Graficar figuras y rectas.

Ejercicio 168b.

Dibuja las figuras geométricas, líneas y rectas; según lo pidan en el inciso.

25)  Dibuja el triángulo cuyos vértices son los puntos (0, 6), (3, 0) y (-3, 0). 

26) Dibuja el triángulo cuyos vértices son los puntos (0, -5), (-4, 3) y (4, 3).

27) Dibujar el cuadrado cuyos vértices son (4, 4), (-4, 4), (-4, -4) y (4, -4).

28) Dibujar el cuadrado cuyos vértices son (-1, -1), (-4, -1), (-4, -4) y (-1, -4).

29) Dibujar el rectángulo cuyos vértices son (1, -1), (1, -3), (6, -1) y (6, -3)

30) Dibujar el rombo cuyos vértices son (1, 4),  (3, 1), (5, 4) y (3, 7).

31) Dibujar la recta que pasa por (4, 0) y (0, 6) y la recta que pasa por (0,1) y (4, 5) y hallar el punto de intersección de las dos rectas.

32) Probar gráficamente que la serie de puntos (-3, 5), (-3, 1), (-3, -1), (-3, -4), se hallan en una línea paralela a la línea que contiene a los puntos (2, -4), (2, 0), (2, 3), (2, 7).

33) Probar gráficamente que la línea que pasa por (-4, 0) y (0, -4) es perpendicular a la línea que pasa por (-1, -1) y (-4, -4).

 

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Determinación de puntos por sus coordenadas.

Función es la relación entre dos magnitudes de manera que al valor de la primera (dominio) le corresponde un único valor de la segunda (imagen).  Su notación es y= f(x).

Las cantidades que intervienen en un problema matemático son: 

Constantes, cuando tienen un valor fijo y determinado.

Variables, cuando se les da diversos valores.

Funciones expresables por fórmula.

Las funciones son expresables por fórmula o ecuaciones cuando se conoce la relación matemática que liga a la variable dependiente o función con las variables independientes; o sea cuando se conoce la ley de dependencia.

Por ejemplo y = 2x+1, y = 2x², y = x³+2x-1, son funciones expresadas por ecuaciones o fórmulas.

Tomando la función y = 2x+1, y como a cada valor de "x" le corresponde un valor determinado de la función "y"; se desarrolla de la siguiente manera:

Para x = + ⋯

Para x = 2, ⇒ y = 2x+1 ⇒y = 2(2)+1 ⇒ y = 5  ⇒      Punto (2, 5)

Para x = 1, ⇒ y = 2x+1 ⇒y = 2(1)+1 ⇒ y = 3  ⇒      Punto (1, 3)

Para x = 0, ⇒ y = 2x+1 ⇒y = 2(0)+1 ⇒ y = 1  ⇒       Punto (0, 1)

Para x = -1, ⇒ y = 2x+1 ⇒y = 2(-1)+1 ⇒ y = -1  ⇒   Punto (-1, -1)

Para x = -2, ⇒ y = 2x+1 ⇒y = 2(-2)+1 ⇒ y = -3  ⇒   Punto (-2, -3)

Para x = - ⋯

Determinación de un punto por sus coordenadas (x,y)

1) Determinar el punto 2 y 3 o (2, 3) = (x,y)

2) Determinar el punto (-3, 4)

3) Determinar el punto (-2, -4)

4) Determinar el punto (4, -2)

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Ejercicio 168.

Determinar gráficamente los puntos:

1) (1, 2),  2) (-2, 1),  3) (-2, -1),  4) (2,-3),  

5) (3, -4),  6) (-5, 2),  7) (-3, -4),  8) (0, 3).

9) (-3, 0),   10) (5, -4),   11) (-4, -3),   12) (0, -6),

13) (4, 0),  14) (-7, 10),  15) (3. -1).

Trazar la línea que pasa por los puntos:

16) (1, 2) y (3, 4),   17) (-2, 1) y (-4, 4),   18) (-3, -2) y (-1, -7)

19) (2, -4) y (5, -2),   20) (3, 0) y (0, 4)

21) (-4, 0) y (0, -2),   22) (-4, 5) y (2, 0),   

23) (-3, -6) y (0, 1),   24) (-3, -2) y (3, 2).

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Representación gráfica de una ecuación de 1° grado con tres variables.

Toda ecuación de primer grado con tres variables representa un plano tridimensional.

Su expresión es Ax +By +Cz = D.

