.
%5E2+&chf=bg,s,FCFCFF&chco=0202FF)
Para este tipo de
potencias se aplica las reglas relativas para elevar un binomio a una
potencia cualquiera y en polinomio al cuadrado o al cubo,
dependiendo del caso. Estas reglas también son aplicables a casos en
que haya exponentes negativos y fraccionarios.
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Ejemplos:
a)
Desarrollar (3a⁻³+b⁻¹⁄²)²
Este es un
Binomio al cuadrado, entonces:
=(3a⁻³+b⁻¹⁄²)²
= (3a⁻³)² + 2(3a⁻³)(b⁻¹⁄²) + (b⁻¹⁄²)²
=
3²a⁻³ˣ²+2(3)(a⁻³)(b⁻¹⁄²)+b⁻¹⁄² ˣ²
= 9a⁻⁶
+6a⁻³b⁻¹⁄² +b⁻¹ Solución
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b)
Desarrollar (x²⁄³-4y⁻²)³
Este un Binomio
al cubo, entonces:
= (x³⁄⁴-4y⁻²)³
= (x³⁄⁴)³ -3(x²⁄³)²(4y⁻²)+3(x²⁄³)(4y⁻²)²-(4y⁻²)³
= x²⁄³
ˣ³-3(4)( x²⁄³ ˣ²)(y⁻²)+3(4²)( x²⁄³)(y⁻²ˣ²)-4³y⁻²ˣ³
=x²
-12x⁴⁄³y⁻² +48x²⁄³y⁻⁴ -64y⁻⁶ Solución
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c)
Desarrollar (a⁻²⁄³-√b)⁵
Este Binomio se
aplica la fórmula del Binomio de Newton, pero antes debe convertirse
la raíz en exponente fraccionario.
Convirtiendo el
segundo término en exponente fraccionario:
(a⁻²⁄³-√b)⁵
= (a⁻²⁄³-b¹⁄²)⁵
Aplicando la
fórmula del Binomio de Newton:
(a⁻²⁄³-b¹⁄²)⁵
=
= (a⁻²⁄³)⁵
-5(a⁻²⁄³)⁴( b¹⁄²)+10(a⁻²⁄³)³( b¹⁄²)²-10(a⁻²⁄³)²(
b¹⁄²)³+5(a⁻²⁄³)( b¹⁄²)⁴-( b¹⁄²)⁵
=a⁻¹⁰⁄³
-5a⁻⁸⁄³b¹⁄² +10a⁻²b -10a⁻⁴⁄³b³⁄² +5a⁻²⁄³b²
-b⁵⁄² Solución
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d) Elevar
al cuadrado (x³⁄⁴-x¹⁄⁴+x⁻¹⁄⁴)
Este es un
Cuadrado de un Trinomio.
Aplicando la
regla para el cuadrado de un polinomio:
(x³⁄⁴-x¹⁄⁴+x⁻¹⁄⁴)²
= (x³⁄⁴)²+(-x¹⁄⁴)²+( x⁻¹⁄⁴)²
+2(x³⁄⁴)(-x¹⁄⁴)+2(x³⁄⁴)(x⁻¹⁄⁴)+2(-x¹⁄⁴)(x⁻¹⁄⁴)
= x³⁄² +x¹⁄²
+x⁻¹⁄² -2x +2x¹⁄²-2
Ordenando:
= x³⁄² -2x
+x¹⁄² +2x¹⁄² -2 +x⁻¹⁄²
Simplificando:
= x³⁄²
-2x +3x¹⁄² -2 +x⁻¹⁄² Solución.
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e) Elevar
al cubo a¹⁄³-2+a⁻¹⁄³
Aplicando la
regla de Polinomio al cubo:
(a¹⁄³-2+a⁻¹⁄³)³
=
(a¹⁄³)³+(-2)³+(a⁻¹⁄³)³+3(a¹⁄³)²(-2)+3(a¹⁄³)²(a⁻¹⁄³)+3(-2)²(a¹⁄³)
+3(-2)²(a⁻¹⁄³)+3(a⁻¹⁄³)²(a¹⁄³)+3(a⁻¹⁄³)²(-2)
+6(a¹⁄³)(-2)(a⁻¹⁄³)
=
a-8+a⁻¹-6a²⁄³+3a¹⁄³+12a¹⁄³+12a⁻¹⁄³+3a⁻¹⁄³-6a⁻²⁄³-12
Ordenando:
=
a-6a²⁄³+3a¹⁄³+12a¹⁄³-8-12+12a⁻¹⁄³+3a⁻¹⁄³-6a⁻²⁄³+a⁻¹
Reduciendo:
=
a-6a²⁄³+15a¹⁄³-20+15a⁻¹⁄³-6a⁻²⁄³+a⁻¹
Solución
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Ejercicio
228.
