Gráfica de ecuaciones lineales. Intersección.

 Ejemplos.

a) Hallar la intersección de 3x+4y=10 con 2x+y=0

Se tiene 3x+4y=10  ⇒   y = 10-3x /4 ; x = 10-4y /3

Si x = 0 ⇒ y =10-3(0) /4 ⇒ y =10/4 ⇒ y = 5/2 ó 2¹/₂ : (x, 2¹/₂)

Si y = 0 ⇒ x =10-4(0) /3 ⇒ x =10/3 ⇒ x = 3¹/₃    :  (3¹/₃, 0)

Se tiene 2x+y = 0   ⇒  y = -2x  ;  x = -y/2

Si x = 0 ⇒ y =-2(0) ⇒ y = 0      (0, 0)

Si x =1 ⇒ y = -2(1) ⇒ y = -2 ->    :   (1, -2)

La intersección es (-2,4)

Graficando los puntos de cada ecuación se representaría así:

b) Hallar la intersección de 2x+5y=4 con 3x+2y=-5

Se tiene 2x+5y=4 ⇒  y = 4-2x /5   ;    x = 4-5y /2

Si x=0 ⇒ y = 4-2(0) /5 ⇒ y = ⁴/₅   :  (0, ⁴/₅)

Si y=0 ⇒ y = 4-5(0) /2 ⇒ y = 4/2 y = 2    :  (2, 0)  

Se tiene 3x+2y=-5 -> y = -5-3x /2  ;  x = -5-2y /3

Si x=0 ⇒ y = -5-3(0) /2  ⇒ y = -5/2 ó -2¹/₂  :  (0, -2¹/₂)

Si y=0 ⇒ x = -5-2(0) /3 ⇒ x =-5/3 ó x = -1²/₃  :  (-1²/₃, 0)

La intersección es  (-3,2)

Graficando las ecuaciones en base a sus puntos:

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Ejercicio 175.

Hallar la intersección de:

21)  x+1=0  con y-4=0

1°) x+1=0  es x=-1 equivale a 0y+x=-1 -> 

Si y = -1  ⇒  0(-1)+x = -1 ⇒  x = -1  punto (-1,-1)

Si y = 0  ⇒  0(0)+x = -1  ⇒ x = -1   punto (-1, 0)

Si y = 1  ⇒  0(1)+x = -1  ⇒  x = -1  punto  (-1,1)

2°) y=-4 es y=4  equivale a 0x+y=4  ->

Si x = -1  ⇒ 0(-1)+y = 4 ⇒ y = 4   punto (-1, 4)

Si x = 1   ⇒ 0(1)+y = 4   ⇒ y = 4  punto   (1, 4) 

La intersección es  (-1,4)

por lo tanto su gráfica es:

_____________________________________

22)  3x=2y  con  x+y=5

1°) Se tiene 3x=2y -> 3x-2y= 0 

-> x = 2y/3   ;  y = -3x/-2

Si x = -1  ⇒ y = -3(-1) /-2 ⇒ y = - 3/2   punto (-1, -3/2)

Si x = 0   ⇒ y = -3(0) /-2   ⇒ y = 0/-2 ⇒ y = 0  punto (0, 0)

Si x =1  -> y = -3(1) /-2  ⇒ y = -3/-2 ⇒ y = 3/2  punto (1, 3/2)  

2°)  Se tiene x+y = 5 

⇒ x +y=5 ⇒   x = 5-y   ;    y = 5-x ->

Si x = 0 ⇒  y = 5-(0) ⇒ y = 5   Punto (0, 5)

Si y = 0 ⇒  x = 5-(0) ⇒ x = 5    Punto (5, 0)

La intersección es (2, 3)

Por lo tanto su gráfica es:

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23)  x -y = 2  con 3x +y = 18

1°) Se tiene x -y = 2 ⇒

x-y = 2 ⇒  x = 2+y    ;     -y = 2-x ⇒  y = -2+x

Si x = 0  ⇒  y = -2-(0) ⇒ y = -2   Punto (0, -2)

Si y = 0  ⇒  x = 2+(0)  ⇒  x = 2   Punto (2, 0)

2°)  Se tiene 3x+y=18 ⇒

3x+y=18  ⇒  x= 18-y /3   ;    y= 18-3x ⇒

Si x = 0  ⇒  y= 18-3(0) ⇒ y = 18   Punto (0, 18)

Si y = 0  ⇒ x = 18-(0) /3 ⇒ x = 18/3 ⇒ x= 6  Punto  (6, 0)

La intersección es (5, 3)

Su gráfica es:

__________________________________

24) 2x -y = 0 con 5x +4y = -26

Se tiene 2x-y=0 ⇒

x = y/2   ;   y = 2x

Si x = -1 ⇒  y = 2(-1) ⇒  y = -2   Punto  (-1, -2)

Si x = 0  ⇒  y = 2(0)  ⇒   y = 0    Punto (0, 0)

Si x = 1 ⇒  y = 2(1)  ⇒  y = 2b    Punto (1, 2) 

Se tiene  5x+4y=-26 ⇒

x = -26-4y /5    ;   y = -26-5x /4  ⇒

Si x=0 ⇒  y=-26 -5(0) /4 ⇒  y=-26/4 ⇒ y=- 13/2 ⇒ y=-6¹/₂  Punto (0, -6¹/₂)

