Suma o diferencia de potencias impares iguales. Caso X.

.                                        

Regla para  la suma  de dos potencias impares iguales (m⁵+n⁵) es  igual a dos factores:

el primer factor es la suma de las raíces de los términos (m+n)

el segundo factor es el primer término elevado a la 5-1=4,  menos el 1º término  elevado a la 5-2= 3 por el 2º término elevado a la 1,  más el 1º término elevado a la 5-3=2 por el 2º término elevado al cuadrado,  menos el 1º término elevado a la 5-4=1 por el 2º término elevado al cubo,  más el 2º término elevado a la cuarta. (m⁴ - m³n + m²n² - mn³ + n⁴)

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Regla para  La diferencia  de dos potencias impares iguales (m⁵ - n⁵) es  igual a dos factores:

el primero es la diferencia de las raíces de los términos (m-n)

el segundo es el primer término elevado a la 5-1=4,  más el 1º término  elevado a la 5-2= 3 por el 2º término elevado a la 1,  más el 1º término elevado a la 5-3=2 por el 2º término elevado al cuadrado,  más el 1º término elevado a la 5-4=1 por el 2º término elevado al cubo,  más el 2º término elevado a la cuarta.

(m⁴ + m³n + m²n² + mn³ + n⁴)

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Ejemplo:

Factorar    x⁵ +32

1º  Encontramos la raíz quinta de los términos:

raíz quinta de x⁵ = x          ; raíz quinta de 32 = 2  

2º  formamos el primer factor con las raíces:   (x +2)

3º  Formamos el segundo factor:

[x⁵⁻¹ - x⁵⁻²(2) +x⁵⁻³(2^²) - x⁵⁻⁴(2³) + (2)⁴)]

[x⁴ - x³(2) +x²(4) - x(8) + 16] = (x⁴ - 2x³ + 4x² - 8x + 16)

--> x⁵ +32  =  (x +2)(x⁴ - 2x³ + 4x² - 8x + 16)  Solución
_________________________________________

Factorar    x⁷ - 1

1º  Encontramos la raíz séptima de los términos:

raíz séptima de x⁷ = x          ; raíz séptima de 1 = 1  

2º  formamos el primer factor con las raíces:   (x - 1)

3º  Formamos el segundo factor:

[x⁷⁻¹ + x⁷⁻²(1) + x⁷⁻³(1²) + x⁷⁻⁴(1³) + x⁷⁻⁵(1⁴) +x⁷⁻⁶(1⁵) + (1⁶)]

[(x⁶ + x⁵(1) + x⁴(1) + x³(1) + x²(1)^4 +x(1) + 1] =

 = (x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x +1) -->

--> x⁷ -1  =  (x - 1)(x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x +1)  Solución

_________________________________________

NOTA:

Cuando el primer factor es suma (x+1), los signos del segundo factor son alternativamente "+" y  "-"

Cuando el primer factor es diferencia (x-1),  los signos del segundo factor son todos positivos " + "

_________________________________________

Ejercicio 105 del Libro.

3) Factorar    1 - x⁵

Raíz quinta de 1 = 1     ;    raíz quinta de x⁵ = x

--> 1er.  factor:   (1 -x)

.     2º.  factor: [1⁴ + 1³(x) + 1²(x²) + 1(x³) + x⁴] =

=  (1 + x + x² + x³ + x⁴) 

--> 1 - x⁵   =   (1 -x)(1 + x + x² + x³ + x⁴)   Solución

_________________________________________

4)  Factorar    a⁷  + b⁷

Raíz séptima de a⁷ = a         ;    raíz séptima de b⁷ = b

--> 1er.  Factor:  (a +b)

.    2º.  Factor:  [a⁶  -a⁵(b) +a⁴(b²) -a³(b³)  +a²(b⁴) -a(b⁵) +b⁶] =

(a⁶ - a⁵b + a⁴b² - a³b³ + a²b⁴ - ab⁵ + b⁶)

Solución:

a⁷ + b⁷  =  (a+b)(a⁶ -a⁵b +a⁴b² -a³b³ +a²b⁴ -ab⁵ +b⁶)

________________________________________

6)  Factorar  a⁵+243

Raíz quinta de  a⁵ = a   ;    raíz quinta de 243 = 3

--> 1er.  Factor:  (a+3)   

.     2º. Factor:  [a⁴ - a³(3) + a²(3)² - a(3)³ + (3)⁴] =

= (a⁴ -3a³ +9a² - 27a +81)

--> a⁵ +243 = (a+3)(a⁴ -3a³ +9a² - 27a +81)   Solución.

