Representación gráfica de la función lineal de primer grado.

 Gráfico de una función.

Sea y = f(x).  Se sabe que para cada valor de "x" corresponde uno o varios valores de "y".  Se toman los valores de "x" como abscisas y los valores correspondientes de "y" como ordenadas, para obtener una serie de puntos.

El conjunto de todos los puntos encontrados será una línea recta o curva, que es el gráfico de la función o el gráfico de la ecuación y = f(x) que representa la función.

Representación gráfica de la función lineal de primer grado.

Procedimientos:

1)  Representar gráficamente la función y = 2x

Dando valores a "x" se obtiene una serie de valores correspondientes de "y":

Para x = 0  ⇒  y = 2(0)  ⇒    y =  0  Punto (0, 0)

.       x = 1  ⇒  y = 2(1)  ⇒    y =  2  Punto (1, 2)

.       x = 2  ⇒  y = 2(2)  ⇒    y =  4  Punto (2, 4)

.       x = 3  ⇒  y = 2(3)  ⇒    y =  6  Punto (3, 6) , Etc ... (+)

.       x = -1  ⇒  y = 2(-1)  ⇒ y = -2  Punto (-1, -2)

.       x = -2  ⇒  y = 2(-2)  ⇒ y = -4  Punto (-2, -4)

.       x = -3  ⇒  y = 2(-3)  ⇒ y = -6  Punto (-3, -6) , Etc ... ( - )

Los valores de "x" y los valores de "y" correspondiente, forman los puntos (x, y), que servirán para dibujar el gráfico.

2)  Representar gráficamente la función y = x+2

Los valores de "x" y los correspondientes de "y", se disponen en una tabla, los de "x" arriba y abajo los de "y" correspondiente, previo a efectuar las operaciones indicadas en la función o ecuación.

y = x +2                                 .
| x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3  ...| 
| y | -1 |  0 |  1 | 2 | 3 | 4 | 5  ...|

3) Representar gráficamente la función y = 3x y la función y = 2x+4.

y = 3x                           .
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |  ...| 
| y | -6 | -3 | 0 | 3 | 6 |  ...|

y = 2x +4                       .
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |  ...| 
| y |  0 |  2  | 4 | 6 | 8 |  ...|

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Principios.

1) Toda función de primer grado representa una línea recta.

2) Si la función carece de término independiente, o sea si es de la forma y = ax, donde "a" es constante, la línea recta que la representa pasa por el origen.

3) Si la función tiene término independiente, o sea si es de la forma y = ax+b, donde "a" y "b" son constantes, la línea recta que la representa no pasa por el origen y su intercepto sobre el eje de las "y" es igual al término independiente "b".

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Ejercicio 169.

Representar gráficamente las funciones:

1)  y = x

Si x = 0 ⇒  y = 0  Punto (0, 0)

Si x = 1 ⇒ y = 1   Punto (1, 1)

Como y = x, entonces cualquier valor que se le asigne a "x" será el mismo valor correspondiente para "y": (-∞) ... (-3, -3), (-2, -2), (-1, -1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), ... ( ∞)

Su gráfica sería:

2) y = -2x

Si x = -2 ⇒ y = -2(-2) ⇒ y = 4.   Punto (-2, 4)

Si x = -1 ⇒ y = -2(-1) ⇒ y = 2.   Punto (-1, 2)

Si x = 0  ⇒ y = -2(0)  ⇒ y = 0.     Punto (0, 0)

Si x = 1  ⇒ y = -2(1)  ⇒ y = -2.     Punto (1, -2)

Si x = 2  ⇒ y = -2(2)  ⇒ y = -4.     Punto (2, -4)

La gráfica sería:

3) y = x+2

Si x = -3 ⇒ y = (-3)+2 ⇒ y = -1   Punto (-3, -1)

Si x = -2 ⇒ y = (-2)+2 ⇒ y = 0   Punto (-2, 0)

Si x = -1 ⇒ y = (-1)+2 ⇒ y = 1   Punto (-1, 1)