Los segmentos (---) 0A, 0B, 0C son las trazas (líneas trazadas) del plano sobre los ejes.

Los puntos A, B, y C, donde el plano intersecta a los ejes X, Y y Z, tienen dos coordenadas nulas o con valor cero.

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Ejemplos.

a) Representa la ecuación 4x +3y +2z = 12

Hallando las trazas del plano sobre los ejes:

Plano 0X:

y = 0, z = 0 ⇒ 4x +3(0) +2(0) = 12 ⇒ 4x = 12 ⇒ x = 3

El punto es (3, 0, 0)

Plano 0Y:

x = 0, z = 0 ⇒ 4(0) +3y +2(0) = 12 ⇒ 3y = 12 ⇒ y = 4

El punto es (0, 4, 0)

Plano 0Z:

x = 0, y = 0 ⇒ 4(0) +3(0) +2z = 12 ⇒ 2z = 12 ⇒ z = 6

El punto es (0, 0, 6)

Graficando los puntos y uniéndolos para encontrar el plano que representa a la ecuación:

La gráfica sería:

b)  Representar gráficamente 4x +5y +8z = 20

Hallando las trazas del plano sobre los ejes:

Plano 0X:

y = 0, z = 0 ⇒ 4x +3(0) +2(0) = 20 ⇒ 4x = 20 ⇒ x = 5

El punto es (5, 0, 0)

Plano 0Y:

x = 0, z = 0 ⇒ 4(0) +5y +2(0) = 20 ⇒ 5y = 20 ⇒ y = 4

El punto es (0, 4, 0)

Plano 0Z:

x = 0, y = 0 ⇒ 4(0) +3(0) +8z = 20 ⇒ 8z = 20 ⇒ z = 2.5 

El punto es (0, 0, 2.5) 

y su gráfica:

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Ejercicio 190.

Representar gráficamente las ecuaciones:

1) 3x +6y +2z = 6

Plano 0X:

y = 0, z = 0 ⇒ 3x +6(0) +2(0) = 6 ⇒ 3x = 6 ⇒ x = 2

El punto es (2, 0, 0)

Plano 0Y:

x = 0, z = 0 ⇒ 3(0) +6y +2(0) = 6 ⇒ 6y = 6 ⇒ y = 1

El punto es (0, 1, 0)

Plano 0Z:

x = 0, y = 0 ⇒ 3(0) +6(0) +2z = 6 ⇒ 2z = 6 ⇒ z = 3 

El punto es (0, 0, 3)

_____________________________________

2) 2x +y +4z = 4

Plano 0X:

y = 0, z = 0 ⇒ 2x +1(0) +4(0) = 4 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2

El punto es (2, 0, 0)

Plano 0Y:

x = 0, z = 0 ⇒ 2(0) +y +4(0) = 4 ⇒  y = 4

El punto es (0, 4, 0)

Plano 0Z:

x = 0, y = 0 ⇒ 2(0) +1(0) +4z = 4 ⇒ 4z = 4 ⇒ z = 1 

El punto es (0, 0, 1)

_____________________________________

3) 4z +6y +3z = 12

Plano 0X:

y = 0, z = 0 ⇒ 4x +6(0) +3(0) = 12 ⇒ 4x = 12 ⇒ x = 3

El punto es (3, 0, 0)

Plano 0Y:

x = 0, z = 0 ⇒ 4(0) +6y +3(0) = 12 ⇒ 6y = 12 ⇒ y = 2

El punto es (0, 2, 0)

Plano 0Z:

x = 0, y = 0 ⇒ 4(0) +6(0) +3z = 12 ⇒ 3z = 12 ⇒ z = 4 

El punto es (0, 0, 4)

______________________________________

4) 15x +6y +5z = 30

Plano 0X:

y = 0, z = 0 ⇒ 15x +6(0) +5(0) = 30 ⇒ 15x = 30 ⇒ x = 2

El punto es (2, 0, 0)

Plano 0Y:

x = 0, z = 0 ⇒ 15(0) +6y +5(0) = 30 ⇒ 6y = 30 ⇒ y = 5

El punto es (0, 5, 0)

Plano 0Z:

x = 0, y = 0 ⇒ 15(0) +6(0) +5z = 30 ⇒ 5z = 30 ⇒ z = 6 

El punto es (0, 0, 6)

______________________________________

5) 2x +y +3z = 6

Plano 0X:

y = 0, z = 0 ⇒ 2x +1(0) +3(0) = 6 ⇒ 2x = 6 ⇒ x = 3

El punto es (3, 0, 0)

