Resolución y gráfica de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

Es hallar el punto del espacio por el que pasan los tres planos correspondientes a las ecuaciones.

Procedimiento:

1) Se representan gráficamente los tres planos que corresponden a cada una de las ecuaciones del sistema hallando sus trazas.

2) Se traza la intersección de dos cualesquiera de ellos, que será una línea recta. 

3) Se traza la intersección del tercer plano con cualquiera de los anteriores, que será otra línea recta. 

4) Se busca un punto donde se intersecan las dos rectas halladas y ese será el punto común a los tres planos. 

Las coordenadas del punto común son la solución del sistema. 

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Ejemplo. Resolver gráficamente el sistema:  

Hallando las trazas de los tres planos para cada ecuación: 

Para 2x +2y +z = 12

Si y = 0, z = 0 -> 2x+2(0)+(0) =12 -> 2x = 12 -> x = 6   Punto (6, 0, 0)

Si x = 0, z = 0 -> 2(0)+2y+(0)=12 -> 2y = 12 -> y = 6  Punto (0, 6, 0)

Si x = 0, y = 0 -> 2(0)+2(0)+z =12 -> z = 12   Punto (0, 0, 12)

Para x +y +z = 8

Si y = 0, z = 0 -> x+(0)+(0) =8 -> x = 8    Punto (8, 0, 0)

Si x = 0, z = 0 -> (0)+y+(0)= 8 -> y = 8    Punto (0, 8, 0)

Si x = 0, y = 0 -> (0)+(0)+z =8 -> z = 8    Punto (0, 0, 8)

Para 3x +2y +5z = 30

Si y = 0, z = 0 -> 3x+2(0)+5(0) =30 -> 3x = 30 -> x = 10   Punto (10, 0, 0)

Si x = 0, z = 0 -> 3(0)+2y+5(0)=30 -> 2y = 30 -> y = 15    Punto (0, 15, 0)

Si x = 0, y = 0 -> 3(0)+2(0)+5z =30 -> 5z = 30 -> z = 6      Punto (0, 0, 6)

Graficar los planos para cada una de las ecuaciones. 

Trazar la intersección del 1° plano ABC con el 2° DEF y resulta una recta MN 

Trazar la intersección del 2° plano DEF con el 3° plano GHI y resulta una recta RQ 

Ambas intersecciones MN y QR se cortan en el punto P, este punto pertenece a los 3 planos.

Las coordenadas de P de la figura son x = 2, y = 2 , z = 4, (2, 2, 4), que es la solución al sistema de ecuaciones dado.

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Ejercicio 191.

Resolver y representar gráficamente los sistemas:

1)

Para x +2y + z = 8

Si y = 0, z = 0 -> x+2(0)+(0) =8 -> x = 8    Punto (8, 0, 0)

Si x = 0, z = 0 -> (0)+2y+(0)=8 -> 2y = 8 -> y = 4  Punto (0, 4, 0)

Si x = 0, y = 0 -> (0)+2(0)+z=8 -> z = 8   Punto (0, 0, 8)

Para 2x +2y + z = 9

Si y = 0, z = 0 -> 2x+2(0)+(0)=9 -> 2x = 9 -> x = 4.5   Punto (4.5, 0, 0)

Si x = 0, z = 0 -> 2(0)+2y+(0)=9 -> 2y = 9 -> y = 4.5   Punto (0, 4.5, 0)

Si x = 0, y = 0 -> 2(0)+2(0)+z=9 -> z = 9    Punto (0, 0, 9)

Para 3x +3y +5z = 24

Si y = 0, z = 0 -> 3x+3(0)+5(0)=24 -> 3x = 24 -> x = 8    Punto (8, 0, 0)

Si x = 0, z = 0 -> 3(0)+3y+5(0) =24 -> 3y = 24 -> y = 8   Punto (0, 8, 0)

Si x = 0, y = 0 -> 3(0)+3(0)+5z =24 -> 5z = 24 -> z = 4.8      Punto (0, 0, 4.8)

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2)   

Para x +y + z = 5

Si y = 0, z = 0 -> x+(0)+(0) =5 -> x = 5    Punto (5, 0, 0)

Si x = 0, z = 0 -> (0)+y+(0)=5 -> y = 5   Punto (0, 5, 0)

Si x = 0, y = 0 -> (0)+(0)+z=5 -> z = 5   Punto (0, 0, 5)

Para 3x +2y + z = 8

Si y = 0, z = 0 -> 3x+2(0)+(0)=8 -> 3x = 8 -> x = 2.66   Punto (2.66, 0, 0)

