo se reducen los términos semejantes del denominador.   Y esta fracción resultante sera la Solución.

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Ejemplo A) Sumar   1/3x+3   +   1/2x-2   +   1/x2-1

>> Factorando los denominadores  3x+3  ,   2x-2  ,  x^2-1

3x+3 =  3(x+1)

2x -1 =  2(x-1)

x^2 -1 =  (x-1)(x+1)

--> el m.c. m. de  3(x+1)  ,  2(x-1)  ,   (x-1)(x+1) = 6(x-1)(x+1)

>> Dividiendo el común denominador entre cada uno de los denominadores factorados

6(x-1)(x+1)  ÷  3(x+1) = 2(x-1)  --> 2(x+1)(1) = 2(x+1)

6(x+1)(x-1) ÷ 2(x-1) = 3(x+1)  --> 3(x+1)(1) = 3(x+1)

6(x+1)(x-1) ÷ (x-1)(x+1) = 6  --> 6(1) =  6

>> Escribiendo la suma  de los resultados

2(x-1)  +  3(x+1)  +  6 / 6(x-1)(x+1) / 6(x-1)(x+1)

>> Reduciendo los términos semejantes

2x -2 +3x +3 +6 / 6(x-1)(x+1) =   5x +7 / 6(x-1)(x+1),  que es la Solución.

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Ejemplo B)  Sumar a-1/a²-4  +  a-2/a²-a-6  +  a+6/a²-5a+6

>> Factorando los denominadores  a²-4  ,  a²-a-6  ,  a²-5a+6

a²4 =  (a-2)(a+2)

a²a-6 = (a-3)(a+2)

a²-5a+6 = (a-3)(a-2)

--> el m.c.m.  de (a-2)(a+2)  ,  (a-3)(a+2)  ,  (a-3)(a-2)  es   (a+2)(a-2)(a-3)

>> Dividiendo el denominador común entre cada uno de los denominadores factorados

(a+2)(a-2)(a-3) ÷ (a-2)(a+2) = a-3  -->  (a-3)(a-1)

(a+2)(a-2)(a-3) ÷ (a-3)(a+2) = a-2  -->  (a-2)(a-2)

(a+2)(a-2)(a-3) ÷ (a-3)(a-2) = a+2   --> (a+2)(a+6)

>> Escribiendo la suma de resultados

(a-3)(a-1)  +  (a-2)(a-2)  +  (a+2)(a+6) /(a+2)(a-2)(a-3)

>> Reduciendo términos semejantes

a²-4a+3 + a²-4a+4 + a²+8a+12 =  3a^2 +19 / (a+2)(a-2)(a-3)  <--  Solución.

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Ejercicio 126 del libro.

1) Sumar   1/a+1  +  1/a-1

En este caso no es necesario factorar los denominadores

El m.c.m. de   a+1  ,  a-1  =  (a+1)(a-1)

-->  (a+1)(a-1) ÷ (a+1) =  a-1  -->  (a-1)(1) =  a-1

.      (a+1)(a-1)  ÷ (a-1) = a+1  --> (a+1)(1) =  a+1

--> la suma es  (a-1) + (a+1) / (a+1)(a-1)

Reduciendo términos semejantes

a-1+a-1 / (a+1)(a-1)  =  2a / (a+1)(a-1) o bien 2a / a²-1 <-- Solución.

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2) Sumar  2/x+4  +  1/x-3

En este caso no es necesario factorar los denominadores.

El m.c.m. de  x+4  ,  x-3  =  (x+4)(x-3) -->

(x+4)(x-3) ÷ (x+4) = x-3  -->  (x-3)(2) = 2x-6

(x+4)(x-3) ÷ (x-3) = x+4  -->  (x+4)(1) = x+4

La suma quedaría :  (2x-6) + (x+4)/ (x+4)(x-3)

Reduciendo términos semejantes

2x-6+x+4 / (x+4)(x-3) = 3x-2 / (x+4)(x-3) <-- Solución.

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3) Sumar   3/1-x  ,  6/2x+5

En este caso no es necesario factorar los denominadores

El m.c.m.  de  1-x  ,  2x+5 es =  (1-x)(2x+5)  -->

(1-x)(2x+5) ÷ (1-x) = 2x+5  -->  (2x+5)(3) = 6x+15

(1-x)(2x+5) ÷ (2x+5) = (1-x)  --> (1-x)(6) = 6-6x

La suma quedaría :  (6x+15) + (6-6x) / (1-x)(2x+5)

Reduciendo términos semejantes:

6x+15+6-6x / (1-x)(2x+5) =  21/(1-x)(2x+5)  <-- Solución.

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4) Sumar   x/x-y  +  x/x+y

No es necesario factorar.

El m.c.m. de  x-y   ,    x+y  es =  (x-y)(x+y)   -->

(x-y)(x+y) ÷ (x-y) = (x+y)   --> (x+y)(x) = x²+xy

(x-y)(x+y) ÷ (x+y) = (x-y)   --> (x-y)(x) =  x²-xy

La suma quedaría:   (x^2+xy) +(x^2-xy) / (x-y)(x+y)

Reduciendo términos semejantes:

x²+xy+x²-xy / (x-y)(x+y) =  2x²/(x-y)(x+y) ó  2x²/x²-y²<--  Solución.

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5) Sumar   m+3/m-3  +  m+2/m-2

No es necesario factorar.

El m.c.m. de  m-3  ,  m-2  es =  (m-3)(m-2)   -->

(m-3)(m-2) ÷ (m-3) = (m-2)   -->  (m-2)(m+3) = m²+m-6

(m-3)(m-2) ÷ (m-2) = (m-3)   -->  (m-3)(m+2) = m²-m-6

La suma quedaría:  (m²+m-6)+(m²-m-6)/(m-3)(m-2)

Reduciendo términos semejantes:

m²+m-6+m²-m-6/(m-3)(m-2) =  2m²-12/(m-3)(m-2)  <--  Solución.

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7) Sumar    x/x²-1   +    x+1/(x-1)²

Factorando los denominadores:

x² -1 = (x+1)(x-1)

(x-1)² = (x-1)(x-1)  -->

el m.c.m. de  (x+1)(x-1)  ,   (x-1)(x-1) es = (x+1)(x-1)²   -->

(x+1)(x-1)² ÷ (x+1)(x-1) = (x-1)  --> (x-1)(x) =  x²-x

(x+1)(x-1)² ÷ (x-1)(x-1) = (x+1)  --> (x+1)(x+1) = x²+2x+1

La suma quedaría así: (x²-x) + (x²+2x+1)/(x+1)(x-1)²

Reduciendo términos semejantes:

x²-x+x²+2x+1/(x+1)(x-1)²  =  2x²+x+1/(x+1)(x-1)²   <--   Solución.

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9) Sumar   1/3x-2y    +   x-y/9x²-4y²

Factorando los denominadores:

3x-2y = 3x-2y

9x²-4y² = (3x-2y)(3x+2y)  -->

el m.c.m.  de  (3x-2y)   ,   (3x+2y)(3x-2y) es =  9x²-4y²  -->

9x²-4y² ÷ (3x-2y) = (3x+2y)  -->  (3x+2y)(1) = 3x+2y

9x²-4y² ÷ (3x+2y)(3x-2y) = 1   --> (1)(x-y) =  x-y  -->

la suma quedaría así:  (3x+2y) + (x-y) /9x²-4y²

Reduciendo términos semejantes:

3x+2y+x-y/9x²-4y²  =  4x+y/9x²-4y²  -->  Solución.

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