Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción. Casos Especiales.

En este caso son binomios cuyos términos tienen raíz cuadrada perfecta. Para factorizarlos se procede a sumarle y restarle la misma cantidad, que resulta de multiplicar el duplo de la raíz cuadrada del primer término por la raìz cuadrada del segundo; para coventirla en un cuatrinomio; en donde los tres primeros términos formarán un trinomio cuadrado perfecto, al que se le restará el cuarto término del cuatrinomio. 

Este trinomio se representará como un binomio al cuadrado para formar una diferencia de cuadrados con el cuarto término del cuatrinomio mencionado.

Se procede a factorizar la diferencia de cuadrados para encontrar los factores solución.

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Ejemplo:

Factorar a⁴+4b⁴

Buscando las raíces cuadradas de a⁴ = a²  y  4b⁴ = 2b²

 

Formando el 2º factor de un trinomio, con las raíces encontradas:

2(a²)(2b²) = 4a²b²

 

Agregando el término encontrado al binomio original dado:

a⁴            +4b⁴

.   +4a²b²         -4a²b²

a⁴ +4a²b²+4b⁴ -4a²b²

 

Formando el trinomio cuadrado perfecto y factorizándolo:

= (a⁴ +4a²b² +4b⁴) - 4a²b²

= (a²+2b²)² -  (2ab)²

 

Resolviendo la diferencia de cuadrados:

= (a²+2b²+2ab)(a²+2b²-2ab)

= (a²+2ab+2b²)(a²-2ab+2b²)   Solución.

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Ejercicio 97.

Descomponer en dos factores:

2) 4x⁸+y⁸.

Raíz² de 4x⁸ = 2x⁴      y de y⁸ = y⁴

El 2º término de un trinomio es:

2(2x⁴)(y⁴) = 42x⁴y⁴ 

 ->

4x⁸            +y⁸ 

.     +4x⁴y⁴        -4x⁴y⁴

4x⁸ +4x⁴y⁴ +y⁸ -4x⁴y⁴

 

= (4x⁸ +4x⁴y⁴ +y⁸) - 4x⁴y⁴

= (2x⁴ +y⁴)² - (2x²y²)²

 

= (2x⁴ +y⁴ +2x²y²)(2x⁴ +y⁴ -2x²y²)

=  (2x⁴ +2x²y² +y⁴)(2x⁴ -2x²y² +y⁴)  Solucón.

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3)  a⁴+324b⁴

 Raíz² de a⁴ = a²    y   de 324b⁴ = 18b²

El segundo término de un trinomio es

2(a²)(18b²) =  36a²b²

->

a⁴               +324b⁴

.    +36a²b²              -36a²b²  

a⁴ +36a²b² +324b⁴ -36a²b² 

 

= (a⁴ +36a²b² +324b⁴) - 36a²b² 

= (a²+18b²)² - (6ab)²

 

= (a²+18b²+6ab)(a²+18b²-6ab)

= (a²+6ab+18b²)(a²-6ab+18b²)  Solución.

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4) 4m⁴ +81n⁴

Raíz² de 4m⁴ = 2m²    y   de 81n⁴ = 9n²

El segundo término de un trinomio es:

2(2m²)(9n²) =  36m²n²

 ->

 4m⁴               +81n⁴

.       +36m²n²            -36m²n²

4m⁴  +36m²n² +81n⁴ -36m²n²

= (4m⁴  +36m²n² +81n⁴) -36m²n²

= (2m²+9n²)² - (6mn)²

 

= (2m²+9n²+6mn)(2m²+9n²-6mn)

= (2m²+6mn+9n²)(2m²-6mn+9n²)  Solución.

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5) 4+625x⁸

Raíz²  de  4 = 2   y    de 625x⁸ es 25x⁴

El segundo término del trinomio es:

2(2)(25x⁴) = 100x⁴

-> 

4              +625x⁸

.  +100x⁴              -100x⁴  

4 +100x⁴ +625x⁸ -100x⁴

 

= (4 +100x⁴ +625x⁸) -100x⁴

= (2 +25x⁴)² - (10x²)²

 

= (2 +25x⁴+10x²)(2 +25x⁴-10x²)

= (2+10x²+25x⁴)(2-10x²+25x⁴)  Solución.