Si x = 0, z = 0 -> 3(0)+2y+(0)=8 -> 2y = 8  -> y = 4   Punto (0, 4, 0)

Si x = 0, y = 0 -> 3(0)+2(0)+z=8 -> z =  8    Punto (0, 0, 8)

Para 2x +3y +3z = 14

Si y = 0, z = 0 -> 2x+3(0)+3(0)=14 -> 2x = 14 -> x = 7    Punto (7, 0, 0)

Si x = 0, z = 0 -> 2(0)+3y+3(0) =14 -> 3y = 14 -> y = 4.66   Punto (0, 4.66, 0)

Si x = 0, y = 0 -> 2(0)+3(0)+3z =14 -> 3z = 14 -> z = 4.66      Punto (0, 0, 4.66)

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3)  

Para 2x +2y +3z = 23

Si y = 0, z = 0 -> 2x+2(0)+3(0) =23 -> 2x = 23 -> x = 11.5   Punto (11.5, 0, 0)

Si x = 0, z = 0 -> 2(0)+2y+3(0)=23 -> 2y = 23 -> y = 11.5   Punto (0, 11.5, 0)

Si x = 0, y = 0 -> 2(0)+2(0)+3z=23 -> 3z = 23 -> z = 7.66   Punto (0, 0, 7.66)

Para 2x +3y + 2z = 20

Si y = 0, z = 0 -> 2x+3(0)+2(0)=20 -> 2x=20 -> x = 10       Punto (10, 0, 0)

Si x = 0, z = 0 -> 2(0)+3y+2(0)=20 -> 3y=20  -> y = 6.66   Punto (0, 6.66, 0)

Si x = 0, y = 0 -> 2(0)+3(0)+2z=20 -> 2z= 20 -> z = 10       Punto (0, 0, 10)

Para 4x +3y +2z = 24

Si y = 0, z = 0 -> 4x+3(0)+2(0)=24 -> 4x=24 -> x = 6     Punto (6, 0, 0)

Si x = 0, z = 0 -> 4(0)+3y+2(0) =24 -> 3y=24 -> y = 8    Punto (0, 8, 0)

Si x = 0, y = 0 -> 4(0)+3(0)+2z =24 -> 2z=24 -> z = 12   Punto (0, 0, 1)

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4) 

Para 2x +2y +3z = 24

Si y = 0, z = 0 -> 2x+2(0)+3(0) =24 -> 2x = 24 -> x = 12   Punto (12, 0, 0)

Si x = 0, z = 0 -> 2(0)+2y+3(0)=24 -> 2y = 24 -> y = 12   Punto (0, 12, 0)

Si x = 0, y = 0 -> 2(0)+2(0)+3z=24 -> 3z = 24 -> z = 8   Punto (0, 0, 8)

Para 4x +5y + 2z = 35

Si y = 0, z = 0 -> 4x+5(0)+2(0)=35 -> 4x=35 -> x = 8.75  Punto (8.75, 0, 0)

Si x = 0, z = 0 -> 4(0)+5y+2(0)=35 -> 5y=35  -> y = 7      Punto (0, 7, 0)

Si x = 0, y = 0 -> 4(0)+5(0)+2z=35 -> 2z= 35 -> z = 11.5  Punto (0, 0, 11.5)

Para 3x +2y +z = 19

Si y= 0, z = 0 -> 3x+2(0)+(0)=19 -> 3x=19 -> x = 6.33  Punto (6.33, 0, 0)

Si x= 0, z = 0 -> 3(0)+2y+(0) =19 -> 2y=19 -> y = 9.5   Punto (0, 9.5, 0)

Si x= 0, y = 0 -> 3(0)+2(0)+z =19 -> z=19 -> z = 19    Punto (0, 0, 19)

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5)

Para 3x +4y +5z = 35

Si y=0, z=0 -> 3x+4(0)+5(0) =35 -> 3x=35 -> x=11.66   Punto (11.66, 0,0)

Si x = 0, z = 0 -> 3(0)+4y+5(0)=35 -> 4y=35 -> y= 8.75 Punto (0, 8.75, 0)

Si x = 0, y = 0 -> 3(0)+4(0)+5z=35 -> 5z=35 -> z=7        Punto (0, 0, 7)

Para 2x +5y + 3z = 27

Si y = 0, z = 0 -> 2x+5(0)+3(0)=27 -> 2x=27 -> x=13.5  Punto (13.5, 0, 0)

Si x = 0, z = 0 -> 2(0)+5y+3(0)=27 -> 5y=27 -> y=5.4    Punto (0, 5.4, 0)

Si x = 0, y = 0 -> 2(0)+5(0)+3z=27 -> 3z= 27 -> z=9       Punto (0, 0, 9)