Plano 0Y:

x = 0, z = 0 ⇒ 2(0) +y +3(0) = 6 ⇒ y = 6 ⇒ y = 6

El punto es (0, 6, 0)

Plano 0Z:

x = 0, y = 0 ⇒ 2(0) +1(0) +3z = 6 ⇒ 3z = 6 ⇒ z = 2 

El punto es (0, 0, 2)

______________________________________

6) 15x +10y +6z = 30

Plano 0X:

y = 0, z = 0 ⇒ 15x +10(0) +6(0) = 30 ⇒ 15x = 30 ⇒ x = 2

El punto es (2, 0, 0)

Plano 0Y:

x = 0, z = 0 ⇒ 15(0) +10y +6(0) = 30 ⇒ 10y = 30 ⇒ y = 3

El punto es (0, 3, 0)

Plano 0Z:

x = 0, y = 0 ⇒ 15(0) +10(0) +6z = 30 ⇒ 6z = 30 ⇒ z = 5 

El punto es (0, 0, 5)

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7) 14x +10y +5z = 35

Plano 0X:

y = 0, z = 0 ⇒ 14x +10(0) +5(0) = 35 ⇒ 14x = 35  ⇒ x = 2.5

El punto es (2.5, 0, 0)

Plano 0Y:

x = 0, z = 0 ⇒ 14(0) +10y +5(0) = 35 ⇒ 10y = 35 ⇒ y = 3.5

El punto es (0, 3.5, 0)

Plano 0Z:

x = 0, y = 0 ⇒ 14(0) +10(0) +5z = 35 ⇒ 5z = 35 ⇒ z = 7 

El punto es (0, 0, 7)

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8) 3x +y +2z = 10

Plano 0X:

y = 0, z = 0 ⇒ 3x +1(0) +2(0) = 10 ⇒ 3x = 10 ⇒ x = 3.3

El punto es (3.3, 0, 0)

Plano 0Y:

x = 0, z = 0 ⇒ 3(0) +y +2(0) = 10 ⇒ y = 10

El punto es (0, 10, 0)

Plano 0Z:

x = 0, y = 0 ⇒ 3(0) +1(0) +2z = 10 ⇒ 2z = 10 ⇒ z = 5 

El punto es (0, 0, 5)

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9) 4x +2y +3z = 18

Plano 0X:

y = 0, z = 0 ⇒ 4x +2(0) +3(0) = 18 ⇒ 4x = 18 ⇒ x = 4.5

El punto es (4.5, 0, 0)

Plano 0Y:

x = 0, z = 0 ⇒ 4(0) +2y +3(0) = 18 ⇒ 2y = 18 ⇒ y = 9

El punto es (0, 9, 0)

Plano 0Z:

x = 0, y = 0 ⇒ 4(0) +2(0) +3z = 18 ⇒ 3z = 18 ⇒ z = 6 

El punto es (0, 0, 6

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10) 15x+20y +24z = 120

Plano 0X:

y = 0, z = 0 ⇒ 15x +20(0) +24(0) = 120 ⇒ 15x = 120 ⇒ x = 8

El punto es (8, 0, 0)

Plano 0Y:

x = 0, z = 0 ⇒ 15(0) +20y +24(0) = 120 ⇒ 20y = 120 ⇒ y = 6

El punto es (0, 6, 0)

Plano 0Z:

x = 0, y = 0 ⇒ 15(0) +20(0) +24z = 120 ⇒ 24z = 120 ⇒ z = 15 

El punto es (0, 0, 5)

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Representación de un punto cuando una o mas coordenadas son 0.

1) Cuando una de las coordenadas es cero y las otras dos no; el punto está situado en uno de los planos coordenados.

Si x = 0, el punto está situado en el plano YZ,

Si y = 0, el punto está situado en el plano ZX,

Si z = 0, el punto está situado en el plano XY.

2) Cuando dos de las coordenadas son 0 y la otra no, el punto está situado en el uno de los ejes.

Si x = 0, y = 0, el punto está situado en el eje 0Z,

Si x = 0, z = 0, el punto está situado en el eje 0Y,

Si y = 0, z = 0, el punto está situado en el eje 0X.

3) Si las tres coordenadas son 0, entonces el punto es el origen.

