Problemas de Progresiones Aritméticas.

Fórmulas:

u = a+(n-1)r    Enésimo término
a = u-(n-1)r     Primer término
r = u-1 /n-1      Razón
n = u-a+r /r     Número de términos
S = (a+u)n /2   Suma de los términos
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Procedimiento:
1) Determinar el elemento principal del problema; regularmente es lo que se pide encontrar.
2) Plantear las variables del problema.
3) Aplicar la o las fórmulas que corresponda.
4) Sustituir las variables que corresponda en la determinada fórmula.
5) Operar y simplificar para llegar a la solución.
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Ejercicio 290.

Realizar lo que se pide:

1) Hallar la suma de los 20 primeros múltiplos de 7.

Elemento principal del problema: Suma de los primeros 20 múltiplos de 7.

En este problema el primer término de la progresión es 7, y el siguiente término es 14, que es el segundo múltiplo de 7, y así sucesivamente; por lo que la razón sería  r = 14-7 = 7.

Variables para aplicar a las fórmulas:
a = 7  ,  n = 20  ,  r = 7 ,   u = ?  ,  S = ?

Se pide la Suma, pero en la fórmula de ésta se necesita el enésimo término, por lo que primero se encuentra este término.

Aplicando la fórmula del enésimo término:

u = a+(n-1)r
u = 7+(20-1)7
u = 7+(19)7
u = 7+133
u = 140

Aplicando la fórmula para la Suma de términos:

S = (a+u)n /2
S = (7+140)20 /2
S = (147)20 /2
S = 2940/2
S = 1470   Solución.
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3) Hallar la suma de los 43 primeros números terminados en 9.

Elemento principal del problema:  suma de los 43 números que terminen en 9.

Si el primer término es 9, el segundo será 19, por lo tanto la razón es  r =19-9 = 10

Variables para aplicar a las fórmulas:
a = 9  ,  n = 43  ,  r = 10  ,  u = ?  ,  S = ?

Aplicando la fórmula del enésimo término:
u = 9+(43-1)10
u = 9+(42)10
u = 9 + 420
u = 429

Aplicando la fórmula de la Suma:
S = (9+429)43 /2
S = 438(43) / 2
S = 18834/2
S = 9417   Solución.
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6) Compré 50 libros.  Por el primero pagué 8 cts. y por cada uno de los demás 3 cts. más que por el anterior.  Hallar el importe de la compra.

Elemento principal: Importe de la compra.

Variables para aplicar a las fórmulas:
a = 8  ,  n = 50  ,  r = 3  ,  u = ?  ,  S = ?

Aplicando la fórmula del enésimo término:
u = 8+(50-1)3
u = 8+(49)3
u = 8 +147
u = 155

Aplicando la fórmula de la Suma:
S = (8+155)50 /2
S = (163)50 /2
S = 8150/2
S = 4075 cts.
S = $40.75    Solución.
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13) Una deuda puede ser pagada en 32 semanas pagando $5. la 1ª semana, $8. la 2ª semana, $11. la 3ª semana y así sucesivamente.  Hallar el importe de la deuda.

Elemento principal del problema:  Importe de la deuda.

Variables para aplicar a las fórmulas:
a = 5  ,  n = 32  ,  r = 8-5 = 3  ,  u = ?  ,  S = ?

Aplicando la fórmula del enésimo término:
u = 5+(32-1)3
u = 5+(31) 3
u = 5 +93
u = 98

Aplicando la fórmula de la Suma:
S = (5+98)32 /2
S = (103)32 /2
S = 3296/2
S = $1648.   Solución.
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16) ¿Cuál es el 6º término de una progresión aritmética de 11 términos si su 1er. término es -2 y el último es -52?

Elemento principal del problema; Encontrar el enésimo término (6º).

Variables para aplicar a las fórmulas:
a = -2  ,  u = -52  ,  n = 11  ,  r = ?  ,  6º término = ?