Si x = 0   ⇒ y = (0)+2  ⇒ y = 2   Punto (0, 2)

Si x = 1   ⇒ y = (1)+2  ⇒ y = 3   Punto (1, 3)

4) y = x -3

Si x = -2 ⇒ y = (-2) -3 ⇒ y = -5,   Punto (-2, -5)

Si x = -1 ⇒ y = (-1) -3 ⇒ y = -4,   Punto (-1, -4)

Si x = 0  ⇒ y = (0) -3  ⇒ y = -3,   Punto (0,  -3)

Si x = 1  ⇒ y = (1) -3  ⇒ y = -2,   Punto (1,  -2)

Si x = 2  ⇒ y = (2) -3  ⇒ y = -1,   Punto (2, -1)

Si x = 3  ⇒ y = (3) -3  ⇒  y =  0,   Punto (3,  0)

5) y = x +4

Si x = -4 ⇒ y = (-4) +4 ⇒ y = 0,   Punto (-4, 0) 

Si x = -2 ⇒ y = (-2) +4 ⇒ y = 2,   Punto (-2, 2) 

Si x = -1 ⇒ y = (-1) +4 ⇒ y = 3,   Punto (-1, 3)

Si x = 0  ⇒ y = (0) +4   ⇒ y = 4,   Punto (0,  4)

Si x = 1  ⇒ y = (1) +4   ⇒ y = 5,   Punto (1,  5)

6) y = 3x +3

Si x = -2 ⇒ y = 3(-2) +3 ⇒ y = 3,   Punto (-2, 3)

Si x = -1 ⇒ y = 3(-1) +3 ⇒ y = 0,   Punto (-1, 0)

Si x = 0 ⇒ y = 3(0) +3 ⇒ y = 3,   Punto (0,  3)

Si x = 1 ⇒ y = 3(1) +3 ⇒ y = 6,   Punto (1, 6)

7) y = 2x -4

Si x = -1 ⇒ y = 2(-1) -4 ⇒ y = -6,   Punto (-1, -6)

Si x = 0  ⇒ y = 2(0) -4  ⇒ y = -4,   Punto (0, -4)

Si x = 1  ⇒ y = 2(1) -4  ⇒ y = -2,   Punto (1, -2)

Si x = 2  ⇒ y = 2(2) -4  ⇒ y = 0,   Punto (2, 0)

Si x = 3  ⇒ y = 2(3) -4  ⇒ y = 2,   Punto (3, 2)

8) y = 3x +6

Si x = -3 ⇒ y = 3(-3) +6 ⇒ y = -3,   Punto (-3, -3)

Si x = -2 ⇒ y = 3(-2) +6 ⇒ y = 0,    Punto (-2, 0)

Si x = -1 ⇒ y = 3(-1) +6 ⇒ y = 3,    Punto (-1, 3)

Si x = 0  ⇒ y = 3(0) +6   ⇒ y = 6,   Punto (0, 6)

Si x = 1  ⇒ y = 3(1) +6   ⇒ y = 9,   Punto (1, 9)

9) y = 4x +5

Si x = -2 ⇒ y = 4(-2) +5 ⇒ y = -3,   Punto (-2, -3)

Si x = -1.25 ⇒  y = 4(- 1.25) +5 ⇒  y = 0  Punto (-1.25, 0)

Si x = -1 ⇒ y = 4(-1) +5 ⇒ y = 1,    Punto (-1, 1)

Si x = 0  ⇒ y = 4(0) +5   ⇒ y = 5,    Punto (0, 5)

Si x = 1  ⇒ y = 4(1) +5   ⇒ y = 9,    Punto (1, 9)

10) y = -2x +4

Si x = -2 ⇒ y = -2(-2) +4 ⇒ y = 8,   Punto (-2, 8)

Si x = -1 ⇒ y = -2(-1) +4 ⇒ y = 6,   Punto (-1, 6)

