Ecuaciones enteras de 1er. grado con productos indicados.

Procedimiento:

1°) Se efectúan los productos indicados en la expresión.

2°) Se transponen los términos comunes (dejando las incógnitas a la izquierda y los valores conocidos a la derecha).

3°) Se reducen los términos semejantes en cada miembro de la ecuación.

4°) Se simplifica el resultado para encontrar la solución.

_________________________________________

Ejemplos:

a) Resolver 10(x-9) -9(5-6x) = 2(4x-1) +5(1+2x).

> Efectuando los productos es igual a:

.     10x-90-45+54x = 8x-2+5+10x

> Transponiendo términos comunes es igual a:

.     10x+54x-8x-10x = -2+5+90+45

> Reduciendo los términos comunes es igual a:

.      46x = 138

> Simplificando para encontrar la Solución es igual a:

.     x = 138/46

.     x = 3    que es la Solución.

b) Resolver 4x -(2x+3)(3x-5) = 49 -(6x-1)(x-2).

> Efectuando los productos indicados es igual a:

.     4x -(6x^2 -x-15) = 49 -(6x^2 -13x+2)

(Se saca el resultado de los productos del paréntesis pero con el signo cambiado)

y es igual a:  4x-6x^2+x+15 = 49-6x^2+13x-2

> Transponiendo los términos comunes es igual a:

.     6x^2-6x^2+4x+x-13x = 49-2-15

> Reduciendo los términos semejantes es igual a:

.     -8x = 32

> Simplificando para encontrar la solución es igual a:

.     x = 32/-8

.     x = -4      Solución.

---------------------------------------------------------------------------

Ejercicio 80.

1) Resolver     x +3(x-1) = 6 -4(2x+3).

>     x+3x-3 = 6-8x-12

>     x+3x+8x = 6-12+3

>                  12x= -3

>                       x = -3/12

>                       x = - 1/4     Solución.

--------------------------------------------------------------------------

2) Resolver    5(x-1) +16(2x+3) = 3(2x-7) -x

>     5x-5+32x+48 = 6x-21-x

>     5x+32x-6x+x = -21+5-48

>                            32x = -64

>                                 x = -64/32

>                                 x = -2     Solución.

-------------------------------------------------------------------------

3) Resolver    2(3x+3) -4(5x-3) = x(x-3) -x(x+5).

>     6x+6-20x+12 = x^2 -3x -x^2 -5x     (x^2 y -x^2 se eliminan)

>     6x-20x+3x+5x = -6-12

>                             -6x= -18

>                                 x = -18/-6

.                                   x = 3      Solución.

------------------------------------------------------------------------

4)  Resolver    184 -7(2x+5)= 301 +6(x-1) -6.

>     184-14x-35 =301+6x-6-6

>          -14x-6x = 301-6-6+35-184

>                    -20x = 140

>                           x = 140/-20

>                           x= -7      Solución.

-------------------------------------------------------------------------

6) Resolver   3x(x-3) +5(x+7) -x(x+1) -2(x^2+7) +4 = 0

>     3x^2 -9x +5x +35 -x^2 -x -2x^2 -14 +4 = 0

>     3x^2 -x^2 -2x^2 -9x +5x -x= -35 +14 -4

>                                                          -5x= -25

>                                                              x = -25/-5

>                                                              x = 5     Solución.

------------------------------------------------------------------------

8) Resolver (3x-4)(4x-3)=(6x-4)(2x-5)

>   12x^2-25x+12= 12x^2-38x+20

>   12x^2-12x^2-25x+38x= 20-12

>                                            13x = 8

>                                                 x = 8/13  Solución

________________________________________

9) (4-5x)(4x-5) = (10x-3)(7-2x)

> Efectuando las multiplicaciones:

-20x^2+41x-20 = -20x^2+76x-21

> Transponiendo y reduciendo términos comunes:

-20x^2 +20x^2 +41x -76x = -21 +20

-35x = -1

x = -1/-35

x = 1/35     Solución.

_________________________________________

Ecuaciones enteras de 1er. grado con signos de agrupación.

Procedimiento:

1°) Se suprimen los signos de agrupación

2°) Se transponen los términos con incógnitas y los términos con valores conocidos.

3°) Se reducen los términos semejantes.

4°) Se simplifica el resultado para encontrarla Solución.