Para 2x +y +z = 13

Si y= 0, z = 0 -> 2x+(0)+(0)=13 -> 2x=13 -> x=6.5      Punto (6.5, 0, 0)

Si x= 0, z = 0 -> 2(0)+y+(0) =13 -> y=13 -> y=13        Punto (0, 13, 0)

Si x= 0, y = 0 -> 2(0)+(0)+z =13 -> z=13 -> z=13         Punto (0, 0, 13)

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6) 

Para 3x +4y +5z = 35

Si y=0, z=0 -> 3x+4(0)+5(0) =42 -> 3x=42 -> x=14   Punto (14, 0, 0)

Si x= 0, z= 0 -> 3(0)+4y+5(0)=42 -> 4y=42 -> y=10.5 Punto (0, 10.5, 0)

Si x  0, y= 0 -> 3(0)+4(0)+5z=22 -> 5z=42 -> z=8.4    Punto (0, 0, 8.4)

Para 3x +4y + 3z = 33

Si y= 0, z= 0 -> 3x+4(0)+3(0)=33 -> 3x=33 -> x=11  Punto (11, 0, 0)

Si x= 0, z= 0 -> 3(0)+4y+3(0)=33 -> 4y=33 -> y=8.25   Punto (0, 8.25, 0)

Si x= 0, y= 0 -> 3(0)+4(0)+3z=33 -> 3z= 33 -> z=11     Punto (0, 0, 11)

Para 2x +5y +2z = 29

Si y= 0, z= 0 -> 2x+5(0)+2(0)=29 -> 2x=29 -> x=14.5   Punto (14.5, 0, 0)

Si x= 0, z= 0 -> 2(0)+5y+2(0) =29 -> 5y=29 -> y=5.8    Punto (0, 5.8, 0)

Si x= 0, y= 0 -> 2(0)+5(0)+2z =29 -> 2z=29 -> z=14.5  Punto (0, 0, 14.5)

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Desarrollo de una determinante de segundo orden.

Una determinante de segundo orden se refiere al producto de los términos que pertenecen a la diagonal principal ( \ ), menos el producto de los términos que pertenecen a la diagonal secundaria ( /)

Veamos unos ejemplos:

a ) | a ⬂   n |

.    | m ⬀  b | = (a)(b) - (m)(n)  

b) | a ⬂   -n |

.    | m ⬀  b  | = (a)(b) - (m)(-n)  

c) | 3 ⬂  2 |

.   | 5 ⬀  4 | = (3)(4) - (5)(2) = 12 - 10 = 2  

d) | 3 ⬂  -5|

.   | 1 ⬀  -2 | = (3)(-2) - (1)(-5) = -6 - (-5) = -6 +5 = -1

e) | -2 ⬂ -5|

.   | -3 ⬀ -9 | = (-2)(-9) - (-3)(-5) = 18 - (-5) = 18 -15 = 3

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Ejercicio 183.

Desarrolla las determinantes:

1) | 4 ⬂  5 |

.   | 2 ⬀  3 | = (4)(3) - (2)(5) = 12 - 10 = 2  

2) | 2 ⬂  7 |

.   | 3 ⬀  5 | = (2)(5) - (3)(7) = 10 - 21 = -11  

3) | -2 ⬂  5 |

.   |   4 ⬀  3 | = (-2)(3) - (4)(5) = -6 - 20 = -26  

4) | 7 ⬂  9 |

.   | 5 ⬀ -2 | = (7)(-2) - (5)(9) = -14 - 45 = -59  

5) |  5 ⬂ -3|

.   | -2 ⬀ -8 | = (5)(-8) - (-2)(-3) = -40 - (6) = -46

6) |  9 ⬂ -11|

.   | -3 ⬀   7 | = (9)(7) - (-3)(-11) = 63 - (33) = 30  

7) | -15 ⬂ -1|

.   |  13 ⬀  2 | = (-15)(2) - (13)(-1) = -30 - (-13) = -30 +13 = -17

8) | 12 ⬂ - 1|

.   | 13 ⬀  -9 | = (12)(-9) - (13)(-1) = -108 - (-13) = -108 +13 = -95

9) | 10 ⬂   3 |

.   | 17 ⬀ 13 | = (10)(13) - (17)(3) = 130 - 51 = 79  

10) | - 5 ⬂ -  8|

.     | -19 ⬀ -21| = (-5)(-21) - (-19)(-8) = 105 - (152) = -47

11) | 8 ⬂  2 |

.     | -3 ⬀ 0 | = (-8)(0) - (-3)(2) = 0 - (-6) = 0 +6 = 6

12) |  31 ⬂ -85|

.     | -20 ⬀ 43 | = (31)(43) - (-20)(-85) = -1333 - (1700) = -367

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Problemas sobre ecuaciones enteras. Ejercicio 83.