Si x = 0 ⇒ y = -2(0) +4 ⇒ y = 4,   Punto (0, 4)

Si x = 1 ⇒ y = -2(1) +4 ⇒ y = 2,   Punto (1, 2)

Si x = 2 ⇒ y = -2(2) +4 ⇒ y = 0,   Punto (2, 0)

11) y = -2x -4

Si x = -3 ⇒ y = -2(-3) -4 ⇒ y = 2,    Punto (-3, 2)

Si x = -2 ⇒ y = -2(-2) -4 ⇒ y = 0,    Punto (-2, 0)

Si x = -1 ⇒ y = -2(-1) -4 ⇒ y = -2,   Punto (-1, -2)

Si x = 0  ⇒ y = -2(0) -4   ⇒ y = -4,   Punto (0, -4)

Si x = 1  ⇒ y = -2(1) -4   ⇒ y = -6,   Punto (1, -6)

12) y = x -3

(Igual que el inciso 4) 

Los puntos son:

(-2, -5, )(-1, -4), (0, -3), (1, -2), (2, -1), (3, 0)

13) y = 8-3x

Si x = -2 ⇒ y = 8 -3(-2) ⇒ y = 14,    Punto (-2, 14)

Si x = -1 ⇒ y = 8 -3(-1) ⇒ y = 11,    Punto (-1, 11)

Si x = 0  ⇒ y = 8 -3(0)   ⇒ y = 8,    Punto (0, 8)

Si x = 1  ⇒ y = 8 -3(1)   ⇒ y = 5,    Punto (1, 5)

Si x = 2  ⇒ y = 8 -3(2)   ⇒ y = 2,    Punto (2, 2)

14) y = 5x /4

Si x = -2 ⇒ y = 5(-2)/4 ⇒ y = -5/2,    Punto (-2, -5/2)

Si x = -1 ⇒ y = 5(-1)/4 ⇒ y = -5/4,    Punto (-1, -5/4)

Si x = 0  ⇒ y = 5(0)/4   ⇒  y = 0,       Punto (0, 0)

Si x = 1  ⇒ y = 5(1)/4   ⇒ y = 5/4,     Punto (1, 5/4)

Si x = 2  ⇒ y = 5(2)/4   ⇒ y = 5/2,     Punto (2, 5/2)

15) y = x+6 /2

Si x = -6 ⇒ y = (-6)+6 /2 ⇒ y = 0,    Punto (-6, 0)

Si x = -2 ⇒ y = (-2)+6 /2 ⇒ y = 2,    Punto (-2, 2)

Si x = -1 ⇒ y = (-1)+6 /2 ⇒ y = 5/2,    Punto (-1, 5/2)

Si x = 0  ⇒ y = (0)+6 /2   ⇒ y = 3,    Punto (0, 3)

Si x = 1  ⇒ y = (1)+6 /2   ⇒ y = 7/2,    Punto (1, 7/2)

16)  y = x-9 /3

Si x = -1 ⇒ y = -1-9 /3 ⇒ y = -10/3,    Punto (-1, -10/3)

Si x = 0  ⇒ y = 0-9 /3   ⇒ y = -3,    Punto (0, -3)

Si x = 1  ⇒ y = 1-9 /3   ⇒ y = -8/3,    Punto (1, -8/3)

Si x = 2  ⇒ y = 2-9 /3   ⇒ y = -7/3,    Punto (2, -7/3)

Si x = 9  ⇒ y = 9-9 /3   ⇒ y = 0,    Punto (9, 0)

17) y = 5x-4 /2

Si x = -2 ⇒ y = 5(-2) -4 /4 ⇒ y = -7/2,    Punto (-2, -7/2)

Si x = -1 ⇒ y = 5(-1) -4 /4 ⇒ y = -9/4,    Punto (-1, -9/4)

Si x = 0  ⇒ y = 5(0) -4 /4  ⇒  y = -1,    Punto (0, -1)

Si x = 1  ⇒ y = 5(1) -4 /4  ⇒  y = 1/4    Punto (1, 1/4)