Si y=0 ⇒  x=-26-4(0) /5 ⇒ x=-26/5 ⇒ x= -5¹/₅    Punto (-5¹/₅, 0)

La intersección es (-2, -4)

Su gráfica sería:

___________________________________

25)  5x+6y=-9  con  4x-3y=24

Se tiene 5x+6y=-9 ⇒

x = -9 -6y /5   ;   y = -9 -5x /6 ⇒

x = 0   ⇒  y= -9-5(0) /6 ⇒ y=-9/6 ⇒ y=-3/2   Punto (0, -3/2)

y = 0  ⇒  x= -9 -6(0) /5 ⇒ x=-9/5 ⇒ x= -9/5   Punto (-9/5, 0)

Se tiene 4x-3y=24 ⇒

x = 24+3y /4    ;    y = 24-4x /-3

x=0  ⇒  y= 24-4(0) /-3 ⇒ y= 24/-3 ⇒ y=-8  Punto (0, -8)

y=0  ⇒  x= 24+3(0) /4 ⇒ x= 24/4  ⇒  x= 6   Punto (6, 0)

La intersección es (3, -4)

La gráfica sería:

___________________________________

26)  x +5 = 0  con  6x -7y = -9

Se tiene x+5 = 0  es x=-5, equivale a x +0y = -5 ⇒

Si y = -1 ⇒  x+0(-1) = -5 ⇒ x = -5   Punto (-5, -1)

Si y = 0  ⇒  x+0(0) = -5   ⇒ x = -5   Punto (-5, 0)

Si y = 1  ⇒  x+0(1) = -5   ⇒ x = -5    Punto (-5, 1)

Se tiene 6x-7y=-9 ⇒

x = -9+7y / 6    ;     y = -9 -6x /-7 ⇒

x = 0  ⇒ y = -9 -6(0) /-7 ⇒ y = -9/-7 ⇒ y= 9/7   Punto (0, 9/7)

y = 0  ⇒ x = -9+7(0) /6⇒ x=- 9/6 ⇒   Punto (-9/6, 0)

La intersección es (-5, -3)

La gráfica sería:

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27) 3x +8y = 28  con  5x -2y = -30

Se tiene 3x+8y=28 ⇒

x= 28-8y /3    ;     y= 28-3x /8 ⇒

x = 0  ⇒ y= 28-3(0) /8  ⇒  y= 28/8 ó  y= 7/2   Punto (0, 7/2)

y = 0  ⇒ x= 28-8(0) /3  ⇒  x= 28/3  ó  x= 9¹/₃  Punto (28/3, 0)

Se tiene 5x-2y=-30 ⇒

x= -30+2y /5    ;    y= -30-5x /-2 ⇒

x = 0  ⇒  y= -30-5(0) /-2  ⇒  y= -30/-2  ⇒  y= 15  Punto (0, 15)

y = 0  ⇒  x= -30+2(0) /5  ⇒  x= -30/5    ⇒  x= -6   Punto (-6. 0)

La intersección es (-4, 5)

La gráfica sería:

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28) y-4 = 0   con   7x+2y=22

Se tiene y-4=0  es y=4, que equivale a 0x+y=4 ⇒

Si x = -2  ⇒  0(-2)+y=4 ⇒  y= 4   Punto (-2, 4)

Si x =  0  ⇒  0(0)+y=4   ⇒  y= 4    Punto (0, 4)

Si x = 2   ⇒  0(2)+y=4   ⇒  y= 4    Punto (2, 4)

Se tiene 7x+2y=22  ⇒

x= 22-2y /7    ;     y= 22-7x /2 ⇒

x = 0  ⇒  y = 22-7(0) /2  ⇒  y = 22/2  ⇒  y = 11   Punto (0, 11)

y = 0  ⇒   x = 22-2(0) /7  ⇒  x = 22/7 ⇒ x = 3¹/₇   Punto (3¹/₇, 0)

La intersección es (2, 4)

La gráfica sería:

 

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Gráfica de una ecuación lineal.

Ecuaciones lineales se les llama a todas aquellas ecuaciones de primer grado con dos variables que están representadas por líneas rectas.

Las ecuaciones lineales se representan gráficamente de dos maneras:

1) Las ecuaciones con dos variables sin término independiente son aquellas en que las líneas rectas pasan por el origen.  Ej. 2x-3y=0  ⇒ -3y=-2x ⇒ 3y=2x  ⇒ y=2/3x

2) Las ecuaciones con dos variables con término independiente son aquellas en que las líneas rectas no pasan por el origen.

Ej. Sea la ecuación 4x-5y=10 ⇒ -5y=10-4x ⇒ 5y=4x-10 ⇒ y=4x-10 /5 ⇒ y=4/5x -2 

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Ejemplos.

1) Representar gráficamente la ecuación 5x-3y=0

Esta es una ecuación sin término independiente, por la que su línea recta si pasa por el origen.

5x-3y=0 ⇒ -3y=-5x ⇒ 3y=5x   ∴ y=5/3x

Dando un valor cualquiera (por ejemplo 3) a "x", para encontrar el valor de "y".

y = (5/3)(3) = 5    ⇒ x=3 , y=5    (3,5) 

El punto (3/5) es uno de los puntos de la recta y que al unirlo con el origen (0,0) determina una representación de una línea recta que pasa por el origen:

2) Representar gráficamente la ecuación 3x+4y=15

Esta es una ecuación con término independiente, por lo que su línea recta no pasa por el origen.  