________________________________________

7)    Factorar   32 -m⁵

Raíz quinta de 32 = 2       ;      Raíz quinta de m^5 = m

--> 1er. Factor:   (2 -m)

.     2º. Factor: [(2)⁴ + (2)³(m) + (2)²(m)² + (2)(m)³ + m⁴] =

=   (16 + 8m + 4m² + 2m³ +m⁴)

--> 32 -m⁵  =  (2 -m)(16 + 8m + 4m² + 2m³ +m⁴)  Solución.

_________________________________________

8)   Factorar   1 + 243x⁵

Raíz quinta de 1 = 1      ;     Raíz quinta de 243x⁵ = 3x

--> 1er. factor:  (1 + 3x)

.   2º. Factor:  [(1)⁴ - (1)³(3x) + (1)²(3x)² - (1)(3x)³ + (3x)⁴] =

=   (1 - 3x + 9x² - 27x³ + 81x⁴)

-->  1+243x⁵ = (1 +3x) (1 - 3x + 9x² - 27x³ + 81x⁴)  Solución.

_________________________________________

10)  Factorar   243 -32b⁵

Raíz quinta de  243 =  3     ;      Raíz quinta de 32b⁵ = 2b

-->  1er. Factor:   (3 -2b)

.   2º. Factor:   [(3)⁴ + (3)³(2b) + (3)²(2b)² + (3)(2b)³  + (2b)⁴] =

=    (81 + 54b + 36b² + 24b³ +16b⁴)

-->  la Solución es = 

 .    243 -32b⁵  =  (3 -2b)(81 + 54b + 36b² + 24b³ +16b⁴)

_________________________________________

11)   Factorar   a⁵ +b⁵c⁵

Raíz quinta de a⁵ = a     ;      Raíz quinta de b⁵c⁵ = bc

-->  1er. Factor:   (a + bc)

.   2º. Factor:  [(a)⁴ - (a)³(bc) + (a)²(bc)² - (a)(bc)³ + (bc)⁴]  =

= (a⁴ - a³bc + a²b²c² - ab³c³ + b⁴c⁴)

-->   la Solución es =

.   a⁵ +b⁵c⁵  =  (a⁴ - a³bc + a²b²c² - ab³c³ + b⁴c⁴)

__________________________________________

Suma o diferencia de cubos perfectos. Caso IX

.                         

1.  Regla  para la suma de cubos perfectos.

a³ +b³  =   (a+b)(a²-ab+b²)

La suma de dos cubos perfectos, es igual a la suma de sus raíces cúbicas, (a+b); multiplicado por el cuadrado de la 1° raíz cúbica, a², menos el producto de las dos raíces cúbicas, ab, más el cuadrado de la 2° raíz cúbica, b².

Ejemplo:

Factorar o descomponer en 2 factores 27m⁶ +64n⁹

Se encuentra las raíces cúbicas de

.      27m⁶ = 3m²      y     64n⁹ = 4n³

--> Desarrollando la Regla:

Suma de las raíces cúbicas:   (3m²+4n³)

Cuadrado de la 1° raíz cúbica:  (3m²)² = 9m⁴

Producto de las 2 raíces cúbicas:  (3m²)(4n³) = 12m²n³

Cuadrado de la 2° raíz cúbica: (4n³)² = 16n⁶

-->  27m⁶+64n⁹  =  (3m²+4n³)(9m⁴ -12m²n³ +16n⁶)   Solución.

2.  Regla para la diferencia de cubos perfectos.  

a³ -b³ = (a-b)(a²+ab+b²)

La diferencia de dos cubos perfectos, es igual a la diferencia de sus raíces cúbicas, (a-b); multiplicado por el cuadrado de la 1° raíz cúbica, a^2, más el producto de las dos raíces cúbicas, ab, más el cuadrado de la 2° raíuz cúbica, b^2.