Desarrollar:
1)
(a¹⁄²+b¹⁄²)²
=
(a¹⁄²)²+2(a¹⁄²)( b¹⁄²)+( b¹⁄²)²
= a+2a¹⁄²b¹⁄²+b
Solución.
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9)
(a¹⁄³+b¹⁄³)³
=
(a¹⁄³)³+3(a¹⁄³)²(b¹⁄³)+3(a¹⁄³)(b¹⁄³)²+(b¹⁄³)³
=
a+3a²⁄³b¹⁄³+3a¹⁄³b²⁄³+b Solución.
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15)
(x⁻²-y⁻¹⁄³)⁴
=
(x⁻²)⁴-4(x⁻²)³(y⁻¹⁄³)+6(x⁻²)²(y⁻¹⁄³)²-4(x⁻²)(y⁻¹⁄³)³+(y⁻¹⁄³)⁴
=
x⁻⁸-4x⁻⁶y⁻¹⁄³+6x⁻⁴y⁻²⁄³-4x⁻²y⁻¹+y⁻⁴⁄³
Solución.
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16)
(x¹⁄³+y⁻³⁄⁴)⁵
=
(x¹⁄³)⁵+5(x¹⁄³)⁴(y⁻³⁄⁴)+10(x¹⁄³)³(y⁻³⁄⁴)²+10(x¹⁄³)²(y⁻³⁄⁴)³+5(x¹⁄³)(y⁻³⁄⁴)⁴+(y⁻³⁄⁴)⁵
=
x⁵⁄³+5x⁴⁄³y⁻³⁄⁴+10xy⁻³⁄²+10²⁄³y⁻⁹⁄⁴+5x¹⁄³y⁻³+y⁻¹⁵⁄⁴
Solución.
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18)
(a²-2√m)⁶
= (a²-2m¹⁄²)
<-- Se convirtió la raíz de “√m” en potencia de “m¹⁄²”.
=
(a²)⁶-6(a²)⁵(2m¹⁄²)+15(a²)⁴(2m¹⁄²)²-20(a²)³(2m¹⁄²)³+15(a²)²(2m¹⁄²)⁴
-6(a²)(2m¹⁄²)⁵+(2m¹⁄²)⁶
=
a¹²-12a¹⁰m¹⁄²+60a⁸m-160a⁶m³⁄²+240a⁴m²-192a²m⁵⁄²+64m³
<-- Solución.
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20)
(a⁻²+3a⁻¹+2)²
=
(a⁻²)²+(3a⁻¹)²+(2)²+2(a⁻²)(3a⁻¹)+2(a⁻²)(2)+2(3a⁻¹)(2)
=
a⁻⁴+9a⁻²+4+6a⁻³+4a⁻²+12a⁻¹
=
a⁻⁴+6a⁻³+9a⁻²+4a⁻²+12a⁻¹+4 <--
Ordenado
=
a⁻⁴+6a⁻³+13a⁻²+12a⁻¹+4 <-- Reducidos los
términos
=
a⁻⁴+6a⁻³+13a⁻²+12a⁻¹+4 Solución.
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25)
(x¹⁄²+x¹⁄⁴-1)³
= (x¹⁄²+x¹⁄⁴-1)³
=
(x¹⁄²)³+(x¹⁄⁴)³+(-1)³+3(x¹⁄²)²(x¹⁄⁴)+3(x¹⁄²)²(-1)+3(x¹⁄⁴)²(x¹⁄²)
+3(x¹⁄⁴)²(-1)+3(-1)²(x¹⁄²)+3(-1)²(x¹⁄⁴)+6(x¹⁄²)(x¹⁄⁴)(-1)
=
x³⁄²+x³⁄⁴-1+3x⁵⁄⁴-3x+3x-3⁻¹⁄²+3x¹⁄²+3x¹⁄⁴-6x³⁄⁴
=
x³⁄²+3x⁵⁄⁴+x³⁄⁴-6x³⁄⁴-3x+3x-3x¹⁄²+3x¹⁄²+3x¹⁄⁴-1
<-- Ordenado
=
x³⁄²+3x⁵⁄⁴-5x³⁄⁴+3x¹⁄⁴-1 <-- Reducidos
los términos
=
x³⁄²+3x⁵⁄⁴-5x³⁄⁴+3x¹⁄⁴-1 <--
Solución.
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