Si x = 2  ⇒ y = 5(2) -4 /4  ⇒  y = -3/2,    Punto (2, -3/2)

18) y = x/2 +4

Si x = -2 ⇒ y = -2/(2) +4  ⇒ y = 3,    Punto (-2, 3)

Si x = -1 ⇒ y = -1/(2) +4  ⇒ y = 7/2,    Punto (-1, 7/2)

Si x = 0  ⇒ y = 0/(2) +4    ⇒ y = 4,    Punto (0, 4)

Si x = 1  ⇒ y = 1/(2) +4    ⇒ y = 9/2,    Punto (1, 9/2)

Si x = 2  ⇒ y = 2/(2) +4    ⇒ y = 5,    Punto (2, 5)

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Graficar figuras y rectas.

Ejercicio 168b.

Dibuja las figuras geométricas, líneas y rectas; según lo pidan en el inciso.

25)  Dibuja el triángulo cuyos vértices son los puntos (0, 6), (3, 0) y (-3, 0). 

26) Dibuja el triángulo cuyos vértices son los puntos (0, -5), (-4, 3) y (4, 3).

27) Dibujar el cuadrado cuyos vértices son (4, 4), (-4, 4), (-4, -4) y (4, -4).

28) Dibujar el cuadrado cuyos vértices son (-1, -1), (-4, -1), (-4, -4) y (-1, -4).

29) Dibujar el rectángulo cuyos vértices son (1, -1), (1, -3), (6, -1) y (6, -3)

30) Dibujar el rombo cuyos vértices son (1, 4),  (3, 1), (5, 4) y (3, 7).

31) Dibujar la recta que pasa por (4, 0) y (0, 6) y la recta que pasa por (0,1) y (4, 5) y hallar el punto de intersección de las dos rectas.

32) Probar gráficamente que la serie de puntos (-3, 5), (-3, 1), (-3, -1), (-3, -4), se hallan en una línea paralela a la línea que contiene a los puntos (2, -4), (2, 0), (2, 3), (2, 7).

33) Probar gráficamente que la línea que pasa por (-4, 0) y (0, -4) es perpendicular a la línea que pasa por (-1, -1) y (-4, -4).

 

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Determinación de puntos por sus coordenadas.

Función es la relación entre dos magnitudes de manera que al valor de la primera (dominio) le corresponde un único valor de la segunda (imagen).  Su notación es y= f(x).

Las cantidades que intervienen en un problema matemático son: 

Constantes, cuando tienen un valor fijo y determinado.

Variables, cuando se les da diversos valores.

Funciones expresables por fórmula.

Las funciones son expresables por fórmula o ecuaciones cuando se conoce la relación matemática que liga a la variable dependiente o función con las variables independientes; o sea cuando se conoce la ley de dependencia.

Por ejemplo y = 2x+1, y = 2x², y = x³+2x-1, son funciones expresadas por ecuaciones o fórmulas.

Tomando la función y = 2x+1, y como a cada valor de "x" le corresponde un valor determinado de la función "y"; se desarrolla de la siguiente manera:

Para x = + ⋯

Para x = 2, ⇒ y = 2x+1 ⇒y = 2(2)+1 ⇒ y = 5  ⇒      Punto (2, 5)

Para x = 1, ⇒ y = 2x+1 ⇒y = 2(1)+1 ⇒ y = 3  ⇒      Punto (1, 3)

Para x = 0, ⇒ y = 2x+1 ⇒y = 2(0)+1 ⇒ y = 1  ⇒       Punto (0, 1)

Para x = -1, ⇒ y = 2x+1 ⇒y = 2(-1)+1 ⇒ y = -1  ⇒   Punto (-1, -1)

Para x = -2, ⇒ y = 2x+1 ⇒y = 2(-2)+1 ⇒ y = -3  ⇒   Punto (-2, -3)

Para x = - ⋯

Determinación de un punto por sus coordenadas (x,y)

1) Determinar el punto 2 y 3 o (2, 3) = (x,y)

2) Determinar el punto (-3, 4)

3) Determinar el punto (-2, -4)

4) Determinar el punto (4, -2)

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Ejercicio 168.