Para encontrar los puntos para graficar basta con buscar los puntos de intersección en los ejes.  (0,y).(x,0)

y=15-3x /4       y    x=15-4y /3

Si x = 0  ⇒  y=15-3(0) /4  ⇒ y=15/4 ⇒ y=3 3/4 

Si y = 0 ⇒  x=15-4(0) /3⇒  x=15/3  ⇒  x=5

⇒ los puntos para graficar son ((0, 3³/₄)  y  (5, 0)

3) Representar gráficamente x-3 = 0

Si x-3 = 0 ⇒ x = 3

La ecuación quedaría así: x +0y = 3 ⇒ x = 3-0y

Si y = 0 ⇒ x=3-0(0) ⇒ x = 3     (3,0)

Si y =1  ⇒ x = 3-0(1) ⇒ x = 3   (3,1)

Si y =2  ⇒ x = 3-0(2) ⇒ x =3    (3,2)

Si y = n ⇒ x = 3-0(n) ⇒ x =3    (3,n)

Por lo tanto ( ∴ ) , para cualquier valor de "y" el valor de "x" siempre será el mismo; por lo que la representación gráfica de es una línea recta paralela al eje de las "y", (a la derecha)

Si la ecuación fuera x+2=0 ⇒ x=-2, por lo que su representación gráfica es una línea paralela al eje de las "y" (a la izquierda)

4) Representar gráficamente y -2 =0

y-2= 0,  ≈  0x-y=2 ⇒  y=2+0x

Si x = -1 ⇒ y = 2+0(-1)   ⇒  y = 2   (-1 , 2)

Si x = 0  ⇒  y = 2+0(0)  ⇒  y = 2     (0 , 2)

Si x = 1  ⇒  y = 2+0(1)  ⇒  y = 2      (1 , 2)

Por lo tanto ( ∴ ) , para cualquier valor de "x" el valor de "y" siempre será el mismo; por lo que la representación gráfica de es una línea recta paralela al eje de las "x", (arriba).

Si la ecuación fuera y+4=0 ⇒ y=-4, por lo que su representación gráfica es una línea paralela al eje de las "x", (abajo)

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Ejercicio 175.

Representa gráficamente las siguientes ecuaciones:

1) x -y = 0

x -y = 0  ⇒ x = y

Por lo tanto cualquier valor de x será igual al valor de y.

(x,y) = (-2,-2) ,  (0,0) , (2,2) 

2)  x +y = 5

x +y = 5 ⇒  x = 5-y

Si y = -1  ⇒ x = 5-(-1)  ⇒ x = 5+1 ⇒ x = 6    (6 , -1)

Si y = 0  ⇒ x = 5-(0)  ⇒ x = 5+0 ⇒ x = 5      (5 . 0)

Si y = 1  ⇒ x = 5-(1)  ⇒ x = 5-1 ⇒ x = 4        (4 , 1)

3)  x -1 = 0

x -1 = 0 ⇒ x +0y = 1

-> x = 1-0y

Si y = -1  ⇒  x = 0(-1)  ⇒ x = 0   (0 , -1)

Si y = 0  ⇒  x = 0(0)  ⇒ x = 0      (0 , 0)

Si y = 1  ⇒  x = 0(1)  ⇒ x = 0      (0 , 1)

4)  y +5 = 0

y +5 = 0 ⇒  0x +y = -5

y = -5 -0x

Si x = -1  ⇒  y = -5-0(-1)  ⇒ y = -5   (-1 , -5)

Si x = 0  ⇒ y = -5-0(0)  ⇒ y = -5       (0 , -5)

Si x =1  ⇒ y = -5-0(1)  ⇒ y = -5        (1 , -5)

7)  x -y = -4

x = -4+y

Si y = -2  ⇒  x = -4+(-2)  ⇒  x = -4-2  ⇒  x = -6   (-6 , -2)

Si y = 0  ⇒  x = -4+(0)  ⇒  x = -4-0  ⇒  x = -4      (-4 , 0)

Si y = 2  ⇒  x = -4+(2)  ⇒  x = -4+2  ⇒  x = -2      (-2 , 2)

 

10)  2x+3y=-2

x = -20 -3y / 2

Si y=-2  ⇒  x = -20-3(-2) /2  ⇒ x = -20+6 /2 ⇒ x = -14/2  ⇒ x = -7  (-7,-2)

Si y=0  ⇒  x = -20-3(0) /2  ⇒ x = -20+0 /2 ⇒ x = -20/2  ⇒ x = -10   (-10,0)

Si y=2  ⇒  x = -20-3(2) /2  ⇒ x = -20-6 /2 ⇒ x = -26/2  ⇒ x = -13    (-13,2)

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Problemas sobre ecuaciones indeterminadas.

 Ejemplo.

Un comerciante emplea Q64 en comprar lapiceros a Q3 cada uno y plumas fuentes a Q5 cada una.  ¿Cuántos lapiceros y cuántas plumas fuentes puede comprar?

Datos:

Lapiceros: x  ;  plumas fuentes: y  ;  Compra Q64.

