Regla
General.
Se descomponen
cada uno de los polinomios dados en sus factores primos. El
M.C.D. es el producto de los factores comunes con su menor
exponente.
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Ejemplo a)
Hallar el m.c.d. de 4a²+4ab y
2a⁴-2a²b²
1°) Se
factorizan las expresiones dadas:
--> 4a² + 4ab
= 4a(a+b)
(Se aplicó Caso I de
Factorización)
--> 2a⁴ -2a²b² = 2a²(a² - b²) = 2a²(a+b)(a-b)
(Se aplicó Caso I y IV de
Factorización)
2°)
Se buscan los factores comunes de las expresiones encontradas:
Factor común de
4a y 2a² es 2a
Factor común de
(a+b) y (a+b)(a-b) es (a+b)
por lo tanto, el
m.c.d. de 4a(a+b) y 2a²(a+b)(a-b) es =
2a(a+b) , que es la Solución.
NOTA
:
Al factorizar es necesario aplicar las reglas para la Descomposición de Factores o Factorización, según el Caso que le corresponda.
Al factorizar es necesario aplicar las reglas para la Descomposición de Factores o Factorización, según el Caso que le corresponda.
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Ejemplo b) Hallar el m.c.d. de x² - 4 , x² -x -6 , x² +4x +4
1°) Se
factorizan las expresiones dadas:
--> x² -4 =
(x -2)(x +2) Se aplicó el Caso IV de Factorización
--> x² -x -6
= (x -3)(x +2) Se aplicó el Caso III de
Factorización.
--> x²+4x +4
= (x +2)(x +2) Se aplicó el Caso III de
Factorización.
Se buscan los
factores comunes de las expresiones encontradas:
Factor común de
las 3 expresiones factorizadas es = (x +2)
por lo tanto, el
m.c.d. de x² -4, x² -x -6 y x² +4x +4
es = x +2 Solución.
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Ejercicio 112.
1) Hallar
el m.c.d. de 2a² +2ab , 4a² -4ab
Factorizando las
expresiones dadas:
--> 2a² +2ab
= 2a(a +b) Se
aplicó el Caso I de Factorización.
--> 4a² -4ab
= 2a(2a -2b) Se aplicó
el Caso I de Factorización.
Buscando los
factores comunes de las expresiones encontradas:
Factor común de
2a(a +b) y 4a(a -b)
es = 2a
por lo tanto el
m.c.d. de 2a² +2ab y 4a² -4ab es = 2a <-- Solución.
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2) Hallar el m.c.d. de 6x³y -6x²y , 9x³y² +18x²y²
Factorizando las
expresiones dadas:
--> 6x³y
-6x²y = 3x²y(2x -2)
--> 9x³y² +18x²y² = 3x²y²(3x +6)
( Para ambas expresiones se aplicó el Caso I)
Buscando los
factores comunes de las expresiones encontradas:
Factor común de
3x²y(2x -2) y 3x²y²(3x
+6) es = 3x^2y
por lo tanto el
m.c.d. de 6x³y -6x²y y
9x³y² +18x²y² es = 3x²y
<-- Solución.
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3) Hallar el m.c.d. de 12a²b³ y 4a³b²-8a²b³
Faxctorizando las
expresiones dadas:
--> 12a²b³ = 4a²b²(3b)
--> 4a³b² -8a²b³ = 4a²b²(a-2b)
(Para ambas expresiones se aplicó el Caso I)
Factor común de
4a²b²(3b) y 4a²b²(a-2b)
es = 4a²b²
Por lo tanto el
m.c.d. de 12a²b³ y
4a³b² -8a²b³ es = 4a²b² <-- Solución.
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4) Hallar el m.c.d. de ab +b y a² +a
Factorizando las
expresiones dadas:
--> ab +b =
b(a +1)
--> a² +a =
a(a +1) (Para ambas expresiones se
aplicó el Caso I)
Factor común de
b(a +1) y a(a +1) es
= (a +1)
Por lo tanto el
m.c.d. de ab +b y a² +a es = a +1 <--
Solución.
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5) Hallar el m.c.d. de x² -x y x³ -x²
Factorizando las
expresiones dadas:
--> x² -x = x(x -1)
--> x³ -x² = x²(x -1)
(Para ambas expresiones se aplicó el Caso I)
Factor común de
x(x -1) y x²(x
-1) es = x(x -1)
Por lo tanto el
m.c.d. de x(x -1) y x²(x -1)
es = x(x -1) <-- Solución.
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6) Hallar el m.c.d. de 30ax² -15x³ , 10axy² -20x²y²
Factorizando las
expresiones dadas:
--> 30ax² -15x³ = 15x²(2a -x) = (3)(5)(x)(x)(2a -x)
--> 10axy² -20x²y² = 10xy²(a -2x) = (2)(5)(x)(y^2)(a -2x)
Se aplicó el Caso I
Factor común de
(3)(5)(x)(x)(2a -x)
y (2)(5)(x)(y^2)(a -2x)
es = 5x
Por lo tanto el
m.c.d. de 30ax² -15x³ y 10axy² -20x²y² es = 5x <-- Solución.
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7) Hallar el m.c.d. de 18a²x³y⁴ , 6a²x²y⁴ -18a²xy⁴
Factorizando las
expresiones dadas:
-->
18a²x³y⁴ = 6a²xy⁴(3x²)
-->
6a²x²y⁴ -18a²xy⁴ = 6a²xy⁴(x -3)
Se aplicó el Caso I para ambas expresiones.
Factor común
para 6a²xy⁴(3x²) y
6a²xy⁴(x -3) es = 6a²xy⁴
Por lo tanto el
m.c.d. de 18a²x³y⁴ y 6a²x²y⁴ -18a²xy⁴ es = 6a²xy⁴ <-- Solución.
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8) Hallar el m.c.d. de 5a² -15a , a³ -3a²
Factorizando las
expresiones dadas:
--> 5a² -15a = 5a(a -3)
--> a³ -3a² = a²(a -3) Se
aplicó el Caso I, para ambas expresiones.
Factor común de
5a(a -3) y a²(a -3)
es = a(a-3)
Por lo
tanto el m.c.d. de 5a² -15a y a³ -3a² es = a(a -3) <--
Solución.
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