Ejemplo a) La edad de A es doble que la de B, y ambas edades suman 36 años.  Hallar ambas edades.

Entonces:

x = edad de B,

y como al edad de A es el doble de B ⇒ 2x = edad de A.

Si la suma de ambas edades es 36 años 

Resolviendo:

 x + 2x = 36

3x = 36

x = 36/2

x = 12 años

2x = 2(12) = 24 años

Respuesta: 12 años . edad de B  ;  24 años, edad de A.

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Ejemplo b) Se ha comprado un coche, un caballo y sus arreos por $350.  El coche costó el triplo de los arreos, y el caballo, el doble de lo que costó el coche.  Hallar el costo de los arreos, del coche y del caballo.

Entonces:

x = costo de los arreos

Como el coche costó el triplo de los arreos ⇒ 3x = costo del coche.

Como el caballo costó el doble del costo del coche ⇒ 6x = costo del caballo.

La suma del coche, los arreos y del caballo es $350.

Resolviendo;

x + 3x + 6x = 350

10x = 350

x = 35/10

x =35

3x = 3(35) = 105 

6x = 6(35) = 210 

Respuesta: Costo del coche = $35;  costo de los arreos = $105.  ,  costo del caballo = $210.

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Ejemplo c) Repartir 180 Bolívares entre A, B y C de modo que la parte de A sea la mitad de la B y un tercio de la de C.

A mitad de B es ⇒ 2B = A 

A es un tercio de C ⇒  3C = A

Por tanto A = x

La suma de los tres es 180.

Resolviendo:

x + 2x + 3x = 180

6x = 180

x = 180/6

x = 30

2x = 2(30) = 60

3x = 3(30) = 90

Suma: 30 + 69 + 90 = 180 Bls.

Respuesta : la parte de A = 60 Bls.,  la de B = 90 Bls. y la de C = 90 Bls.

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Ejercicio 83.

1) La edad de Pedro es el triplo de la de Juan y ambas edades suman 40 años. Hallar ambas edades.

Edad Pedro = 3x   ;    Edad de Juan = x   ;   Suma = 40

x + 3x = 40

4x = 40

x = 40/4

x = 10

3x = 3(10) = 30

Respuesta:  Edad de Juan = 10 años.  ,  Edad de Pedro = 30 años.

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2) Se ha comprado un caballo y sus arreos por $600.  Si el caballo costó 4 veces los arreos, ¿cuánto costó el caballo y cuánto los arreos?

Arreos = x   ;   Caballo = 4x   ;   Suma = 600.

x + 4x = 600

5x = 600

x = 600/5

x = 120

4x = 4(120) = 480

Respuesta: El caballo costó $480  y  los arreos $120.

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3) En un hotel de 2 pisos hay 48 habitaciones.  Si las habitaciones del segundo piso son la mitad de las del primero, ¿cuántas habitaciones hay en cada piso?

1° Nivel es 1/2 que 2° entonces el 2° nivel es el doble que el primero.

1° nivel = 2x    ;    2° nivel = x   ;   suma = 48

x + 2x = 48

3x = 48

x = 48/3

x = 16

2x = 2(16) = 32

Respuesta:  El primer piso tiene 32 habitaciones y el 2° piso  16 habitaciones.

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4) Repartir 300 colones entre A, B y C de modo que la parte de B sea doble que la de A y la de C el triplo de la de A.

A = x     ;     B = 2x    ;    C = 3x     ;   Colones a repartir 300.

x + 2x + 3x = 300

6x = 300

x = 300/6

x = 50

2x = 2(50) = 100

3x = 3(50) = 150

Respuesta: La parte que les corresponde es:  A; 50 cls,  B; 100 cls.  y C; 150 cls.

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5) Repartir 133 sucres entre A, B y C de modo que la parte de A sea la mitad de la de B y la de C doble de la de B.

A = x   ;   B = 2x   ;    C = 2(2x)= 4x   ;    a repartir  133 sucres.

x + 2x +4x = 133

7x = 133

x = 133/7

x = 19

2x = 2(19) = 38

4x = 4(19) = 76

Respuesta: Le corresponde a:  A; 19 sucres,   B; 38 sucres y  C; 76 sucres.

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6) El mayor de dos números es 6 veces el menor y ambos números suman 147.  Hallar los números.

x = menor   ;    6x mayor   ;    suma: 147

x +6x = 147

7x = 147

x = 147/7

x = 21

6x = 6(21) = 126

Respuesta: 126  y  21.