Recuerda:
>Empezar a suprimir los signos de agrupación que estén más adentro de otros.

> Si hay un signo negativo antes de la agrupación, se sacan los elementos con signo cambiado.

> Si hay un signo positivo antes de la agrupación, se sacan los elementos son su mismo signo.

> Cuando no hay signo antes de la agrupación, se entiende que es positivo.

_________________________________________

Ejemplo:

Resolver  5x+{-2x+(-x+6)} = 18-{-(7x+6)-(3x-24)}

1°) Suprimiendo paréntesis 

.     5x+{-2x-x+6} = 18-{-7x-6-3x+24}

.     Suprimiendo las llaves 

.     5x-2x-x+6 = 18+7x+6+3x-24

2°) Transponiendo términos semejantes 

.     5x-2x-x-7x-3x= 18+6-24-6

3°) Reduciendo los términos semejantes en cada miembro 

.     -8x = -6

4°) Simplificando para obtener la solución 

.     x = -6/-8  --> x = 3/4 , que es la Solución.

_________________________________________

Ejercicio 79.

1) Resolver   x-(2x+1) = 8-(3x+3).

> x-2x-1 = 8-3x-3         (quitando paréntesis)

> x-2x+3x = 8-3+1       (transponiendo términos)

>               2x = 6                (reduciendo términos)

>                  x = 6/2           (simplificando)

>                  x= 3                Solución.

_________________________________________

2) Resolver   15x-10 = 6x-(x+2)+(-x+3)

> 15x-10 = 6x-x-2-x+3

> 15x-6x+x+x= -2+3+10

>                    11x= 11

>                         x = 11/11

>                         x = 1    Solución.

___________________________________________

3) Resolver   (5-3x)-(-4x+6) = (8x+11)-(3x-6).

> 5-3x+4x-6 = 8x+11-3x+6

> -3x+4x-8x+3x = 11+6-5+6

>                         -4x = 18

>                             x = 18/-4

>                             x = - 9/2    Solución.

_________________________________________

4) Resolver    30x-(-x+6)+(-5x+4) = -(5x+6)+(-8+3x).

> 30x+x-6-5x+4 = -5x-6-8+3x

> 30x+x-5x+5x-3x = -6-8+6-4

>                              28x = -12

>                                   x = -12/28

>                                   x = - 3/7    Solución.

__________________________________________

5) Resolver   15x+(-6x+5)-2-(-x+3) = -(7x+23)-x+(3-2x).

> 15x-6x+5-2+x-3 = -7x-23-x+3-2x

> 15x-6x+x+7x+x+2x = -23+3-5+2+3

>                                     20x = -20

>                                           x = -20/20

>                                           x= -1    Solución.

___________________________________________

6) Resolver   3x+[-5x-(x+3)] = 8x+(-5x-9).

> 3x-5x-x-3 = 8x-5x-9

> 3x-5x-x-8x+5x = -9+3

>                          -6x = -6

>                              x = -6/-6

>                              x = 1     Solución.

_________________________________________

7) Resolver   16x-[3x-(6-9x)] = 30x+[-(3x+2)-(x+3)]

> 16x-[3x-6+9x] = 30x+[-3x-2-x-3]

> 16x-3x+6-9x= 30x-3x-2-x-3

> 16x-3x-9x-30x+3x+x= -2-3-6

>                                      -22x= -11

>                                             x = -11/-22

>                                             x = 1/2     Solución.

__________________________________________

9) Resolver  9x-(5x+1)-{2+8x-(7x-5)}+9x = 0

9x -5x -1 -{2+8x-7x+5}+9x = 0       <-- Se liminaron los paréntesis.

9x -5x -1 -2 -8x +7x -5 +9x = 0        <--  Se eliminaron las llaves.

9x -5x -8x +7x +9x = 1 +2 +5           <--  Se transpusieron términos semejantes

> Simplificando:

12x = 8

x = 8/12 = 2/3   Solución.

__________________________________________

11) Resolver -{3x+8-[-15+6x-(-3x+2)-(5x+4)]-29} = -5

-{3x+8-[-15+6x+3x-2-5x-4]-29} = -5   <-- Se eliminaron los paréntesis

-{3x+8+15-6x-3x+2+5x+4-29} = -5      <-- Se eliminaron los corchetes

-3x-8-15+6x+3x-2-5x-4+29 = -5             <-- Se eliminaron las llaves

-3x+6x+3x-5x = -5+8+15+2+4-29          <--Se traspusieron los términos

>                     x = -5   Solución.