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Ejemplo: (3, 2, 3)

Puntos cuando una coordenada es cero:  (0,2,3), (3,0,3), (3,2,0)

Puntos cuando dos coordenadas son cero y la otra no (0,0,3), (0,2,0), (3,0,0)

Puntos cuando las tres coordenadas son cero  (0,0,0)

Para completar la figura debe unirse los puntos que tienen solamente un cero con el punto dado:

(0,2,3) con (3,2,3)   ;   (3,0,3) con (3,2,3)  ;  (3,2,0) con (3,2,3)

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Ejercicio 189.

Representar gráficamente los siguientes puntos:

1) (1, 1, 3)

Puntos cuando una coordenada es cero:  (0,1,3), (1,0,3), (1,1,0)

Puntos cuando dos coordenadas son cero y la otra no: (0,0,3), (0,1,0), (1,0,0)

Puntos cuando las tres coordenadas son cero:  (0,0,0)

Para completar la figura debe unirse los puntos que tienen solamente un cero con el punto dado:

(0,1,3) con (1,1,3)   ;   (1,0,3) con (1,1,3)  ;  (1,1,0) con (1,1,3)

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2)  (4, 2, 3)

Puntos cuando una coordenada es cero:  (0,2,3), (4,0,3), (4,2,0)

Puntos cuando dos coordenadas son cero y la otra no: (0,0,3), (0,2,0), (4,0,0)

Puntos cuando las tres coordenadas son cero:  (0,0,0)

Para completar la figura debe unirse los puntos que tienen solamente un cero con el punto dado:

(0,2,3) con (4,2,3)   ;   (4,0,3) con (4,2,3)  ;  (4,2,0) con (4,2,3)

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3) (5,4,2)

Puntos cuando una coordenada es cero:  (0,4,2), (5,0,2), (5,4,0)

Puntos cuando dos coordenadas son cero y la otra no: (0,0,3), (0,2,0), (4,0,0)

Puntos cuando las tres coordenadas son cero:  (0,0,0)

Para completar la figura debe unirse los puntos que tienen solamente un cero con el punto dado:

(0,4,2) con (5,4,2)   ;   (5,0,2) con (5,4,2)  ;  (5,4,0) con (5,4,2)

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4)  (3, 5, 6) 

Puntos cuando una coordenada es cero:  (0,5,6), (3,0,6), (3,5,0)

Puntos cuando dos coordenadas son cero y la otra no: (0,0,6), (0,5,0), (3,0,0)

Puntos cuando las tres coordenadas son cero:  (0,0,0)

Para completar la figura debe unirse los puntos que tienen solamente un cero con el punto dado:

(0,5,6) con (3,5,6)   ;   (3,0,6) con (3,5,6)  ;  (3,5,0) con (3,5,6)

__________________________________

5)  (2, 4, 1)

Puntos cuando una coordenada es cero:  (0,4,1), (2,0,1), (2,4,0)

Puntos cuando dos coordenadas son cero y la otra no: (0,0,1), (0,4,0), (2,0,0)

Puntos cuando las tres coordenadas son cero:  (0,0,0)

Para completar la figura debe unirse los puntos que tienen solamente un cero con el punto dado:

(0,4,1) con (2,4,1)   ;   (2,0,1) con (2,4,1)  ;  (2,4,0) con (2,4,1)

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6)  (4, 3, 7) 

Puntos cuando una coordenada es cero:  (0,3,7), (4,0,7), (4,3,0)

Puntos cuando dos coordenadas son cero y la otra no: (0,0,7), (0,3,0), (4,0,0)

Puntos cuando las tres coordenadas son cero:  (0,0,0)

Para completar la figura debe unirse los puntos que tienen solamente un cero con el punto dado:

(0,3,7) con (4,3,7)   ;   (4,0,7) con (4,3,7)  ;  (4,3,0) con (4,3,7)

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7) (7, 5, 4)  

Puntos cuando una coordenada es cero:  (0,5,4), (7,0,4), (7,5,0)

Puntos cuando dos coordenadas son cero y la otra no: (0,0,4), (0,5,0), (7,0,0)

Puntos cuando las tres coordenadas son cero:  (0,0,0)

Para completar la figura debe unirse los puntos que tienen solamente un cero con el punto dado:

(0,5,4) con (7,5,4)   ;   (7,0,4) con (7,5,4)  ;  (7,5,0) con (7,5,4)

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8)  (3, 1, 6)

Puntos cuando una coordenada es cero:  (0,1,6), (3,0,6), (3,1,0)

