Suma y resta de cantidades imaginarias puras.

. √-4 + √-16

Se reducen a la forma de una cantidad real (a) multiplicada por √-1 y luego se reducen como radicales semejantes.

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Ejemplos:



a) Simplificar √-4 + √-9

> Convirtiendo a la forma a√-1

√-4 = √[(4)(-1)] = (√2²)(√-1) = 2√-1
√-9 = √[(9)(-1)] = (√3²)(√-1) = 3√-1
> Reduciendo como radicales semejantes:
2√-1 + 3√-1

= (2+3)√-1

= 5√-1

= 5i Solución.

b) Simplificar 2√-36 - √-25 + √-12

> Convirtiendo a la forma a√-1:

2√-36 = 2[(√36)(-1)] = 2(√6²)(√-1) = 2(6)√-1 = 12√-1

√-25 = [(√25)(-1)] = (√5²)(√-1) = 5(√-1) = 5√-1
√-12 = [(√12)(-1)] = [√2²(3)](√-1) = 2(√3)(√-1)

> Reduciendo los radicales semejantes:

12√-1 – 5√-1 + 2(√3)(√-1)

= (12-5+2√3)(√-1)

= (7+2√3)(√-1)
= (7+2√3)i Solución.

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Ejercicio 254

Simplificar:

1) √-4 + √-16

√-4 = √[(4)(-1)] = (√2²)(√-1) = 2(√-1)
√-16 = √[(16)(-1)] = (√4²)(√-1) = 4(√-1)
→ 2(√-1) + 4(√-1)
= (2+4)√-1
= 6√-1
= 6i Solución.

2) √-25 + √-81 - √-49
√-25 = √[(25)(-1)] = (√5²)(√-1) = 5(√-1)
√-81 = √[(81)(-1)] = (√9²)(√-1) = 9(√-1)
√-49 = √[(49)(-1)] = (√7²)(√-1) = 7(√-1)
→ 5(√-1) + 9(√-1) – 7(√-1)
= (5+9-7)√-1
= 7√-1
= 7i Solución.

3) 2√-9 + 3√-100
2√-9 = 2√[(9)(-1)] = 2√(3²)(√-1) = 2(3)√-1 = 6√-1
3√-100 = 3√[(100)(-1)] = 3√(10²)(√-1) = 3(10)√-1 = 30√-1
→ 6√-1 + 30√-1
= (6+30)√-1
= 36√-1
= 36i Solución.

6) √-18 + √-8 + 2√-50
√-18 = √[(18)(-1)] = (√3²)(2)(√-1) = 3(√2)(√-1)
√-8 = √[(8)(-1)] = (√2²)(2)(√-1) = 2(√2)(√-1)
2√-50 = 2√[(50)(-1)] = 2(√5²)(2)(√-1) = 2(5)(√2)(√-1)
→ 3(√2)(√-1) + 2(√2)(√-1) + 10(√2)(√-1)
= (3+2+10)√2√-1
= 15√2√-1
= 10√2i Solución.

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Simplificación de cantidades imaginarias puras.

.                 ⁿ√-a     Ej.: √-9   

Cantidades Imaginarias.

Son las raíces indicadas pares de cantidades imaginarias.

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Unidad Imaginaria.
Es la que se escribe como la raíz cuadrada de (-1) : √-1 y se representa con la letra ( i )

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Imaginarias Puras.
Son todas las expresiones de la forma ⁿ√-a donde “n” es par y “-a” es una cantidad real negativa, es una imaginaria pura. Ej.: √-2 , √-5 son imaginarias puras.

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Potencias de la unidad imaginaria √-1
(√-1)¹ = √-1
(√-1)² = -1
(√-1)³ = (√-1)² · (√-1) = -1 · √-1 = -√-1

(√-1)⁴ = (√-1)² · (√-1)² = -1 · -1 = 1

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

(√-1)⁵ = (√-1)⁴ · (√-1) = 1 · √-1 = √-1

(√-1)⁶ = (√-1)⁴ · (√-1)² = 1 · -1 = -1

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Nota: Puede observarse que las primeras cuatro potencias son iguales a √-1 , -1 , - √-1 y 1; las siguientes cuatro llevan la misma secuencia de resultado y así las otras cuatro siguientes y las sucesivas.

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Simplificación de cantidades imaginarias puras.

Regla. Toda cantidad imaginaria puede reducirse a la forma de una cantidad real multiplicada por la unidad imaginaria.

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Ejemplos.

Simplificar:

a) √-4

= √[4(-1)]
= (√2²)(√-1)
= 2√-1
= 2i Solución.

b) √-3
= √[3(-1)]
= (√3)(√-1)
= i√3 Solución.

c) √-8
= √[8(-1)]
= (√8)(√-1)
= (√2² · 2)(√-1)
= (2√2)(√-1)
= 2√2i Solución.

