Ejercicios del Álgebra de Baldor

sábado, 11 de julio de 2020

Sistemas literales de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Procedimiento:

1) Aplicar un método de reducción para sistemas, igualando los coeficientes literales de una de las variables, de ambas ecuaciones, para encontrar el valor de la otra variable.
2) Sustituir la variable encontrada en cualquiera de las ecuaciones, para encontrar el valor de la otra variable.
3) En los primeros pasos o en los siguientes, factorizar cuando sea necesario y simplificar.
_______________________________________________

Ejemplos:

a) Resolver el sistema:
$\begin{cases}ax+by=a^2+b^2&&(1)\\bx+ay=2ab&&(2)\end{cases}\$

> Igualando los coeficientes de la "x"; multiplicando la ecuación (1) por "b" y la ecuación (2) por "a":
=   $\begin{cases}b(ax+by=a^2+b^2)&&(1)\\a(bx+ay=2ab)&&(2)\end{cases}\$
$=\begin{cases}abx+b^2y=a^2b+b^3&&(1)\\abx+a^2y=2a^2b&&(2)\end{cases}\$

> Restando la ecuación (2) de la (1):
$abx+b^2y=b^3+a^2b\\-abx-a^2y=-2a^2b\\-------------\\b^2y-a^2y=b^3-a^2b$

> Factorizando ambos miembros de la ecuación:
$= y(b^2-a^2)=b(b^2-a^2)$

> Eliminando (b² - a²) en ambos miembros de la ecuación:
$\Rightarrow y=b$

> Sustituyendo el valor de "y", que es "b" en la ecuación (2) original:
bx +ay =2ab
bx +a(b) = 2ab
bx = 2ab-ab
x = ab/b
x = a

Solución: x = a , y = b
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b) Resolver el sistema: $\begin{cases} \frac{x}{a} - \frac{y}{b} = \frac{b}{a}&\(1)\\x-y =a&\(2)\end{cases}$

> Quitando denominadores: m.c.d. = ab
$=\begin{cases} bx - ay =b^2&\(1)\\x-y =a&\(2)\end{cases}$

> Multiplicando la ecuación(2) por b y restándola de la (1)
$=\begin{cases} bx - ay =b^2&\(1)\\-bx +by = -ab&\(2)\\ ------------\\ -ay +by = b^2-ab\end{cases}$

> Factorizando ambos miembros de la ecuación:
$=y(-a+b)=b(b-a)$
$=y(b-a)=b(b-a)$ (eliminamos (b-a)
$\Rightarrow y=b$

> Sustituyendo el valor de "y", que es "b" en la ecuación (2) original:
x -y = a
x -(b) = a
x = a+b

Solución: x = a+b , y = b
________________________________________________

c) Resolver   $\begin{cases}x+y= \frac{a^2+b^2}{ab} &&(1) \\ax-by=2b&&(2)\end{cases}$

> Quitando denominadores, --> m.c.d.= ab
$=\begin{cases}ab(x+y)= 1({a^2+b^2)} &&(1) \\ax-by=2b&&(2)\end{cases}$

$=\begin{cases}abx+aby= {a^2+b^2} &&(1) \\ax-by=2b&&(2)\end{cases}$ (3)

> Multiplicando la ecuación (2) y restándola de la (1):
$=\begin{cases}abx+aby=a^2b^2&\(1)\\a^2x-aby=2ab&\(2)\\ ------------\\ a^2x+abx=a^2+2ab+b^2\end{cases}$

> Factorizando ambos miembros de la ecuación:
$\Rightarrow ax(a+b)=(a+b)^2$
$\Rightarrow ax(a+b)=(a+b)(a+b)$

> Eliminando (a+b) en ambos miembros de la ecuación:
$\Rightarrow ax=a+b$
$\Rightarrow x= \frac{a+b}{a}$

> En este caso no sustituimos el valor de "x" como hemos procedido en los otros ejemplos, sino que vamos a buscar el valor de "y" eliminando la "x"; como hicimos para encontrar el valor de "y": tomando el sistema que formamos sin denominadores (3):
$\begin{cases}abx+aby=a^2+b^2&&(1) \\ax-by=2b&&(2)\end{cases}$

> Multiplicamos la ecuación (2) por "b" y se resta de la (1):
$=\begin{cases}abx+aby=a^2+b^2&\(1)\\-abx+b^2y=-2b^2&\(2)\\ ------------\\ aby+b^2y=a^2-b^2\end{cases}$

> Factorizando ambos miembros de la ecuación:
$\Rightarrow by(a+b)= (a+b)(a-b)$

> Eliminando (a+b) en ambos miembros de la ecuación:
$\Rightarrow by= a-b$
$\Rightarrow y=\frac{a-b}{b}$