Ejemplo: 

Descomponer en 2 factores  8x³ -125

--> Se encuentra las raíces cúbicas de:

.     8x³  =  2x          y      125  =  5

--> Desarrollando la Regla:

Suma de las raíces cúbicas:  (2x -5)

Cuadrado de la 1° raíz cúbica:  (2x)²  =  4x²

Producto de las 2 raíces cúbicas: (2x)(5) = 10x

Cuadrado de la 2° raíz cúbica: (5)² = 25

--> 8x³ -125  =  (2x -5)(4x² +10x +25)  Solución.

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Ejercicio 103 del Libro.

Descomponer en 2 factores :

1)  1 +a³

Raíz cúbica de 1  =  1          Raíz cúbica de a³ =  a

Suma de las raíces cúbicas:  (1 +a)

Cuadrado de la 1° raíz cúbica:  (1)²  =  1

Producto de las raíces cúbicas:  (1)(a)  =  a

Cuadrado de la 2° raíz cúbica:  (a)²  =  a²

--> 1 +a³  =  (1 +a)(1 -a +a²)  Solución.

-----------------------------------------------------------------------------

2)  1 -a³

Raíz cúbica de 1  =  1       y       Raíz cúbica de a³  =  a

Diferencia de las raíces cúbicas:  (1 -a)

Cuadrado de la 1° raíz cúbica:  (1)²  =  1

Producto de las raíces cúbicas:  (1)(a) =  a

Cuadrado de la 2° raíz cúbica:  (a)²  =  a²

-->  1 -a³  =  (1 -a)(1 +a +a²)     Solución.

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3)  x³ +y³

Raíz cúbica de x³  =  x                      Raíz cúbica de y³ =  y

Suma de las raíces cúbicas:  (x +y)

Cuadrado de la 1° raíz cúbica:  (x)²  = x²

Producto de las raíces cúbicas:  (x)(y)  =  xy

Cuadrado de la 2° raíz cúbica:  (y)² =  y²

-->  x³ +y³  =  (x +y)(x² -xy +y²)    Solución.

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14)  64 +a⁶

Raíz cúbica de 64  =  4               Raíz cúbica de a⁶  =  a²

Suma de las raíces cúbicas:  (4 +a²)

Cuadrado de la 1° raíz cúbica:  (4)²  = 16

Producto de las raíces cúbicas:  (4)(a²) =  4a²

Cuadrado de la 2° raíz cúbica:  (a²)² = a⁴

-->  64 +a⁶  =  (4 +a²)(16 -4a² +a⁴)     Solución.

Recordatorio:

Para elevar una potencia a otra potencia;  Se eleva el coeficiente a la otra potencia, se copia la literal y se multiplican los exponentes:  (a²)² = a²*²= a⁴

Para encontrar la raíz cúbica de una potencia, se extrae la raíz cúbica del coeficiente, se copia la literal y se divide el exponente de la potencia entre el índice de la raíz cúbica (3) :  ∛8a⁶ = 2a⁶/³ = 2a².

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17)   8a³ +27b⁶

Raíz cúbica de 8a³  =  2a              Raíz cúbica de 27b⁶  =  3b²

Suma de las raíces cúbicas:  (2a +3b²)

Cuadrado de la 1° raíz cúbica:  (2a)²  =  4a²

Producto de las raíces cúbicas:  (2a)(3b²) = 6ab²

Cuadrado de la 2° raíz cúbica:  (3b²)²  =  9b⁴

-->   8a³ +27b⁶  =  (2a +3b²)(4a² -6ab² +9b⁴)    Solución.

Cubo perfecto de binomios. Caso VIII

.         

Condiciones que debe cumplir la expresión para ser un Cubo Perfecto de Binomios:

Sea la expresión:  a³  +3a²b  +3ab²  +b³ = (a+b)³

a) Debe tener 4 términos

b) Que el 1° y 4° término sean cubos perfectos.

c) Que el 2° término sea el triplo del cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del 4°  término ( 3a²b)

d) Que el 3° término sea el triplo de la raíz cúbica del primer término multiplicado por el cuadrado de la raíz cúbica del 4° término (3ab²)

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Procedimiento para factorar una expresión que sea un Cubo Perfecto de Binomio:

Sea el ejemplo:  8x³ +12x² +6x +1

>> Se extrae la raíz cúbica del 1° y 4° términos:

raíz cúbica de  8x³ = 2x       y    raíz cúbica de  1 = 1  

>> Se comprueba el 2° y 3° término de la expresión:

2° término:   3(2x)²(1) = 3(4x²)(1) = 12x²

3° término:  3(2x)(1)² = 3(2x)(1) = 6x

>> Como todos los términos de la expresión dada 8x³ +12x² +6x +1, son positivos, el binomio resultante de la expresión es (2x+1)³.