__________________________________________

Ecuaciones enteras de 1er. grado con una incógnita.

                    

Procedimiento.

Sea 3x -5= x +3

1°) Efectuar operaciones indicadas, si las hay. (En este caso no las hay)

2°) Transponer términos, reuniendo en un miembro todos los términos que tengan incógnitas y en el otro miembro todas las cantidades conocidas.  (Los términos que se trasladan pasan al otro lado con el signo cambiado)

--> 3x -x= 3 +5

3°) Reducir los términos semejantes:

--> 2x = 8

4°) Se despeja la incógnita dividiendo ambos miembros de la ecuación entre el coeficiente de la incógnita (x)

--> 2x / 2 = 8/2,    simplificando x = 4  , que es la Solución.

Otra forma de solución es pasando el coeficiente del primer miembro que está multiplicando al otro miembro a dividir :

4°) 2x = 8  -->  x= 8/2  -->  x = 4  , que es la misma Solución.

 Nota:  Puede optar por cualquiera de las formas de encontrarla Solución, del paso 4°.

En el desarrollo de los ejercicios que veremos más adelante, optaré la segunda forma.

Recuerda:

> Al trasladar al otro lado de la ecuación, cantidades que están sumando o restando, se les cambia el signo.

> Al trasladar al otro lado de la ecuación, las cantidades que estan multiplicando pasan a dividir con su mismo signo: y las cantidades que estan dividiendo pasan a multiplicar con su mismo signo.

> Aplicar la ley de signos para las operaciones.

__________________________________________

Veamos el Ejemplo   35 -22x +6 -18x = 14 -30x +32

Transponiendo términos:   -22x -18x +30x = 14 +32 -35-6

Reduciendo términos: -10x = 5

Despejando la incógnita:  dividimos los miembros entre -10

--> -10x/-10 = 5/-10,       simplificando:  x = -1/2,  Solución.

ó bien:  -10x = 5  -->  x = 5/-10  -->  x = -1/2     Solución.

__________________________________________

Ejercicio 78 del Libro.

1) Resolver   5x = 8x -15

-->  5x -8x= -15

-->        -3x= -15

-->           x = -15/-3

-->           x = 5     Solución.

_______________________________________

2) Resolver   4x +1 = 2

-->    4x = 2 -1

-->    4x = 1

-->       x= 1/4       Solución.

________________________________________

3) Resolver   y -5 = 3y -25

-->     y -3y = -25 +5

-->         -2y = -20

-->             y = -20/-2

-->             y = 10   Solución.

_________________________________________

4) Resolver  5x +6 = 10x +5

-->   5x -10x = 5 -6

-->            -5x = -1

-->                x = -1 /-5

-->                x = 1/5   Solución.

__________________________________________

5) Resolver   9y -11 = -10 +12y

-->   9y -12y = -10+11

-->            -3y = 1

-->                y = 1/-3

-->                y = - 1/3   Solución.

__________________________________________

6)  Resolver    21 -6x = 27 -8x

-->    -6x +8x = 27 -21

-->                2x= 6

-->                  x = 6/2

-->                  x = 3    Solución.

___________________________________________

7) 11x +5x -1 = 65x -36

-->    11x +5x -65x = -36 +1

-->                      -49x = -35

-->                             x = -35/-49

-->                             x = 5/7    Solución.

___________________________________________

8)  Resolver  8x -4 +3x = 7x +x +14

-->      8x +3x -7x -x = 14 +4

-->                              3x = 18

-->                                x = 18/3

-->                                x = 6    Solución.

_________________________________________

9) 8x +9 -12x = 4x -13 -5x

-->      8x -12x -4x +5x = -13 -9

-->                                -3x = -22

-->                                    x = -22/-3

-->                                    x = 22/3    Solución.

_________________________________________

10)  Resolver 5y+6y -81 = 7y +102 +65y

-->     5y +6y -7y -65y = 102 +81

-->                             -61y = 183

-->                                    y = 183/-61

-->                                    y = -3    Solución.

_________________________________________

Divisibilidad de un polinomio entero en “x” entre un binomio de la forma “x±a” o “bx±a”.