3x + 5y = 64  ⇒  x = 64-5y /3

Si y = 2 ⇒ x = 64-5(2) /3 = 64-10 /2 = 54/3 ⇒ x = 18 

Si y = 5 ⇒ x = 64-5(5) /3 = 64-25 /2 = 39/3 ⇒ x = 13

Si y = 8 ⇒ x = 64-5(8) /3 = 64-40 /2 = 24/3 ⇒ x = 8

Si y = 11 ⇒ x = 64-5(11) /3 = 64-55 /2 = 9/3 ⇒ x = 3

Nota: los demás valores para y no dan valores enteros y/o positivos para x.   

Solución: por Q64 puede comprar:

18 lapiceros y 2 plumas fuentes,

13 lapiceros y 5 plumas fuentes,

8 lapiceros y 8 plumas fuentes, 

3 lapiceros y 11 plumas fuentes.

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Ejercicio 174.

1) ¿De cuántos modos se pueden tener $42 en billetes de $2 y de $5?

Datos:

Billetes de $2 : x  ;  billetes de $5:  y  ; Valor total $42.

2x + 5y = 42  ⇒   x = 42-5y / 2

Si y = 2 ⇒ x = 42-5(2) /2 = 42-10 /2 = 32/2 ⇒ x = 16

Si y = 4 ⇒ x = 42-5(4) /2 = 42-20 /2 = 22/2 ⇒ x = 11

Si y = 6 ⇒ x = 42-5(6) /2 = 42-30 /2 = 12/2 ⇒ x = 6

Si y = 8 ⇒ x = 42-5(8) /2 = 42-40 /2 = 2/2 ⇒ x = 1

Solución: Los modos que se pueden tener son:

1 billete de $2  y  8 billetes de $5,

6 billete de $2  y  6 billetes de $5,

11 billete de $2  y  4 billetes de $5,

16 billete de $2  y  2 billetes de $5.

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2) ¿De cuántos modos se pueden pagar $45 en monedas de $5 y de $10?

Datos:

Monedas de 5: x  ;  monedas de $10: y  ;  Total a pagar $45

5x + 10y = 45  ⇒  x = 45-10y / 5

Si y = 1 ⇒  x = 45-10(1) /5 = 45-10 /5 = 35/5  ⇒ x = 7

Si y = 2 ⇒  x = 45-10(2) /5 = 45-20 /5 = 25/5  ⇒ x = 5

Si y = 3⇒  x = 45-10(3) /5 = 45-30 /5 = 15/5  ⇒ x = 3

Si y = 4 ⇒  x = 45-10(4) /5 = 45-40 /5 = 5/5  ⇒ x = 1.

Solución: Se puede pagar de los modos siguientes:

1 moneda de $5   y  4 monedas de $10,

3 monedas de $5   y  3 monedas de $10,

5 moneda de $5   y  2 monedas de $10,

7 moneda de $5   y  1 monedas de $10.

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3) Hallar dos números tales que si uno se multiplica por 5 y el otro por 3, la suma de sus productos sea 62.

Datos:

1° número por 5: 5x  ;  2° número por 3: 3y  ;  Suma de productos 62.

5x + 3y = 62  ⇒  x = 62-3y / 5

Si y = 4 ⇒  x = 62-3(4) /5 = 62-12 /5 = 50/5  ⇒ x = 10

Si y = 9 ⇒  x = 62-3(9) /5 = 62-27 /5 = 35/5  ⇒ x = 7

Si y = 14 ⇒  x = 62-3(14) /5 = 62-42 /5 = 20/5  ⇒ x = 4

Si y = 19 ⇒  x = 62-3(19) /5 = 62-57 /5 = 5/5  ⇒ x = 1

Solución: los números son:

1 y 19  ;  4 y 14  ;  7 y 9  ;  10 y 4.

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4) Un hombre pagó 340 bs por sombreros a 8 bs cada uno y pares de zapatos a 15 bs cada uno.  ¿Cuántos sombreros y cuántos pares de zapatos compró?

Datos:

Sombreros a 8bs c/u: 8x  ;  pares de zapatos a 15bs c/u: 15y  ;  Pago total 3340 bs.

8x + 15y = 340  ⇒  x = 340-15y /8

Si y = 4   ⇒  x = 340-15(4) / 8 = 340-60 /8 = 280/8  ⇒ x = 35

Si y = 12   ⇒  x = 340-15(12) / 8 = 340-180 /8 = 160/8  ⇒ x = 20

Si y = 20   ⇒  x = 340-15(20) / 8 = 340-300 /8 = 40/8  ⇒ x = 5

Solución:  El hombre compró:

5 sombreros y 20 pares de zapatos,

20 sombreros y 12 pares de zapatos,

35 sombreros y 4 pares de zapatos.

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5) Un hombre pagó $42 por tela de lana a $1.50 el metro y de seda a $2.50 el metro. ¿Cuántos metros de lana y cuántos de seda compró?

Datos:

Tela de lana: x a $1.50: 1.5x   ;  tela de seda: y a $2.50: 2.5y  ;  Pago total $42.