Determinar gráficamente los puntos:

1) (1, 2),  2) (-2, 1),  3) (-2, -1),  4) (2,-3),  

5) (3, -4),  6) (-5, 2),  7) (-3, -4),  8) (0, 3).

9) (-3, 0),   10) (5, -4),   11) (-4, -3),   12) (0, -6),

13) (4, 0),  14) (-7, 10),  15) (3. -1).

Trazar la línea que pasa por los puntos:

16) (1, 2) y (3, 4),   17) (-2, 1) y (-4, 4),   18) (-3, -2) y (-1, -7)

19) (2, -4) y (5, -2),   20) (3, 0) y (0, 4)

21) (-4, 0) y (0, -2),   22) (-4, 5) y (2, 0),   

23) (-3, -6) y (0, 1),   24) (-3, -2) y (3, 2).

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Representación gráfica de una ecuación de 1° grado con tres variables.

Toda ecuación de primer grado con tres variables representa un plano tridimensional.

Su expresión es Ax +By +Cz = D.

Los segmentos (---) 0A, 0B, 0C son las trazas (líneas trazadas) del plano sobre los ejes.

Los puntos A, B, y C, donde el plano intersecta a los ejes X, Y y Z, tienen dos coordenadas nulas o con valor cero.

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Ejemplos.

a) Representa la ecuación 4x +3y +2z = 12

Hallando las trazas del plano sobre los ejes:

Plano 0X:

y = 0, z = 0 ⇒ 4x +3(0) +2(0) = 12 ⇒ 4x = 12 ⇒ x = 3

El punto es (3, 0, 0)

Plano 0Y:

x = 0, z = 0 ⇒ 4(0) +3y +2(0) = 12 ⇒ 3y = 12 ⇒ y = 4

El punto es (0, 4, 0)

Plano 0Z:

x = 0, y = 0 ⇒ 4(0) +3(0) +2z = 12 ⇒ 2z = 12 ⇒ z = 6

El punto es (0, 0, 6)

Graficando los puntos y uniéndolos para encontrar el plano que representa a la ecuación:

La gráfica sería:

b)  Representar gráficamente 4x +5y +8z = 20

Hallando las trazas del plano sobre los ejes:

Plano 0X:

y = 0, z = 0 ⇒ 4x +3(0) +2(0) = 20 ⇒ 4x = 20 ⇒ x = 5

El punto es (5, 0, 0)

Plano 0Y:

x = 0, z = 0 ⇒ 4(0) +5y +2(0) = 20 ⇒ 5y = 20 ⇒ y = 4

El punto es (0, 4, 0)

Plano 0Z:

x = 0, y = 0 ⇒ 4(0) +3(0) +8z = 20 ⇒ 8z = 20 ⇒ z = 2.5 

El punto es (0, 0, 2.5) 

y su gráfica:

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Ejercicio 190.

Representar gráficamente las ecuaciones:

1) 3x +6y +2z = 6

Plano 0X:

y = 0, z = 0 ⇒ 3x +6(0) +2(0) = 6 ⇒ 3x = 6 ⇒ x = 2

El punto es (2, 0, 0)

Plano 0Y:

x = 0, z = 0 ⇒ 3(0) +6y +2(0) = 6 ⇒ 6y = 6 ⇒ y = 1

El punto es (0, 1, 0)

Plano 0Z:

x = 0, y = 0 ⇒ 3(0) +6(0) +2z = 6 ⇒ 2z = 6 ⇒ z = 3 

El punto es (0, 0, 3)

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2) 2x +y +4z = 4

Plano 0X:

y = 0, z = 0 ⇒ 2x +1(0) +4(0) = 4 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2

El punto es (2, 0, 0)

