División de monomios.

          

Ejercicio 49 del Libro.

Dividir ...

1) –24 entre 8
  

-->    -24 / 8 = -3       

Recuerda que al dividir signos distintos, el resultado es negativo.

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2) –63 entre –7

-->  -63 / -7 = 9     

Recuerda que dividir signos iguales, el resultado es positivo.

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3) –5a^2  entre –a 

--> -5a^2 / -a = 5a  Solución.

Porque: ( -5 / -1 = 5)   y  a^2/a = a

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4) 14a^3b^4 entre –2ab^2 

-->  14a^3b^4 / -2ab^2 = -7a^2b^2  Solución

 Porque: (14/-2= -7)  , (a^3/a= a^2) y (b^4/b^2= b^2)
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Notas:

Toma en cuenta que al dividir monomios con exponentes:

a) Se dividen los coeficientes colocándole al cociente el signo que le corresponde según la Ley de Signos.

b) Se copian las literales semejantes agregándoles a cada una, la resta de sus exponentes.

Supresión de signos de agrupación con productos indicados.

         

Procedimiento:

1) Se efectúan las operaciones que estén indicadas dentro de signos de agrupación.

2) Cuando un coeficiente esté antes de un signo de agrupación se debe multiplicar éste por los términos que estén dentro del signo de agrupación.      x(2-x)  =  2x -x²

3) Se suprimen los signos de agrupación, empezando con los que estén más adentro de los otros.

4) Después de efectuar las operaciones y de suprimir los signos de agrupación se procede a reducir los términos semejantes para llegar al resultado final.

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 Ejemplos:

a) Simplificar  5a+{a-2[a+3b-4(a+b)]}

> Suprimiendo los signos de agrupación:

5a+{a-2[a+3b-4(a+b)]}

= 5a+{a-2[a+3b-4a-4b]} <-- Se suprimieron los paréntesis

= 5a+{a-2a-6b+8a+8b}   <-- Se suprimieron los corchetes

= 5a+a-2a-6b+8a+8b      <-- Se suprimieron las llaves

> Ordenando términos semejantes:

= 5a+a+8a-2a-6b+8b

> Reduciendo términos semejantes

= 12a+2b   Solución.

.                                                                    ___

b) Simplificar  -3(x+y)-4[-x+2{-x+2y-3(x-y+2)}-2x]

> Suprimiendo signos de agrupación:

                                            ___

-3(x+y)-4[-x+2{-x+2y-3(x-y+2)}-2x]

= -3(x+y)-4[-x+2{-x+2y-3(x-y-2)}-2x]  <-- Se suprimió la barra

= -3x-3y-4[-x+2{-x+2y-3x+3y+6}-2x]  <-- Se suprimieron los paréntesis

= -3x-3y-4[-x-2x+4y-6x+6y+12-2x]     <-- Se suprimieron las llaves

= -3x-3y+4x+8x-16y+24x-24y-48+8x  <-- Se suprimieron los corchetes

> Ordenando términos semejantes:

= -3x+4x+8x+24x+8x-3y-16y-24y-48

> Reduciendo términos semejantes:

= 41x-43y-48   Solución.

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Ejercicio 48 del Libro

1) Simplificar x-[3a+2(-x+1)]

> Resolviendo:

x-[3a+2(-x+1)]

= x-[3a-2x+2]  <-- Se suprimieron los paréntesis

= x-3a+2x-2  <--  Se suprimieron los corchetes

> Reduciendo términos semejantes:

= 3x-3a-2   Solución.

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3) Simplificar  –[3x-2y+(x-2y)-2(x+y)-3(2x+1)]

> Resolviendo:

–[3x-2y+(x-2y)-2(x+y)-3(2x+1)]

= -[3x-2y+x-2y-2x-2y-6x-3] <-- Se suprimieron los paréntesis

= -3x+2y-x+2y+2x+2y+6x+3  <-- Se suprimieron los corchetes

> Ordenando y reduciendo términos semejantes:

= -3x-x+2x+6x+2y+2y+2y+3

= 4x+6y+3  Solución.

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6) Simplificar  a-(x+y)-3(x-y)+2[-(x-2y)-2(-x-y)]

> Resolviendo:

a-(x+y)-3(x-y)+2[-(x-2y)-2(-x-y)]

= a-x-y-3x+3y+2[-x+2y+2x+2y]   Se suprimieron los paréntesis

= a-x-y-3x+3y-2x+4y+4x+4y    Se suprimieron los corchetes

> Ordenando y reduciendo términos semejantes:

= a-x-3x-2x+4x-y+3y+4y+4y

= a-2x+10y    Solución.

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Producto continuado de polinomios.

                 

Se refiere a una expresión formada por varios factores monomios y/o polinomios.  Los que se resuelven multiplicando los dos primeros factores y el resultado por el tercer factor y este nuevo resultado por el cuarto factor; y así sucesivamente al número de factores que contenga la expresión.