$Solucion:\\ x= \frac{a+b}{a}\\y = \frac{a-b}{b}$
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Ejercicio 181.
Resolver los sistemas:

1) $\begin{cases}x+y=a+b\\x-y=a-b\end{cases}$

$=\begin{cases} x+y =a+b&\(1)\\x-y=a-b&\(2)\\ --------\\ 2x=2a\end{cases}\\.\\ \Rightarrow x= \frac{2a}{2} \\.\\ \Rightarrow x=a$

> Sustituyendo "x" en ecuación (2):

$x-y=a-b\ \ (2) \\ .\\ \Rightarrow (a)-y=a-b\\ \\ -y= \frac{a-b}{a} \\ . \\ -y = -b\\ \\ y=b$

$Solucion:$ $x=a$ , $y=b$
______________________________________________

2)   $\begin{cases}2x+y=b+2&&(1) \\bx-y=0&&(2)\end{cases}$

$\begin{cases}2x+y=b+2&&(1) \\bx-y=0&&(2)\end{cases}\\-------------\\2x+bx=b+2 \\ . \\ \Rightarrow \\\\x(2+b)=1(2+b)\\ \Rightarrow x=1$

Sustituyendo el valor de "x" en la ecuación (2):
$bx-y =0\\\Rightarrow \\b(1)-y=0\\ \Rightarrow \\-y=-b\\y=b$

$Solucion:$ $x=1$ , $y=b$
______________________________________________

3) $\begin{cases}2x-y=3a&&(1) \\x-2y=0&&(2)\end{cases}$

$\begin{cases}2x-y=3a&&(1) \\-2x+4y=0&&(2)\end{cases}\\-------------\\3y=3a \\ . \\ \Rightarrow \\\\y= \frac{3a}{3} \\ \Rightarrow\\y=a$

> Sustituyendo el valor de "y" en la ecuación (2):
$x-2y=0\\ \Rightarrow \\x-2a=0\\.\\x=2a$

$Solucion:$ $x=2a$ ,   $y=a$
______________________________________________

4) $\begin{cases}x-y=1-a\\x+y=1+a\end{cases}$

$=\begin{cases} x-y=1-a&\(1)\\x+y=1+a&\(2)\\ ------------\\ 2x=2\end{cases}\\ \Rightarrow \\x= \frac{2}{2}\\. \\x=1$

> Sustituyendo el valor de "x" en la ecuación (2)
$x+y=1+a\\ \Rightarrow \\(1)+y=1+a\\.\\y= 1-1+a\\.\\y=a$

$Solucion:$ $x=1$ , $y=a$
_________________________________________

6) $\begin{cases} \frac{x}{b} + \frac{y}{a} =2&&(1) \\ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = \frac{a^2+b^2}{ab} &&(2)\end{cases}$

> Eliminando los denominadores. m.c.d. = ab
$\Rightarrow \begin{cases} ax +by =2ab&&(1) \\ bx+ay =a^2+b^2 &&(2)\end{cases}$

> Multiplicando las ecuaciones y restar:
$\Rightarrow \begin{cases} ax +by =2ab&&\(1)(por \.\ b)\\ bx+ay =a^2+b^2&&\(2)(por \.\ a) \end{cases}$

$\begin{cases}abx+b^2y=2ab^2&&(1) \\-abx-a^2y=-a(a`2+b^2)&&(2)\end{cases}\\------------------\\-a^2y+b^2y= -a^3-ab^2+2ab^2 \\ . \\ \Rightarrow \\$
$-a^2y+b^2y= -a^3-ab^2+2ab^2 \\ \Rightarrow \\-a^2y+b^2y= -a^3+ab^2\\y(-a^2+b^2)=a(-a^2+b^2)\\ \Rightarrow \\ \.\ y=a$

> Sustituyendo el valor de "y" en la ecuación (1) sin denominadores:
$abx+b^2y=2ab^2 \\ \Rightarrow \\abx+(a)b^2=2ab^2 \\abx=2ab^2-ab^2 \\ \Rightarrow \\ \.\ x= \frac{ab^2}{ab} \\ \Rightarrow \\ \\.\\ x =b$

$Solucion:$    $x=b$ ,   $y=a$
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viernes, 3 de julio de 2020

Suma o diferencia de cubos perfectos. Casos Especiales.