Por lo tanto; 8x³ +12x² +6x +1 = (2x+1)³ ,   Es la Solución.

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Otro ejemplo: 8x⁶ +54x²y⁶ -27y⁹ -36x⁴y³

>> En este caso se ordena la expresión en relación a la letra “x” y quedaría así:

8x⁶  -36x⁴y³  +54x²y⁶  -27y⁹  –>

>> Se extrae la raíz cúbica del 1° y 4° término:

raíz cúbica de  8x⁶ = 2x²       ;   raíz cúbica de  27y⁹ = 3y³

>> Se comprueba el 2° y 3° término de la expresión:

2° término:  3(2x²)²(3y³) = 3(4x⁴)(3y³) = 36x⁴y³

3° término:  3(2x²)(3y³)² = 3(2x²)(9y⁶) = 54x²y⁶

>> Como los términos de la expresión son alternativamente positivos y negativos ( +, -, +, –) el binomio resultante de la expresión es:   8x⁶  -36x⁴y³  +54x²y⁶ -27y⁹  =  (2x² -3y³)³  que es la Solución

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NOTA:  Para extraer la raíz cúbica de un monomio, se le extrae raíz cúbica al coeficiente y se divide el exponente de la letra entre 3 :  8x⁶ –>   raíz cúbica de 8 es  2     y    6/3 = 2  –>  = 2x²

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Ejercicio 102 del Libro.

1)  Factorar   a³  +3a²  +3a  +1

Raíz cúbica de  a³ = a    ;    raíz cúbica de  1  = 1

2° término:   3(a)²(1) = 3(a²)(1) = 3a²   

3° término:   3(a)(1)² = 3(a)(1) = 3a  

Signos positivos –>  (a+1)³

Por lo tanto:   a³  +3a²  +3a  +1 = (a+1)³  Solución.

—————————————————————

2) Factorar     27 -27x +9x² -x³  (Está ordenado de menor a mayor grado)

Raíz cúbica de     27 = 3       ;       raíz cúbica de   x³ =  x

2° término:  3(3)²(x) =3(9)(x) = 27x  

3° término :  3(3)(x)² = 3(3)(x²) = 9x² 

Signos alternos (x, -, +, -) –>  (3-x)³

Por lo tanto:   27 -27x +9x² -x³  =  (3-x)³  Solución

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3) Factorar   m³  +3m²n  +3mn²  +n³

Raíz cúbica de m³ = m       ;       n³ = n

2° término:  3(m)²(n) = 3(m²)(n) = 3m²n  

3° término:  3(m)(n)² = 3(m)(n²) = 3mn² 

Signos positivos –>  (m+n)³

Por lo tanto:  m³  +3m²n  +3mn²  +n³ = (m+n)³  Solución

—————————————————————

4) Factorar    1  -3a  +3a²  -a³

Raíz cúbica de  1 = 1       ;      raíz cúbica de  a³ = a

2° término:  3(1)²(a) = 3(1)(a) = 3a  

3° término:  3(1)(a)² = 3(1)(a²) = 3a²  

Signos alternos (+, -, +, -) –>  (1-a)³

Por lo tanto:  1  -3a  +3a²  -a³ =   (1-a)³ Solución.

—————————————————————

Trinomio de la forma ax² ± bx ± c. Caso VII

.                          

Condiciones que debe cumplir un trinomio de la forma ax² +bx +c:

– El primer término tiene un coeficiente mayor que 1 y tiene una letra cualquiera elevada al cuadrado.

– El segundo término tiene la misma letra que el primero pero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera positiva o negativa.

– El tercer término es una cantidad cualquiera positiva o negativa sin ninguna letra en común con el 1° y 2° términos.