Teoremas:

1) Para comprobar si un polinomio dividido entre "x-a" es exacto, se divide el término independiente del polinomio entre el término independiente del binomio, sin tomar en cuenta los signos; y si el resultado es cero (0), es exacta.

2) Para comprobar si un polinomio entero en "x" es divisible entre un binomio de la forma "x-a"; se sustituye el valor de "x" del polinomio, con el valor opuesto del segundo término del binomio, y si el resultado es igual a cero, o sea que se anula, el polinomio si es divisible entre x-a.

3) Para comprobar si un polinomio entero en “x” es divisible entre un binomio de la forma “bx-a”; se sustituye el valor de “x” en el polinomio, con el valor de la fracción que resulta de dividir el segundo término del binomio con el signo cambiado entre el coeficiente del primer término del binomio “a/b”.

NOTA: Aún cuando el resultado de dividir los términos independientes sean exacto (Paso 1), no es condición suficiente para afirmar que el polinomio es divisible entre el binomio (Paso 2). 

_______________________________________

Ejemplos:

Paso 1)
Hallar, sin efectuar la división, si es exacta la división de x^3 -4x^2 +7x -6  entre x-2.

--> 6 / 2 = 3   --> la división es exacta.

 Paso 2) 
Hallar, sin efectuar la división, si x^3 -4x^2+7x -6 es divisible entre x-2.

- Opuesto del 2º término del binomio (-2) = 2

- Sustituyendo:

x^3 -4x^2 +7x -6
= (2)^3 -4(2)^2 +7(2) -6
= 8 -16 +14 -6
= 22-22 = 0

por lo tanto el polinomio es divisible entre "x-2".

________________________________________

Ejercicio 76 del Libro.

Hallar, sin efectuar la división, si son exactas las divisiones siguientes:

1) x^2 -x -6 entre x-3

--> 6 /3 = 2  <--> es exacta.

Sustituyendo la "x" con el opuesto de (-3) = +3 en el polinomio:

x^2 -x -6
= (3)^2 -(3) -6
= 9 -3 -6
= 9 -9 = 0   --> exacta y si es divisible.

_______________________________________

2) x^3 +4x^2 -x -10 entre x+2

--> 10 / 2 = 5  <--> es exacta.

Sustituyendo la "x" con el opuesto de (+2) = -2 en el polinomio:

x^3+4x^2-x-10
= (-2)^3+4(-2)^2-(-2)-10
= -8+16+2-10 

= -18+18 = 0 --> exacta y si es divisible.

_______________________________________

3) 2x^4 -5x^3 +7x^2 -9x +3 entre x-1

--> 3 / 1 = 3 <--> es exacta.

Sustituyendo la "x" con el opuesto de (-1) = 1 en el polinomio:

2x^4 -5x^3 +7x^2 -9x +3
= 2(1)^4 -5(1)^3 +7(1)^2 -9(1) +3 

= 2 -5 +7 -9 +3
= 12 -14 = -2 --> inexacta porque no es divisible.

_______________________________________

4) x^5 +x^4 -5x^3 -7x +8 entre x+3

--> 8 / 3 = 2. 2/3  --> no es exacta.

Sustituyendo la "x" con el opuesto de (+3) = -3 en el polinomio:

x^5 +x^4 -5x^3 -7x +8
= (-3)^5 +(-3)^4 -5(-3)^3 -7(-3) +8 

= -243 +81 +135 +21 +8
= -243 +245 = 2 --> inexacta y por lo tanto no divisible.

En este caso cuando en la primera comprobación es inexacta, no es necesario realizar la segunda comprobación.

_________________________________________

5) 4x^3 -8x^2 +11x -4 entre 2x-1

--> 4 / 1 = 4  --> es exacta.

Sustituyendo "x " con el opuesto de (-1/2) = +1/2 en el polinomio:

4x^3 -8x^2 +11x -4
= 4(1/2)^3 -8(1/2)^2 +11(1/2) -4 

= 1/2 -2 +11/2 -4
= 6 -6 = 0  --> exacta y si es divisible.

Nota: -1/2 resulta de dividir el segundo término del binomio “-1”

entre el coeficiente del primer término del binomio “2”.

___________________________________________

6) 6x^5 +2x^4 -3x^3 -x^2 +3x +3 entre 3x+1

--> 3/1 = 3 --> es exacta.