Plano 0Y:

x = 0, z = 0 ⇒ 2(0) +y +4(0) = 4 ⇒  y = 4

El punto es (0, 4, 0)

Plano 0Z:

x = 0, y = 0 ⇒ 2(0) +1(0) +4z = 4 ⇒ 4z = 4 ⇒ z = 1 

El punto es (0, 0, 1)

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3) 4z +6y +3z = 12

Plano 0X:

y = 0, z = 0 ⇒ 4x +6(0) +3(0) = 12 ⇒ 4x = 12 ⇒ x = 3

El punto es (3, 0, 0)

Plano 0Y:

x = 0, z = 0 ⇒ 4(0) +6y +3(0) = 12 ⇒ 6y = 12 ⇒ y = 2

El punto es (0, 2, 0)

Plano 0Z:

x = 0, y = 0 ⇒ 4(0) +6(0) +3z = 12 ⇒ 3z = 12 ⇒ z = 4 

El punto es (0, 0, 4)

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4) 15x +6y +5z = 30

Plano 0X:

y = 0, z = 0 ⇒ 15x +6(0) +5(0) = 30 ⇒ 15x = 30 ⇒ x = 2

El punto es (2, 0, 0)

Plano 0Y:

x = 0, z = 0 ⇒ 15(0) +6y +5(0) = 30 ⇒ 6y = 30 ⇒ y = 5

El punto es (0, 5, 0)

Plano 0Z:

x = 0, y = 0 ⇒ 15(0) +6(0) +5z = 30 ⇒ 5z = 30 ⇒ z = 6 

El punto es (0, 0, 6)

______________________________________

5) 2x +y +3z = 6

Plano 0X:

y = 0, z = 0 ⇒ 2x +1(0) +3(0) = 6 ⇒ 2x = 6 ⇒ x = 3

El punto es (3, 0, 0)

Plano 0Y:

x = 0, z = 0 ⇒ 2(0) +y +3(0) = 6 ⇒ y = 6 ⇒ y = 6

El punto es (0, 6, 0)

Plano 0Z:

x = 0, y = 0 ⇒ 2(0) +1(0) +3z = 6 ⇒ 3z = 6 ⇒ z = 2 

El punto es (0, 0, 2)

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6) 15x +10y +6z = 30

Plano 0X:

y = 0, z = 0 ⇒ 15x +10(0) +6(0) = 30 ⇒ 15x = 30 ⇒ x = 2

El punto es (2, 0, 0)

Plano 0Y:

x = 0, z = 0 ⇒ 15(0) +10y +6(0) = 30 ⇒ 10y = 30 ⇒ y = 3

El punto es (0, 3, 0)

Plano 0Z:

x = 0, y = 0 ⇒ 15(0) +10(0) +6z = 30 ⇒ 6z = 30 ⇒ z = 5 

El punto es (0, 0, 5)

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7) 14x +10y +5z = 35

Plano 0X:

y = 0, z = 0 ⇒ 14x +10(0) +5(0) = 35 ⇒ 14x = 35  ⇒ x = 2.5

El punto es (2.5, 0, 0)

Plano 0Y:

x = 0, z = 0 ⇒ 14(0) +10y +5(0) = 35 ⇒ 10y = 35 ⇒ y = 3.5

El punto es (0, 3.5, 0)

Plano 0Z:

x = 0, y = 0 ⇒ 14(0) +10(0) +5z = 35 ⇒ 5z = 35 ⇒ z = 7 

El punto es (0, 0, 7)

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8) 3x +y +2z = 10

Plano 0X:

y = 0, z = 0 ⇒ 3x +1(0) +2(0) = 10 ⇒ 3x = 10 ⇒ x = 3.3

El punto es (3.3, 0, 0)

Plano 0Y:

x = 0, z = 0 ⇒ 3(0) +y +2(0) = 10 ⇒ y = 10

El punto es (0, 10, 0)

Plano 0Z:

x = 0, y = 0 ⇒ 3(0) +1(0) +2z = 10 ⇒ 2z = 10 ⇒ z = 5 

El punto es (0, 0, 5)