————————————————————————————–

Procedimiento para el trinomio de la forma ax² +bx +c: 

–Antes de descomponer el trinomio en dos factores binomios, se procede así:
Ejemplo: 6x² -7x -3

1°) Se multiplica el coeficiente del primer término ” 6 ” por todo el trinomio, dejando el producto del 2° término indicado:

6(6x² -7x +3) = 36x² -6(7x) -18

2°)   Se ordena tomando en cuenta que 36x² = (6x)²    y  6(-7x) = -7(6x), escribiéndolo de la siguiente manera:  (6x)² -7(6x) -18

3°) Luego se procede a factorar  (6x)² -7(6x) -18 como un problema del Caso VI. con una variante que se explica en el Inciso 6°

4°) Se forman 2 factores binomios con la raíz cuadrada del primer término del trinomio:  (6x- )(6x+ )

5°) Se buscan dos #s cuya diferencia sea -7 y cuyo producto sea -18 ; y esos #s son -9 y +2  porque:  -9 +2 = -7  y  (-9)(2) = -18 –>  =  (6x-9)(6x+2)

6°) Aquí está la variante:  Como al principio multiplicamos el trinomio por “6”, entonces ahora los factores binomios encontrados, los dividimos entre  “6”

(6x-9)(6x+2) / 6   ;  como ninguno de los binomios es divisible entre “6” entonces descomponemos el “6” en dos factores (3 y 2), de manera que uno divida a un factor binomio y el segundo divida al otro. Así:  (6x-9) / 3    y  (6x+2) / 2 , y estos cocientes quedarían así:  (2x-3)(3x+1). que sería la Solución.

________________________________________

Ejemplo:

a) Factorar    20x² +7x -6

>> Multiplicando el trinomio por el coeficiente del 1° término (20):

20(20x² +7x -6) = 400x² +20(7x) -120, se ordena tomando en cuenta que 400x² = (20x)²  y  20(7x) = 7(20x),

quedaría así:   (20x)² +7(20x) -120

>> Se factoriza  (20x)² +7(20x) -120, como un Caso VI

Se encuentra dos factores binomios:  (20x +  )(20x-  )

Se buscan 2 #s cuya diferencia sea 7  y cuyo producto sea -120,

y estos son:  15 y -8, porque  15 -8 = 7   y  (15)(-8) = -120  –>

la Solución parcial sería :   (20x+15)(20x-8)

>> Aplicando la Solución   (20x+15)(20x-8) para el caso VII;

Como multiplicamos el trinomio original por 20, ahora dividimos la Solución por 20:
(20x+15)(20x-8)/20, 

como los binomios no son divisibles entre 20; –> descomponemos el 20 en 2 #s, tal que el 1° # divida a un factor binomio y el  2° # divida al otro factor:

y éstos son: 5 y 4 porque (20x+15) / 5 = (4x+3)  y  (20x-8) / 4 = (5x-2)

–> la Solución final es:  (4x+3)(5x-2) 

Bueno, pasemos a los problemas del Ejercicio 100

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Ejercicio 100 del Libro.

1) Factorar   2x² +3x -2

>> Multiplicando el trinomio por el coeficiente de su 1° término:

2(2x² +3x -2) = 4x² +2(3x) -4 = (2x)² +3(2x) -4

>> Factorando (2x)² +3(2x) -4 , como un Caso VI:

(2x+  )(2x- ) y buscando 2 #s  que son: 4  y  -1

porque  4-1 = 3  y  (4)(-1) = -4

–> la Solución parcial es:  (2x+4)(2x-1)

>> Aplicando la Solución parcial al Caso VII, se procede así:

Como multiplicamos el trinomio original por 2; ahora dividimos la solución entre 2: (2x+4)(2x-1) / 2

Como los dos binomios no son divisibles entre 2, –> se descompone el # 2 en dos #s que son:  2 y 1  porque (2x+4) / 2 = (x+2)    y   (2x-1) / 1  = (2x-1)

–> la solución final es :  (x+2)(2x-1)  ó  (2x-1)(x+2) 

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2) Factorar   3x² -5x -2

>> Multiplicando el trinomio por el coeficiente de su 1° término:

3(3x² -5x -2) = 9x² -3(5x) -6 = (3x)² -5(3x) -6

>> Factorando (3x)² -5(3x) -6 como un Caso VI:

(3x –  )(3x +  ) y buscando 2 #s  que son:  -6   y  +1  

porque -6 +1 = -5   y  (-6)(1) = -6

–> la Solución parcial es:  (3x-6)(3x+1)