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7) Repartir 140 quetzales entre A, B y C de modo que la parte de B sea la mitad de la de A y un cuarto de la de C.

Si B es la mitad de A ⇒ A es el doble de B

Si B es un cuarto de C ⇒ C es el cuádruple de B

x = B   ;   A = 2x   ;   C = 4x   ;  a repartir 140.

x + 2x +4x = 140

7x = 140}x = 140/7

x = 20

2x = 2(20) = 40

4x = 4(20) = 80

Respuesta: le corresponde a:  A, 40  ;  B, 20  ;  C, 80.

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8) Dividir el número 850 en tres partes de modo que la primera sea el cuarto de la segunda y el quinto de la tercera.

Si la primera es el cuarto de la segunda ⇒ la segunda es 4 veces la primera

Si la primera es el quinto de la tercera ⇒ la tercera es 5 veces la primera.

Primera = x    ;   segunda = 4x   ;   tercera = 5x   ;  a dividir  850.

x + 4x +5x = 850

10x = 850

x = 850/10

x = 85

4x = 4(85) = 340

5x = 5(85) = 425

Respuesta:  1a., 85   ;   2a. 340   ;    3a. 425.

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9) El duplo de un número equivale al número aumentado en 111.Hallar el número.

Número: x   ;   duplo: 2x   ;   aumentado en 111:  x+111

2x = x + 111

2x -x = 111

x = 111

Respuesta:  el número es 111.

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10) La edad de María es el triplo de la de Rosa más quince años y ambas edades suman 59 años.  Hallar ambas edades.

x: edad de Rosa   ;    3x+15:  edad de María   ;  suma de las edades: 59

x +3x+15 = 59

4x = 59-15

x = 44/4

x = 11

3x+15 = 3(11)+15 = 48.

Respuesta: Edad de Rosa, 11 años.  ;   edad de María, 48 años.

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11) Si un número se multiplica por 8 el resultado es el número aumentado en 21.  Hallar el número.

Número: x   ,   multiplicado por 8:  8x  ;  aumentado en 21:  x+21

8x = x+21

8x -x = 21

7x = 21

x = 21/7

x = 3

Respuesta: es  3.

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12) Si al triplo de mi edad añado 7 años, tendría 100 años. ¿Qué edad tengo?

Edad: x  ;   triplo: 3x   ;  más 7 años   ; tendría 100 años.

3x +7 = 100

3x = 100 -7

x = 93/3

x = 31

Respuesta: Mi edad es 31 años.

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13) Dividir 96 en tres partes tales que la primera sea el triplo de la segunda y la tercera igual a la suma de la primera y la segunda.

Primera: 3x   ;   segunda: x   ;   tercera: 3x+x = 4x   ;   a dividir  96

3x + x +4x = 96

8x = 96

x = 96/8

x = 12

3x = 3(12) = 36

3x+x = 3(12)+12 = 48

Respuesta:  1a., 36   ;    2a., 12   ;   3a.,  48

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14) La edad de Enrique es la mitad de la de Pedro; la de Juan el triplo de la de Enrique y la de Eugenio el doble de la de Juan. Si las cuatro edades suman 132 años, ¿qué edad tiene cada uno?

Si edad de E es 1/2 de edad de P ->  P es el doble de Er

Si edad de J es triplo de edad de Er -> edad Juan es 3x

Si edad de Eu es doble de la de J -> Edad de Eu es 2(3x) = 6x

Enrique: x años   ;  Pedro: 2x años   ;   Juan: 3x años   ;   Eugenio:  6x   ; Suma edades: 132

x + 2x + 3x + 6x = 132

12x = 132

x = 132/12

x = 11

2x = 2(11) = 22

3x = 3(11) = 33

6x = 6(11) = 66

Respuesta: Pedro, 32 años  ;  Enrique, 11 años  ;  Juan, 33 años  ;   Eugenio, 66 años.

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Problemas sobre ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita.

Procedimiento sugerido:

1. Analizar el planteamiento del problema.

2. Escribir los datos del problema.

3. Escribir y realizar la o las operaciones.

4. Escribir la respuesta de acuerdo a lo que se te pide.

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Ejemplo a)  La suma de las edades de A y B es 84 años. y B tiene 8 años menos que A.  Hallar ambas edades.

Datos:
edad de A :  x  ; 

 edad de B:  x - 8  ;  

Suma de edades  = 84

Entonces:

x + x - 8 = 84
2x = 84 +8
x = 92/2
x = 46  años.

Por tanto  x - 8 = 46 -8 = 38 años.