Puntos cuando dos coordenadas son cero y la otra no: (0,0,6), (0,1,0), (3,0,0)

Puntos cuando las tres coordenadas son cero:  (0,0,0)

Para completar la figura debe unirse los puntos que tienen solamente un cero con el punto dado:

(0,1,6) con (3,1,6)   ;   (3,0,6) con (3,1,6)  ;  (3,1,0) con (3,1,6)

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9) (6, 3, 4)

Puntos cuando una coordenada es cero:  (0,3,4), (6,0,4), (6,3,0)

Puntos cuando dos coordenadas son cero y la otra no: (0,0,4), (0,3,0), (6,0,0)

Puntos cuando las tres coordenadas son cero:  (0,0,0)

Para completar la figura debe unirse los puntos que tienen solamente un cero con el punto dado:

(0,3,4) con (6,3,4)   ;   (6,0,4) con (6,3,4)  ;  (6,3,0) con (6,3,4)

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10)  (4, 0, 4)

Puntos cuando una coordenada es cero:  (0,0,4), (4,0,4), (4,0,0)

Puntos cuando las tres coordenadas son cero:  (0,0,0)

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11)  (4, 2, 0)

Puntos cuando una coordenada es cero:  (0,2,0), (4,0,0), (4,2,0)

Puntos cuando las tres coordenadas son cero:  (0,0,0)

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Verdadero valor de las formas indeterminadas. Evaluación de Fracciones. Parte 2.

Verdadero valor de las formas indeterminadas. Parte 2.

Evaluación de una fracción de la forma 0/a = 0.

Esta forma representa una fracción cuyo numerador es cero (0) y cuyo denominador "a" es una cantidad finita entera. Entonces 0/a = 0  y , sabemos que 0 por a = 0

Si tenemos   y si x = 3, 

Entonces  0/a = 0 

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Evaluación de una fracción de la forma a/0 = ∞.

Sea la fracción a/x, en que "a" es una cantidad constante y "x" es una variable. Cuando menor sea "x", mayor es el valor de la fracción.

Entonces se cumple el principio de que si el numerador de una fracción es una cantidad constante, a medida que el denominador disminuye indefinidamente, acercándose al límite cero pero sin llegar a valer cero; el valor de la fracción aumenta sin límite.

Hallar el valor de    siendo x = 2.

Entonces  a/0 = ∞

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Evaluación de una fracción de la forma 0/∞ = 0.

Tomando a/x, en que "a" es constante y "x" variable.  Cuando mayor sea "x", menor será el valor de la fracción.

Se observa que a medida que el denominador aumenta indefinidamente, el valor de la fracción disminuye indefinidamente, acercándose al límite cero, pero sin llegar a él.

Entonces  0/∞ = 0

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Evaluación de una fracción de la forma 0/0 = valor indeterminado.

En esta forma, el cociente de la división del dividendo cero entre el divisor cero, tendremos como cociente un valor indeterminado, porque el principio de que una cantidad multiplicada por el divisor cero reproduce el dividendo cero, pero como cualquier cantidad multiplicada por cero da cero, por lo tanto, 0/0 puede ser cualquier cantidad.  

Entonces 0/0 = valor indeterminado.

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Ejercicio 139b

Hallar el verdadero valor de:

16)   

El verdadero valor para la fracción dada, si x = 2 es -1/5.

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17) 

El verdadero valor para la fracción dada, si x = a es 3a².

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18)  

El verdadero valor para la fracción dada, si b = a es 0 

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19)   

El verdadero valor para la fracción dada, si y = x es 2.

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20) 

 

 

El verdadero valor para la fracción dada, si x = a es 3.

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21) 

El verdadero valor para la fracción dada, si x = 1 es ∞.

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22) 

El verdadero valor para la fracción dada, si x =3 es 2.

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23) 

  

El verdadero valor para la fracción dada, si x = 2 es 1/3.

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24) 

El verdadero valor para la fracción dada. si x = 1 es 1/6.
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25) 

El verdadero valor para la fracción dada, si x = 2 es 4/5.

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26) 

El verdadero valor para la fracción dada, si x = 3/4 es 18/5.

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27) 

El verdadero valor para la fracción dada, si x = -2 es 0

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28)

El verdadero valor para la fracción dada, si x = -1/3 es 4/9

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29) 

El verdadero valor para la fracción dada, si x =1 es 1.

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30) 

  

 

El verdadero valor para fracción dada, si x =2, es 7.

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