>> Aplicando la Solución parcial al Caso VII, se procede así:

Como multiplicamos el trinomio original por 3; ahora dividimos la solución entre 3: (3x-6)(3x+1) /3

Como los dos binomios no son divisibles entre 3, –> se descompone el # 3 en dos #s  que son:  3  y  1 porque  (3x-6)  / 3 = (x-2)  y  (3x+1) / 1  = (3x+1)

–> la Solución final es:  (x-2)(3x+1)  ó  (3x+1)(x-2)

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3) Factorar   6x² +7x +2

>> Multiplicar el trinomio por el coeficiente de su 1° término:

6(6x² +7x +2) = 36x² +6(7x) +12 = (6x)² +7(6x) +12

>> Factorando (6x)² +7(6x) +12  como un Caso VI:

(6x+  )(6x+  )  y buscando 2 #s  que son :  4 y 3

porque 4 +3 = 7    y   (4)(3) = 12

–> la solución parcial es:  (6x+4)(6x+3)

>> Aplicando la Solución parcial al Caso VII :

Como multiplicamos el trinomio original por 6; ahora dividimos la solución entre 6: (6x+4)(6x+3)/ 6 

Como los dos binomios no son divisibles entre 6,  –>  se descompone el # 6 en dos #s que son : 2  y 3   porque (6x+4) / 2 = (3x+2)  y  (6x+3) / 3 = (2x+1)

–> la Solución final es: (3x+2)(2x+1) ó  (2x+1)(3x+2)

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4) Factorar    5x² +13x -6

>> Multiplicar el trinomio por el coeficiente de su 1° término:

5(5x² +13x -6) = 25x² +5(13x) -30 = (5x)² +13(5x) -30

>> Factorando (5x)² +13(5x) -30 como un Caso VI:

(5x+   )(5x-   )  y buscando 2 #s  que son:  15  y  -2

porque 15 -2 = 13   y    (15)(-2) = -30

–> la Solución parcial es:  (5x+15)(5x-2)

>> Aplicando la Solución parcial al Caso VII:

Como multiplicamos el trinomio original por 5; ahora dividimos la Solución entre 5: 

(5x+15)(5x-2)/ 5

Como los dos binomios no son divisibles entre 5, –> se descompone el # 5 en dos #s  que son: 5 y 1  porque  (5x+15) / 5  = (x+3)  y  (5x-2) / 1 = (5x-2)

–> la Solución final es : (x+3)(5x-2) ó (5x-2)(x+3)

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Trinomio de la forma x² ± bx ± c. Casos Especiales.

.              

Se procede de la misma manera que se explicó en el Ejercicio 98.

En estos problemas del Ejercicio 99, se presentarán algunas diferencias que serán explicadas.

Ejemplos:

a) Factorar  x⁴ -2x²-50 

Se encuentra la raíz cuadrada del primer término del trinomio:

√x⁴ = x²

Se forman dos factores binomios, cuyo primer término será x²:

(x²      )(x²   );

el signo que sigue al 1º término del 1º binomio es el mismo del 2º término del trinomio. y el signo que sigue al 1º término del 2º binomio es el producto de los signos del 2º y 3º términos del trinomio:

(x²-  )(x²+  )

Luego se buscan dos números cuya suma sea igual al coeficiente del 2º término del trinomio y cuyo producto sea igual al coeficiente del 3º término.

En este caso son -10  y  5;  porque -10+5= -5  y  (-10)(5)=-50

(x²-10)(x²+5)     Solución.

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b) Factorar  x⁶ +7x³ -44

√x⁶ = x³

Formando los dos factores binomios:

(x³+   )(x³-   )

Buscando dos números que sumen (7) y que su producto sea (-44)

Estos son 11 y -4,  porque 11-4=7  y  (11)(-4)=-44

(x³+11)(x³-4)  Solución.

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c)  Factorar:  a²b² -ab -42

√a²b² = ab

Formando los dos factores binomios:

(ab-   )(ab+   )

Buscando dos números que sumen (-1)  y que su producto sea (-42):

Son -7  y  6: porque -7+6=-1   y    (-7)(6)=-42:

(ab-7)(ab+6)  Solución.