Respuesta: 38 y 46 años.
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Ejemplo b)  Pagué $87 por un libro, un traje y un sobrero.  El sombrero costo $5 más que el libro y $20 menos que el traje.  ¿Cuánto pagué por cada cosa?

Datos:

x =  precio del libro

x + 5 = precio del sombrero

Si el sombrero costó 20 menos que el traje, entonces el traje costó 20 más que el sombrero, entonces

x + 5 + 20 = x + 25 precio del traje.

Suma = $87

Luego la suma del costo de los tres artículos debe ser igual a $87

x + x+5 + x +25 = 87

3x +30 = 87

x = 87 -30 / 3

x = 57/3

x = 19  

Respuesta:

x = $19  precio del libro

x +5 = 19 +5 = $24 precio del sombrero

x +25 = 19 + 25 = $44 precio del traje.

 Comprobación: (19 + 24 + 44)$ =  $87.

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Ejemplo c)  La suma de tres números enteros consecutivos es 156.  Hallar los números.

Datos:

x = número menor

x +1 = número intermedio

x +2 = número mayor

Suma = 156

Luego se tiene que x + x +1 x +2 = 156

3x +3 = 156

x = 156 -3 / 3

x = 153/3

x = 51.

x + 1 = 51 + 1 = 52 

x + 2 = 51 + 2 = 53

Respuesta:51, 52 y 53.

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Ejercicio 82.

1) La suma de dos números es 106 y el mayor excede al menor en 8.  Hallar los números.

Datos:

x = número mayor

x - 8 = número menor.

Suma = 106

⇒

x + x -8 = 106

2x -8 = 106

x = 106 +8 / 2

x = 114/2

x = 57

x - 8 = 57 -8 = 49

Respuesta: 57 y 49

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2) La suma de dos números es 540 y su diferencia 32. Hallar los números.

Datos:

x ;   x-540

Diferencia = x - (x-540) = 32

⇒ 

x + (x-540) = x - (x-32)

x +x -540 = x -x +32

x +x + = 32+540

2x = 572

x = 572/2

x = 286

x -540 = 286 -540 = 254

Respuesta: 286 y 254.

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3) Entre A y B tienen 1154 bolívares y B tiene 506 menos que A.  ¿Cuánto tiene cada uno?

Datos:

A = x

B = x -506

Suma = x +x -506

⇒

x +x -506 = 1154

2x = 1154+506

x = 1660/2

x = 830

x -506 = 830-506 = 324

Respuesta:  A = 830 y B = 324

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4) Dividir el número 106 en dos partes tales que la mayor exceda a la menor en 24.

Datos:

x = mayor

x-24 = menor

x + x -24 = 106

2x = 106 +24

x = 130/2

x = 65

x-24 = 65 -24 = 41

Respuesta:  65 y 41

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5) A tiene 14 años menos que B y ambas edades suman 56 años.  ¿Qué edad tiene cada uno?

Datos:

A = x

B = x + 14

Suma edades:  56 años.  

x +x+14 = 56

2x = 56 -14

x = 42/2

x = 21

x +14 = 21 +14 = 35  

Respuesta:  A = 21 años,  B = 35 años.

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6) Repartir 1080 soles entre A y B de modo que A reciba 1014 más que B.

Datos:

A = x

B = x - 1014

Suma: x + x -1014

x +x - 1014 = 1080

2x = 1080 +1014

x = 2094/2

x = 1047 

x - 1014 = 1047 -1014 = 33

Respuesta :  A = 1047 Soles,  B = 33 Soles.

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7) Hallar dos números enteros consecutivos cuya suma sea 103.

Datos:

Menor = x

Mayor = x+1

Suma = x + x+1

x +x +1 = 103

2x = 103 -1

x = 102/2

x = 51

x +1 = 51 +1 = 52

Respuesta:  51 y 52.

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8) Tres números enteros consecutivos suman 204.  Hallar los números.

Datos:

Menor = x

Intermedio = x+1

Mayor = x+2

Suma: 204

x + x + 1 + x + 2 = 204

3x = 204 -3

x = 201/3 

x = 67

x + 1 = 67 +1 = 68

x + 2 = 67 +2 = 69

Respuesta:  67, 68 y 69

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9) Hallar cuatro números enteros consecutivos cuya suma sea 74.

Datos:

1° número = x

2° número = x +1

3° número = x +2

4° número = x +3

Suma = 74

x + x +1 + x +2 + x +3 = 74

4x = 74 -6

x = 68/4

x = 17

x +1 = 17 +1 = 18

x +2 = 17 +2 = 19

x +3 = 17 +3 = 20

Respuesta:  17, 18, 19  y 20.