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6) 64 +a¹²

Raíz² de 64 = 8    y    de a¹² = a⁶

El 2º término del trinomio es:

2(8)(a⁶) = 16a⁶

-> 

 64           +a¹²

.     +16a⁶        -16a⁶

 64 +16a⁶ +a¹² -16a⁶

 

= (64 +16a⁶ +a¹²) - 16a⁶

= (8+a⁶)² - (4a³)²

 

= (8+a⁶+4a³)(8+a⁶-4a³)

= (8+4a³+a⁶)(8-4a³+a⁶)  Solución.

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Miscelánea de ecuaciones enteras de primer grado.

En estos casos efectuar las operaciones indicadas, tomando en cuenta la prioridad de resolver primero lo que está entre signos de agrupación, luego las operaciones necesarias, transponer términos cuando sea necesario y por último la reducción de términos semejantes para encontrar el valor de la incógnita.

 

Ejercicio 81.

Resolver las siguientes ecuaciones:

 

1)  14x-(3x-2)-[5x+2-(x+1)]= 0

14x-3x+2-[5x+2-x-1] = 0

14x-3x+2-5x-2+x+1 = 0

 7x+1 = 0

x = - 1/7  Solución.

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2) (3x-7)²-5(2x+1)(x-2) = -x2-[-(3x+1)]

9x²-42x+49-5(2x²-4x+x-2) = -x²-(-3x-1)

9x²-42x+49-10x²+20x-5x+10 = -x²+3x+1

9x²-10x²+x²-42x+20x-5x-3x+49+10-1 =0

-30x+58 = 0

x = -58/-30  -> x = 29/15  Solución.

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3) 6x-(2x+1) = -{-5x+[-(-2x-1)]}

6x-2x-1 = -{-5x+[2x+1]}

6x-2x-1 = -{-5x+2x+1}

6x-2x-1 = 5x-2x-1

6x-2x-5x+2x-1+1= 0

x = 0   Solución. 

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4) 2x+3(-x²-1) = -{3x²+2(x-1)-3(x+2)}

2x-3x²-3 = -{3x²+2x-2-3x-6)}

2x-3x²-3 = -3x²-2x+2+3x+6

-3x²+3x²+2x+2x-3x-3-2-6 = 0

x-11 = 0  -> x = 11  Solución.

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5) x²-{3x+[x(x+1)+4(x²-1)-4x²]}= 0

x²-{3x+[x²+x+4x²-4-4x²]} = 0

x²-{3x+x²+x+4x²-4-4x²} = 0

x²-3x-x²-x-4x²+4+4x² = 0

x²-x²-4x²+4x²-3x-x+4 = 0

-4x+4 = 0

x = -4/-4  -> x = 1  Solución.

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 6) 3(2x+1)(-x+3)-(2x+5)² = -[-{-3(x+5)}+10x²] 

6x+3(-x+3)-(4x²+20x+25) = -[-{-3x-15}+10x²]

-6x²+18x-3x+9-4x²-20x-25 = -[3x+15+10x²]

-6x²-4x²+18x-3x-20x+9-25 = -3x-15-10x²

-10x²-5x-16 = -3x-15-10x²

-10x²+10x²-5x+3x-16+15 = 0

 -2x-1 = 0

x = 1/-2  -> x = - 1/2  Solución.

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Miscelánea de Cocientes Notables. Ejercicio 73.

En estos ejercicios se pide escribir el resultado por simple inspección, es decir sin efectuar las divisiones ni simplificar.  Pero en algunos incisos mostraré algún desarrollo de cálculo, para efectos de su comprensión; pero en la práctica estos cálculos se hacen mentalmente.

Ejercicio 73.

Escribir el cociente sin realizar las divisiones:

  

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Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades. Ejercicio 72.