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9) 4x +2y +3z = 18

Plano 0X:

y = 0, z = 0 ⇒ 4x +2(0) +3(0) = 18 ⇒ 4x = 18 ⇒ x = 4.5

El punto es (4.5, 0, 0)

Plano 0Y:

x = 0, z = 0 ⇒ 4(0) +2y +3(0) = 18 ⇒ 2y = 18 ⇒ y = 9

El punto es (0, 9, 0)

Plano 0Z:

x = 0, y = 0 ⇒ 4(0) +2(0) +3z = 18 ⇒ 3z = 18 ⇒ z = 6 

El punto es (0, 0, 6

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10) 15x+20y +24z = 120

Plano 0X:

y = 0, z = 0 ⇒ 15x +20(0) +24(0) = 120 ⇒ 15x = 120 ⇒ x = 8

El punto es (8, 0, 0)

Plano 0Y:

x = 0, z = 0 ⇒ 15(0) +20y +24(0) = 120 ⇒ 20y = 120 ⇒ y = 6

El punto es (0, 6, 0)

Plano 0Z:

x = 0, y = 0 ⇒ 15(0) +20(0) +24z = 120 ⇒ 24z = 120 ⇒ z = 15 

El punto es (0, 0, 5)

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Representación de un punto cuando una o mas coordenadas son 0.

1) Cuando una de las coordenadas es cero y las otras dos no; el punto está situado en uno de los planos coordenados.

Si x = 0, el punto está situado en el plano YZ,

Si y = 0, el punto está situado en el plano ZX,

Si z = 0, el punto está situado en el plano XY.

2) Cuando dos de las coordenadas son 0 y la otra no, el punto está situado en el uno de los ejes.

Si x = 0, y = 0, el punto está situado en el eje 0Z,

Si x = 0, z = 0, el punto está situado en el eje 0Y,

Si y = 0, z = 0, el punto está situado en el eje 0X.

3) Si las tres coordenadas son 0, entonces el punto es el origen.

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Ejemplo: (3, 2, 3)

Puntos cuando una coordenada es cero:  (0,2,3), (3,0,3), (3,2,0)

Puntos cuando dos coordenadas son cero y la otra no (0,0,3), (0,2,0), (3,0,0)

Puntos cuando las tres coordenadas son cero  (0,0,0)

Para completar la figura debe unirse los puntos que tienen solamente un cero con el punto dado:

(0,2,3) con (3,2,3)   ;   (3,0,3) con (3,2,3)  ;  (3,2,0) con (3,2,3)

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Ejercicio 189.

Representar gráficamente los siguientes puntos:

1) (1, 1, 3)

Puntos cuando una coordenada es cero:  (0,1,3), (1,0,3), (1,1,0)

Puntos cuando dos coordenadas son cero y la otra no: (0,0,3), (0,1,0), (1,0,0)

Puntos cuando las tres coordenadas son cero:  (0,0,0)

Para completar la figura debe unirse los puntos que tienen solamente un cero con el punto dado:

(0,1,3) con (1,1,3)   ;   (1,0,3) con (1,1,3)  ;  (1,1,0) con (1,1,3)

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2)  (4, 2, 3)

Puntos cuando una coordenada es cero:  (0,2,3), (4,0,3), (4,2,0)

Puntos cuando dos coordenadas son cero y la otra no: (0,0,3), (0,2,0), (4,0,0)

Puntos cuando las tres coordenadas son cero:  (0,0,0)

Para completar la figura debe unirse los puntos que tienen solamente un cero con el punto dado:

(0,2,3) con (4,2,3)   ;   (4,0,3) con (4,2,3)  ;  (4,2,0) con (4,2,3)

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3) (5,4,2)

Puntos cuando una coordenada es cero:  (0,4,2), (5,0,2), (5,4,0)

Puntos cuando dos coordenadas son cero y la otra no: (0,0,3), (0,2,0), (4,0,0)