En estos casos especiales se pueden presentar cuatro expresiones:

1) Cuando en la suma de cubos perfectos, uno de ellos es binomio.
(a+b)³ + c³ = [(a+b) + c][(a+b)² - (a+b)(c) + (c)²]

2) Cuando en la diferencia de cubos perfectos, uno de ellos es binomio.
c³ - (a+b)³ = [c + (a+b)][(c)² + (c)(a+b) + (a+b)²]

3) Cuando en la suma de cubos perfectos, los dos son binomio.
(a+b)³+(c+d)³ = [(a+b) + (c+d)][(a+b)² - (a+b)(c+d) + (c+d)²]

4) Cuando en la diferencia de cubos perfectos, los dos son binomio.
(a+b)³-(c+d)³ = [(a+b) + (c+d)][(a+b)² + (a+b)(c+d) + (c+d)²]
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Ejemplos:

1) Factorar (a+b)³ + 1
> La raíz³ de: (a+b)³ = (a+b) ; 1 = 1
-->
(a+b)³ + 1 = [(a+b) + 1][(a+b)² - (a+b)(1) + (1)²]
. = (a+b+1)(a² +2ab + b² - (a + b) +1)
. = (a+b+1)(a² +2ab + b² - a - b +1) Solución.

2) Factorar 8 - (x-y)³
> La raíz³ de: 8 = 2 ; (x-y)³ = (x-y)
-->
8 - (x-y)³ = [2 - (x-y)][(2)² + (2)(x-y) + (x-y)²]
. = (2-x+y)(4 +2x -2y +x² -2xy +y² Solución.

3) Factorar (x+1)³ +(x-2)³
> La raíz³ de: (x+1)³ = x+1 ; (x-2)³ = x-2
-->
(x+1)³ +(x-2)³ = [(x+1)+(x-2)][(x+1)² - (x+1)(x-2) + (x-2)²]
. = [x+1+x-2][(x² +2x +1 - (x² -x -2) + x² -4x +4)]
. = (2x-1)(x² +2x +1 -x² +x +2 +x²-4x +4)
. = (2x-1)(x² - x +7) Solución.

4) (a-b)³ - (a+b)³
> La raíz³ de: (a-b)³ = (a-b) ; (a+b)³ = (a+b)
-->
(a-b)³ - (a+b)³ = [(a-b) - (a+b)][(a-b)² + (a-b)(a+b) + (a+b)²]
. = [a-b-a-b][a² -2ab +b² + a² - b² + a² + 2ab +b²]
. = (-2b)(3a² +b²) Solución.
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Ejercicio 104.
Descomponer en dos factores:

1) 1 + (x+y)³
Raíces³ de: 1=1 , (x+y)³ = (x+y)
⟹
= 1 + (x+y)³ = [1+(x+y)][(1²) -(1)(x+y) + (x+y)²]
. = (1+x +y)(1 -x -y +x² +2xy +y²)
. = (1+x +y)(1 -x -y +x² +2xy +y²) Solución.
_______________________________________________

2) 1 - (a+b)³
Raíces³ de: 1 = 1 ; (a+b)³ = (a+b)
⟹
1 - (a+b)³ = [1 -a -b][(1)² +(1)(a+b) +(a+b)²]
. = (1 -a -b)(1 +a +b +a² +2ab +b²) Solución.
_______________________________________________

3) 27 +(m-n)³
Raíces³ de: 27 = 3 ; (m-n)³ = (mn)
⟹
27 +(m-n)³ = [3 +m -n][(3²) -3(m-n) + (m-n)²]
. = (3 +m -n)(9 -3m +3n +m² -2mn +n²) Solución.
________________________________________________

4) (x-y)³ -8
Raíces³ de: (x-y)³ = (x-y) ; 8 = -2
⟹
(x-y)³ -8 = [(x-y) -2][(x-y)² +(x-y)(-2) +(-2)²]
. = [x -y -2][x² -2(x)(y)+y² -2x +2y +4 ]
. = (x -y -2)(x² -2xy +y² -2x +2y +4) Solución.
_________________________________________________

12) (a+1)³ + (a-3)³
Raíces de: (a+1)³ = (a+1) ; (a-3)³ = (a-3)
⟹
(a+1)³ + (a-3)³ = [(a+1)+(a-3)][(a+1)² - (a+1)(a-3) + (a-3)²]
- = [a +1 +a -3][(a)² +2(a)(1) + (1)² -(a² -2a -3)+ a² +2(a)(3) +(3)²]
. = (2a -2)(a² +2a+1 -a² +2a +3 +a² -6a +9)
. = (2a-2)(a² -2a +13) Solución.
_________________________________________________

13) (x-1)³ - (x+2)³
Raíces de: (x-1)³ = (x+1) ; (x+2)³ = x+2
⟹
(x-1)³ - (x+2)³ = [(x-1) - (x+2)][(x-1)² + (x-1)(x+2) + (x+2)²]
. = [x -1 -x -2][(x² -2x +1) + (x² +x -2) + (x² +4x +4)]
. = (-3)(3x² +3x +3) (Efectuando multiplicación)
. = -9x² -9x -9 (Factor común polinomio)
. = -9(x² +x +1) Solución.
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jueves, 25 de junio de 2020

Factorización por agrupación de términos. Casos Especiales.

