Diferencia de dos cantidades complejas conjugadas.

7 +3√-1 de 7 -3√-1

Teorema: La diferencia de dos cantidades complejas conjugadas es una imaginaria pura.

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Procedimiento:

1) Se le cambian los signos al sustraendo.

2) Se copian los términos del minuendo y a continuación se copian los términos del sustraendo con los signos cambiados.

3) Se simplifican los términos semejantes hasta llegar a la mínima expresión. ±bi

Nota. Se puede operar de otra manera: Copiando el minuendo y debajo de éste se copia el sustraendo con los signos cambiados. Y se procede como una suma vertical.

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Ejemplo:

Restar 5 +3√-1 de 5 -3√-1

(5 +3√-1) - (5 -3√-1)

= 5 + 3√-1 -5 +3√-1

= (5-5) + (3√-1 +3√-1)

= 0 + 6√-1

= 6i Solución.

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Ejercicio 260.

1) De 2 -√-1 restar 2 +√-1

(2 - √-1) - (2 +√-1)

= 2 -√-1 -2 -√-1

= (2-2) + (-√-1 -√-1)

= 0 + (-2√-1)

= -2i Solución.

3) De -3 -7√-1 restar -3 +7√-1
(-3 -7√-1) - (-3 +7√-1)
=-3 -7√-1 +3 -7√-1
= (-3+3) + (-7√-1 -7√-1)
= 0 + -14√-1

= -14i Solución.

5) Restar √2 - √-3 de √2 + √-3
(√2 +√-3) - (√2 - √-3)
= √2 +√-3 -√2 + √-3
= (√2 -√2) + (√-3 + √-3)
= 0 + 2√-3
= 2√3√-1
= 2√3i Solución.

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Resta de cantidades complejas.

(3 -2√-1) - (5 +3√-1)

Procedimiento:

1) Se le cambian los signos al sustraendo.
2) Se copian los términos del minuendo y a continuación se copian los términos del sustraendo que se les cambio el signo.
3) Se simplifican los términos semejantes hasta llegar a la mínima expresión. a ±bi
Nota. Se puede operar de otra manera: Copiando el minuendo y debajo de éste se copia el sustraendo con los signos cambiados. Y se procede como una suma vertical.

Ej.: a ±b√-1

. a ±b√-1 Sumar
.   total
Para efecto de esta publicación se procedió de la primera manera explicada.

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Ejemplos:

a) de 5 +7√-1 restar 4 +2√-1

(5 +7√-1) - (4 +2√-1)

5 +7√-1 -4 -2√-1 (cambiándole signos al sustraendo)

= (5-4) + (7-2)√-1 (sumando los valores)

= 1 +5√-1 (simplificando los resultado)

= 1 +5i Solución.

b) Restar -3 – 7√-1 de 8 – 11√-1

Ordenando el dividendo y sustraendo:

(8 – 11√-1) - (-3 – 7√-1)

= 8 – 11√-1 +3 +7√-1

= (8 +3) +(-11+7)√-1

= 11 +(-4)√-1

= 11 - 4√-1

= 11 - 4i Solución.

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Ejercicio 259.

3) De -1 -1√-1 restar -7 -8√-1

(-1 - 1√-1) - (-7 -8√-1)

= -1 -1√-1 +7 +8√-1

= (-1+7) + (-1+8)√-1

= 6 +7√-1
= 6 +7i Solución.

5) Restar 8 -7√-1 de 15 -4√-1
(15 -4√-1) - (8 -7√-1)
= 15 -4√-1 -8 +7√-1
= (15-8) + (-4+7)√-1
= 7 +3√-1
= 7 +3i Solución.

7) De 5 - √-25 restar 3 +6i

(5 - √-25) - (3 +6i)

= (5 - √5²√-1) - (3 +6i)
= (5 - 5√-1) - (3 +6i)
= (5 - 5i) - (3 +6i)
= 5 – 5i -3 -6i

= (5-3) + (-5-6)i

= 2 +(-11)i
= 2 -11i Solución.

9) Restar √3 +6√-1 de √2 -5√-1
(√2 -5√-1) - (√3 +6√-1)
= √2 -5√-1 -√3 -6√-1
= (√2 -√3) + (-5-6)√-1
= (√2 -√3) + (-11)√-1
= (√2 +√3) – 11√-1
= (√2 -√3) – 11i Solución.

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Suma de cantidades complejas conjugadas.

.                        5 -4√-1 , 5 +4√-1

Teorema: La suma de dos cantidades complejas conjugadas es una cantidad real.

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Procedimiento:

1) Se suman las valores reales independientes de los radicales.

2) Se suman los coeficientes de las cantidades imaginarias.

3) Se simplifica si es necesario y la solución será un número real.

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Ejemplo:

Sumar 5 +3√-1 y 5 -3√-1
(5 +3√-1) + (5 -3√-1)

= (5+5) +(3-3)√-1

= 10 +0√-1

= 10 Solución.