1.5x + 2.5y = 42  ⇒  x = 42-2.5y / 1.5

Si y = 3   ⇒ x = 42-2.5(3) /1.5 = 42-7.5 /1.5 = 34.5/1.5   ⇒ x = 23

Si y = 6   ⇒ x = 42-2.5(3) /1.5 = 42-7.5 /1.5 = 34.5/1.5   ⇒ x = 18

Si y = 9   ⇒ x = 42-2.5(3) /1.5 = 42-7.5 /1.5 = 34.5/1.5   ⇒ x = 13

Si y = 12   ⇒ x = 42-2.5(3) /1.5 = 42-7.5 /1.5 = 34.5/1.5   ⇒ x = 8

Si y = 15   ⇒ x = 42-2.5(3) /1.5 = 42-7.5 /1.5 = 34.5/1.5   ⇒ x = 3

Solución: El hombre pudo comprar la tela así:

3 m de lana  y  15 m de seda,

8 m de lana  y  12 m de seda,

13 m de lana  y  19 m de seda,

18 m de lana  y  6 m de seda,

23 m de lana  y  3 m de seda.

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6) En una excursión cada niño pagaba 45 cts. y cada adulto $1.  Si el gasto total fue de $17, ¿cuántos adultos y cuantos niños iban?

Datos:

Niño: x,  pago por cada uno $0.45: 0.45x

Adulto: y,  pago por cada uno $1: 1y  ;  

Total pagado $17

0.45x + y = 17  ⇒  x = 17-y /0.45

Si y = 8  ⇒  x = 17-(8) /0.45 = 9/0.45  ⇒ x = 20

Solución: Pueden ir a la excursión:

20 niños y 8 adultos.

(Solo existe este modo que el valor de "x" y "y" sean enteros y positivos ≠0) 

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Ecuaciones inderterminadas, cuando se busca la Solución General.

 Otros ejemplos de ecuaciones indeterminadas cuando se condicionan los valores para la variable. Para encontrar la solución general.

a) Resolver 5x +7y = 128, para valores enteros y positivos ≠ 0.

Despejando x por tener el menor coeficiente:

x = 128 -7y / 5

Descomponemos 128  y  7y en dos sumandos cada uno, de los cuales uno sea el mayor múltiplo de 5 que contenga cada uno, y simplificamos:

x = 125+3 -5y -2y / 5

x = 125/5 -5y/5 + 3/5 -2y/5

x = 25 -y + 3-2y/5

Ahora se convierte (3-2y)/5 en una expresión entera:

Se multiplica el numerador 3-2y por un número tal que al dividir el coeficiente de "y" nos dé un residuo de 1y; en este caso multiplicamos por 3 el numerador:

3(3-2y)/5 = (9-6y)/5 

descomponemos los coeficientes 9  y  6y en dos sumandos cada uno, de tal manera que uno de cada sumando sea múltiplo de 5:

(5+4-5y-y)/5 = 5/5 -5y/5 +(4-y)/5 = 1-y + (4-y) /5

Si ya tenemos los valores enteros 1 y -y, necesitamos convertir a entero (4-y) /5; para ello nombramos esta fracción como "m" y despejamos:

4-y/5 = m

4-y = 5m

-y = 5m-4

-> y = 4-5m (1° resultado)

Sustituyendo el valor de "y" en la ecuación original:

5x+7y=128

5x+7(4-5m) = 128

5x +28 -35m = 128

5x = 128 -28 -35m

x = 100-35m / 5

x = 25 -7m  (2° resultado)

Con los resultados (1) y (2) tenemos:

 "m" es entero.

Damos valores a la "m" para obtener valores para "x" y "y".

Si algún valor de las variables da negativo, se desecha la solución.

Probando valores positivos para "m":

Si m = 0  -> 

x = 20+7m -> x = 20 +7(0) -> x = 20

y = 4-5m -> y = 4-5(0) -> y = 4        Solución (20 , 4)

Si m = 1   ->

x = 20+7m -> x = 20 +7(1) -> x = 27

y = 4-5m -> y = 4 -5(1) -> y = -1   ( se desecha m = 1, porque la "y" da negativa) 

Nota: Todos los valores para "m" mayores que 1 también serán negativos. 

Probando con valores negativos para "m":

Si m = -1 ->   

x = 20 +7m -> x = 20 +7(-1) -> x = 13

y = 4-5m -> y = 4 -5(-1) -> y = 9     Solución (13 , 9)

Si m = -2 ->

x = 20 +7m -> x = 20 +7(-2) -> x = 6

y = 4-5m -> y = 4 -5(-2) -> y = 14     Solución (6 , 14)

Si m = -3 ->

x = 20 +7m -> x = 20 +7(-3) -> x = -1

y = 4 -5m -> y = 4 -5(-3) -> y = 9          Se desecha porque el valor de x es negativo.   

La solución general para la ecuación 5x+7y=128 son [x=20, y=4,  ;  x=13, y=9  :  x=6, y=14]

b) Resolver 7x -12y = 17 para valores enteros y positivos.