El producto continuado puede resolverse también agrupando factores, según la Ley asociativa de la Multiplicación, y los resultados se multiplican entre sí.

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Ejemplo:

Efectuar   3x(x+3)(x-2)(x+1)

> Resolviendo:

① 3x(x+3) = 3x²+9x

② 

3x²+9x

x-2               .

3x³+9x²

      - 6x²-18x

3x³+3x²-18x

③ 

3x³+3x²-18x

x+1                       .

3x⁴+3x³-18x²

      +3x³+ 3x²-18x

3x⁴+3x³-15x²-18x   Solución.

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Ejercicio 46 del Libro

3) Simplificar  2(a-3)(a-1)(a+4)

> Resolviendo:

2(a-3) = 2a-6

2a-6

a-1          .

2a²-6a

.     -2a+6

2a²-8a+6

2a²-8a+6

a+4                          .

2a³- 8a² + 6a

      +8a² -32a+24

2a³         -26a+24    Solución.

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6)  Simplificar  (a-b)(a²-2ab+b²)(a+b)

a²-2ab+b²

a-b                     .

a³-2a²b+   ab²

    -  a²b+2ab²-b³

a³-3a²b+3ab²-b³

a³-3a²b+3ab²-b³

a+b                                    .

a⁴-3a³b+3a²b² -  ab³

    + a³b -3a²b²+3ab³-b⁴

a⁴-2a³b            +2ab³-b⁴   Solución.

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9)  Simplificar (aᵐ -3)(aᵐ⁻¹ +2)( aᵐ⁻¹ -1)

> Resolviendo:

aᵐ-3

aᵐ⁻¹+2                    .

a²ᵐ⁻¹ -3aᵐ⁻¹

                      +2aᵐ-6

a²ᵐ⁻¹ -3aᵐ⁻¹ +2aᵐ-6

a²ᵐ⁻¹ -3aᵐ⁻¹ +2aᵐ-6

aᵐ⁻¹ -1                                                 .

a³ᵐ⁻²-3a²ᵐ⁻²+2a²ᵐ⁻¹  -6aᵐ⁻¹

                       -  a²ᵐ⁻¹ +3aᵐ⁻¹ -2aᵐ +6

a³ᵐ⁻²-3a²ᵐ⁻²+  a²ᵐ⁻¹  -3aᵐ⁻¹ -2aᵐ +6

Ordenando:

a³ᵐ⁻² +a²ᵐ⁻¹ -3a²ᵐ⁻² -2aᵐ -3aᵐ⁻¹ +6   Solución.

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14)  Simplificar  aᵡ(aᵡ⁺¹+bᵡ⁺²)( aᵡ⁺¹-bᵡ⁺²)bᵡ

> Resolviendo:

aᵡ⁺¹+bᵡ⁺²

aᵡ                 .

a²ᵡ⁺¹ +aᵡbᵡ⁺² ①

aᵡ⁺¹-bᵡ⁺²

bᵡ                 .

aᵡ⁺¹bᵡ -b²ᵡ⁺²   ②

a²ᵡ⁺¹ +aᵡbᵡ⁺²                           ①

aᵡ⁺¹bᵡ -b²ᵡ⁺²                        .   ②

a³ᵡ⁺²bᵡ +a²ᵡ⁺¹b²ᵡ⁺²

             - a²ᵡ⁺¹b²ᵡ⁺² -aᵡb³ᵡ⁺⁴

a³ᵡ⁺²bᵡ                     -aᵡb³ᵡ⁺⁴  Solución.

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Multiplicación de polinomios con coeficientes fraccionarios.

Procedimiento:

1) Ordenar los términos de los factores cuando sea necesario.

2) Multiplicar los factores, colocando los términos de los productos parciales debajo de su término semejante.

3) Los productos de los coeficientes deben simplificarse.

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Ejemplos:

a) Multiplicar ½ x² -⅓xy   por   ⅔x -⅘y

½ x² -⅓xy

⅔x -⅘y                      .

⅓x³  -  ²∕₉x²y

        -  ²∕₅x²y +⁴⁄₁₅xy²

⅓x³  -²⁸⁄₄₅x²y+⁴⁄₁₅xy²    Solución.

b) Multiplicar ⅓x²+ ½y²-⅕xy   por  ¾x²- ½xy- ¼y²

> Ordenando el primer factor:

⅓x²-⅕xy+½y²

¾x²- ½xy- ¼y²               .

¼ x⁴ - ³∕₂₀x³y  +   ³∕₈x²y²

         -   ¹∕₆x³y +  ¹∕₁₀x²y²  -   ¼ xy³

                         -  ¹∕₁₂x²y ² +¹∕₂₀xy³ -¹∕₈y⁴

¼ x⁴  -¹⁹∕₆₀x³y + ⁴⁷∕₁₂₀x²y²   -  ¹∕₅xy³ -¹∕₈y⁴   Solución.