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10) Hallar dos números enteros pares consecutivos cuya suma sea 194.

Datos:

x  ,  x+2

Suma = 194

x + x +2 = 194

2x = 194 -2

x = 192/2

x = 96

x + 2 = 96 +2 = 98

Respuesta:  96 y 98.

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11) Hallar tres números enteros consecutivos cuya suma sea 186.

Datos:

x ,  x+1  ,  x+2

Suma: 186.

x + x +1 + x + 2 = 186

3x = 186-3

x = 183/3

x =  61

x + 1 = 61 + 1 = 62

x + 2 = 61 + 2 = 63

Respuesta:  61, 62 y 63.

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12) Pagué $325 por un caballo, un coche y sus arreos. El caballo costó $80 más que el coche y los arreos $25 menos que el coche.  Hallar los precios respectivos.

Datos:

Coche = x

Caballo = x +80

arreos = x -25

Suma = 325

x + x + 80 + x - 25 = 325

3x +55 = 325

3x = 325 -55

x = 270/3

x = 90

x + 80 = 90 +80 = 170

x - 25 = 90 -25 = 65

Respuesta:  Coche $90, Caballo $170 y  arreos $65.

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13)  La suma de 3 números es 200.  El mayor excede al del medio en 32 y al menor en 65.  Hallar los números.

Datos:

Mayor = x

medio = x -32

menor = x -65

Suma = 200.

x + x -32 + x -65 = 200

3x = 200 +32 +65

x = 297/3

x = 99

x -32 = 99 - 32 = 67

x -65 = 99 - 65 = 34 

Respuesta:  99, 67 y 34.

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14) Tres cestos contienen 575 manzanas.  El primer cesto tiene 10 manzanas más que el segundo y 15 más que el tercero.  ¿Cuántas manzanas hay en cada cesto?

Datos:

1° Cesto = x

2° cesto = x - 10

3° cesto = x - 15

Suma = 575

x +x -10 +x -15 = 575

3x -25 = 575

3x = 575 +25

x = 600/3

x = 200

x -10 = 200 -10 = 190

x -15 = 200 -15 = 185

Respuesta:  En el 1° 200, en el 2° 190 y en el 3° 185. (manzanas)

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15) Dividir 454 en tres partes sabiendo que la menor es 15 unidades menos que la del medio y 70 unidades menos que la mayor.

Datos:

Mayor = x + 70

Medio = x +15

Menor = x

Suma = 454

x + x +15 + x + 70 = 454

3x +85 = 454

x = 454 -85 / 3

x = 369/3

x = 123

x +15 = 123 +15 = 138

x +70 = 123 +70 = 193

Respuesta: 193, 138 y 123

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16) Repartir 310 sucres entre tres personas de modo que la segunda reciba 20 menos que la primera y 40 más que la tercera.

Datos:

1a. = x + 20

2a. = x

3a. = x - 40

Suma = 310.

x + x + 20 + x -40 = 310

3x -20 = 310

3x = 310 +20

x = 330/3

x = 110

x +20 = 110 +20 = 130

x -40 = 110 -40 = 70

Respuesta:  1a. 130,   2a. 110  y   3a. 70.

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17) La suma de las edades de tres personas es 88 años.  La mayor tiene 20 años más que la menor y la del medio 18 años menos que la mayor.  Hallar las edades respectivas.

Datos:

Mayor = x

Medio = x -18

Menor = x -20

Suma = 88

x + x -18 + x -20 = 88

3x -38 = 88

3x = 88 +38

x = 126/3

x = 42

x - 18 = 42 -18 = 24

x -20 = 42 -20 = 22

Respuesta: mayor 42 años, mediana 24 años y menor 22 años,

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18) Dividir 642 en dos partes tales que una exceda a la otra en 36.

Datos:

x   y   x -36

Suma = 642.

x + x -36 = 642

2x = 642 +36

x = 678/2

x = 339

x -36 = 339 -36 = 303

Respuesta:  339 y 303.

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Representación gráfica de la función lineal de primer grado (2)

Ejercicio 169b.

Representar las funciones siguientes siendo "y" la variable independiente.

Trasponer términos de manera de llegar a la forma: y = f(x), y luego proceder a encontrar los puntos de las coordenadas cartesianas (x, y) y por último representar gráficamente la función.

19) x +y = 0

x +y = 0 ⇒ y = -x

En este caso todo valor que se le asigne a "x" le corresponderá un valor igual a "y" pero con signo distinto.