Despejando x:

x = 17+12y / 7

Descomponiendo 17+12y /7

x = 14 +3 +7y +5y / 7

x = 14/7 +7y/7 +(3+5y) /7

Simplificando:

x = 2 +y + (3+5y)/7

x -2 -y = (3+5y)/7

Resolvemos (3+5y)/7 para convertirlo en entero:

Multiplicando el numerador por 3 para que el producto de 3(5y) sea divisible entre 7 y tenga un residuo de 1y:

3(3+5y) /7

(9 +15y) /7 -> 7/7 +14y/7 + 2/7 +1y/7 

-> 1 +2y + (y+2)/7

Para que la expresión y+2/7 sea entera la sustituimos por "m" y despejamos la nueva expresión:

y+2/7 = m

despejamos la "y"

y+2 = 7m

∴ y =7m-2  (resultado para y)

Sustituimos el valor de "y" en la ecuación 7x-12y=17 dada para encontrar un valor para "x":

-> 7x-12(7m-2)=17

7x -84m +24 = 17

7x = 84m +17-24

x = (84m -7) /7

x = 12m -1   (resultado para x)

Las soluciones parciales son: 

Buscamos solución general para "x" y "y" dando valores a "m":

Si m = -1 ->

x=12(-1)-1 -> x=-12-1 -> x = -13

y=7(-1)-2 -> y = -9  Se  (desechan estas soluciones.)

Si m = 0 ->

x=12(0)-1 -> x= -1

y=7(0)-2 -> y = -2     (se desechan estas soluciones)

Si m = 1 ->

x=12(1)-1 ->  x = 11

y=7(1)-2 -> y = 5        Solución (11 , 5)

Si m = 2 ->

x=12(2)-1 ->  x = 23

y=7(2)-2 -> y = 12       Solución (23 , 12)

Si m = 3 ->

x=12(3)-1 ->  x = 35

y=7(3)-2 -> y = 19        Solución (35 , 19)

Si m = 4 ->

x=12(4)-1 -> x = 47

y=7(4)-2 -> y = 26         Solución (47 , 26)

y así sucesivamente a valores positivos para "m".

La solución general es:

 [x=12m-1, y=7m-2  ;   x=11 , y=5  ;  x=23, y=12  ;  x=35, y=19  ;  x=47, y=26]

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Ejercicio 173.

Hallar la solución general y los tres menores pares de valores enteros y positivos ≠ 0. 

19)  3x -4y = 5

x = 5 +4y /3

x = 3 +2 +3y +y /3

x = 3/3 +3y/3 + 2+y/3

⇒ 2+y/3 = m

2+y = 3m

∴ y = 3m -2    (resultado para la y)

⇒ Sustituyendo en 3x -4y = 5

3x -4(3m-2) = 5

3x -12m +8 = 5

x = 12m +5-8 /3

x = 12m -3 /3

x = 4m -1    (resultado para la x)

Probando valores de "m" en los dos primeros resultados, para encontrar el valor de "x" y "y"; 

Si m= 1 ⇒

En x = 4m-1  ⇒ x= 4(1) -1  ⇒ x= 3

En y =3m-2  ⇒ y = 3(1)-2  ⇒ y = 1

Si m = 2 ⇒

En x = 4m -1  ⇒ x = 4(2) -1  ⇒ x = 7

En y = 3m-2  ⇒ y = 3(2) -2  ⇒ y = 4

Si m = 3 ⇒

En x = 4m-1  ⇒ x= 4(3) -1  ⇒ x= 11

En y =3m-2  ⇒ y = 3(3)-2  ⇒ y = 7

Solución: 4m-1,  3m-2.  ;  x=3, y=1  ;   x=7, y=4  ;  x=11, y=7

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20) 5x -8y = 1

x = 1 +8y /5

x = 1 +5y +3y /5

x = 1/5 +5y/5 +3y/5

x = y + (1+3y)/5

⇒1+3y/5 = 2(1+3y)/5  ⇒ 2+6y /5  ⇒ 2 +5y +y /5   

⇒5y/5 +2+y/5  ⇒ y  + 2+y /5

2+y / 5 = m 

∴ y = 5m-2   Resultado para y

 Sustituyendo "y" en 5x-8y = 1

5x -8(5m-2) = 1

5x -40m +16 = 1

x = 40m +1-16 / 5

x = 8m -3   Resultado para x.

Probando valores de "m" en los dos primeros resultados, para encontrar el valor de "x" y "y"; 

Si m = 1 ⇒

x = 8m-3 ⇒ x = 8(1)-3 ⇒ x = 5

y = 5m-2 ⇒  5(1)-2  ⇒  y = 3

Si m = 2 ⇒

x = 8m-3  ⇒  x = 8(2)-3  ⇒  x = 13

y = 5m-2  ⇒  y = 5(2)-2  ⇒  y = 8

Si m = 3 ⇒

x = 8m-3  ⇒  x = 8(3)-3  ⇒  x = 21

y = 5m-2  ⇒  y = 5(3)-2  ⇒  y = 13

Solución:  8m-3, 5m-2  ;  x=5, y=3  ;  x=13, y=8  ;  x=21, y=13.

________________________________

22)  11x-12y = 0

x = 12y/11

⇒ x =11y+y /11 ⇒  x = 11y/11+y/11  ⇒ x = y + y/11

⇒ y/11 = m

∴ y = 11m    resultado para y

Sustituyendo "y" en 11x-12y = 0

11x -12(11m) = 0 

11x -132m = 0

x = 132m/11 

x = 12m    resultado para x

Probando valores de "m" en los dos primeros resultados, para encontrar el valor de "x" y "y"; 

Si m = 1 ⇒

x = 12m  ⇒  x = 12(1)  ⇒  x = 12

y = 11m  ⇒  y = 11(1)  ⇒  y = 11

Si m = 2 ⇒

x = 12m  ⇒  x = 12(2)  ⇒  x = 24

y = 11m  ⇒  y = 12(2)  ⇒  y = 22

Si m = 3 ⇒

x = 12m  ⇒  x = 12(3)  ⇒  x = 36

y = 11m  ⇒  y = 11(3)  ⇒  y = 33

Solución:  12m, 11m  ;  x=12, y=11  ;  x=24, y=22  ;  x=36, y=33.