Sustituyendo "x" con el opuesto de (1/3) = -1/3 en el polinomio:

6x^5 +2x^4 -3x^3 -x^2 +3x +3 =

= 6(-1/3)^5 +2(-1/3)^4 -3(-1/3)^3 -(-1/3)^2 +3(-1/3) +3 =

= -2/81 +2/81 +1/9 -1/9 -1 +3
= -92/81 +254/81
= 162/81 = 2 -->  inexacta porque no es divisible.

Nota: 1/3 resulta de dividir el segundo término del binomio “1”

entre el coeficiente del primer término del binomio “3”.

______________________________________________

División Sintética. Cociente y Residuo de la división de un polinomio entero en “x” entre “x±a” o “bx±a”(2a. Parte)

Ver Procedimiento en la Parte 1.

Ejercicio 75 del Libro.

Hallar por división sintética, el cociente y el resto o residuo de:

1) x^2 -7x +5   entre   x -3 –>

1             -7              + 5

1  (1)3 =  3   (-4)3= -12

____________________

1            -4               – 7        –>  Cociente =  x –4,   Residuo -7

En este caso el factor para encontrar el cociente es el inverso del término independiente del divisor 

(x-3) = +3.

1º  término del cociente es : coef. ( 1 ) y variable x^(2-1) = x^1 = x –> 1x = x

2º  término del cociente es: coef. (-4) y variable x^(1-1) = x^0 = 1 –> -4(1) = -4

El último de los coeficientes ( -7) es el residuo. –>

La solución es  x -4   con residuo de -7

—————————————————————————–

3) x^3 -x^2 +2x -2   entre   x +1 –>

1              -1                   2                  -2

1   1(-1) = -1  (-2)(-1) =  2   (4)(-1) = -4

_______________________________

1              -2                   4                  -6         –> Cociente = x^2 -2x +4  Residuo = -6

Factor : inverso de +1 = -1

1º término : coef. (1)  y  variable x^(3-1) = x^2 –>  1(x^2) = 1(x^2) = x^2

2º término:  coef. (-2)  y variable x^(2-1) = x^1 = x –> = -2x

3º término:  coef. (4)  y variable x^(1-1) = x^0 = 1 –>  4(1) = 4

Residuo : el último coeficiente del cociente = -6

Solución :  Cociente   x^2 -2x  +4  y Residuo  -6

——————————————————————————

5) a^3  -3a^2  -6 entre a +3 –>

1               -3                     0                      – 6

1  1(-3) =  -3   (-6)(-3) = 18   (18)(-3) = -54

__________________________________

1              -6                    18                   -60     Cociente = a^2-6a+18  Residuo = -60

Factor : inverso de +3 = -3

1º término: coef. (1)  y variable a^(3-1) = a^2  –> 1(a^2) = a^2

2º término: coef. (-6) y variable a^(2-1) = a^1 = a –>  -6(a) = -6a

3º término: coef. (18) y variable a^(1-1) = a^0 = 1  –> 18(1) = 18

Residuo : el último coeficiente del cociente = -60

Solución:  Cociente   a^2 -6a +18   Residuo  -60

——————————————————————————-

6) n^4 -5n^3 +4n -48   entre   n+2 –>

1          -5                    0                      4                  -48

1(-2)=  -2   (-7)(-2)= 14   (14)(-2)= -28   (-24(-2)= 48

__________________________________________

1          -7                   14                  -24                     0

Cociente = n^3 -7n^2 +14n -24   Residuo = 0

–> Factor: inverso de +2 = -2

1º término: coef . (1)  y variable n^(4-1) = n^3 –>  1(n^3) = n^3

2º término: coef. (-7) y variable n^(3-1) = n^2 –>  -7(n^2) = -7n^2

3º término: coef. (14) y variable n^(2-1) = n^1 = n –>  14(n) = 14n

4º término: coef. (-24) y variable n^(1-1) = n^0 = 1  –> -24(1) = -24

Residuo: el último coeficiente del cociente = 0

Solución :  Cociente   n^3 -7n^2 +14n -24      Residuo = 0

En este caso al escribir los coeficientes del polinomio a dividir; después de -5n^3, no tiene ningún término elevado al cuadrado, por lo que en la división sintética se coloca un cero (0), y se continua con el siguiente término que es 4n.   Además esta división es exacta, porque su residuo es cero (0).

———————————————————————–