Estos casos son aquellas expresiones como a(x²)ⁿ ±bxⁿ ±c ; ax²y² ±bxy ±c ; ax² ±bxy ±

cy²; -ax² ±bx ±c, de las cuales se presentan ejemplos para su comprensión.

Ejemplos:

a) Factorar 15x⁴-11x²-12

> Multiplicando por el coeficiente del 1^er. término todo el trinomio,

descomponiendo el exponente ⁴ del término bicuadrático en dos factores: ² y ²:

= 15(15x⁴-11x²-12)

= (15x²)²-11(15x²)-180

> Factorando:

= [(15x²-20)(15x²+9)] /15

= (15x²-20)/5 (15x²+9)/3

= (3x²-4)(5x²+3) Solución.

_________________________________

b) Factorar 12x²y²+xy-20

> Multiplicando por 12:

= 12(12x²y²+xy-20)

= (12xy)²+1(12xy)-240

> Factorando:

= [(12xy+16)(12xy-15)]/12

= (12xy+16)/4 (12xy-15)/3

= (3xy+4)(4xy-5) Solución.

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c) Factorar 6x²-11ax-10a²

> Multiplicando por 6:

= 6(6x²-11ax-10a²)

= (6x)²-11(6ax)-60a²

> Factorando:

= [(6x-15a)(6x+4a)]/6

= (6x-15a)/3 (6x+4a)/2

= (2x-5a)(3x+2a) Solución.

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d) Factorar 20-3x-9x²

= -9x²-3x+20 (ordenado)

> Introduciendo el trinomio entre paréntesis y cambiándole signo a los términos; precedido del signo ( - ):

= -(9x²+3x-20)

> Multiplicando por 9:

= -[9(9x²+3x-20)]

= -[(9x)²+3(9x)-180]

> Factorando:

= -[(9x+15)(9x-12)]/9

= -(9x+15)/3 (9x-12)/3

= -(3x+5)(3x-4)

> Eliminar el signo (-) que antecede a los factores; cambiándolo signo a un factor: a (3x-4) y este se convertirá en (-3x+4):

= (3x+5)(-3x+4)

> Cambiando el orden del segundo factor el resultado de la factorización quedaría:

= (3x+5)(4-3x) Solución.

_______________________________

Ejercicio 101.

Factorar:

1) 6x⁴+5x²-6

= 6(6x⁴+5x²-6)

= (6x²)²+5(6x²)-36

Factorando:

= [(6x²+9)(6x²-4)]/6

= (6x²+9)/3 (6x²-4)/2

= (2x²+3)(3x²-2) Solución.

________________________________

2) 5x⁶+4x³-12

= 5(5x⁶+4x³-12)

= (5x³)²+4(5x³)-60

Factorando:

= [(5x³+10)(5x³-6)]/5

= (5x³+10)/5(5x³-6)/1

= (x³+2)(5x³-6) Solución.

_________________________________

3) 10x⁸+29x⁴+10

= 10(10x⁸+29x⁴+10)

= (10x⁴)²+29(10x⁴)+100

Factorando:

= [(10x⁴+25)(10x⁴+4)]/10

= (10x⁴+25)/5 (10x⁴+4)/2

= (2x⁴+5)(5x⁴+2) Solución.

_________________________________

4) 6a²x²+5ax-21

= 6(6a²x²+5ax-21)

= (6ax)²+5(6ax)-126

Factorando:

= [(6ax+14a)(6ax-9a)]/6

= (6ax+14a)/2 (6ax-9a)/3

= (3ax+7)(2ax-3) Solución.

_________________________________

5) 20x²y²+9xy-20

= 20(20x²y²+9xy-20)

= (20xy)²+9(20xy)-400

Factorando

= [(20xy+25)(20xy-16)]/20

= (20xy+25)/5 (20xy-16)/4

= (4xy+5)(5xy-4) Solución.

_________________________________

6) 15x²-ax-2a²

= 15(15x²-ax-2a²)

= (15x)²-1(15x)-30a²

Factorando:

= [(15x-6a)(15x+5a)]/15

= (15x-6a)/3 (15x+5a)/5

= (5x-2a)(3x+a) Solución.

_________________________________

7) 12-7x-10x²

= -10x²-7x+12

= -(10x²+7x-12)

= -[10(10x²+7x-12)]

= -[(10x)²+7(10x)-120]

Factorando:

= -[(10x)²+7(10x)-120]/10

= -(10x+15)/5 (10x-8)/2

= -(2x+3)(5x-4)

→

= (2x+3)(-5x+4)

= (2x+3)(4-5x) Solución.

_________________________________

8) 21x²-29xy-72y²

= 21(21x²-29xy-72y²)

= (21x)²-29(21x)-1512

Factorando:

= [(21x-56y)(21x+27y)]/21

= (21x-56y)/7 (21x+27y)/3

= (3x-8y)(7x+9y) Solución.

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