____________________________

23)  14x -17y = 32

x = 32+17y /14

x = 28 +4 +14y +3y /14  ⇒  x = 28/14 +14y/14 + 4+3y/14

⇒ 2 +y + 4+3y /14

⇒ 4+3y /14 = 5(4+3y )/14 = 20 +15y /14

= 14 +6 +14y +y /14 = 14/14 + 14y/14 +6/14 +y/14

= 1 +y + 6+y /14

⇒ 6+y/14 = m 

∴ y = 14m-6   resultado para y

Sustituyendo "y" en 14x-17y = 32

14x -17(14m-6) = 32

14x -238m +102 =32

14x = 238m +32-102

x = 238m -70 /14

x = 17m -5   resultado para x

Probando valores de "m" en los dos primeros resultados, para encontrar el valor de "x" y "y"; 

Si m = 1 ⇒

x = 17m-5  ⇒  x = 17(1)-5  ⇒  x = 12

y = 14m-6  ⇒  y = 14(1)-6  ⇒  y = 8

Si m = 2 ⇒

x = 17m-5  ⇒  x = 17(2)-5  ⇒  x = 29

y = 14m-6  ⇒  y = 14(2)-6  ⇒  y = 22

Si m = 3 ⇒

x = 17m-5  ⇒  x = 17(3)-5  ⇒  x = 46

y = 14m-6  ⇒  y = 14(3)-6  ⇒  y = 36

Solución: x=17m-5, y=14m-6  ;  x=12, y=8  ;  x=29, y=22  ;  x=46, y=36.  

____________________________

24)  7x -11y = 83

x = 83 +11y / 7

x = 77 + 6 +7y +4y /7

x = 77/7 +7y/7 +6/7+ 4y/7

x = 11 +y + 6+4y /7

⇒ 6+4y /7 = 2(6+4y) /7 = 12 +8y /7 = 7+5 +7y +y /5

= 7/7 +7y/7 + 5/7 +y/5 = 1 +y + 5+y/7

⇒ 5+y/ 7 = m

∴  y = 7m -5   resultado para y

Sustituyendo "y" en 7x-11y=83

7x -11(7m-5) = 83

7x -77m +55 = 83

7x = 77m +83 -55

x = 77m +28 / 7

x = 11m +4   resultado para x.

Probando valores de "m" en los dos primeros resultados, para encontrar el valor de "x" y "y"; 

Si m = 1 ⇒

x = 11m+4  ⇒  x = 11(1) +4  ⇒  x = 15

y = 7m-5  ⇒  y = 7(1) -5  ⇒  y = 2

Si m = 2 ⇒

x = 11m+4  ⇒  x = 11(2) +4  ⇒  x = 26

y = 7m-5  ⇒  y = 7(2) -5  ⇒  y = 9

Si m = 3 ⇒

x = 11m+4  ⇒  x = 11(3) +4  ⇒  x = 37

y = 7m-5  ⇒  y = 7(3) -5  ⇒  y = 16

Solución: 11m+4, 7m-5  ;  x=15, y=2  ;  x=26, y=9  ;  x=37, y=16.

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Ecuaciones Indeterminadas.

Son todas las ecuaciones de 1er. grado con dos incógnitas; cuyas soluciones de las variables satisfacen la ecuación. Estas son ilimitadas.

Por ejemplo, sin condicionantes:  sea la ecuación  2x+3y=12

Despejamos en función de la variable "y":

3y = 12 -2x

y = 12-2x / 3

Sustituyendo el valor de "x" en la función  y = 12-2x / 3

Si x = 0 -> y =  12-2(0) /3 -> y = 12/3 -> y = 4     [(Solución (0, 4)]

Si x = 1 -> y = 12-2(1) /3 -> y = 10/3 -> y = 3¹/³  [Solución (1, 3¹/³)] 

Si x = 2 -> y = 12-2(2) /3 -> y = 8/3 -> y = 2²/³    [Solución (2, 2²/³)]

Si x = 3 -> y = 12 -2(3) / 3 -> y = 6/3 -> y = 2      [Solución (3, 2) ]

y así sucesivamente.

Todos los pares de soluciones deben satisfacer a la ecuación.

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a hora bien, si a las ecuaciones indeterninadas les fijamos condicionantes, como por ejemplo que sean enteras y positivas, el número de soluciones será:

Limitado; cuando en la ecuación original el término que contiene la "x" está conectado con el término que contiene la "y" por medio del signo +.

Ilimitado, cuando en la ecuación original el término que contiene la "x" está conectado con el término que contiene la y por medio del signo - .

Veamos un ejemplo de una ecuación indeterminada cuando está sujeta a una o varias condiciones:

1) Resolver  x + y = 4, para valores enteros y positivos ≠ 0, para la "x".