Aplicando la fórmula de la Razón:
r = u-a /n-1
r = -52 -(-2) /11-1
r = -52+2 / 10
r = -50/10
r = -5

Aplicando la fórmula del Enésimo término (6º):
u = -2+(6-1)-5
u = -2 +(5)-5
u = -2 +(-25)
u = -27   Solución.
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17) En el primer año de negocios un hombre ganó $500 y en el último ganó $1900.  Si en cada año ganó $200 más que en el año anterior, ¿cuántos años tuvo el negocio?

Elemento principal del problema: cuántos años duró el negocio.

Variables para aplicar a las fórmulas:
a = 500  ,  u = 1900  ,  r = 200  ,  n = ?

Aplicando la fórmula para el Número de años:
n = 1900 - 500 +200 /200
n = 1600/200
n = 8 años.   Solución.
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19) Las pérdidas de 5 años de una casa de comercio están en progresión aritmética.  El último año perdió 3000 Soles, y la pérdida de cada año fue de 300 Soles menos que en el año anterior. ¿Cuánto perdió el primer año?

Elemento principal del problema: cuánto perdió el primer año.

Variables para aplicar a las fórmulas:
u = 3000  ,  n = 5  ,  r = -300  ,  a = ?

a = u-(n-1)r
a = 3000 -(5-1)-300
a = 3000 -(4)-300
a = 3000 - (-1200)
a = 3000 +1200
a = 4200   Solución.
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Ecuaciones completas de 2º grado sin denominadores. Fórmula General. 2ª Parte.

.       25(x+2)² = (x-7)² -81

En esta parte hay que llevar las ecuaciones a la forma ax² ± bx ±c = 0 para resolverlas por la Fórmula General, (como se vio en los problemas del Ejercicio 265).
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Procedimiento:

1) Efectuar las operaciones de factorización necesarias.
2) Trasponer y reducir términos hasta llegar a la forma ax² ± bx ±c = 0.
3) Aplicar la Fórmula General, para encontrar la solución.
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Ejemplo:

Resolver (x+4)² = 2x(5x-1) -7(x-2)

> Efectuando operaciones:
x² +8x +16 = 10x²-2x -7x +14

> Transponiendo y reduciendo términos:
x² -10x² +8x +2x +7x +16 -14 = 0
-9x² +17x +2 = 0
9x² -17x -2 = 0

> Aplicando la fórmula:
x = -(-17) ± √17² -4(9)(-2) / 2(9)
x = 17 ±√289 +72 / 18
x = 17 ±√361 / 18
x = 17±19 / 18
-->
x₁ = 17+19 / 18 = 36/18 = 2
x₂ = 17-19 / 18 = -2/18 = -1/9

Solución: x₁ = 2  ,  x₂ = -1/9
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Ejercicio 266.
Resolver las ecuaciones siguientes aplicando la fórmula general:

3) 9x+1 = 3(x²-5) -(x-3)(x+2)

9x+1 = 3x² -15 -(x² -x -6)
9x+1 = 3x² -15 -x² +x +6

-3x² +x² +9x -x +1 +15 -6 = 0
-2x² +8x +10 = 0
2x² -8x -10 = 0

x = -(-8) ±√-8² -4(2)(-10) / 2(2)
x = 8 ±√64 +80 / 4
x = 8 ±√144 / 4
x = 8 ± 12 /4
-->
x₁ = 8+12 / 4 = 20/4 = 5
x₂ = 8-12 / 4 = -4 /4 = -1

Solución : x₁ = 5  ,  x₂ = -1
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6) 3x(x-2) -(x-6) = 23(x-3)

3x² -6x -x +6 = 23x -69

3x² -6x -x -23x +6 +69
3x² -30x +75 = 0

x = -(-30) ±√-30² -4(3)(75) / 2(3)
x = 30 ±√900 -900 / 6
x = 30 ±√0 / 6
x= 30 ±0 /6
-->
x₁ = 30+0 /6 = 30/6 = 5
x₂ = 30 -0 /6 = 30/6 = 5