Puntos cuando las tres coordenadas son cero:  (0,0,0)

Para completar la figura debe unirse los puntos que tienen solamente un cero con el punto dado:

(0,4,2) con (5,4,2)   ;   (5,0,2) con (5,4,2)  ;  (5,4,0) con (5,4,2)

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4)  (3, 5, 6) 

Puntos cuando una coordenada es cero:  (0,5,6), (3,0,6), (3,5,0)

Puntos cuando dos coordenadas son cero y la otra no: (0,0,6), (0,5,0), (3,0,0)

Puntos cuando las tres coordenadas son cero:  (0,0,0)

Para completar la figura debe unirse los puntos que tienen solamente un cero con el punto dado:

(0,5,6) con (3,5,6)   ;   (3,0,6) con (3,5,6)  ;  (3,5,0) con (3,5,6)

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5)  (2, 4, 1)

Puntos cuando una coordenada es cero:  (0,4,1), (2,0,1), (2,4,0)

Puntos cuando dos coordenadas son cero y la otra no: (0,0,1), (0,4,0), (2,0,0)

Puntos cuando las tres coordenadas son cero:  (0,0,0)

Para completar la figura debe unirse los puntos que tienen solamente un cero con el punto dado:

(0,4,1) con (2,4,1)   ;   (2,0,1) con (2,4,1)  ;  (2,4,0) con (2,4,1)

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6)  (4, 3, 7) 

Puntos cuando una coordenada es cero:  (0,3,7), (4,0,7), (4,3,0)

Puntos cuando dos coordenadas son cero y la otra no: (0,0,7), (0,3,0), (4,0,0)

Puntos cuando las tres coordenadas son cero:  (0,0,0)

Para completar la figura debe unirse los puntos que tienen solamente un cero con el punto dado:

(0,3,7) con (4,3,7)   ;   (4,0,7) con (4,3,7)  ;  (4,3,0) con (4,3,7)

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7) (7, 5, 4)  

Puntos cuando una coordenada es cero:  (0,5,4), (7,0,4), (7,5,0)

Puntos cuando dos coordenadas son cero y la otra no: (0,0,4), (0,5,0), (7,0,0)

Puntos cuando las tres coordenadas son cero:  (0,0,0)

Para completar la figura debe unirse los puntos que tienen solamente un cero con el punto dado:

(0,5,4) con (7,5,4)   ;   (7,0,4) con (7,5,4)  ;  (7,5,0) con (7,5,4)

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8)  (3, 1, 6)

Puntos cuando una coordenada es cero:  (0,1,6), (3,0,6), (3,1,0)

Puntos cuando dos coordenadas son cero y la otra no: (0,0,6), (0,1,0), (3,0,0)

Puntos cuando las tres coordenadas son cero:  (0,0,0)

Para completar la figura debe unirse los puntos que tienen solamente un cero con el punto dado:

(0,1,6) con (3,1,6)   ;   (3,0,6) con (3,1,6)  ;  (3,1,0) con (3,1,6)

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9) (6, 3, 4)

Puntos cuando una coordenada es cero:  (0,3,4), (6,0,4), (6,3,0)

Puntos cuando dos coordenadas son cero y la otra no: (0,0,4), (0,3,0), (6,0,0)

Puntos cuando las tres coordenadas son cero:  (0,0,0)

Para completar la figura debe unirse los puntos que tienen solamente un cero con el punto dado:

(0,3,4) con (6,3,4)   ;   (6,0,4) con (6,3,4)  ;  (6,3,0) con (6,3,4)

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10)  (4, 0, 4)

Puntos cuando una coordenada es cero:  (0,0,4), (4,0,4), (4,0,0)

Puntos cuando las tres coordenadas son cero:  (0,0,0)

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11)  (4, 2, 0)

Puntos cuando una coordenada es cero:  (0,2,0), (4,0,0), (4,2,0)

Puntos cuando las tres coordenadas son cero:  (0,0,0)

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