Despejamos "y":

y = 4 -x

En estos casos los valores para "x" no pueden ser iguales o mayores que el valor positivo constante (4)

Si x = 3 -> y = 4-(3) -> y = 1   Solución (3, 1)

Si x = 2 -> y = 4-(2) -> y = 2   Solución (2, 2)

Si x = 1 -> y = 4-(1) -> y = 3   Solución (1,  3)

________________________________________

Ejercicio 173.

Hallar las soluciones enteras y positivas, diferentes de cero:

1) x +y = 5

⇒ y = 5 -x

Si x = 1 ⇒

y = 5 - (1)

y = 4     Solución (1, 4)

Si x = 2 ⇒

y = 5 - (2)

y = 3     Solución (2, 3)

Si x = 3 ⇒

y = 5 - (3)

y = 2     Solución (3, 2)

Si x = 4 ⇒

y = 5 - (4) 

y = 1     Solución (4 , 1) 

____________________________

2) 2x +3y = 37

⇒ x = 37 - 3y /2

Si y = 1 ⇒

x = 37 - 3(1) / 2

x = 37 - 3 / 2

x = 34/2 = 17     Solución (17, 1)

Si y = 3 ⇒

x = 37  -3(3) / 2

x = 14                Solución (14, 3)

Si y = 5 ⇒

x = 37 - 3(5) /2

x = 11                 Solución (11, 5)

Si y = 7 ⇒

x = 37 - 3(7) /2

x = 8                    Solución (8, 7)

Si y = 9 ⇒

x = 37 - 3(9) /2

x = 5                    Solución (5, 9)

Si y = 11 ⇒

x = 37 - 3(11) /2

x = 2                   Solución (2, 11)

___________________________

3)  3x+5y = 43

x = 43 -5y /3

Si y = 2 ⇒

x = 43 -5(2) / 3

x = 11                 Solución (11, 2)

Si y = 5 ⇒

x = 43 -5(5) /3 

x = 6                   Solución (6, 5)

Si y = 8 ⇒

x = 43 -5(8) /3

x = 1                    Solución (1, 8)

___________________________

4)  x +3y = 9

x = 9 -3y

Si y = 1 ⇒

x = 9 -3(1)

x = 6              Solución (6, 1)

Si y = 2 ⇒

x = 9 -3(2)

x = 3               Solución (3, 2)

____________________________

5)  7x +8y = 115

x = 115 -8y /7

Si  y = 3 ⇒

x = 115 -8(3) /7

x = 13                 Solución (13, 3)

Si y = 10 ⇒

x = 115 -8(10) /7

x = 5                    Solución (5, 10)

_____________________________

6) 15x +7y = 136

y = 136 -15x /7

Si x = 3  ⇒

y = 136 -15(3) / 7

y = 136 -45 / 7

y = 13                    Solución (3, 13)

_____________________________

7)  x +5y = 24

x = 24 -5y

Si y = 1 ⇒

x = 24 -5(1)

x = 19             Solución (19, 1)

Si y = 2 ⇒

x = 24 -5(2)

x = 14             Solución (14, 2)

Si y = 3 ⇒

x = 24 -5(3)

x = 9                Solución (9, 3)

Si y = 4 ⇒

x = 24 -5(4)

x = 4                Solución (4, 4 )

_____________________________

8)  9x +11y = 203

x = 203 -11y / 9

Si y = 7 ⇒

x = 203 -11(7) /9

x = 14                    Solución (14, 7)

Si y = 16 ⇒

x = 203 -11(16) /9

x = 3                       Solución (3, 16)

_____________________________

9)  5x +2y = 73

y = 73 -5x /2

Si x = 1 ⇒

y = 73-5(1) / 2

y = 34                  Solución (1, 34)

Si x = 3 ⇒

y = 73 -5(3) /2

y = 29                  Solución (3, 29)

Si x = 5 ⇒

y = 73 -5(5) / 2

y = 24                   Solución (5, 24)

Si x = 7  ⇒

y = 73 -5(7) /2

y = 19                    Solución (7, 19)

Si x = 9 ⇒

y = 73 -5(9) /2

y = 14                    Solución (9, 14)

Si x = 11 ⇒

y = 73 -5(11) /2

y = 9                      Solución (11, 9)

Si x = 13 ⇒

y = 73 -5(13) /2

y = 4                      Solución (13, 4)

____________________________

10) 8x +13y = 162

x = 162 -13y /8

Si y = 2 ⇒

x = 162 -13(2) /8

x = 17                     Solución (17, 2) 

Si y = 10 ⇒

x = 162 -13(10) /8

x = 4                       Solución (4, 10)

_____________________________

11)  7x +5y = 104

y = 104 -7x / 5

Si x = 2 ⇒

y = 104 -7(2) / 5

y = 18                   Solución (2, 18)

Si x = 7 ⇒

y = 104 -7(7) / 5

y = 11                    Solución (7, 11)

Si x = 12 ⇒

y = 104 -7(12) /5

y = 4                      Solución (12, 4)

____________________________

12)  10x +y = 32

y = 32 -10x 

Si x = 1 ⇒

y = 32 -10(1)

y = 22                 Solución (1, 22)

Si x = 2 ⇒

y = 32- 10(2) 

y = 12                 Solución (2, 12)

Si x = 3 ⇒

y = 32 -10(3)

y = 2                   Solución (3, 2)

____________________________