En estos casos los exponentes del divisor son mayores que 1; por lo que los exponentes de los términos del cociente disminuyen de dos en dos, de tres en tres, y así sucesivamente. En donde la primera letra disminuye de dos en dos, de tres en 3 y así sucesivamente; y la segunda letra de los términos del cociente, aumenta de dos en dos, tres en tres y sucesivamente; a partir del 2º término.

El número de términos que tendrá el cociente, se determina dividiendo el exponente del dividendo entre el exponente del divisor..

 

Número de términos = 10 ÷ 2 = 5

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Ejercicio 72.

Hallar, por simple inspección, las siguientes expresiones:

 

Nº términos = 6÷2 = 3

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Miscelánea de Productos Notables.

Ejercicio 68.

1) (x+2)²

Cuadrado de la diferencia de dos cantidades.

= x²+2(x)(2)+2² = x²+4x+4 Solución.

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2) (x+2)(x+3)

Producto de dos binomios de la forma (x±a)(x±b)

= x²+(2+3)x+(2)(3) = x²+5x+6  Solución.

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3) (x+1)(x-1)

Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades.

= (x)(x)-(1)(1) = x²-1  Solución.

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4) (x-1)²

Cuadrado de la diferencia de dos cantidades.

= x²-2(x)(1)+1² = x²-2x+1  Solución.

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5) (n+3)(n+5)

Producto de dos binomios de la forma (x±a)(x±b)

=  n²+(3+5)n+(3)(5) = x²+8n+15  Solución.

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6) (m-3)(m+3)

Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades.

= (m)(m) - (3)(3) = m² -9  Solución.

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7) (a+b-1)((a+b+1)

Producto de la suma por la diferencia de dos cnatidades.

= {(a+b)-1}({(a+b)+1}= (a+b)(a+b)-(1)(1) 

=(a+b)²-1= a²+2ab+b²-1  Solución.

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8) (1+b)³

Cubo de un binomio.  (a±b)³

= 1³+3(1²)(b)+3(1)(b²)+b³ = 1+3b+3b²+b³  Solución.

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9) (a²+4)(a²+4)

Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades.

= (a²)(a²) - (4)(4) = (a²)² -16 = a⁴ -16  Solución.

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10) (3ab-5x^2)²

Cuadrado de la diferencia de dos cantidades.

= (3ab)²-2(3ab)(5x²)+(5x²)²

= 9a²b²-30abx²+25x⁴  Solución.

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11) (ab+3)(3-ab)

Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades.

= (3+ab)(3-ab) = (3)(3) - (ab)(ab)

= 3² - (ab)² = 9 - a²b²   Solución.

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12) (1-4ax)²

Cuadrado de la diferencia de dos cantidades.

= 1²-2(1)(4ax)+(4ax)²

=  1-8ax+16a²x²  Solución.

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13) (a²+8)(a²-7)

Producto de dos binomios de la forma (x±a)(x±b)

=  (a²)(a²)+(8-7)a+(8)(-7)

= (a²)²+(1a²)+(-56) = a⁴+a²-56  Solución.

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16) (m-8)(m+12)

Producto de dos números de la forma (x±a)(x±b)

= (m)(m)+(-8+12)m+(-8)(12)

= m²+(4m)-96 = m²+4m-96 Solución.

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19) (5x³+6m⁴)²

Cuadrado de la suma de dos cantidades.

= (5x³)²+2(5x³)(6m⁴)+(6m⁴)²

= 25x⁶+60x³m⁴+36m⁸  Solución.

Respuesta del libro, en otro orden, es

=  25x⁶+60m⁴x³+36m⁸ Solución.

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25)  (2a+x)³

Cubo de un binomio. 

= (2a)³+3(2a)²(x)+3(2a)(x)²+(x)³

= 8a³+12a²x+6ax²+x³  Solución.

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 27) (2a³-5b⁴)²

Cuadrado de la diferencia de dos cantidades.

= (2a³)²-2(2a³)(5b⁴)+(5b⁴)²

= 4a⁶-20a³b⁴+25b⁸  Solución.

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31)  (11-ab)²

Cuadrado de la diferencia de dos cantidades.

= (11)²-2(11)(ab)+(ab)²

= 121-22ab+a²b²  Solución.

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