Solución :  x = 5
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8) (x-5)² -(x-6)² = (2x-3)² -118

x² -10x +25 -(x² -12x +36) = 4x² -12x +9 -118
x² -10x +25 -x² +12x -36 = 4x² -12x +9 -118

x² -x² -4x² -10x +12x +12x +25 -36 -9 +118 = 0
-4x² +14x +98 = 0
4x² -14x -98 = 0

x = -(-14) ±√-14² - 4(4)(-98) / 2(4)
x = 14 ±√196 + 1568 / 8
x = 14 ±√1764 / 8
x = 14 ± 42 / 8
-->
x₁ = 14+42 /8 = 56/8 = 7
x₂ = 14-42 /8 = -28/8 = -3¹/₂

Solución:  x₁ = 7  ,   x₂ = -3¹/₂
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Reducción de radicales semejantes.

.     9 ³√2 - 4 ³√2 + 2 ³√2

Radicales semejantes son aquellos de igual grado (índice) que tienen la misma cantidad subradical.

Procedimiento:
1) Se suman algebraicamente los coeficientes de los radicales.
2) El total se pone como coeficiente de la parte radical común.
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Ejemplos:

a) 3√2 + 5√2 
= (3+5)√2            <-- Sumando los coeficientes.
= 8√2   Solución.

b) 9√3 - 11√3  =  (9-11)√3  =  -2√3

c) 4√2 - 7√2 + √2  =  (4-7+1)√2  =  -2√2

d) 2/3 √7 - 3/4 √7  =  (2/3 -3/4)√7  =  -1/12 √7

e) 7 ³√2 -1/2 ³√2 + 3/4 ³√2  =  (7-1/2+3/4) ³√2  =  29/4 ³√2

f) 3a√5 - b√5 +(2b-3a)√5  =  (3a -b +2b -3a)√5  =  b√5
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Ejercicio 237.

4) √2 - 9√2 + 30√2 - 40√2

= (1-9+30-40)√2
= -18√2   Solución.
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6) 3/5√3 -√3

= (3/5-1)√3
= -2/5√3   Solución.
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8) 1/4 √3 + 5√3 - 1/8 √3

= (1/4 +5 -1/8)√3
= 41/8 √3    Solución.
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9) a√b - 3a√b + 7a√b

= (1a -3a +7a)√b
= 5a√b   Solución.
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10) 3x√y + (a-x)√y - 2x√y

= (3x +a -x -2x)√y
= a√y   Solución.
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11) (x-1)√3 + (x-3)√3 + 4√3

= (x -1 +x -3 +4)√3
= 2x√3   Solución.
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14) x ³√a² - (a-2x) ³√a² + (2a-3x) ³√a²

= (x -a +2x +2a -3x) ³√a²
= a ³√a²   Solución.
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Simplificación de radicales. Cantidad subradical fracción.

5√9n/5m³ = 3/m² √5mn

Caso I.  Simplificar radicales cuando la cantidad subradical es una fracción y el denominador es irracional.

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Procedimiento:

1) Se multiplica ambos términos de la fracción por una misma cantidad con el fin de que el denominador tenga raíz exacta.

2) Se sacan del denominador y del numerador aquellas términos cuyo exponente sea igual al índice de la raíz o sea divisible entre el índice de la raíz.

3) Se simplifica lo que está fuera y lo que está dentro del signo radical, hasta llegar a la solución. 

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Ejemplo a)  Simplificar 

Multiplicar el numerador y el denominador por una misma cantidad para que el resultado en el denominador tenga raíz exacta.



Sacamos el denominador de la cantidad subradical, y al hacer esto al denominador se le debe colocar como numerador el 1.

   <-- Esta es la Solución.


Ejemplo b)  Simplificar:  

Factorizando la cantidad subradical:



Multiplicando ambos miembros de la cantidad subradical por 2x, para poder sacar el denominador de la raíz:



Simplificando la cantidad subradical:

     <-- Solución.
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Ejercicio 232

Simplificar:



Multiplicando los términos de la fracción por 5, para que el denominador tenga raíz exacta:



Sacando el denominador de la cantidad subradical y trasladándolo al lado izquierdo del signo radical:

   <-- Solución.
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   <--  Solución.
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   <--   Solución.
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  <--  Solución.

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   <--Solución.
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   <-- Solución.
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