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Ejercicio 44 del Libro.

Multiplicar:

2)  x - ⅖y  por  ⅚y + ⅓x

> Ordenando el segundo factor:

x -⅖y

⅓x +⅚y              .

⅓x²  -²∕₁₅xy

        +  ⅚xy  -⅓y²

⅓x²  +⁷∕₁₀xy   -⅓y²   Solución.

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3) ½ x² -⅓xy + ¼ y²  por  ⅔x -³∕₂y

½ x² -⅓xy + ¼ y²

⅔x -³∕₂y                  .

⅓x³  -    ²∕₉x²y +⅙xy²

         -    ¾ x²y +½xy² -³∕₈y³

⅓x³   -  ³⁵∕₃₆x²y +⅔xy²  -³∕₈y³   Solución.

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5) ⅖m²+⅓mn- ½n²   por   ³∕₂m²+2n²-mn

> Ordenando el segundo factor:

⅖m²+⅓mn- ½n²

³∕₂m²-mn+2n²               .

⅗m⁴ + ½ m³n  -  ¾ m²n²

         -  ⅖m³n  -   ⅓m²n² +  ½mn³

                        +  ⅘m²n² +  ⅔mn³ - n⁴

⅗m⁴ + ¹∕₁₀m³n -¹⁷∕₆₀m²n² + ⁷∕₆mn³  - n⁴    Solución.

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Multiplicación de polinomios con exponentes literales.

           

Procedimiento:

1) Ordenar los términos de los factores cuando sea necesario.

2) Multiplicar los factores, colocando los términos de los productos parciales debajo de su término semejante.

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Ejemplos:

a) Multiplicar   aᵐ⁺²-4ᵐ-2ᵐ⁺¹ por a²-2a.

> Ordenando los términos:

aᵐ⁺²-2ᵐ⁺¹-4ᵐ

a²-2a                     .

aᵐ⁺⁴-2aᵐ⁺³ -4aᵐ⁺²

        -2aᵐ⁺³+4aᵐ⁺²+8aᵐ⁺¹

aᵐ⁺⁴-4aᵐ⁺³             +8aᵐ⁺¹   Solución.

b) Multiplicar   xᵅ⁺²-3xᵅ-xᵅ⁺¹+xᵅ⁻¹  por xᵅ⁺¹+xᵅ+4xᵅ⁻¹

> Ordenando los términos de los factores:

xᵅ⁺²-xᵅ⁺¹-3xᵅ+xᵅ⁻¹

xᵅ⁺¹+xᵅ+4xᵅ⁻¹             .

x²ᵅ⁺³-x²ᵅ⁺²-3x²ᵅ⁺¹ +  x²ᵅ

          x²ᵅ⁺² - x²ᵅ⁺¹ -3x²ᵅ +   x²ᵅ⁻¹

                   4x²ᵅ⁺¹ -4x²ᵅ -12x²ᵅ⁻¹ +4x²ᵅ⁻²

x²ᵅ⁺³                      -6 x²ᵅ-11x²ᵅ⁻¹ +4x²ᵅ⁻²   Solución.

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Ejercicio 43 del Libro.

Multiplicar:

1) aᵡ-aᵡ⁺¹+aᵡ⁺²  por  a+1

> Ordenando el factor trinomio:

aᵡ⁺²-aᵡ⁺¹+aᵡ

a+1                      .

aᵡ⁺³-aᵡ⁺²+aᵡ⁺¹

        aᵡ⁺² -aᵡ⁺¹+aᵡ

aᵡ⁺³                 +aᵡ   Solución.

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2) xⁿ⁺¹+2xⁿ⁺²-xⁿ⁺³  por  x²+x

> ordenando el factor binomio:

xⁿ⁺¹+2xⁿ⁺²-xⁿ⁺³

x+x²                    .

xⁿ⁺²+2xⁿ⁺³ -  xⁿ⁺⁴

           xⁿ⁺³+2xⁿ⁺⁴-xⁿ⁺⁵

xⁿ⁺²+3xⁿ⁺³+  xⁿ⁺⁴-xⁿ⁺⁵   Solución.

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3) mᵅ⁻¹+mᵅ⁺¹+mᵅ⁺²-mᵅ  por  m²-2m+3

> Ordenando el primer factor:

mᵅ⁺²+mᵅ⁺¹-mᵅ+mᵅ⁻¹

m²-2m+3                    .

. mᵅ⁺⁴+  mᵅ⁺³-  mᵅ⁺²+  mᵅ⁺¹

           -2mᵅ⁺³-2mᵅ⁺²+2mᵅ⁺¹-2mᵅ

                        3mᵅ⁺²+3mᵅ⁺¹-3mᵅ+3mᵅ⁻¹

. mᵅ⁺⁴ - mᵅ⁺³             +6mᵅ⁺¹-5mᵅ+3mᵅ⁻¹    Solución.

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