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Ejercicio 258.

Sumar:

1) 7 -2√-1 , 7 +2√-1

(7 -2√-1) + (7 +2√-1)

= (7+7) +(-2+2)√-1

= 14 +0√-1

= 14 Solución.

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3) 9 +i√3 , 9 -i√3
(9 +i√3) + (9 -i√3)
= (9+9) + 0 (más cero (0) porque +i√3-i√3= 0)

= 18 Solución.

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5) 8 -3√-2 , 8 +3√-2

(8 -3√-2) + (8 +3√-2)

= (8+8) + 0

= 16 Solución.

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6) √2 +i√3 , √2 -i√3

(√2 +i√3) + (√2 -i√3)

= (√2+√2) + 0

= 2√2 Solución.

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Suma de cantidades complejas.

.                          (12 -11√-1) + (3 -2√-1)

Cantidades Complejas.

Son expresiones que constan de una parte real y una imaginaria. Son de la forma a + b√-1 ó a + bi. “a” y “b” son cantidades reales y “√-1” o “i” son cantidades imaginarias.

Ejemplo: 2 +3√-1 ó 2 +3i ; 5 - 6√-1 ó 5 – 6i.

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Cantidades complejas conjugadas.

Son dos cantidades complejas que se diferencian en el signo de la parte imaginaria.

Donde a +b√-1 su conjugada es a -b√-1. Ejemplo: 5 -2√-1 su conjugada es 5 +2√-1

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Suma de cantidades complejas.

Procedimiento:

1) Se suman los números reales independientes de los radicales.

2) Se suman los coeficientes reales de los radicales.

3) Luego se coloca el total de los reales independientes del radical ± el total de los coeficientes del radical con su respectiva unidad imaginaria (i). Ejemplo: (2 +5√-1) + (3 -2√-1) = 6 +3√-1 = 6 +3i

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Ejemplos:

a) Sumar 2 +5√-1 y 3 -2√-1

(2 +5√-1) + (3 -2√-1)

= (2+3) + (5-2)√-1

= 5 +3√-1

= 5 +3i Solución.

b) Sumar 5 -6√-1 , -3 +√-1 , 4 -8√-1

(5 -6√-1) + (-3 +√-1) + (4 -8√-1)
= (5-3+4) +(-6+1-8)√-1
= 6 -13√-1
= 6 -13i Solución.

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Ejercicio 257.

Sumar:

1) 2 +3√-1 y 5 -2√-1
(2 +3√-1) + (5 -2√-1)
= (2+5) + (3-2)√-1
= 7 +1√-1
= 7 +i Solución.

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4) Sumar 5 +√-1 , 7 +2√-1 , 9 +7√-1

(5 +√-1) + (7 +2√-1) + (9 +7√-1)

= (5+7+9) +(1+2+7)√-1

= 21 +10√-1

= 21 +10i Solución.

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6) Sumar 1 -i , 4+3i , √2 +5i

(1 -i) + (4+3i) + (√2 +5i)

= (1+4) + √2 +(-1+3+5)i

= 5 + √2 +7i

= (5 +√2) +7i Solución.

En este caso con el número real 5 y el radical √2, sólo se deja indicada la suma.

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División de cantidades imaginarias puras.

.                                    √-90 ÷ √-5

Procedimiento:

1. Se expresa el cociente como una fracción.

2. Se convierten las imaginarias a la forma a√-1.

3. Se dividen los coeficientes del radical y los radicales.
3. Se simplifica el cociente hasta llegar a la mínima expresión.

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Ejemplo.

Dividir √-84 entre √-7

> √-84 / √-7

= (√84)(√-1) / (√7)(√-1)

= -√84 / -√7

= √84 / √7

= √12
= √2²3

= 2√3 Solución.

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Ejercicio 256.

Dividir:

1) √-16 ÷ √-4
= √-16 / √-4
= √16)(√-1) / (√4)(√-1)
= -√16 / -√4
= √4² / √2²

= 4 / 2

= 2 Solución.

3) √-81 ÷ √-3
= √-81 /√-3
= √81 /√3
= √27
= √3²3
= 3√3 Solución.

6) 10√-36 ÷ 5√-4
= 10√-36 / 5√-4
= 10√36 / 5√4
= 2√9
= 2√3²

= 2(3)

= 6 Solución.

10) ⁴√-300 ÷ ⁴√-12
= ⁴√-300 / ⁴√-12
= ⁴√300 / ⁴√12
= ⁴√25
= ⁴√5²
= ⁴÷²√5
= ²√5
= √5 Solución.

En este caso como la cantidad subradical no se puede convertir en potencia de 4, solo tiene potencia de 2; se divide el índice del radical entre el exponente de la cantidad subradical y el cociente resultante será el nuevo índice de la raíz; y el exponente de la cantidad subradical se elimina.

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