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d) Factorar  (5x)² -9(5x) +8

√(5x)² = 5x

Formando factores binomios:

(5x-   )(5x-   )

Buscando dos números que sumen (-9) y su producto sea (8):

Son -8  y -1; porque -8-1=-9  y  (-8)(-1)=8

(5x-8)(5x-1)  Solución.
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e)  Factorar   x²-5ax-36a²

√x² = x

Formando factores binomios:

(x-   )(x+   )

Buscando dos números que sumen (-5a) y su producto sea (-36a²):

Son -9a  y 4a;  porque -9a+4a=-5a  y  (-9a)(4a)= -36a²

(x-9a)(x+4a)  Solución.

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f) Factorar   (a+b)²-12(a+b)+20

√(a+b)² = (a+b)

Formando factores binomios:

[(a+b)-   ][(a+b)-   ]

Buscando dos números que sumen (-12) y que su producto sea (20):

Son -10  y -2;  porque -10-2=-12   y   (-10)(-2)=20

[(a+b)-10][(a+b)-2]

(a+b-10)(a+b-2)  Solución.

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g) Factorar  28+3x-x²

-x²+3x+28  (ordenado)

x²-3x-28   (Se cambió signo a todos los términos del trinomio para volver  positivo el término cuadrático)

√x² = x

formando factores binomios:

(x-   )(x+   )

Buscando dos números que sumen (-3) y que su producto sea (-28):

Son -7  y  4 ; porque  -7+4=-3   y  (-7)(4)=-28

-(x-7)(x+4)   (Como el trinomio original ordenado empezaba con signo negativo, esta descomposición también debe empezar con signo negativo.

Para eliminar el signo negativo que precede a la descomposición, debe cambiársele signo a los términos de uno de los factores; lo haremos con (x-7).

(-x+7)(x+4)   Lo ordenamos y quedaría así:

(7-x)(x+4)   Solución.

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h) Factorar  30+y²-y⁴

-y⁴+y²+30  (ordenado)

y²-y²-30   (volviendo positivo el término cuadrático)

√y⁴ = y²

Formando factores binomios:

(y²-   )(y²+   )

Buscando dos números que sumen (-1) y que su producto sea (-30):

Son -6  y 5 ; porque  -6+5=-1   y   (-6)(5)=-30

(y²-6)(y²+5)

-(y²-6)(y²+5)

(6-y²)(y²+5)   Solución.

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Ejercicio 99 del Libro.

Factorar las siguientes expresisones:

1)  x⁴+5x²+4

Si  √x⁴ = x²

->  (x²+4)(x²+1)   Solución.
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2)  x⁶-6x³-7

Si √x⁶ = x³

-> (x³-7)(x³+1)   Solución.
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3) x⁸-2x⁴-80

Si  √x⁸ = x⁴

-> (x⁴-10)(x⁴+8)   Solución.
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4)  x²y²+xy-12

Si  √x²y² = xy

->  (xy+4)(xy-3)   Solución.
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5)  (4x)²-2(4x)-15

Si  √(4x)² = 4x

-> (4x-5)(4x+3)   Solución.
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6)  (5x)²+13(5x)+42

Si  √(5x)² = 5x

-> (5x+7)(5x+6)   Solución.
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7)  x²+2ax-15a²

Si  √x² = x

-> (x+5a)(x-3a)   Solución.
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8)  a²-4ab-21b²

En este caso la incógnita es la variable porque forma parte del término cuadrático.
Si √a² = a

-> (a-7b)(a+3b)   Solución.
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9)  (x-y)²+2(x-y)-24

Si  (x-y)² = (x-y)

-> [(x-y)+6][(x-y)-4]

(x-y+6)(x-y-4)   Solución.
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10)  5+4x-x²

-x²+4x+5   (ordenado)

x²-4x-5  (con signos cambiados)

Si  √x² = x

->  (x-5)(x+1)

-(x-5)(x+1)   (Agregando signo negativo a la descomposición de factores)

-> Quitando el signo negativo, pero cambiando los signos a los términos de uno de los factores, en este caso a (x-5)

(5-x)(x+1)  o  (x+1)(5-x)   Solución.
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30)  x⁴ +5abx -36a²b²

Si  √x⁴ = x²

->  (x²+9ab)(x²-4ab)   Solución.
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