Nota personal: En estos casos los corchetes [ ] indican que todo está dentro de la cantidad subradical.

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Ejercicio 253.
Reducir a la forma de una cantidad real multiplicada por √-1:

1) √-a²
= √[(a²)(-1)]
= (√a²) (√-1)
= a√-1
= ai Solución.

3) 2√-9

= 2√[(9)(-1)]
= (2√3²) (√-1)

= 2(3)√-1

= 6i Solución.

5) √-6

= √[(6)(-1)]

= (√6)(√-1)

= √6i

= i√6 Solución.

11) √-¹/₁₆

= √[(¹/₁₆)(-1)]

= (√¹/₄²)(√-1)

= ¹/₄i Solución.

Resolución de ecuaciones con radicales que se reducen a primer grado.

.                       √(x+10) - √(x+19) = -1
Procedimiento:

1) Dejar o aislar el radical en un solo miembro de la ecuación. 

2) Elevar al cuadrado ambos miembros de la ecuación para eliminar el signo radical.

3) Simplificar los resultados.

4) Cuando existen dos o más radicales se procede como en los tres pasos anteriores, hasta que no quede ningún radical.

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Ejemplos:

a) Resolver la ecuación √‾(4x²-15) -2x = -1

→ √‾(4x²-15) -2x = -1

√‾(4x²-a5) = 2x -1 (Se dejó sólo el radical de la derecha)
(√‾4x²-15)² = (2x -1)² ( Se elevó al cuadrado ambos términos para eliminar el signo radical)
4x²-15 = 4x² -4x +1

-15 = -4x+1

4x = 1+15

x = 16/4 = 4 Solución.

b) Resolver la ecuación √(x+4) + √(x-1) = 5

→ √(x+4) + √(x-1) = 5

√(x+4) = 5 -√(x-1)      ( se aísla o deja solo el radical √(x+4)
(√x+4)² = (5-√(x-1) )²     ( Se eleva al cuadrado ambos miembros de la ecuación)
x+4 = 25 -10√x-1 +x-1       (se resolvió (5 +√(x-1) )² , como Cuadrado de la Suma de 2 Cantidades)
x -x +4 -25 +1 = -10√x-1
-20 = -10√x-1        (se aísla el radical √x-1)
20 = 10√x-1
20/10 = 10√x-1/10
2 = √x-1
(2)² = (√x-1)²     (Se eleva al cuadrado ambos miembros de la ecuación)

4 = x-1

4 +1 = x

x = 5 Solución.
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Ejercicio 251.

Resolver las ecuaciones:

1) √x-8 = 2

> √(x-8) = 2

(√x-8)² = (2)²

x-8 = 4

x = 4+8

x = 12 Solución.

2) 5 - √3x+1 = 0

>  - √(3x+1) = -5

√3x+1 = 5
(√3x+1)² = (5)²

3x+1 = 25

3x = 25-1

x = 24/3

x = 8 Solución.

3) 7 + ³√5x-2 = 9

> 7 + ³√(5x-2) = 9

³√(5x-2) = 9 -7

(³√5x-2)³ = (2)³

5x -2 = 8

x = 8+2 /5

x = 2 Solución.

4) √9x²-5 -3x = -1

> √(9x²-5) -3x = -1

√(9x²-5) = 3x -1

(√9x²-5)² = (3x -1)²

9x² -5 = 9x² -6x +1
-5 = -6x+1

6x = 1+5

x = 6/6

x = 1 Solución.

5) √x²-2x+1 = 9 -x

> √(x²-2x+1) = 9 -x

√(x-1)² = 9 -x       ( En este caso √(x²-2x+1) por ser un trinomio cuadrado perfecto, es igual a
                              (√x-1)². Por lo que no es necesario elevar al cuadrado el otro miembro)
x -1 = 9 - x

x +x = 9+1

2x = 10  

x = 10/2
x = 5 Solución.

8) √3x-5 +√3x-14 = 9

> √(3x-5) +√(3x-14) = 9

√(3x-5) = 9 -√(3x-14) ( Aislando √(3x-5) )

(√3x-5)² = (9 -√(3x-14))² (elevando al cuadrado ambos términos de la ecuación)

3x -5 = 81 -18√(3x-14) +(√(3x-14))²    (resolviendo (9 -√(3x-14))² como diferencia de cuadrados)

3x -5 = 81 -18√(3x-14) + 3x -14    (simplificando)

3x -3x -5 -81 +14 = -18√(3x-14)     (Se aisló el término con radical)

-72 = -18√(3x-14)

(-72)² = (-18√(3x-14))²           (elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación)

5184 = 324(3x-14)                 (Simplificando)

5184 = 972x -4536

5184+4536 = 972x

9720 = 972x

9720/972 = x

10 = x

x= 10 Solución.

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