Si x = 2  ⇒ y = -2  Punto (2, -2)

Si x = 1  ⇒ y = -1  Punto (1, -1)

Si x = 0 ⇒ y = 0   Punto (0, 0)  Este es el punto de origen.

Si x = -1 ⇒ y = 1   Punto (-1, 1)

Si x = -2 ⇒ y = 2   Punto (-2, 2)

⇒ la gráfica sería

20) 2x = 3y

2x = 3y ⇒ y = 2x/3

Si x = -2 ⇒ y = 2(-2) /3 ⇒ y = -4/3  Punto (-2, -4/3)

Si x = -1 ⇒ y = 2(-1) /3 ⇒ y = -2/3  Punto (-1, -2/3)

Si x = 0 ⇒ y = 2(-0) /3 ⇒ y = 0  Punto (0, 0)

Si x = 1 ⇒ y = 2(1) /3 ⇒ y = 2/3  Punto (1, 2/3)

Si x = 2 ⇒ y = 2(2) /3 ⇒ y = 4/3  Punto (1, 4/3)

La gráfica sería:

21) 2x +y = 10

2x +y = 10 ⇒ y = -2x +10

Si x = -1 ⇒ y = -2(-1) +10 ⇒ y =  12,  Punto (-1, 12)

Si x = 0 ⇒ y = -2(0) +10 ⇒ y =  10,  Punto (0, 10)

Si x = 1 ⇒ y = -2(1) +10 ⇒ y =  8,  Punto (1, 8)

Si x = 5 ⇒ y = -2(5) +10 ⇒ y =  0,  Punto (5, 0)

Si x = 6 ⇒ y = -2(6) +10 ⇒ y =  2,  Punto (6, -2)

La gráfica sería:

22) 3y = 4x +5

3y = 4x +5  ⇒ y = 4x+5 / 3

Si x = -2 ⇒  y = 4(-2) +5 / 3 ⇒ y = -1  Punto (-2, -1)

Si x = -1.25  ⇒  y = 4(-1.25) +5 / 3 ⇒ y = 0  Punto (-1.25, 0)

Si x = -1 ⇒  y = 4(-1) +5 / 3 ⇒ y = 1/3  Punto (-1, 1/3)

Si x = 0 ⇒  y = 4(0) +5 / 3 ⇒ y = 5/3  Punto (0, 5/3)

Si x = 1 ⇒  y = 4(1) +5 / 3 ⇒ y = 3  Punto (1, 3)

23) 4x +y = 8

4x +y = 8 ⇒ y = -4x +8

Si x = -1 ⇒ y = -4(-1) +8 ⇒y = 12  Punto (-1, 12)

Si x = 0  ⇒ y = -4(0) +8   ⇒ y = 8   Punto (0, 8)

Si x = 1  ⇒  y = -4(1) +8  ⇒ y = 4   Punto (1, 4)

Si x = 2  ⇒ y = -4(2) +8   ⇒ y = 0   Punto (2, 0)

Si x = 3  ⇒ y = -4(3) +8   ⇒y = -4   Punto (3, -4)

24) y +5 = x

y +5 = x  ⇒ y = x -5

Si x = -1  ⇒ y = (-1) -5 ⇒ y = -6   Punto (-1, -6)

Si x = 0   ⇒ y = (0) -5   ⇒ y = -5   Punto (0, -5)

Si x = 1   ⇒ y = (1) -5   ⇒ y = -4   Punto (1, -4)

Si x = 5   ⇒ y = (5) -5   ⇒  y = 0   Punto (5, 0)

Si x = 6   ⇒ y = (6) -5   ⇒  y = 1   Punto (6, 1)

25) 5x -y = 2

5x -y = 2 ⇒ y = 5x -2

Si x = -1,      ⇒  y = 5(-1) -2  ⇒ y = -7   Punto (-1, -7)

Si x = 0,       ⇒  y = 5(0) -2    ⇒ y = -2   Punto (0, -2)

Si x = 0.40,  ⇒  y = 5(0.40) -2 ⇒ y = 0   Punto (0.4, 0)

Si x = 1,       ⇒  y = 5(1) -2    ⇒ y = 3    Punto (1, 3)

26) 2x -y =1

2x -y = 1 ⇒ -y = -2x +1 ⇒ y = 2x-1

Si x = -1 ⇒ y = 2(-1) -1 ⇒ y = -3   Punto (-1, -3)

Si x = 0 ⇒ y = 2(0) -1 ⇒ y = -1   Punto (0, -1)

Si x = 0.5 ⇒ y = 2(0.5) -1 ⇒ y = 0   Punto (0.5, 0)

Si x = 1 ⇒ y = 2(1) -1 ⇒ y = 1   Punto (1, 1)

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